Valoarea așteptată condiționată

În teoria probabilității , așteptarea condițională (sau media condițională ) a unei variabile aleatorii este valoarea ei așteptată în raport cu o distribuție de probabilitate condiționată .

Tratament discret

Punctul de plecare este definiția probabilității condiționale : având în vedere două evenimente A și B , probabilitatea lui A dată B este

P(A|B)={\begin{cases}0&{\text{se}}\;P(B)=0\\{\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}&{\text{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle P (A | B) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} \; P (B) = 0 \\ {\ frac {P (A \ cap B)} {P ( B)}} și {\ text {altfel}} \ sfârșit {cazuri}}}

{\ displaystyle P (A | B) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} \; P (B) = 0 \\ {\ frac {P (A \ cap B)} {P ( B)}} și {\ text {altfel}} \ sfârșit {cazuri}}}

În mod similar, probabilitatea condițională poate fi extinsă atunci când A și B sunt rezultatele a două variabile aleatorii :

P(X\in A|Y\in B)={\frac {P(\{X\in A\}\cap \{Y\in B\})}{P(\{Y\in B\})}}

{\ displaystyle P (X \ in A | Y \ in B) = {\ frac {P (\ {X \ in A \} \ cap \ {Y \ in B \})} {P (\ {Y \ in B \})}}}

{\ displaystyle P (X \ in A | Y \ in B) = {\ frac {P (\ {X \ in A \} \ cap \ {Y \ in B \})} {P (\ {Y \ in B \})}}}

(dacă numitorul este diferit de 0; 0 altfel). În special, dacă B = {y} și A = {x}, avem

P(X=x|Y=y)={\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}

{\ displaystyle P (X = x | Y = y) = {\ frac {P (X = x \ wedge Y = y)} {P (Y = y)}}}

{\ displaystyle P (X = x | Y = y) = {\ frac {P (X = x \ wedge Y = y)} {P (Y = y)}}}

care, lăsând y fix, poate fi calculat în medie:

E[X|Y=y]=\sum _{x}x{\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}

{\ displaystyle E [X | Y = y] = \ sum _ {x} x {\ frac {P (X = x \ wedge Y = y)} {P (Y = y)}}}

{\ displaystyle E [X | Y = y] = \ sum _ {x} x {\ frac {P (X = x \ wedge Y = y)} {P (Y = y)}}}

definind astfel E [ X | Y ] ca acea variabilă aleatorie care deține E [ X | Y = y ] când Y = y . Cu toate acestea, această definiție este consecventă doar în cazul în care X și Y sunt discrete , dar își pierde sensul atunci când sunt continue , deoarece probabilitatea ca Y să fie o anumită valoare y (precum și că X este x ) este întotdeauna 0 Pentru a elimina aceste dificultăți, definiția ia căi diferite.

Definiție

Dat fiind o variabilă aleatorie X și o σ-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ , o așteptare condiționată de X față de ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este o variabilă aleatorie Y astfel încât

Y este măsurabil în raport cu ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ ;
Y este în L ¹ , adică modulul său | Y | are medie finită;
$E[Y1_{F}]=E[X1_{F}]$ ${\ displaystyle E [Y1_ {F}] = E [X1_ {F}]}$ ${\ displaystyle E [Y1_ {F}] = E [X1_ {F}]}$ pentru fiecare $F\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathfrak {F}}}$ (1 este funcția indicator ).

Rezultatul fundamental care face această definiție semnificativă este existența, pentru fiecare variabilă aleatorie integrabilă X și pentru fiecare σ-algebră, a unei valori condiționate așteptate; în plus, două variabile aleatorii cu aceste caracteristici sunt aproape sigur egale și, prin urmare, pot fi considerate substanțial „la fel”; în acest caz este scris

Y=E[X|{\mathfrak {F}}]

{\ displaystyle Y = E [X | {\ mathfrak {F}}]}

{\ displaystyle Y = E [X | {\ mathfrak {F}}]}

Acest rezultat poate fi dovedit pornind de la teorema Radon-Nikodym sau printr-un argument de aproximare.

Definiția este în concordanță cu cea elementară prin plasare

E[X|Z]=E[X|\sigma (Z)]

{\ displaystyle E [X | Z] = E [X | \ sigma (Z)]}

{\ displaystyle E [X | Z] = E [X | \ sigma (Z)]}

adică dacă luăm în considerare σ-algebra generată de variabila aleatorie Z.

Valoarea condiționată așteptată poate fi interpretată ca cea mai bună aproximare care poate fi făcută din X având în vedere „informațiile” conținute în σ-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ : precum și media E [ X ] minimizează funcția $E[(X-c)^{2}]$ ${\ displaystyle E [(Xc) ^ {2}]}$ ${\ displaystyle E [(X-c) ^ {2}]}$ când c este un număr real (adică o funcție măsurabilă pe σ-algebra trivială $\{\varnothing ,\Omega \}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, \ Omega \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, \ Omega \}}$ ), deci valoarea condițională $E[X|{\mathfrak {F}}]$ ${\ displaystyle E [X | {\ mathfrak {F}}]}$ ${\ displaystyle E [X | {\ mathfrak {F}}]}$ minimiza $E[(X-Y)^{2}]$ ${\ displaystyle E [(XY) ^ {2}]}$ ${\ displaystyle E [(X-Y) ^ {2}]}$ printre variabilele aleatorii ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ - măsurabile. Evident, această interpretare poate fi dată numai atunci când X aparține lui L ² .

Proprietate

Așteptarea condiționată verifică toate proprietățile majore ale valorii așteptate: este pozitivă (adică dacă $X\geq 0$ ${\ displaystyle X \ geq 0}$ ${\ displaystyle X \ geq 0}$ asa de $E[X|{\mathfrak {F}}]\geq 0$ ${\ displaystyle E [X | {\ mathfrak {F}}] \ geq 0}$ ${\ displaystyle E [X | {\ mathfrak {F}}] \ geq 0}$ ), liniar și verifică teoremele convergenței monotone , convergența dominată și lema lui Fatou atunci când ipotezele sunt verificate prin secvența { X _n }: de exemplu, dacă X _n sunt pozitive și secvența crește spre X , atunci

\lim _{n\to \infty }E[X_{n}|{\mathfrak {F}}]=E[X|{\mathfrak {F}}]

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} E [X_ {n} | {\ mathfrak {F}}] = E [X | {\ mathfrak {F}}]}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} E [X_ {n} | {\ mathfrak {F}}] = E [X | {\ mathfrak {F}}]}

O altă proprietate fundamentală este posibilitatea calculării unei medii prin condiționare: pentru fiecare variabilă aleatorie X și pentru fiecare σ-algebră avem

E[X]=E[E[X|{\mathfrak {F}}]]

{\ displaystyle E [X] = E [E [X | {\ mathfrak {F}}]]}

{\ displaystyle E [X] = E [E [X | {\ mathfrak {F}}]]}

formula care este utilă în calcularea unor medii, ca în cazul în care X este o variabilă aleatorie definită de un parametru care este și aleatoriu. (De exemplu, X ar putea fi o variabilă aleatoare binomială în care numărul de aruncări este o variabilă Poisson .) O altă caracteristică este „proprietatea turnului”: dacă ${\mathfrak {H}}\subseteq {\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ subseteq {\ mathfrak {G}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ subseteq {\ mathfrak {G}}}$ sunt două σ-algebre, atunci