viteza areolar

In cinematica , viteza areolar este un vector cantitate definită ca variația unei suprafețe ca funcție de timp , intrând astfel în cadrul conceptului general de viteză , adică, variația unei spaŃiale coordonate în timp. Cu alte cuvinte, aceasta reprezintă viteza cu care o suprafață este măturată de raza vector a unui punct în mișcare de-a lungul unei curbe.

Fiind implicat, împreună cu viteza unghiulară , în definirea vitezei de rotație pentru a descrie mișcarea de-a lungul unei curbe, utilizarea sa principală este în studiul periodic mișcări , cum ar fi mișcare circulară și mișcarea armonică . Viteza areolară și vitezei unghiulare sunt întotdeauna vectori paralele, dar ele nu sunt neapărat proporționale în modulo.

Unitatea de măsură în Sistemul Internațional m ² · s ^-1 ( mp pe secundă ).

Descriere

Fiind dat un obiect în mișcare, a cărui vector poziție se numește raza vectorului $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , Viteza areolar depinde de punctul de referință, care este originea sistemului de coordonate al razei vectorului, care este o funcție de timp.

Se numește viteză medie areolar ${\bar {\dot {\mathbf {A} }}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}}}$ raportul dintre deplasarea areolar , înțeleasă ca variația suprafeței baleiate de raze vector, $\Delta \mathbf {A} =\mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _ {2} - \ mathbf {A} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _ {2} - \ mathbf {A} _ {1}}$ și intervalul de timp $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ angajat să-l meargă:

{\bar {\dot {\mathbf {A} }}}={\frac {\Delta \mathbf {A} }{\Delta t}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}}}

unde este $\mathbf {A} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$ Și $\mathbf {A} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {2}}$ sunt pozițiile areolară la momentele inițiale $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și final $t_{2}$ ${\ Displaystyle T_ {2}}$ $t_2$ .

Se numește viteza instantanee areolar ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ valoarea este limita de viteza medie în jurul valorii de un anumit instant, sau primul derivat al poziției unghiulare în raport cu timpul:

{\dot {\mathbf {A} }}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {\mathbf {A} (t_{2})-\mathbf {A} (t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {A} (t+\Delta t)-\mathbf {A} (t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {T_ {2} \ la T_ {1}} {\ frac {\ mathbf {A} (T_ {2}) - \ mathbf {A } (T_ {1})} {T_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {a} (t + \ Delta t) - \ mathbf {A} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {T_ {2} \ la T_ {1}} {\ frac {\ mathbf {A} (T_ {2}) - \ mathbf {A } (T_ {1})} {T_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {a} (t + \ Delta t) - \ mathbf {A} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} {\ mathrm {d} t}}}

Direcția axei de rotație este aleasă, adică cea normală la planul de rotație, în timp ce direcția este îndreptată spre observator care vede o rotatie contrar acelor de ceasornic.

Viteza areolară este zona (prezentată în verde) măturat pe unitatea de timp de vectorul de poziție a unei particule se deplasează de-a lungul unei curbe (în albastru). La momentul

t

{\ displaystyle t}

t

o particulă mobilă este plasată în

B.

{\ displaystyle B}

B.

, În timp ce la momentul respectiv

t+\Delta t

{\ Displaystyle t + \ Delta t}

t + \ Delta T

particula sa mutat în

C.

{\ displaystyle C}

C.

. Zona de măturat raza vectorului este exact egală cu aria triunghiului

{\overset {\triangle }{ABC}}

{\ Displaystyle {\ overset {\ triunghi} {ABC}}}

{\ Displaystyle {\ overset {\ triunghi} {ABC}}}

pentru

\Delta t\rightarrow 0

{\ displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}

{\ Displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}

. Purtători

LA B.

{\ displaystyle AB}

AB

Și

LA C.

{\ displaystyle AC}

B.C

adăuga cu regula paralelogramului în vectorul

LA D.

{\ displaystyle AD}

LA

, Astfel încât punctul

D.

{\ displaystyle D}

D.

al patrulea unghi al rezultatelor paralelogram

LA B. C. D.

{\ displaystyle ABCD}

ABCD

prezentat în figură.

După cum se arată în figură, zona triunghiului în galben ${\overset {\triangle }{ABC}}$ ${\ Displaystyle {\ overset {\ triunghi} {ABC}}}$ ${\ Displaystyle {\ overset {\ triunghi} {ABC}}}$ este jumătate din suprafața paralelogramului $LA B. C. D.$ ${\ Displaystyle ABCD}$ $ABCD$ , Iar aria paralelogramului este egală cu mărimea produsului exterior al vectorilor $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ , astfel încât:

\mathbf {A} _{(ABCD)}=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)\ \Longrightarrow \ \mathbf {A} _{(ABC)}={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {(ABCD)} = \ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t) \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {A} _ {(ABC )} = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {(ABCD)} = \ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t) \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {A} _ {(ABC )} = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2}}}

Viteza areolar este

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {A} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {A} }{\Delta t}}&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times [\mathbf {r} (t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\Delta t]}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\dot {\mathbf {r} }}(t)\Delta t}{2\Delta t}}\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times {\dot {\mathbf {r} }}(t)}{2}}\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}} & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori [\ mathbf {r} (t) + {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ Delta t]} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori {\ dot {\ mathbf {r} }} (t) \ Delta t} {2 \ Delta t}} \\ & = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)} { 2}} \\\ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}} & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori [\ mathbf {r} (t) + {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ Delta t]} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ la 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori {\ dot {\ mathbf {r} }} (t) \ Delta t} {2 \ Delta t}} \\ & = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ ori {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)} { 2}} \\\ end {aliniat}}}

Dar ${\dot {\mathbf {r} }}(t)$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)}$ este viteza liniară a vectorului $\mathbf {v} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t)}$ ${\ Mathbf v} (t)$ , prin urmare:

{\dot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ ori \ mathbf {v}} {2}}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ ori \ mathbf {v}} {2}}}

unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ reprezintă viteza tangențială .

Legătura cu momentul unghiular și momentul mecanic

Același subiect în detaliu: Angular Moment si Moment mecanice .

Cunoașterea momentului cinetic $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ reprezintă momentul impuls $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ este asta $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{r}+\mathbf {v} _{0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {r} + \ mathbf {v} _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {r} + \ mathbf {v} _ {0}}$ , Este posibil să se determine relația sa cu viteza areolar:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ ori \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ ori m \ mathbf {v} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ ori \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ ori m \ mathbf {v} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Prin derivarea momentul cinetic, se obține a doua ecuație cardinal al dinamicii, care, în cazul unui corp rigid rotativ este egal cu:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} \iff \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori \ mathbf {L} \ iff \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori \ mathbf {L}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori \ mathbf {L} \ iff \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori \ mathbf {L}}

unde este ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ este vectorul viteză unghiulară. Dacă în sistem în considerare masa este constantă, înlocuind valoarea obținută anterior, valoarea momentului mecanic se obține:

\mathbf {M} =2{\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}{\dot {\mathbf {A} }}+2m{\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times 2m{\dot {\mathbf {A} }}=2m({\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {A} }})

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = 2 {\ anula {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol { \ omega}} \ ori {\ dot {\ mathbf {A}}})}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = 2 {\ anula {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ ori 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol { \ omega}} \ ori {\ dot {\ mathbf {A}}})}

unde este ${\ddot {\mathbf {A} }}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ este accelerația areolar . Prin urmare, dacă în sistemul în cauză $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ este paralel cu ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , Avem că momentul mecanic este:

\mathbf {M} =2m{\ddot {\mathbf {A} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}}}

Mai mult, rotație energia cinetică este:

E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=m{\dot {\mathbf {A} }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

mișcare Central

În cazul în care mișcarea se produce sub acțiunea unei forță centrală , care este întotdeauna îndreptată de-a lungul liniei drepte care unește poziția instantanee cu un pol fix, cu privire la acest pol avem că momentul mecanic este zero și , prin urmare , impulsul unghiular și areolar Viteza se păstrează.

Într-o mișcare centrală viteza areolar este constantă în timpul mișcării:

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{c}\ \Longrightarrow \ \mathbf {a} _{t}={\frac {\mathbf {h} }{r}}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}(r^{2}{\dot {\mathbf {A} }})={\frac {2}{r}}{\frac {\operatorname {d} \!{\dot {\mathbf {A} }}}{\operatorname {d} \!t}}\mathbf {h} =0\ \Longrightarrow \ {\frac {\operatorname {d} \!{\dot {\mathbf {A} }}}{\operatorname {d} \!t}}=0

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {c} \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathbf {h}} {r}} {\ frac { \ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} (r ^ {2} {\ dot {\ mathbf {A}}}) = {\ frac {2} {r}} {\ frac { \ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} \ mathbf {h} = 0 \ \ Longrightarrow \ {\ frac {\ operatorname {d} ! \ {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} = 0}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {c} \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathbf {h}} {r}} {\ frac { \ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} (r ^ {2} {\ dot {\ mathbf {A}}}) = {\ frac {2} {r}} {\ frac { \ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} \ mathbf {h} = 0 \ \ Longrightarrow \ {\ frac {\ operatorname {d} ! \ {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} = 0}

și , prin urmare , aria parcursă de o rază vector are o ecuație oră tipică a unei mișcare uniformă :

\mathbf {A} _{r(t)}={\dot {\mathbf {A} }}(t-t_{0})+\mathbf {A} _{r(t_{0})}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {r (t)} = {\ dot {\ mathbf {A}}} (t-T_ {0}) + \ mathbf {A} _ {r (T_ {0}) }}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {r (t)} = {\ dot {\ mathbf {A}}} (t-T_ {0}) + \ mathbf {A} _ {r (T_ {0}) }}

Aceasta este o generalizare a lui Kepler nu a doua lege a tuturor mișcărilor centrale.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică