Chiralitate (fizică)

Chiralitatea este o proprietate care distinge sistemele fizice în dreptaci și stângaci : un sistem fizic posedă o chiralitate dacă sub o transformare a parității se transformă în sistem cu chiralitatea opusă. Forțele care acționează asupra unui sistem fizic pot modifica sau nu chiralitatea; interacțiunea care transformă un sistem cu chiralitate definită într-un alt cu aceeași chiralitate se numește transformare chirală .

Se poate arăta că helicitatea unei particule de spin 1/2 tinde spre chiralitatea sa în limita masei zero, adică în limita în care energia particulei este mult mai mare decât masa sa. Din moment ce experimentele Super-Kamiokande și OPERA (împreună cu altele) au arătat că neutrinii au, de asemenea, o masă diferită de zero ^[1] ^[2] , nu se cunosc particule de spin 1/2 de masă și, prin urmare, cu o chiralitate absolut definită. Pe de altă parte, în modelul standard fermionii ar avea toți masa zero datorită invarianței sub paritate, altfel numită simetrie chirală , necesară pentru coerența teoriei. Achiziționarea masei ar avea loc prin ruperea spontană a simetriei datorită câmpului Higgs , care în același timp păstrează simetria gabaritului modelului.

Chiralitatea este strâns legată de paritate: de fapt, într-o teorie simetrică sub paritate, componentele chirale pozitive și negative ale câmpurilor trebuie tratate în același mod. În 1957, într-un experiment realizat de Chien-Shiung Wu s-a arătat că în decăderile slabe paritatea este încălcată, deschizând calea pentru teoria VA a interacțiunilor slabe: în timp ce forța electromagnetică, forța puternică și forța gravitațională se cuplează în mod egal cu particulele cu chiralitate negativă și pozitivă (adică la particule din mâna stângă și dreaptă), interacțiunea slabă se cuplează exclusiv cu particulele din mâna stângă.

Definiție

Chiralitatea are rădăcini adânci în teoria reprezentării grupului Lorentz . Deoarece grupul Lorentz este izomorf pentru produsul direct al două grupuri SU (2) , cele mai simple reprezentări după scalar (1,1) sunt obiecte care se transformă ca vector bidimensional pentru unul dintre cele două grupuri și ca o singură scară pentru cealaltă, adică (2,1) și (1,2). Aceste două posibilități definesc spinorii Weyl , care sunt identificați ca spinori stânga sau dreapta . Un spinor Dirac este construit pornind de la doi spinori Weyl: ecuația Dirac în sine nu este altceva decât un operator de proiecție care impune că, în restul cadrului de referință al câmpului, componentele stânga și dreapta sunt identice; funcțiile proprii ale matricei $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ în schimb, sunt tocmai cei doi spinori Weyl, așa cum se va arăta în detaliu.

Matrice $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ și funcții automate

Matricea $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ( Gama Dirac $\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}$ ) se numește operator de chiralitate. Din moment ce operatorul $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ este un operator hermitian este diagonalizabil și prin proprietatea că ${(\gamma ^{5})}^{2}=1$ ${\ displaystyle {(\ gamma ^ {5})} ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle {(\ gamma ^ {5})} ^ {2} = 1}$

rezultă că valorile proprii ale $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ sunt +1 și -1; rezultă că putem indica cu $\psi _{L}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ si cu $\psi _{R}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ funcțiile proprii ale $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ cu valori proprii -1 și respectiv +1; sau:

\gamma ^{5}\psi _{L}=-1\psi _{L};

{\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {L} = - 1 \ psi _ {L};}

{\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {L} = - 1 \ psi _ {L};}

\gamma ^{5}\psi _{R}=+1\psi _{R}.

{\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {R} = + 1 \ psi _ {R}.}

{\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {R} = + 1 \ psi _ {R}.}

În acest caz, convențiile sunt utilizate

\gamma _{c}^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ gamma _ {c} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I_ {2} & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {c} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I_ {2} & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}}}

\psi ={\binom {\psi _{L}}{\psi _{R}}}

{\ displaystyle \ psi = {\ binom {\ psi _ {L}} {\ psi _ {R}}}}

{\ displaystyle \ psi = {\ binom {\ psi _ {L}} {\ psi _ {R}}}}

unde este $\gamma _{c}^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {c} ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {c} ^ {5}}$ este matricea Gamac Dirac în reprezentare chirală e $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ este identitatea dimensiunii 2x2

Începând cu un spinor generic $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este posibil să scriem cele două funcții proprii ale $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ În felul următor:

\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ;

{\ displaystyle \ psi _ {L} = {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi;}

{\ displaystyle \ psi _ {L} = {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi;}

\psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi ;

{\ displaystyle \ psi _ {R} = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi;}

{\ displaystyle \ psi _ {R} = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi;}

Prin urmare, rezultă că un spinor generic $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ poate fi împărțit în sumă:

\psi =\psi _{L}+\psi _{R}.

{\ displaystyle \ psi = \ psi _ {L} + \ psi _ {R}.}

{\ displaystyle \ psi = \ psi _ {L} + \ psi _ {R}.}

Se pot defini doi operatori de proiecție chiralitate:

P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}};

{\ displaystyle P_ {L} = {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}};}

{\ displaystyle P_ {L} = {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}};}

P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}};

{\ displaystyle P_ {R} = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}};}

{\ displaystyle P_ {R} = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}};}

care îndeplinesc următoarele proprietăți:

P_{L}+P_{R}=1;

{\ displaystyle P_ {L} + P_ {R} = 1;}

{\ displaystyle P_ {L} + P_ {R} = 1;}

(P_{L})^{2}=P_{L};

{\ displaystyle (P_ {L}) ^ {2} = P_ {L};}

{\ displaystyle (P_ {L}) ^ {2} = P_ {L};}

(P_{R})^{2}=P_{R};

{\ displaystyle (P_ {R}) ^ {2} = P_ {R};}

{\ displaystyle (P_ {R}) ^ {2} = P_ {R};}

P_{L}P_{R}=P_{R}P_{L}=0.

{\ displaystyle P_ {L} P_ {R} = P_ {R} P_ {L} = 0.}

{\ displaystyle P_ {L} P_ {R} = P_ {R} P_ {L} = 0.}

Ecuațiile mișcării pentru $\psi _{L}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ Și $\psi _{R}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$

De sine $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este o soluție generică a ecuației Dirac libere, avem:

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right)\psi _{L}(x)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right){\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi (x)={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right)\psi (x),

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {L} (x) = \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi (x) = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi (x),}

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {L} (x) = \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi (x) = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi (x),}

adică:

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right)\psi _{L}(x)={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}m\psi (x)=m\psi _{R}(x),

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {L} (x) = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2} } m \ psi (x) = m \ psi _ {R} (x),}

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {L} (x) = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2} } m \ psi (x) = m \ psi _ {R} (x),}

și în mod similar:

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right)\psi _{R}(x)=m\psi _{L}(x).

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {R} (x) = m \ psi _ {L} (x).}

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ right) \ psi _ {R} (x) = m \ psi _ {L} (x).}

Acestea sunt două ecuații de mișcare pentru $\psi _{L}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ Și $\psi _{R}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ . Acestea sunt cuplate de termenul de masă și se decuplează numai dacă m = 0. Această proprietate este legată de faptul că chiralitatea este un număr cuantic bun (adică $\gamma ^{5}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ navetează cu Hamiltonianul lui Dirac ) numai dacă m = 0.

Proprietățile deosebite ale particulelor de spin 1/2 cu masă zero derivă din invarianța densității Lagrangiene Dirac pentru transformări chirale. Următoarea transformare este definită ca o transformare chirală

\psi \longrightarrow \psi '=\gamma ^{5}\psi ,

{\ displaystyle \ psi \ longrightarrow \ psi '= \ gamma ^ {5} \ psi,}

{\ displaystyle \ psi \ longrightarrow \ psi '= \ gamma ^ {5} \ psi,}

Lagrangianul lui Dirac se transformă după cum urmează:

L_{D}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \longrightarrow L'_{D}={\bar {\psi }}(-\gamma ^{5})\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)(\gamma ^{5})\psi =

{\ displaystyle L_ {D} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \ longrightarrow L '_ {D} = {\ bar {\ psi}} (- \ gamma ^ {5}) \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) (\ gamma ^ {5}) \ psi =}

{\ displaystyle L_ {D} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \ longrightarrow L '_ {D} = {\ bar {\ psi}} (- \ gamma ^ {5}) \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) (\ gamma ^ {5}) \ psi =}

={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m\right)(\gamma ^{5})^{2}\psi ={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m\right)\psi

{\ displaystyle = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m \ right) (\ gamma ^ {5}) ^ {2} \ psi = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m \ right) \ psi}

{\ displaystyle = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m \ right) (\ gamma ^ {5}) ^ {2} \ psi = {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m \ right) \ psi}

L'_{D}=L_{D}+2m{\bar {\psi }}\psi .

{\ displaystyle L '_ {D} = L_ {D} + 2m {\ bar {\ psi}} \ psi.}

{\ displaystyle L '_ {D} = L_ {D} + 2m {\ bar {\ psi}} \ psi.}

Prin urmare, avem invarianța pentru transformările chirale dacă și numai dacă m = 0. După cum se poate vedea, avem că pentru o particulă de spin 1/2 cu masă m = 0 ecuațiile pentru spinori $\psi _{L}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {L}}$ Și $\psi _{R}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {R}}$ sunt decuplate.

Notă

^ A. Goobar, S. Hannestad, E. Mörtsell, H. Tu, Masa de neutrini legată de datele WMAP pe 3 ani, vârful acustic al barionului, supernovele SNLS și pădurea Lyman-α , în Journal of Cosmology and Astroparticle Physics , vol. 606, 2006, p. 19, DOI : 10.1088 / 1475-7516 / 2006/06/019 , arΧiv : astro-ph / 0602155 .
^ J. Schechter, JWF Valle, Neutrino Masses in SU (2) x U (1) Theories , în Physical Review D , vol. 22, 1980, p. 2227, DOI : 10.1103 / PhysRevD.22.2227 .

Bibliografie

Marie Curie (1955): Pierre Curie , Paris, Éditions Dënoel; Traducere italiană CUEN , Napoli, 1998. Ediția originală este din 1925.
Pierre Curie (1894): Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un champ electric și d'un champ magnétique , Journal de Physique 3me series 3, 393- 415.
István Hargittai și Magdolna Hargittai (1995): Simetria prin ochii unui chimist , ediția a II-a, New York, Kluwer.
István Hargittai și Magdolna Hargittai (2000): În propria noastră imagine , New York, Kluwer. Jenann, Ismael (2001): Eseuri despre simetrie, New York, Garland.
Alan Holden (1971): Forme, spațiu și simetrie , New York, Columbia University Press; reedită New York, Dover, 1991.
Joe Rosen (1975): Symmetry Discovered , Londra, Cambridge University Press; reedită New York, Dover, 2000.
Joe Rosen (1983): A Symmetry Primer for Scientists , New York, John Wiley & Sons .
Alexei Vasil'evich Shubnikov și Vladimir Alexandrovich Koptsik (1974): Simetrie în știință și artă , New York, Plenum Press.
Hermann Weyl (1952): Simetrie . Princeton University Press, 1952. ISBN 0-691-02374-3

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4385706-1

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] A. Goobar, S. Hannestad, E. Mörtsell, H. Tu, Masa de neutrini legată de datele WMAP pe 3 ani, vârful acustic al barionului, supernovele SNLS și pădurea Lyman-α , în Journal of Cosmology and Astroparticle Physics , vol. 606, 2006, p. 19, DOI : 10.1088 / 1475-7516 / 2006/06/019 , arΧiv : astro-ph / 0602155 .

[PhysRevD-2] J. Schechter, JWF Valle, Neutrino Masses in SU (2) x U (1) Theories , în Physical Review D , vol. 22, 1980, p. 2227, DOI : 10.1103 / PhysRevD.22.2227 .

[1]

[2]