Leonid Vital'evič Kantorovič

Premiul Nobel pentru economie 1975

Leonid Vital'evič Kantorovič ( IPA : [lʲɪɐnʲit vʲɪtalʲɪvʲɪtɕ kəntɐrovʲɪtɕ] ) (în limba rusă : Леонияд Витальевич Канторович, Sankt - Petersburg , de 19 luna ianuarie, anul 1912 - Moscova , 7 luna aprilie, anul 1986 ) a fost un câștigător al Premiului Nobel pentru sovietic matematician și economist economie în 1975 , primul și singurul sovietic care a obținut vreodată această onoare.

Kantorovič este renumit pentru teoriile sale și pentru dezvoltarea tehnicilor privind alocarea optimă a resurselor. A lucrat pentru guvernul sovietic , cu sarcina de a optimiza producția de placaj într-o industrie. În 1939 a pus bazele studiului programării liniare , care va fi ulterior aprofundat și rafinat de George Dantzig . ^[1] A fost autorul multor cărți, inclusiv Metode matematice pentru organizarea și planificarea producției ( 1939 ), Calculul economic și utilizarea resurselor ( 1959 ), Soluții optime în economie ( 1972 ).

Premiul Nobel din 1975 , pe care l-a împărtășit cu Tjalling Koopmans , i-a fost acordat cu următoarea motivație: „ pentru contribuții la teoria alocării optime a resurselor ”. ^[1]

Biografie

Origini și instruire

Leonid Vital'evič Kantorovič s-a născut la Sankt Petersburg , capitala Imperiului Rus , la 19 ianuarie 1912 într- o familie de evrei ^[2] ^[3] . Evenimentele Revoluției Ruse din februarie și octombrie 1917 au văzut familia Kantorovič petrecând un an în Belarus. Tatăl lui Leonid Vitalij (Haim), specialist în venerologie, a murit în 1922, lăsându-l pe Leonid în grija mamei sale Paulina Zaks, care era medic dentist. În momentul morții tatălui său, Leonid avea doi frați, Nikolaj în vârstă de unsprezece ani, care era un psihiatru renumit și Georgij, în timp ce Lidia era inginer în construcții la acea vreme și Nadezhda erau cele două surori mai mari ale sale. În 1926 Leonid, la vârsta de paisprezece ani, s-a înscris la Facultatea de Matematică și Mecanică a Universității din Sankt Petersburg, iar în 1930, la vârsta de optsprezece ani, a obținut o diplomă în matematică. La universitate a participat la prelegeri și a participat la seminariile lui Vladimir I. Smirnov , Grigorii Fichtenholz și Boris Delaunay. Prietenii săi de la universitate erau Isidor P. Natanson, Sergei L. Sobolev , Solomon Mikhlin, Dmitry și Vera Faddeev.

Perioada la Sankt Petersburg, 1912-1960

Activitățile științifice ale lui Leonid au început în al doilea an de universitate, când conținutul disciplinelor acoperea domenii mai abstracte ale matematicii. În 1930, capitala Republicii Sovietice Socialiste Ucrainene de atunci, Harkov , a găzduit Primul Congres de Matematică al Uniunii și cu acea ocazie Leonid Kantorovič și-a adus contribuțiile la teoria descriptivă a mulțimilor și, în special, și-a prezentat rezultatele la rezoluția unor Nikolai. Problemele lui N. Luzin . Kantorovič s-a angajat atât în activități de cercetare, cât și în activități didactice la Institutul de Matematică și Mecanică din Sankt Petersburg. În 1932 a fost numit profesor asistent, în 1934 a devenit profesor titular și în 1935 a obținut râvnitul doctorat în științe (DSc). Contribuțiile lui Leonid Kantorovič la analiza numerică datează din acea perioadă, vezi publicarea lucrărilor A New Method of Approximate Conformal Mapping și The New Variational Method . Cercetarea a fost finalizată în 1936 cu ocazia scrierii cărții Metode aproximative de analiză superioară pe care a scris-o împreună cu VI Krylov. Anii 1930 au fost o perioadă de dezvoltare intensă pentru analiza funcțională ; Eforturile lui Leonid s-au concentrat de-a lungul unei noi linii de cercetare constând în studiul sistematic al spațiilor funcționale cu ordonare parțială. Teoria spațiilor parțial ordonate sa dovedit a fi deosebit de fructuoasă și aproape simultan a fost dezvoltată în SUA, Japonia și Olanda. Cu privire la acest subiect, Leonid Kantorovič a intrat în contact cu J. von Neumann , G. Birkho, AW Tucker, M. Frechet cu ocazia primei conferințe internaționale de topologie desfășurate la Moscova în 4 și 5 septembrie 1935.

În 1938 Leonid s-a căsătorit cu profesia fizician cu Natalia; din uniunea lor se vor naște un fiu și o fiică care vor deveni mai târziu economiști. În timpul războiului, Kantorovič a lucrat ca profesor la Școala Militară de Inginerie Navală și Tehnică a orașului și la sfârșitul războiului a condus Departamentul de Metode de Aproximare al facultății de matematică a Academiei Sovietice de Științe, unde s-a ocupat de probleme de calcul , programare computerizată și realizare de procesoare de calcul. În 1948, Consiliul de Miniștri al URSS a emis Directiva nr. 1990-774ss / op top secret care a ordonat organizarea în două săptămâni a unui grup de calcul format din până la 15 angajați ai facultății de matematică din filiala Academiei din Sankt Petersburg. . de Științe sovietice. Grupul va fi condus de profesorul Kantorovič și va lucra la programul atomic sovietic : numele de cod al proiectului era „Enorme” din limba rusă „огромный”.

În 1949 a primit Premiul de Stat al Uniunii Sovietice în domeniul științei și tehnologiei pentru lucrarea Analiza funcțională și matematica aplicată . În 1959, a apărut textul Cea mai bună utilizare a resurselor economice , cu șaisprezece ani întârziere, conținând o discuție amplă despre abordarea sa optimizantă a diferitelor probleme economice. Publicația a fost urmată de reeditarea Metodelor matematice de organizare și planificare a producției . Seminarul intitulat Calcul economic a avut o frecvență anuală.

Perioada în Novosibirsk, 1960-1971

În aprilie 1960, seminarul anual sa mutat în Siberia, la sediul secundar al Academiei de Științe din Novosibirsk . Întrucât Kantorovič nu era membru al Partidului Comunist, el nu avea dreptul la funcția de director al Centrului, prin urmare a preluat funcția de director adjunct. Kantorovič și-a convins elevii și colegii din Sankt Petersburg să-l urmeze și a reușit să creeze un grup activ și talentat, inclusiv Abel Aganbegyan. Seminarul s-a dezvoltat într-un centru de cercetare mai mare dedicat studierii problemelor optime de planificare. De asemenea, Centrul a început publicarea propriului periodic. Cu ocazia inaugurării Centrului, Kantorovič a prezentat unele dintre cărțile sale recent publicate și a criticat destul de dur aversiunea profesioniștilor economici sovietici la optimizare și tehnici matematice. Pe de altă parte, el nu a omis să contracareze încercările criticilor și detractorilor care au înțeles greșit mecanismul de formare a prețurilor în planificarea optimă cu o formă subtil deghizată a economiei de piață, adică capitalistă. Kantorovič a reiterat că aceste metode matematice au rămas totuși pe deplin conforme și în concordanță cu ortodoxia marxistă și teoria aferentă a muncii. Se poate presupune că Kantorovič a demonstrat într-un anumit sens că prețurile ascunse corespund valorii muncii marxiste. Kantorovič a încheiat spunând că economiștii și matematicienii sovietici credeau că aplicarea metodelor matematice este un instrument concret pentru implementarea principiilor economice ale marxismului-leninismului, principii considerate esențiale pentru realizarea largă și complexă a socialismului. În 1964, Kantorovič a fost ales Academician de Științe al Uniunii Sovietice , în anul următor a fost onorat cu Premiul Lenin pentru că a conceput metoda programării liniare și a elaborat diferite modele economice. Premiul a fost împărțit cu VS Nemčinov și VV Novožhilov. În 1967, Guvernul Uniunii Sovietice i-a acordat Ordinul Lenin .

Perioada la Moscova, 1971-1986

În 1971, Kantorovič a acceptat misiunea de a conduce departamentul de cercetare la Institutul Național de Control Economic, o instituție de elită pentru formarea viitoarei clase conducătoare. În 1975 a primit, împreună cu Tjalling Koopmans, premiul pentru economie în memoria lui Alfred Nobel . Kantorovič a fost singurul economist care a primit două premii diametral și ideologic opuse: Premiul Stalin și Premiul Nobel.

Kantorovici a murit de cancer la 7 aprilie 1986 și a fost înmormântat la cimitirul Novodeviche din Moscova.

Matematica

Originile programării liniare: problema cooperării din placaj

Anii 1930 au fost importanți pentru Leonid și datorită unui eveniment fortuit care l-a adus în contact cu economia. În 1938, ca profesor universitar, a lucrat ca consultant în laboratorul cooperativei de placaj Plywood Trust . Problema care i-a fost prezentată și care va intra în istoria economiei matematice sub numele de Plywood Trust Problem , a constituit un caz foarte special de căutare a punctelor extreme ale unei funcții liniare definite pe un politop convex. Din punct de vedere economic, Leonid s-a confruntat cu problema distribuirii a cinci tipuri de lemn brut la opt mașini de cojit, pentru a maximiza producția totală de placaj . Fiecare strung, pentru fiecare dintre cele cinci tipuri de lemn, a fost caracterizat de o capacitate cunoscută de exfoliere. Constrângerea la care a fost supusă cooperativa a fost constituită de faptul că cantitățile care trebuiau produse din fiecare tip de lemn trebuiau să fie într-o proporție fixă; în mod specific, a fost necesar să se producă atât de multe placaje de tip 1, cât cele de tip 2, tip 3, tip 4 și tip 5. O astfel de constrângere exprima filosofia tipică care stă la baza planificării economice sovietice. Leonid Kantorovič a fost recunoscut ca primul care a furnizat o formulare matematică precisă pentru o problemă de programare a producției . Cu toate acestea, căutarea soluției nu a putut recurge la metoda binecunoscută de comparare a valorilor pe care funcția le-a asumat la vârfurile poliedrului, deoarece aceasta ar fi cerut rezolvarea a milioane de ecuații. Kantorovič a conceput o metodă inovatoare pe care a botezat-o cu termenul „ rezolvarea multiplicatorilor ” și care s-a inspirat din teorema multiplicatorului Lagrange .

Metoda pe care a conceput-o a fost următoarea: mai întâi a exprimat funcția obiectivă ca o combinație liniară a gradienților ecuațiilor care au definit constrângerile (adică varietatea pentru ao pune în termeni de geometrie diferențială), apoi a atribuit în mod arbitrar o valoare inițială Multiplicatori Lagrange (aka multiplicatori rezolvatori), acest lucru a fost rafinat treptat prin aproximări numerice succesive luând în considerare panta maximă în variația multiplicatorilor care a generat o creștere a cantității de produse compensate. Mintea sa creativă nu s-a oprit aici, a mers mai departe și și-a putut imagina planuri de producție optime nu numai aplicabile unei fabrici, ci și valabile atât pentru o industrie, cât și pentru o întreagă națiune. Leonid Kantorovič a reușit să recunoască structura matematică din spatele unei clase mari de probleme de optimizare economică. Căutarea extremelor constrânse a constituit esența economiei planificate, iar elaborarea unui plan economic la nivel național a fost atribuită unei grandioase probleme de programare liniară. Kantorovič referindu-se la al treilea plan cincinal al Uniunii Sovietice (1938-1942) a declarat: „ Există două modalități de a crește eficiența productivă a unui departament, a unei companii sau a unui întreg sector industrial. O modalitate se bazează pe îmbunătățiri tehnologice ... cealaltă se bazează pe perfecționarea organizării planificării și producției ”. Prezentarea rezultatelor sale care a avut loc la 13 mai 1939 la Universitatea din Sankt Petersburg a fost întâmpinată cu entuziasm, publicarea cărții, deși într-un număr limitat, a avut loc într-un timp record (27 iulie 1939).

Cu toate acestea, răspândirea ideilor sale sa oprit timp de cel puțin douăzeci de ani. Teoriile sale s-au subliniat ca nefiind conforme cu teoria muncii marxiste a valorii și multiplicatorii rezolvatori au fost priviți mai degrabă ca spectrul de preț al unei economii de piață decât ca o măsură a deficitului de resurse. Kantorovič a fost acuzat de erezie prin introducerea de idei și concepte burgheze tipice teoriei productivității marginale. Marginalismul lui Kantorovič, deși nu este explicit în lucrările sale, consta în recurgerea la multiplicatorii Lagrange pentru a determina rata de înlocuire a unei resurse rare. Rata de înlocuire a resursei reduse corespunde multiplicatorului și coincide cu costul său de oportunitate (așa-numitul „preț ascuns”). Metoda sa matematică aflată în mâinile planificatorilor a enervat birocrația care gestiona afacerile economice ale URSS Înaltele ierarhii, utilizate pentru a stabili, ca să spunem așa, alocarea resurselor la comandă, ar fi asistat la o descentralizare a autorității lor din cauza implicarea directă a planificatorilor la elaborarea planului. Ciocnirea dintre matematician și birocrația sovietică a fost inevitabilă atunci când Kantorovič a scris o scrisoare către Gosplan în 1940 conținând recomandările sale despre modul în care programarea liniară ar putea fi aplicată planificării economice sovietice. Mulți ani Kantorovič a rămas complet izolat în cercetările sale privind planificarea optimă, în timp ce lucrările sale limitate la URSS prin bariere ideologice și lingvistice, din primul război mondial și apoi din războiul rece , au fost dezvăluite „blocului occidental” doar în jumătate din anii 1950 după dezghețul Khruščëv.

Lucrarea din 1939 Metode matematice de organizare și planificare a producției a fost publicată în limba engleză numai în 1960. Prima formulare a metodei de rezolvare a problemelor de programare liniară a fost incompletă, deoarece nu avea o definiție explicită a naturii spațiului dual. Un algoritm riguros și complet a fost furnizat de Kantorovič într-o lucrare finalizată la începutul anului 1940 cu MK Gavurin, dar care a fost publicată în 1949 Primenenie mathicheskikh methodov v voprosakh analiza gruzopotokov care în italiană ar suna ca Aplicarea metodelor matematice în domeniul analizei traficului de marfă .

Marxismul, plusvaloarea și prețurile ascunse

Conform teoriei valorii muncii a lui Marx , valoarea unei mărfuri este dată de cantitatea de muncă încorporată în ea, măsurabilă în funcție de durata timpului necesar pentru realizarea acesteia. Prin urmare, un bun este mai valoros cu cât este mai mare cantitatea de muncă umană încorporată în el. Potrivit lui Marx, clasa muncitoare este împiedicată să acceseze mijloacele de producție și, pentru a nu muri de foame, proletariatul este obligat să-și vândă opera în condițiile stabilite de cealaltă parte. Omologul capitalist s-ar regăsi în condiția istorică de a putea exploata clasa subordonată producând și vândând produse la un preț în care este încorporată forța de muncă pe care capitaliștii nu ar fi remunerat-o ( plusvaloare ). Economia comunistă se caracterizează prin interzicerea proprietății private a mijloacelor de producție, care sunt în schimb deținute de colectiv, stat sau cooperativă. Mai mult, alocarea resurselor nu este lăsată pe piața pe care concurența între firme individuale ar determina prețurile resurselor, ci se bazează pe planificarea cantităților care urmează să fie produse. Prețul bunurilor și / sau serviciilor furnizate este stabilit de autoritatea centrală a statului. Autoritatea centrală care acționează într-un regim de monopol se asigură că prețurile nu mai sunt parametri liberi ai sistemului economic. Problema maximizării cantităților produse sau a minimizării utilizării resurselor a fost întâmpinată de Kantorovič prin atribuirea unor valori numerice acestor factori, indiferent dacă sunt reprezentați de capital, plante sau ore de lucru. Valoarea numerică atribuită resurselor limitate sunt multiplicatorii Lagrange care reprezintă raportul dintre variația funcției obiective în punctul optim și variația resursei limitate exprimată printr-o ecuație de constrângere. Extinderea constrângerii cu o unitate ar fi fezabilă din punct de vedere economic dacă funcția obiectivă crește mai mult decât costul suplimentar care trebuie suportat. Prin urmare, exploatarea economică a resursei necesită un preț unitar al resursei mai mic decât multiplicatorul Lagrange. Motivul pentru care multiplicatorul Lagrange este denumit și „ prețul umbră ” al resursei constă tocmai în faptul că această magnitudine reprezintă prețul maxim pe care cineva este dispus să îl plătească pentru a obține o unitate suplimentară a resursei. Plusvaloarea conceptualizată de Marx s-ar ascunde în diferența dintre costul unitar al resursei de timp uman și prețul său ascuns. Considerând munca ca orice alt bun care primește un preț, o autoritate centrală care fixează prețurile pe baza costului lor marginal, adică care a egalizat prețul de vânzare cu costul său marginal, ar oferi o soluție la problema transformării valorile în prețuri. de producție , o problemă încă controversată astăzi și cunoscută sub numele de „dezbaterea privind calculul socialist”.

Problema transportului optim

În 1939, Kantorovič, printre diferitele probleme ale programării liniare, a văzut și a izolat problema transportului optim. Împreună cu discipolul său MK Gavurin a întreprins descrierea unei metode matematice speciale pentru rezolvarea „Problemei de transport Monge”: metoda potențialului . Publicarea lucrărilor lor, deși adresată publicului specializat alcătuit din ingineri și planificatori de transport, a fost respinsă de diferite reviste din sector, astfel încât nu a fost până în 1942 să se vadă dezvăluirea acesteia. Articolul foarte scurt de patru pagini Despre translocarea maselor a fost publicat de Doklady, dar nu a trecut neobservat. Lucrarea a atras atenția mai multor economiști și matematicieni americani care au început să cerceteze publicațiile LV Kantorovič: printre ei se afla Tjalling C. Koopmans care lucrase în secret la problema transportului în timpul războiului. La sfârșitul anilor 1950, principalele lucrări ale lui Kantorovič au devenit cunoscute blocului occidental, în special tocmai din inițiativa TC Koopmans, metodele matematice de organizare și planificare a producției au fost publicate în 1960 în revista Management Science precedată în 1958 de Despre translocarea maselor .

Kantorovič la sfârșitul scurtului articol subliniază câteva probleme practice cărora le poate fi aplicată teorema dedusă. Prima problemă de tip discret se referă la localizarea unui anumit număr finit de stații. Date m instalații de producție $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ , ..., $A_{m}$ ${\ displaystyle A_ {m}}$ ${\ displaystyle A_ {m}}$ conectat printr-o rețea de transport feroviar la n piețe $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ , ..., $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ destinate consumării bunurilor produse de unități; indicat cu $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ , ..., $a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ cantitatea de mărfuri disponibilă în fiecare unitate și cu $b_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ , ..., $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ cantitatea de bunuri cerută de fiecare piață; a exprimat unitățile de măsură respective în termeni de vagoane produse și consumate pe zi; a introdus costul $r(i,k):=r_{i,k}$ ${\ displaystyle r (i, k): = r_ {i, k}}$ ${\ displaystyle r (i, k): = r_ {i, k}}$ a pretins că mută un vagon de la prima plantă pe piața a k-a; dorim să deservim piețele astfel încât acestea să fie furnizate cu cantitățile solicitate la cel mai mic cost total de transport și astfel încât cantitatea totală de bunuri produse zilnic să fie egală cu consumul zilnic total

constrângerea bugetară între cerere și ofertă : $\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i}}$ .

Formularea problemei de către Kantorovič în „ Despre translocarea maselor ” nu s-a limitat la probleme discrete, ci a îmbrățișat atât probleme continue, cât și cele caracterizate prin dimensiunea infinită a spațiului funcțional în care să se caute soluția. A doua problemă, nivelarea unei anumite suprafețe de teren, reprezintă de fapt o problemă de tip continuu în care vrem să mutăm masele de teren la cel mai mic cost posibil, astfel încât din relieful suprafeței terenului de pornire, descris de o funcție $h=f(x,y)$ ${\ displaystyle h = f (x, y)}$ ${\ displaystyle h = f (x, y)}$ , ajungem la profilul suprafeței, descris de o a doua funcție $h=g(x,y)$ ${\ displaystyle h = g (x, y)}$ ${\ displaystyle h = g (x, y)}$ .

Kantorovič introduce un spațiu metric compact $(X,r)$ ${\ displaystyle (X, r)}$ ${\ displaystyle (X, r)}$ metric cu o metrică generică $r(x,y)$ ${\ displaystyle r (x, y)}$ ${\ displaystyle r (x, y)}$ adecvat pentru a reprezenta costul transferului unei mase de greutate unitară din poziția coordonată $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la poziția coordonată $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Indicat cu $B(X)$ ${\ displaystyle B (X)}$ ${\ displaystyle B (X)}$ Σ-algebra lui Borel a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o funcție de set definită pe seturile Borel, adică pe elementele de $B(X)$ ${\ displaystyle B (X)}$ ${\ displaystyle B (X)}$ ,

$f\colon B(X)\to [0,+\infty )$ ${\ displaystyle f \ colon B (X) \ to [0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle f \ colon B (X) \ to [0, + \ infty)}$

conform lui Kantorovič, se pretează să caracterizeze distribuția inițială a maselor care trebuie mutate. Kantorovič mai cere acest lucru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este aditiv, adică, este posibil să se împartă masele în jargon divizare: de fapt , în cazul în care un Borelian $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este dat de $A=A_{1}+A_{2}+...$ ${\ displaystyle A = A_ {1} + A_ {2} + ...}$ ${\ displaystyle A = A_ {1} + A_ {2} + ...}$ cu $A_{i}\cap A_{k}=\varnothing$ ${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {k} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {k} = \ varnothing}$ pentru $i\neq k$ ${\ displaystyle i \ neq k}$ ${\ displaystyle i \ neq k}$ atunci este posibil să „distribuim” masele în felul următor $f(A)=f(A_{1})+f(A_{2})+...$ ${\ displaystyle f (A) = f (A_ {1}) + f (A_ {2}) + ...}$ ${\ displaystyle f (A) = f (A_ {1}) + f (A_ {2}) + ...}$ . O a doua funcție a întregului

$g\colon B(X)\to [0,+\infty )$ ${\ displaystyle g \ colon B (X) \ to [0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle g \ colon B (X) \ to [0, + \ infty)}$

cu aceleași proprietăți ca și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se împrumută să caracterizeze distribuția finală a maselor.

Kantorovič exprimă ecuația de echilibru a maselor înainte și după deplasare ca $f(X)=g(X)$ ${\ displaystyle f (X) = g (X)}$ ${\ displaystyle f (X) = g (X)}$ , ceea ce este echivalent cu solicitarea $\int _{X}\ \mathrm {d} f(x)=\int _{X}\ \mathrm {d} g(x)$ ${\ displaystyle \ int _ {X} \ \ mathrm {d} f (x) = \ int _ {X} \ \ mathrm {d} g (x)}$ ${\ displaystyle \ int _ {X} \ \ mathrm {d} f (x) = \ int _ {X} \ \ mathrm {d} g (x)}$ .

Kantorovič introduce o familie de funcții aditive ca necunoscută a problemei ${F}$ ${\ displaystyle {F}}$ ${\ displaystyle {F}}$ astfel încât $F\colon B(X)\times B(X)\to [0,+\infty )$ ${\ displaystyle F \ colon B (X) \ times B (X) \ to [0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle F \ colon B (X) \ times B (X) \ to [0, + \ infty)}$ și pentru care este valabil $F(A_{1},X)=f(A_{1})$ ${\ displaystyle F (A_ {1}, X) = f (A_ {1})}$ ${\ displaystyle F (A_ {1}, X) = f (A_ {1})}$ Și $F(X,A_{2})=g(A_{2})$ ${\ displaystyle F (X, A_ {2}) = g (A_ {2})}$ ${\ displaystyle F (X, A_ {2}) = g (A_ {2})}$ . Rolul hărții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este de a reprezenta transferul maselor , familia de funcții ${F}$ ${\ displaystyle {F}}$ ${\ displaystyle {F}}$ în schimb constituie totalitatea transferurilor. Deoarece suntem interesați de minimizarea costurilor de transport, Kantorovič definește munca cheltuită asociată cu un plan de transport generic $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ca următoarele funcționale

W(F)=\int _{X}\int _{X}\ r(x,y)F(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)

{\ displaystyle W (F) = \ int _ {X} \ int _ {X} \ r (x, y) F (\ mathrm {d} f, \ mathrm {d} g)}

{\ displaystyle W (F) = \ int _ {X} \ int _ {X} \ r (x, y) F (\ mathrm {d} f, \ mathrm {d} g)}

Problema transportului conform lui Kantorovič constă în cercetare $F^{*}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ astfel încât $W(F^{*})=min_{F}W(F)$ ${\ displaystyle W (F ^ {*}) = min_ {F} W (F)}$ ${\ displaystyle W (F ^ {*}) = min_ {F} W (F)}$ . Din punct de vedere matematic, problema constă în a afla dacă setul de funcții de transport este gol sau nu și dacă admite o soluție, întrebarea este dacă soluția este unică sau nu. Funcții $F^{*}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ care ating minimul se numesc transporturi minime ; Kantorovič caracterizează apoi un transport $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ca potențial dacă există o funcție $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ ${\ displaystyle U (x)}$ astfel încât:

)

|U(x)-U(y)|\leq r(x,y)

{\ displaystyle | U (x) -U (y) | \ leq r (x, y)}

{\ displaystyle | U (x) -U (y) | \ leq r (x, y)}

ii)

U(y)-U(x)=r(x,y)

{\ displaystyle U (y) -U (x) = r (x, y)}

{\ displaystyle U (y) -U (x) = r (x, y)}

pentru

x\to y

{\ displaystyle x \ to y}

{\ displaystyle x \ to y}

În cele din urmă, el demonstrează teorema conform căreia transportul F este minim dacă și numai dacă este potențial .

În ceea ce privește existența sau nu a soluțiilor, Kantorovič din articol se exprimă afirmând că pentru a decide dacă un transport este minim, nu trebuie să facem altceva decât să „construim” un potențial transport și dacă acest exercițiu s-ar dovedi imposibil, atunci ar fi sigur că transportul în obiect nu poate fi minim. Teorema oferă, de asemenea, o metodă „practică” cu privire la modul de reducere a costurilor de transport și, în cele din urmă, permite rezolvării să se deplaseze către un transport minim. Chiar și astăzi în domeniul programării matematice este o practică obișnuită să rezolve problema duală, mai ales atunci când rezolvarea ei este mai ușoară și mai rapidă decât problema primară. Egalitatea valorilor funcțiilor obiective în cele două probleme primare și duale se menține la nivelul optim, astfel încât este posibilă evaluarea calității unui punct admisibil în problema primară fără a fi nevoie să o rezolvăm exact. De fapt, pentru a examina bunătatea unui punct admisibil luat în considerare ${F.}^{'}$ ${\ displaystyle F '}$ ${\ displaystyle F '}$ compară doar valoarea $W(F')$ ${\ displaystyle W (F ')}$ ${\ displaystyle W (F ')}$ cu $W(F^{*})$ ${\ displaystyle W (F ^ {*})}$ ${\ displaystyle W (F ^ {*})}$ amintiți-vă că aceasta din urmă este egală cu valoarea optimă a funcției obiective a dualului. Într-o problemă de cost minim ar trebui să se dovedească că $0<W(F')-W(F^{*})\leq \varepsilon$ ${\ displaystyle 0 <W (F ') - W (F ^ {*}) \ leq \ varepsilon}$ ${\ displaystyle 0 <W (F ') - W (F ^ {*}) \ leq \ varepsilon}$ atunci s-ar putea mulțumi să aproximăm $F^{*}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ ${\ displaystyle F ^ {*}}$ cu ${F.}^{'}$ ${\ displaystyle F '}$ ${\ displaystyle F '}$ încrezător că costul suplimentar care trebuie suportat pentru alegerea transportului sub-optim ${F.}^{'}$ ${\ displaystyle F '}$ ${\ displaystyle F '}$ cu siguranță nu este mai mare decât $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ .

Problema primară a transportului: caz discret

Funcția obiectivă în $m\cdot \ n$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ necunoscute

min\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i,j}\cdot \ F_{i,j}

{\ displaystyle min \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {i, j} \ cdot \ F_ {i, j}}

{\ displaystyle min \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {i, j} \ cdot \ F_ {i, j}}

sub rezerva următoarelor constrângeri:

\left\{{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\leq a_{i}\forall \ i=1,...,m\\\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}\geq b_{j}\forall \ j=1,...,n\\F_{i,j}\geq 0\forall \ i,j\\\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sum _ {j = 1} ^ {n} F_ {i, j} \ leq a_ {i} \ forall \ i = 1, ... , m \\\ sum _ {i = 1} ^ {m} F_ {i, j} \ geq b_ {j} \ forall \ j = 1, ..., n \\ F_ {i, j} \ geq 0 \ forall \ i, j \\\ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sum _ {j = 1} ^ {n} F_ {i, j} \ leq a_ {i} \ forall \ i = 1, ... , m \\\ sum _ {i = 1} ^ {m} F_ {i, j} \ geq b_ {j} \ forall \ j = 1, ..., n \\ F_ {i, j} \ geq 0 \ forall \ i, j \\\ end {array}} \ right.}

Variabilele problemei sunt indicate cu $F_{i,j}$ ${\ displaystyle F_ {i, j}}$ ${\ displaystyle F_ {i, j}}$ și fiecare reprezintă cantitatea de bunuri care trebuie transportate de la nodul sursă generic i la nodul de destinație generic j. Numărul necunoscutelor este egal cu $m\cdot \ n$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ am notat $m\cdot \ n$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ ${\ displaystyle m \ cdot \ n}$ toate arcurile posibile pentru a uni nodurile de origine cu nodurile de destinație examinate sunt a priori.

Având în vedere că cantitatea de bunuri care trebuie mutată de la un nod la altul nu poate fi decât pozitivă $F_{i,j}>0$ ${\ displaystyle F_ {i, j}> 0}$ ${\ displaystyle F_ {i, j}> 0}$ și asta rezultă $F_{i,j}=0$ ${\ displaystyle F_ {i, j} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {i, j} = 0}$ când arcul $i-j$ ${\displaystyle ij}$ $i-j$ non viene attivato ossia non viene trasportata alcuna massa tra il nodo di origine $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ ed il nodo di destinazione $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ , la sommatoria estesa a tutti gli $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ nodi di destinazione $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}$ $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}$ $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}$ rappresenta la somma di tutti gli archi uscenti dal nodo origine $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ e che, trasportando una massa $F_{i,j}$ $F_{i,j}$ $F_{i,j}$ , hanno come destinazione gli $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ nodi. Ognuna delle $i=1,...,m$ ${\displaystyle i=1,...,m}$ $i=1,...,m$ disequazioni $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\leq a_{i}$ $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\leq a_{i}$ $\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\leq a_{i}$ impone che la quantità di massa (beni) inviata dallo stabilimento i-esimo non ecceda la quantità ivi disponibile $a_{i}$ $a_{i}$ $a_{i}$ .

La sommatoria $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}$ $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}$ $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}$ rappresenta la somma di tutti gli archi che hanno origine negli $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ nodi, che movimentano massa $F_{i,j}$ $F_{i,j}$ $F_{i,j}$ e che sono entranti nel nodo $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ .

Ognuna delle $j=1,...,n$ ${\displaystyle j=1,...,n}$ $j=1,...,n$ disequazioni $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}\geq b_{j}$ $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}\geq b_{j}$ $\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}\geq b_{j}$ impone che la quantità di beni entranti nel mercato j-esimo sia non inferiore alla domanda di beni dello specifico mercato $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ . Il coefficiente $r_{i,j}$ $r_{i,j}$ $r_{i,j}$ rappresenta il costo di trasporto per muovere un'unità di bene o un'unità di massa dal nodo origine $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ al nodo destinazione $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ . In merito al bilancio delle masse , si osservi che la regione ammissibile per come è stata definita ammette implicitamente che si possa avere un eccesso di offerta rispetto alla domanda, per rendersene conto è sufficiente sommare tutti gli $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ vincoli lato offerta per ottenere la diseguaglianza seguente

\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\geq \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}

\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\geq \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}

\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\geq \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}

il cui confronto con la somma di tutti gli $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ vincoli lato domanda

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}

porta a concludere che

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{i=1}^{m}a_{i,j}

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{i=1}^{m}a_{i,j}

\sum _{j=1}^{n}b_{i,j}\leq \sum _{i=1}^{m}a_{i,j}

Problema Duale del Trasporto: caso discreto

Nel seguito si introduce la formulazione duale del problema del trasporto ottimale facendo ricorso all'approccio lagrangiano che consiste nello scrivere la funzione lagrangiana ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ del problema primario di ottimizzazione e nel connetterla al teorema minimax di John von Neumann (1928). Tale teorema evidenzia che il valore all'ottimo della funzione lagrangiana del problema primario ( $minmax{\mathcal {L}}$ $minmax{\mathcal {L}}$ $minmax{\mathcal {L}}$ ) coincide con il valore all'ottimo della funzione lagrangiana del problema duale ( $maxmin{\mathcal {L}}$ $maxmin{\mathcal {L}}$ $maxmin{\mathcal {L}}$ ), ossia vale

minmax{\mathcal {L}}

minmax{\mathcal {L}}

minmax{\mathcal {L}}

≡

maxmin{\mathcal {L}}

maxmin{\mathcal {L}}

maxmin{\mathcal {L}}

Introdotti i moltiplicatori di Lagrange rappresentati da due vettori

{\mathbf {U} }=(U_{1},\ldots ,U_{m})

{\mathbf {U} }=(U_{1},\ldots ,U_{m})

{\mathbf {U} }=(U_{1},\ldots ,U_{m})

{\mathbf {V} }=(V_{1},\ldots ,V_{n})

{\mathbf {V} }=(V_{1},\ldots ,V_{n})

{\mathbf {V} }=(V_{1},\ldots ,V_{n})

la funzione Lagrangiana del problema del trasporto ottimale è la seguente

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i,j}\cdot \ F_{i,j}+\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot (\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}-a_{i})-\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot (\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}-b_{j})

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i,j}\cdot \ F_{i,j}+\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot (\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}-a_{i})-\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot (\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}-b_{j})

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i,j}\cdot \ F_{i,j}+\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot (\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}-a_{i})-\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot (\sum _{i=1}^{m}F_{i,j}-b_{j})

dopo semplici passaggi algebrici si ottiene

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}

{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}

Il problema duale associato alla Lagrangiana è per definizione

\max _{U,V}\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })

\max _{U,V}\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })

\max _{U,V}\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })

Al fine di ottenere una descrizione esplicita del problema duale si minimizza $\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })$ $\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })$ $\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })$ rispetto ad $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ tenendo fissi ${\mathbf {U} }$ ${\mathbf {U} }$ ${\mathbf {U} }$ e ${\mathbf {V} }$ ${\mathbf {V} }$ ${\mathbf {V} }$ e si ottiene così

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}+\min _{F\geq 0}[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}+\min _{F\geq 0}[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}+\min _{F\geq 0}[\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}F_{i,j}\cdot \ (r_{i,j}+U_{i}-V_{j})]

pertanto risulta

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\left\{{\begin{matrix}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}&{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\\-\infty &{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}<0{\mbox{ per ogni}}\ i,j\\\end{matrix}}\right.

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\left\{{\begin{matrix}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}&{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\\-\infty &{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}<0{\mbox{ per ogni}}\ i,j\\\end{matrix}}\right.

\min _{F\geq 0}{\mathcal {L}}({\mathbf {F} },{\mathbf {U} },{\mathbf {V} })=\left\{{\begin{matrix}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}&{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\\-\infty &{\mbox{ se }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}<0{\mbox{ per ogni}}\ i,j\\\end{matrix}}\right.

in conclusione si ottiene il seguente problema di massimizzazione vincolato

\max _{U,V}\{\sum _{i=1}^{m}-U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}{\mbox{ tale che }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\}

\max _{U,V}\{\sum _{i=1}^{m}-U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}{\mbox{ tale che }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\}

\max _{U,V}\{\sum _{i=1}^{m}-U_{i}\cdot a_{i}+\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}{\mbox{ tale che }}r_{i,j}+U_{i}-V_{j}\geq 0{\mbox{ per ogni }}\ i,j\}

Il problema duale del trasporto ottimale è il seguente problema di programmazione lineare avente funzione obiettivo in $n+m$ ${\displaystyle n+m}$ $n+m$ incognite

max\{\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}\}

max\{\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}\}

max\{\sum _{j=1}^{n}V_{j}\cdot b_{j}-\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot a_{i}\}

soggetta ai seguenti vincoli:

\left\{{\begin{array}{l}V_{j}-U_{i}\leq r_{i,j}{\mbox{ per ogni }}i,j\\\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}V_{j}-U_{i}\leq r_{i,j}{\mbox{ per ogni }}i,j\\\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}V_{j}-U_{i}\leq r_{i,j}{\mbox{ per ogni }}i,j\\\end{array}}\right.

Le variabili $V_{j}$ $V_{j}$ $V_{j}$ e $U_{i}$ $U_{i}$ $U_{{i}}$ sono chiamate da Kantorovič potenziali dei vari punti ^[4] . La differenza dei potenziali esprime quanto “valga” in più il posizionamento di un punto rispetto agli altri: il termine potenziale caratterizza i punti proprio in riferimento alla loro reciproca posizione. Osservando la funzione lagrangiana ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ si può intuire che ogniqualvolta si verifica uno spostamento ottimale da $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ a $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ , ossia la tratta $i-j$ ${\displaystyle ij}$ $i-j$ nel primale è minimale, $F_{i,j}\neq 0$ $F_{i,j}\neq 0$ $F_{i,j}\neq 0$ , nel duale risulta necessariamente $V_{j}-U_{i}=r_{i,j}$ $V_{j}-U_{i}=r_{i,j}$ $V_{j}-U_{i}=r_{i,j}$ .

Aree tematiche

Kantorovič scrisse più di 300 lavori che come da lui stesso suggerito possono essere ricondotti a nove aree tematiche:

teoria descrittiva delle funzioni e teoria degli insiemi
teoria dell'approssimazione delle funzioni
metodi di approssimazione
analisi funzionale
analisi funzionale e matematica applicata
programmazione lineare
hardware e software
pianificazione ottimale e prezzi ottimali
problemi economici di un'economia pianificata

Opere tradotte in italiano

Note

^ ^a ^b ( EN ) L'autobiografia di Kantorovich, dal sito nobelprize.org , su nobelprize.org . URL consultato il 27 novembre 2007 .
^ The Soviet Union: empire, nation, and system , By Aron Kat︠s︡enelinboĭgen, page 406, Transaction Publishers, 1990
^ Saul I. Gass e J. Rosenhead, Leonid Vital'evich Kantorovich , in Profiles in Operations Research , International Series in Operations Research & Management Science, vol. 147, 2011, p. 157, DOI : 10.1007/978-1-4419-6281-2_10 , ISBN 978-1-4419-6280-5 .
^ LV Kantorovich, The Best Use of Economic Resources , Glasgow, Pergamon Press, 1965, pp. 281-283.

Bibliografia

Opere di Kantorovič

Mathematical methods of Organizing and Planning Production (1939) , in Management Science , vol. 6, n. 4, luglio 1960, pp. 366-422.
On the Translocation of Masses (1942) , in Management Science , vol. 5, n. 1, ottobre 1958, pp. 1-4.
L'ulteriore sviluppo dei metodi matematici e loro prospettive di applicazione nella pianificazione e nell'economia, Roma, STEDO.
Leonid Kantorovič e Gleb P. Akilov, Analisi funzionale , Roma, Editori riuniti, 1980.

Altri autori

George B. Dantzig, Linear Programming and Extension , RAND Inc., 1963.
Leon Smolinski, LV Kantorovich Essays in Optimal Planning , International Arts and Science Press., 1976.
C. van de Panne e F. Rahnama, The First Algorithm for Linear Programming: An Analysis of Kantorovich's Method , in Economics of Planning , vol. 19, n. 2, 1985.
R. Gardner, LV Kantorovich: The Price Implications of Optimal Planning , in Journal of Economic Literature , vol. 28, giugno 1990, pp. 638-648.
Aron J. Katsenelingboigen, The Soviet Union: 1917-1991 , Transaction Publishers, 2009.

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Leonid Vital'evič Kantorovič

Collegamenti esterni

Leonid Vital'evič Kantorovič , su sapere.it , De Agostini .
( EN ) Leonid Vital'evič Kantorovič , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Leonid Vital'evič Kantorovič , su nobelprize.org , Nobel Media AB.
( EN ) Leonid Vital'evič Kantorovič , su MacTutor , University of St Andrews, Scotland.
( EN ) Leonid Vital'evič Kantorovič , su Mathematics Genealogy Project , North Dakota State University.
( EN ) Opere di Leonid Vital'evič Kantorovič , su Open Library , Internet Archive .
( RU ) Biografia dall'Istituto Sobolev di matematica , su math.nsc.ru . URL consultato il 27 novembre 2007 .
( EN ) Kantorovich, Linear Programming and Marx ( PDF ), su cia.gov . URL consultato il 5 aprile 2017 .

Controllo di autorità	VIAF ( EN ) 66608676 · ISNI ( EN ) 0000 0001 1068 4328 · LCCN ( EN ) n50046231 · GND ( DE ) 118981870 · BNF ( FR ) cb13191973j (data) · NLA ( EN ) 36558140 · NDL ( EN , JA ) 00523099 · WorldCat Identities ( EN ) lccn-n50046231

Portale Biografie	Portale Economia
Portale Matematica	Portale Premi Nobel

[nobel-1] ( EN ) L'autobiografia di Kantorovich, dal sito nobelprize.org , su nobelprize.org . URL consultato il 27 novembre 2007 .

[2] The Soviet Union: empire, nation, and system , By Aron Kat︠s︡enelinboĭgen, page 406, Transaction Publishers, 1990

[3] Saul I. Gass e J. Rosenhead, Leonid Vital'evich Kantorovich , in Profiles in Operations Research , International Series in Operations Research & Management Science, vol. 147, 2011, p. 157, DOI : 10.1007/978-1-4419-6281-2_10 , ISBN 978-1-4419-6280-5 .

[4] LV Kantorovich, The Best Use of Economic Resources , Glasgow, Pergamon Press, 1965, pp. 281-283.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Vincitori del Premio Nobel per l'economia
1969 - 1975	Ragnar Frisch , Jan Tinbergen (1969) • Paul Samuelson (1970) • Simon Kuznets (1971) • John Hicks , Kenneth Arrow (1972) • Wassily Leontief (1973) • Friedrich von Hayek , Gunnar Myrdal (1974) • Leonid Vital'evič Kantorovič , Tjalling Koopmans (1975)
1976 - 2000	Milton Friedman (1976) • James Meade , Bertil Ohlin (1977) • Herbert Simon (1978) • Arthur Lewis , Theodore Schultz (1979) • Lawrence Klein (1980) • James Tobin (1981) • George Stigler (1982) • Gérard Debreu (1983) • Richard Stone (1984) • Franco Modigliani (1985) • James M. Buchanan (1986) • Robert Solow (1987) • Maurice Allais (1988) • Trygve Haavelmo (1989) • Harry Markowitz , Merton Miller , William Sharpe (1990) • Ronald Coase (1991) • Gary Becker (1992) • Robert Fogel , Douglass North (1993) • John Harsanyi , John Nash , Reinhard Selten (1994) • Robert Lucas (1995) • James Mirrlees , William Vickrey (1996) • Robert Merton , Myron Scholes (1997) • Amartya Sen (1998) • Robert Mundell (1999) • James Heckman , Daniel McFadden (2000)
2001 - oggi	George Akerlof , Michael Spence , Joseph Stiglitz (2001) • Daniel Kahneman , Vernon Smith (2002) • Robert Engle , Clive Granger (2003) • Finn Kydland , Edward Prescott (2004) • Robert Aumann , Thomas Schelling (2005) • Edmund Phelps (2006) • Leonid Hurwicz , Eric Maskin , Roger Myerson (2007) • Paul Krugman (2008) • Elinor Ostrom , Oliver Williamson (2009) • Peter Diamond , Dale Mortensen , Christopher Pissarides (2010) • Christopher Sims , Thomas J. Sargent (2011) • Alvin Eliot Roth , Lloyd Stowell Shapley (2012) • Eugene Fama , Lars Peter Hansen , Robert Shiller (2013) • Jean Tirole (2014) • Angus Deaton (2015) • Oliver Hart , Bengt Holmström (2016) • Richard Thaler (2017) • William Nordhaus , Paul Romer (2018) • Abhijit Banerjee , Esther Duflo , Michael Kremer (2019) • Paul Milgrom , Robert B. Wilson (2020)