Matricea hamiltoniană

În matematică , o matrice hamiltoniană $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este orice matrice reală $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ astfel încât $J LA$ ${\ displaystyle JA}$ ${\ displaystyle JA}$ este simetric , unde $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este matricea antisimetrică

J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}},}

Și $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este matricea identitară a dimensiunilor $n\times n.$ ${\ displaystyle n \ times n.}$ ${\ displaystyle n \ times n.}$ Cu alte cuvinte, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este hamiltonian dacă și numai dacă

JA-A^{T}J^{T}=JA+A^{T}J=0.

{\ displaystyle JA-A ^ {T} J ^ {T} = JA + A ^ {T} J = 0.}

{\ displaystyle JA-A ^ {T} J ^ {T} = JA + A ^ {T} J = 0.}

În spațiul vectorial al tuturor matricilor $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ , Matricile hamiltoniene Hamilton formează un subspatiu vectorial al dimensiunii $2n^{2}+n$ ${\ displaystyle 2n ^ {2} + n}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2} + n}$ .

Proprietate

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o matrice bloc de dimensiuni $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ dat de

M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

in care

LA

{\ displaystyle A}

LA

,

B.

{\ displaystyle B}

B.

,

C.

{\ displaystyle C}

C.

, Și

D.

{\ displaystyle D}

D.

sunt matrici

n\times n

{\ displaystyle n \ times n}

n \ ori n

. Prin urmare

M.

{\ displaystyle M}

M.

este o matrice hamiltoniană dacă matricile

B.

{\ displaystyle B}

B.

Și

C.

{\ displaystyle C}

C.

sunt simetrice și

A+D^{T}=0

{\ displaystyle A + D ^ {T} = 0}

{\ displaystyle A + D ^ {T} = 0}

.

Matricea transpusă a unei matrici hamiltoniene este hamiltoniană.
Urma unei matrice hamiltoniene este nulă.
Comutatorul a două matrice hamiltoniene este hamiltonian .
Valorile proprii ale unei matrice hamiltoniene sunt simetrice în raport cu axa imaginară.
Spațiul tuturor matricilor hamiltoniene este o algebră Lie ${\mathfrak {Sp}}(2n)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {Sp}} (2n)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {Sp}} (2n)}$ ^[1] .

Operator hamiltonian

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial prevăzut cu o formă simplectică $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . O hartă liniară $A\colon V\mapsto V$ ${\ displaystyle A \ colon V \ mapsto V}$ ${\ displaystyle A \ colon V \ mapsto V}$ se numește operator hamiltonian în ceea ce privește $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ dacă forma $(x,y)\mapsto \omega (A(x),y)$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ omega (A (x), y)}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ omega (A (x), y)}$ este simetric. În mod echivalent, trebuie să satisfacă

\omega (A(x),y)=-\omega (x,A(y)).

{\ displaystyle \ omega (A (x), y) = - \ omega (x, A (y)).}

{\ displaystyle \ omega (A (x), y) = - \ omega (x, A (y)).}

Alegeți o bază $e_{1},\ldots ,e_{2n}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {2n}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {2n}}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , astfel încât $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definibil ca $\sum _{i=1}^{n}e_{i}\wedge e_{n+i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} \ wedge e_ {n + i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} \ wedge e_ {n + i}}$ . Un operator liniar este hamiltonian în ceea ce privește $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ dacă și numai dacă matricea sa în această bază este hamiltoniană ^[2] .

Din această definiție, proprietățile urmează:

o rădăcină a unei matrice hamiltoniene este anti-hamiltoniană ;
exponențialul unei matrice hamiltoniene este simplectic;
logaritmul unei matrice simplectice este hamiltonian.

Notă

^ Alex J. Dragt, Grupul simplectic și mecanica clasică , în Annals of the New York Academy of Sciences , vol. 1045, nr. 1, 2005, pp. 291-307, DOI : 10.1196 / annals.1350.025 . .
^ William C. Waterhouse , Structura matricilor alternativ-hamiltoniene , în Algebra liniară și aplicația sa , vol. 396, 2005, pp. 385–390, DOI : 10.1016 / j.laa.2004.10.003 . .

Bibliografie

( EN ) KR Meyer și GR Hall, Introducere în sistemele dinamice hamiltoniene și problema corpului N , Springer , 1991, pp. 34–35, ISBN 0-387-97637-X .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Alex J. Dragt, Grupul simplectic și mecanica clasică , în Annals of the New York Academy of Sciences , vol. 1045, nr. 1, 2005, pp. 291-307, DOI : 10.1196 / annals.1350.025 . .

[2] William C. Waterhouse , Structura matricilor alternativ-hamiltoniene , în Algebra liniară și aplicația sa , vol. 396, 2005, pp. 385–390, DOI : 10.1016 / j.laa.2004.10.003 . .

[1]

[2]