Distribuție logistică

Distribuție logistică
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ( mediu ) $s>0\$ ${\ displaystyle s> 0 \}$ ${\ displaystyle s> 0 \}$
A sustine	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
Funcția de densitate	${\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}} {s \ left (1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}} } \ dreapta) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}} {s \ left (1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}} } \ dreapta) ^ {2}}}}$
Funcția de distribuție	${\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}}}}$
Valorea estimata	$\mu \$ ${\ displaystyle \ mu \}$ ${\ displaystyle \ mu \}$
Median	$\mu \$ ${\ displaystyle \ mu \}$ ${\ displaystyle \ mu \}$
Modă	$\mu \$ ${\ displaystyle \ mu \}$ ${\ displaystyle \ mu \}$
Varianța	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} s ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} s ^ {2}}$
Indicele de asimetrie	$0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$
Curios	${\frac {6}{5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {5}}}$
Entropie	$2+\log s\$ ${\ displaystyle 2+ \ log s \}$ ${\ displaystyle 2+ \ log s \}$
Funcție generatoare de momente	$e^{\mu t}\mathrm {B} (1-st,1+st)\$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu t} \ mathrm {B} (1-st, 1 + st) \}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu t} \ mathrm {B} (1-st, 1 + st) \}$ (cu $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ funcția Beta , definită pentru $s t$ ${\ displaystyle st}$ ${\ displaystyle st}$ cu parte reală între -1 și 1)
Funcția caracteristică	$e^{i\mu t}\mathrm {B} (1-ist,1+ist)\$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mu t} \ mathrm {B} (1-ist, 1 + ist) \}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mu t} \ mathrm {B} (1-ist, 1 + ist) \}$ (cu $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ mathrm {B}$ funcția Beta , definită pentru $the s t$ ${\ displaystyle ist}$ ${\ displaystyle ist}$ cu parte reală între -1 și 1)
Manual

În teoria probabilității, distribuția logistică este o distribuție continuă a probabilității definită pe numere reale și legată de ecuația logistică descrisă de matematicianul belgian Pierre François Verhulst .

Este utilizat în multe dintre domeniile care descriu tiparele de creștere prin ecuația logistică.

Definiție

Distribuția logistică este o distribuție de probabilitate a cărei funcție de distribuție rezolvă ecuația logistică

F'={\frac {1}{s}}F(1-F),

{\ displaystyle F '= {\ frac {1} {s}} F (1-F),}

{\ displaystyle F '= {\ frac {1} {s}} F (1-F),}

cu $s>0.$ ${\ displaystyle s> 0.}$ ${\ displaystyle s> 0.}$

Distribuția logistică a parametrilor $(s,\mu )$ ${\ displaystyle (s, \ mu)}$ ${\ displaystyle (s, \ mu)}$ are o funcție de distribuție

F(x)={\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}},

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}}},}

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}}},}

și funcția densității probabilității

f(x)=F'(x)={\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}.

{\ displaystyle f (x) = F '(x) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}} {s \ left (1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} \ right) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle f (x) = F '(x) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}}} {s \ left (1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} \ right) ^ {2}}}.}

Cele două funcții pot fi exprimate și în termeni de funcții hiperbolice precum

f(x)={\tfrac {1}{4s}}(\cosh {\tfrac {x-\mu }{2s}})^{-2},

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {4s}} (\ cosh {\ tfrac {x- \ mu} {2s}}) ^ {- 2},}

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {4s}} (\ cosh {\ tfrac {x- \ mu} {2s}}) ^ {- 2},}

F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh {\tfrac {x-\mu }{2s}},

{\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} \ tanh {\ tfrac {x- \ mu} {2s}},}

{\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} \ tanh {\ tfrac {x- \ mu} {2s}},}

unde este $\cosh(t)={\tfrac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$ ${\ displaystyle \ cosh (t) = {\ tfrac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cosh (t) = {\ tfrac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}}$ este cosinusul hiperbolic e $\tanh(t)={\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$ ${\ displaystyle \ tanh (t) = {\ tfrac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}}}$ ${\ displaystyle \ tanh (t) = {\ tfrac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}}}$ tangenta hiperbolica .

Caracteristici

Distribuția logistică a parametrilor $(s,\mu )$ ${\ displaystyle (s, \ mu)}$ ${\ displaystyle (s, \ mu)}$ are densitate de probabilitate simetrică față de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , unde își asumă valoarea maximă. În special are speranță matematică , mediană și mod egal cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , în timp ce indicele său de asimetrie este $0.$ ${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle 0.}$

Cuantilele $q_{\alpha }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ de ordine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ poate fi determinată prin intermediul inversului funcției de distribuție,

q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )=\mu +s\log {\tfrac {\alpha }{1-\alpha }}.

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = F ^ {- 1} (\ alpha) = \ mu + s \ log {\ tfrac {\ alpha} {1- \ alpha}}.}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = F ^ {- 1} (\ alpha) = \ mu + s \ log {\ tfrac {\ alpha} {1- \ alpha}}.}

Functia $\log {\tfrac {x}{1-x}}$ ${\ displaystyle \ log {\ tfrac {x} {1-x}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ tfrac {x} {1-x}}}$ se numește funcția logit .

Momentele centrale ale distribuției sunt

m_{k}=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}f(x)dx=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}dF(x)=\int _{0}^{1}\left(s\log {\tfrac {t}{1-t}}\right)^{k}dt=s^{k}\pi ^{k}(2^{k}-2)|B_{k}|,

{\ displaystyle m_ {k} = \ int _ {\ mathbb {R}} (x- \ mu) ^ {k} f (x) dx = \ int _ {\ mathbb {R}} (x- \ mu) ^ {k} dF (x) = \ int _ {0} ^ {1} \ left (s \ log {\ tfrac {t} {1-t}} \ right) ^ {k} dt = s ^ {k } \ pi ^ {k} (2 ^ {k} -2) | B_ {k} |,}

{\ displaystyle m_ {k} = \ int _ {\ mathbb {R}} (x- \ mu) ^ {k} f (x) dx = \ int _ {\ mathbb {R}} (x- \ mu) ^ {k} dF (x) = \ int _ {0} ^ {1} \ left (s \ log {\ tfrac {t} {1-t}} \ right) ^ {k} dt = s ^ {k } \ pi ^ {k} (2 ^ {k} -2) | B_ {k} |,}

unde este $B_{k}$ ${\ displaystyle B_ {k}}$ $B_ {k}$ si $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -alea ediție a lui Bernoulli .

În special, distribuția are varianță ${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} s ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} s ^ {2}}$ și coeficientul de cortoză $\gamma _{2}={\frac {6}{5}}.$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {6} {5}}.}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {6} {5}}.}$

Alte distribuții

Distribuția log-logistică (sau loglogistică) este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ al cărui logaritm $\log X$ ${\ displaystyle \ log X}$ ${\ displaystyle \ log X}$ urmați distribuția logistică.