Izomorfism de ordine

În teoria ordinelor , un izomorfism al ordinii , sau izotonie , este o funcție bijectivă între mulțimi parțial ordonate , care are caracteristica de a păstra în codomain relațiile de ordine definite în domeniu . Prin urmare, un izomorfism al ordinii poate fi considerat ca o extensie a conceptului de funcție monotonă în afara domeniilor numerice comune.

În ceea ce privește celelalte izomorfisme , un izomorfism al ordinii stabilește o relație de echivalență între două mulțimi ordonate, care în acest fel se referă la aceeași structură de ordine, întrucât fiecare element al unei mulțimi devine interschimbabil cu corespondentul său, fără a modifica relațiile de ordine existente.

Definiție formală

Dat fiind două seturi parțial ordonate $\left(S,\leq _{S}\right)$ ${\ displaystyle \ left (S, \ leq _ {S} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (S, \ leq _ {S} \ right)}$ Și $\left(T,\leq _{T}\right)$ ${\ displaystyle \ left (T, \ leq _ {T} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (T, \ leq _ {T} \ right)}$ , o functie $f:S\rightarrow T$ ${\ displaystyle f: S \ rightarrow T}$ ${\ displaystyle f: S \ rightarrow T}$ se numește izomorfism de ordine dacă este surjectiv și dacă se menține următoarea relație:

\forall s_{1},s_{2}\in S,\quad s_{1}\leq _{S}s_{2}\Leftrightarrow f(s_{1})\leq _{T}f(s_{2})

{\ displaystyle \ forall s_ {1}, s_ {2} \ in S, \ quad s_ {1} \ leq _ {S} s_ {2} \ Leftrightarrow f (s_ {1}) \ leq _ {T} f (s_ {2})}

{\ displaystyle \ forall s_ {1}, s_ {2} \ in S, \ quad s_ {1} \ leq _ {S} s_ {2} \ Leftrightarrow f (s_ {1}) \ leq _ {T} f (s_ {2})}

Prin urmare, un izomorfism al ordinii poate fi definit ca o imersiune a ordinii surjective. Trebuie remarcat faptul că bijectivitatea funcției este implicită în definiția dată; de fapt, dacă $f(s_{1})=f(s_{2})$ ${\ displaystyle f (s_ {1}) = f (s_ {2})}$ ${\ displaystyle f (s_ {1}) = f (s_ {2})}$ ambele relații dețin $f(s_{1})\leq _{T}f(s_{2})$ ${\ displaystyle f (s_ {1}) \ leq _ {T} f (s_ {2})}$ ${\ displaystyle f (s_ {1}) \ leq _ {T} f (s_ {2})}$ Și $f(s_{2})\leq _{T}f(s_{1})$ ${\ displaystyle f (s_ {2}) \ leq _ {T} f (s_ {1})}$ ${\ displaystyle f (s_ {2}) \ leq _ {T} f (s_ {1})}$ , din care urmează $s_{1}\leq _{S}s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {1} \ leq _ {S} s_ {2}}$ ${\ displaystyle s_ {1} \ leq _ {S} s_ {2}}$ Și $s_{2}\leq _{S}s_{1}$ ${\ displaystyle s_ {2} \ leq _ {S} s_ {1}}$ ${\ displaystyle s_ {2} \ leq _ {S} s_ {1}}$ , adică $s_{1}=s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {1} = s_ {2}}$ ${\ displaystyle s_ {1} = s_ {2}}$ și, prin urmare, funcția este injectivă . În consecință, un izomorfism de ordine poate fi definit ca o funcție monotonă cu o funcție inversă care este și monotonă.

Automorfismul ordinii

Un izomorfism de ordine dintr-un set parțial ordonat în sine se numește automatism de ordine . Pe lângă automorfismul banal constituit de identitatea setului, în general este posibil să se construiască numeroase automorfisme într-un set; de exemplu, în setul de numere reale $\left(\mathbb {R} ,\leq \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R}, \ leq \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R}, \ leq \ right)}$ , înzestrate cu ordonarea obișnuită, traducerile și multiplicările cu numere pozitive (corespunzătoare dilatațiilor ) sunt automatisme de ordine:

{\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x+a\\g:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &bx,\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & x + a \\ g: & \ mathbb {R} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & bx, \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & x + a \\ g: & \ mathbb {R} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & bx, \ end {matrix}}}

unde este $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in {\ mathbb {R}}$ , $b\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ .

Proprietățile automorfismului de ordine ale acestor operații sunt utilizate de exemplu în rezolvarea inegalităților .

Tipul comenzii

Același subiect în detaliu: Numărul ordinal (teoria mulțimilor) .

Dacă două mulțimi sunt legate printr-un izomorfism de ordine, se spune că au ordine echivalente sau aparțin aceluiași tip de ordine ; relația astfel definită este o relație de echivalență .

Clasele de echivalență corespunzătoare mulțimilor bine ordonate constituie numerele ordinale .

De exemplu, toate mulțimile finite bine ordonate cu aceeași cardinalitate sunt izomorfe între ele: de fapt, date fiind cele două mulțimi $X=\left\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\}$ ${\ displaystyle X = \ left \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle X = \ left \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right \}}$ Și $Y=\left\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right\}$ ${\ displaystyle Y = \ left \ {y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle Y = \ left \ {y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n} \ right \}}$ , deoarece acestea sunt complet ordonate, este posibil să le aranjăm elementele în ordine:

{\begin{matrix}x_{a_{1}}\leq x_{a_{2}}\leq \ldots \leq x_{a_{n}}\\y_{b_{1}}\leq y_{b_{2}}\leq \ldots \leq y_{b_{n}}\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {a_ {1}} \ leq x_ {a_ {2}} \ leq \ ldots \ leq x_ {a_ {n}} \\ y_ {b_ {1}} \ leq y_ {b_ {2}} \ leq \ ldots \ leq y_ {b_ {n}} \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {a_ {1}} \ leq x_ {a_ {2}} \ leq \ ldots \ leq x_ {a_ {n}} \\ y_ {b_ {1}} \ leq y_ {b_ {2}} \ leq \ ldots \ leq y_ {b_ {n}} \\\ end {matrix}}}

izomorfismul ordinii este funcția care asociază elementele care se află în aceeași poziție între ele:

{\begin{matrix}f:&X&\rightarrow &Y\\&x_{a_{k}}&\mapsto &y_{b_{k}}.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ rightarrow & Y \\ & x_ {a_ {k}} & \ mapsto & y_ {b_ {k}}. \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ rightarrow & Y \\ & x_ {a_ {k}} & \ mapsto & y_ {b_ {k}}. \ end {matrix}}}

În sfera finită există deci o corespondență unu-la-unu între numerele cardinale și numerele ordinale (care corespund de fapt numerelor naturale ; invers, există mulțimi infinite cu aceeași cardinalitate, dar nu izomorfe între ele și, prin urmare, aparținând numere ordinale diferite.

Conceptul de tip de comandă se aplică și seturilor care nu sunt bine ordonate, cum ar fi setul de raționale cu ordonarea obișnuită, indicat de obicei prin $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ .

Având un set ordonat $\left(X,\leq \right)$ ${\ displaystyle \ left (X, \ leq \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X, \ leq \ right)}$ al cărui tip de comandă este $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , tipul de comandă corespunzător ordinii inverse $\left(X,\geq \right)$ ${\ displaystyle \ left (X, \ geq \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X, \ geq \ right)}$ este indicat cu $\sigma ^{*}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {*}}$

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică