Ultraprodus

Ultraprodusul este o construcție matematică care apare în principal în algebra abstractă și teoria modelelor . Un ultraprodus este un coeficient al produsului direct al unei familii de structuri . Toți factorii produsului trebuie să aibă aceeași semnătură (același set de simboluri non-logice și același set de operații care caracterizează structurile algebrice). Ultrapower este cazul special în care factorii produsului sunt egali ^[1] .

Câteva dovezi ale teoremei compactității și teoremei completitudinii sunt aplicații ale ultraprodusului ^[2] . La fel, Teorema lui Howard Jerome Keisler a ultra-puterii , caracterizarea algebrică a noțiunii semantice a echivalenței elementare ^[3] și prezentarea lui Robinson-Zakon a utilizării suprastructurilor și a monomorfismului acestora pentru a construi modele non-standard de analiză matematică ^[4] .

Definiție

Metoda generală pentru obținerea unui ultraprodus oferă un set de indici I , o structură M _i pentru fiecare element i din I (cu aceeași semnătură logică) și un ultrafiltru U pe I. De obicei, alegem I infinit și U care conțin toate subseturile cofinite ale lui I ; alternativ, ultrafiltrul este principalul (adică conține un element minim), iar ultraprodusul este izomorf pentru unul dintre factori ^[5] .

Operații algebrice asupra produsului cartezian

\prod _{i\in I}M_{i}

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i}}

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i}}

sunt definite în mod clasic (exemplu: pentru o funcție binară +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ), iar o relație de echivalență este definită de a ~ b dacă

\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U,

{\ displaystyle \ left \ {i \ în I: a_ {i} = b_ {i} \ right \} \ în U,}

{\ displaystyle \ left \ {i \ în I: a_ {i} = b_ {i} \ right \} \ în U,}

iar ultraprodusul este setul de coeficient în ceea ce privește ~. prin care ultraprodusul este uneori definit de ^[5]

\prod _{i\in I}M_{i}/U.

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U.}

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U.}

Putem defini o măsură aditivă m finit pe indexul setat I setând m ( A ) = 1 dacă A ∈ U și "m" = 0 în celelalte cazuri. Apoi, doi membri ai produsului cartezian sunt exact echivalenți dacă sunt egali aproape peste tot în setul de indici. Ultraprodusul este ansamblul claselor de echivalență astfel generate.

Alte relații pot fi extinse în același mod:

R([a^{1}],\dots ,[a^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\right\}\in U,

{\ displaystyle R ([a ^ {1}], \ dots, [a ^ {n}]) \ if \ left \ {i \ în I: R ^ {M_ {i}} (a_ {i} ^ { 1}, \ dots, a_ {i} ^ {n}) \ right \} \ în U,}

{\ displaystyle R ([a ^ {1}], \ dots, [a ^ {n}]) \ if \ left \ {i \ în I: R ^ {M_ {i}} (a_ {i} ^ { 1}, \ dots, a_ {i} ^ {n}) \ right \} \ în U,}

unde [a] indică clasa de echivalență a unui raport cu „~“.

În special, dacă fiecare M _i este un câmp ordonat , atunci ultraprodusul este de asemenea ordonat.

Așa cum a spus mai înainte un ultrapower este un Ultraproduct în care toți factorii M sunt egale:

M^{\kappa }/U=\prod _{\alpha <\kappa }M/U.\,

{\ displaystyle M ^ {\ kappa} / U = \ prod _ {\ alpha <\ kappa} M / U. \,}

{\ displaystyle M ^ {\ kappa} / U = \ prod _ {\ alpha <\ kappa} M / U. \,}

Mai general, construcția descrisă mai sus se poate face ori de câte ori U este un filtru pe I ; modelul rezultat $\prod _{i\in I}M_{i}/U$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} M_ {i} / U}$ va fi numit apoi produs redus .

Exemple

Numerele hiperreale sunt un ultraprodus al numerelor reale pentru fiecare număr natural în ceea ce privește un ultrafiltru pe naturale care conține toate seturile cofinate. Ordonarea lor este o extensie a ordinii numerelor naturale. ^[2] De exemplu, secvența ω dată de ω _i = i definește o clasă de echivalență care reprezintă un număr hiperreal mai mare decât orice real.

În același mod putem defini numerele hipernaturale , numerele hipercomplexe și așa mai departe prin „ultramultiplicarea” copiilor structurilor corespunzătoare.

Ca exemplu de transfer al relațiilor în ultraprodus, considerați secvența ψ definită ca ψ _i = 2 i . Deoarece ψ _i > ω _i = i pentru tot i , rezultă că clasa de echivalență a lui ψ _i = 2 i este mai mare decât clasa de echivalență a lui ω _i = i , astfel încât poate fi interpretată ca un număr infinit mai mare decât cel construit inițial. Cu toate acestea, presupunem χ _i = i pentru i nu este egal cu 7, dar χ ₇ = 8. Setul de indici în care w și χ sunt de acord este un membru al oricărei ultrafiltru (deoarece ω și χ sunt de acord aproape peste tot), astfel încât ω și χ aparțin aceleiași clase de echivalență.

Ultra limită

În teoria modelelor și teoria mulțimilor, un ultralimit este o limită directă a unei secvențe de ultraputeri.

Având o structură A ₀ și un ultrafiltru D _0, se formează un ultrapower A _1. Apoi repetați pentru a forma A ₂ și așa mai departe. pentru fiecare n există o imersiune diagonală canonică $A_{n}\to A_{n+1}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ to A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ to A_ {n + 1}}$ . La limita procesului, ca A _ω , se formează limita directă a etapelor inițiale. Putem continua în transfinit.

Notă

^ http://www.treccani.it/encyclopedia/ultraprodotto_%28Dtionary-delle-Scienze-Fisiche%29/
^ ^a ^b Alessandro Berarducci, Note despre ultraproduse ( PDF ), 2012.
^ A.Mennuni, Teorema Keisler-Shelah- https://core.ac.uk/download/pdf/19204254.pdf
^ Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, A Personal and Mathematical Odyssey, Princeton University Press, 14 iulie 2014
^ ^a ^b Stanley N. Burris și Sankappanavar, HP, A Course in Universal Algebra , Millennium, 2000 [1981] .

Bibliografie

John Lane Bell și Slomson, Alan B., Modele și ultraproduse: o introducere , reeditare din 1974, publicații Dover , 2006 [1969] , ISBN 0-486-44979-3 .
Stanley N. Burris și Sankappanavar, HP, Un curs în algebră universală , Millennium, 2000 [1981] .

linkuri externe

( EN ) Ultraproduct / Ultraproduct (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

[1] ttp://www.treccani.it/encyclopedia/ultraprodotto_%28Dtionary-delle-Scienze-Fisiche%29/

[people.dm.unipi.it-2] Alessandro Berarducci, Note despre ultraproduse ( PDF ), 2012.

[3] A.Mennuni, Teorema Keisler-Shelah- https://core.ac.uk/download/pdf/19204254.pdf

[4] Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, A Personal and Mathematical Odyssey, Princeton University Press, 14 iulie 2014

[thoralf.uwaterloo.ca-5] Stanley N. Burris și Sankappanavar, HP, A Course in Universal Algebra , Millennium, 2000 [1981] .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]