Fracție continuă

În matematică , o fracție continuă este o expresie precum

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \, \ cdots }}}}}}}

x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \, \ cdots}}} }}}

unde un ₀ este un număr întreg și toate celelalte numere a _n sunt numere întregi pozitive numite coeficienți parțiali . Expresiile mai lungi sunt definite în mod similar.

Dacă numeratorii pot diferi de unitate, expresia rezultată se numește fracție continuă generalizată . Pentru a evita confuzia, o fracție continuă ne-generalizată este numită și o fracție continuă simplă .

Notare pentru fracțiile continuate

Deoarece scrierea extinsă a fracțiilor continue este impracticabilă, diferite notatii sunt utilizate pentru abrevia: de exemplu, în cazul în care termenii sunt _0, _1, un ₂ și _3, fracția continuă este notată

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;

{\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}] \;}

[a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}] \;

Este obișnuit să înlocuiți prima virgulă cu un punct și virgulă. Alte reprezentări sunt notația lui Pringsheim :

x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {1}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {2}}} + {\ frac { 1 \ mid} {\ mid a_ {3}}}}

x = a_ {0} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {1}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {2}}} + {\ frac {1 \ mid } {\ mid a_ {3}}}

sau o notație puțin folosită:

x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+}}{\frac {1}{a_{2}+}}{\frac {1}{a_{3}+}}

{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1} +}} {\ frac {1} {a_ {2} +}} {\ frac {1} {a_ {3} + }}}

x = a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1} +}} {\ frac {1} {a_ {2} +}} {\ frac {1} {a_ {3} +}}

Motivație

Conceptul de fracție continuă servește pentru a satisface nevoia unei reprezentări „matematic pure” a numerelor reale . Cea mai cunoscută dintre reprezentări, desigur, este dezvoltarea zecimală: în ea numărul π, de exemplu, este reprezentat de succesiunea numerelor întregi (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...) . Se spune că secvența numerelor întregi { a _i } reprezintă numărul real r se

r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}

{\ displaystyle r = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} 10 ^ {- i}}

r = \ sum _ {{i = 0}} ^ {\ infty} a_ {i} 10 ^ {{- i}}

și fiecare a _i (cu excepția eventual a ₀ , care poate fi orice număr întreg) este un element al setului {0, 1, 2, ..., 9}.

Cu toate acestea, această reprezentare suferă de unele probleme, dintre care una este prezența constantei arbitrare 10 în formula anterioară. 10 este cea mai utilizată bază a sistemului nostru de numerotare, dar alegerea este arbitrară, deoarece alte baze sunt încă răspândite, de exemplu baza 2 ( binară ), baza 8 ( octală ) sau baza 16 ( hexadecimală ). O altă problemă este că multe numere simple nu pot fi reprezentate finit cu acest sistem. De exemplu, numărul 1/3 este reprezentat de secvența infinită (0, 3, 3, 3, 3, ...).

Fracțiile continue sunt o reprezentare a numerelor reale care rezolvă prima problemă și o simplifică pe a doua. Să luăm în considerare modul în care puteți descrie un număr precum 415/93, care este aproximativ 4,4624. La o primă aproximare, rezultatul este de aproximativ 4. La acest număr, trebuie să adăugăm un pic mai mult, aproximativ 1/2. Dar 2 al numitorului nu este corect, este puțin mai mult de 2, aproximativ 2 și 1/6; deci 415/93 este de aproximativ 4 + 1 / (2 + 1/6). Dar din nou, 6 din numitorul ultimei fracții este incorect; numitorul corect este puțin mai mare de șase, 6 + 1/7 pentru a fi precis. Deci 415/93 este de fapt 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1/7)). Această valoare este exactă și poate fi scrisă cu notația prescurtată [4; 2, 6, 7].

Reprezentarea numerelor reale în termeni de fracții continue are mai multe proprietăți utile:

Fracția continuată a unui număr este finită dacă și numai dacă numărul este rațional .
Fracția continuată a numerelor raționale „simple” este scurtă.
Fracția continuată a numerelor iraționale este unică.
Fracția continuă a unui număr rațional este aproape unică: există exact două fracții continue pentru fiecare număr rațional, care sunt egale, cu excepția faptului că una se termină cu ... a , 1] și cealaltă cu ... a +1].
Trunchierea fracției continue a unui număr x oferă o aproximare rațională a lui x care într-un sens este „cel mai bun posibil”.

Această din urmă proprietate este extrem de importantă și nu este adevărată pentru reprezentarea zecimală convențională. Trunchierea reprezentării zecimale a unui număr vă oferă o aproximare rațională a acelui număr, dar de obicei nu este o aproximare bună. De exemplu, trunchierea 1/7 = 0,142857 ... în diferite zecimale, se obțin aproximări precum 142/1000, 14/100 și 1/10. Dar în mod clar cea mai bună aproximare este „1/7” în sine. Trunchierea reprezentării zecimale a π obține aproximări precum 31415/10000 și 314/100. Reprezentarea ca o fracție continuată a lui π începe cu [3; 7, 15, 1, 292, ...]. Prin trunchierea acestei reprezentări obținem aproximările raționale excelente ale lui π 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... Numitorii 314/100 și 333/106 sunt aproape aceiași, dar eroarea în aproximarea 314/100 este de nouăsprezece ori mai mare decât eroarea din 333/106. Ca o aproximare a π [3; 7, 15, 1] este mai precisă decât o parte pe milion.

Calculul reprezentării fracțiilor continue

Calculul fracției continue a unui număr real constă în repetarea a două operații: luarea părții întregi a unui număr și luarea reciprocă a părții sale fracționare .

Adică, având în vedere un număr real r , dat fiind i partea sa întreagă și f partea sa fracționată, avem

r=i+f=i+{\frac {1}{\frac {1}{f}}}

{\ displaystyle r = i + f = i + {\ frac {1} {\ frac {1} {f}}}}

r = i + f = i + {\ frac {1} {{\ frac {1} {f}}}}

Acum 1 / f este un număr mai mare decât 1, astfel încât să putem lua partea sa întreagă și să calculăm ceilalți coeficienți mai târziu. Dacă în orice moment f este 0, algoritmul se oprește: acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă r este rațional .

Exemplu: Căutați fracția continuată de 3.245
$3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$	$3,245-3$ ${\ displaystyle 3,245-3}$ $3.245-3$	$=0,245$ ${\ displaystyle = 0.245}$ $= 0,245$	$1/0,245$ ${\ displaystyle 1 / 0,245}$ $1 / 0,245$	$=4,082$ ${\ displaystyle = 4.082}$ $= 4,082$
$4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$	$4,082-4$ ${\ displaystyle 4,082-4}$ $4.082-4$	$=0,082$ ${\ displaystyle = 0.082}$ $= 0,082$	$1/0,082$ ${\ displaystyle 1 / 0.082}$ $1 / 0,082$	$=12,250$ ${\ displaystyle = 12.250}$ $= 12.250$
$12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$	$12,250-12$ ${\ displaystyle 12.250-12}$ $12.250-12$	$=0,250$ ${\ displaystyle = 0.250}$ $= 0,250$	$1/0,250$ ${\ displaystyle 1 / 0,250}$ $1 / 0,250$	$=4,000$ ${\ displaystyle = 4.000}$ $= 4.000$
$4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$	$4,000-4$ ${\ displaystyle 4.000-4}$ $4.000-4$	$=0,000$ ${\ displaystyle = 0.000}$ $= 0,000$	SFÂRȘIT
Fracția continuată pentru 3.245 este [3; 4, 12, 4]
$3,245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$ ${\ displaystyle 3,245 = 3 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {12 + {\ cfrac {1} {4}}}}}}}$ $3.245 = 3 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {12 + {\ cfrac {1} {4}}}}}}$

Acest algoritm este potrivit pentru numerele reale, dar poate duce la dezastru numeric dacă este implementat cu numere în virgulă mobilă (virgulă mobilă), deoarece erorile mici din partea fracționată pot crea, prin inversare, diferențe mari în termenul următor. În schimb, fiecare număr în virgulă mobilă trebuie convertit într-un număr rațional (numitorul este o putere a două pe computerele moderne), din care se poate utiliza o variantă a algoritmului euclidian pentru a obține un rezultat corect.

Fracții continue finite și infinite, convergențe

Fiecare fracție continuă finită este un număr rațional și fiecare dintre ele poate fi reprezentată printr-o fracție continuă finită: prima afirmație este evidentă (simplificând fracția continuată obținem întotdeauna numere raționale), în timp ce a doua derivă din aplicarea algoritmului euclidian. . Acest lucru ne permite, de asemenea, să stabilim că fiecare număr rațional are exact două reprezentări în fracție continuă, care diferă doar în ultimul termen. Intr-adevar

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;

{\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \, \ ldots, a_ {n}, 1] = [a_ {0}; a_ {1}, a_ { 2}, a_ {3}, \, \ ldots, a_ {n} +1]. \;}

[a _ {{0}}; a _ {{1}}, a _ {{2}}, a _ {{3}}, \, \ ldots, a _ {{n}}, 1] = [ a _ {{0}}; la _ {{1}}, la _ {{2}}, la _ {{3}}, \, \ ldots, la _ {{n}} + 1]. \;

De exemplu, $[2;3,1]=[2;4]=9/4=2,25$ ${\ displaystyle [2; 3.1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25}$ $[2; 3,1] = [2; 4] = 9/4 = 2,25$

Dacă, pe de altă parte, numărul este irațional , reprezentarea în fracție continuă este infinită și unică; dimpotrivă, fiecare fracție continuă infinită reprezintă un număr irațional. Modul riguros de a face față acestei situații este de a lua în considerare limita fracțiilor trunchiate continue, care iau numele de convergențe sau convergențe : acestea sunt alternativ mai mari și mai mici decât numărul inițial, iar succesiunea lor tinde spre aceasta.

De exemplu, pentru o fracție continuă $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ ${\ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots]}$ $[a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ ldots]$ , primele patru convergențe (numerotate de la 0 la 3) sunt:

{\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0})+(a_{0}a_{1}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.

{\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {1}}, \ qquad {\ frac {a_ {0} a_ {1} +1} {a_ {1}}}, \ qquad {\ frac {a_ { 2} (a_ {0} a_ {1} +1) + a_ {0}} {a_ {2} a_ {1} +1}}, \ qquad {\ frac {a_ {3} (a_ {2} ( a_ {0} a_ {1} +1) + a_ {0}) + (a_ {0} a_ {1} +1)} {a_ {3} (a_ {2} a_ {1} +1) + a_ {1}}}.}

{\ frac {a_ {0}} {1}}, \ qquad {\ frac {a_ {0} a_ {1} +1} {a_ {1}}}, \ qquad {\ frac {a_ {2} ( a_ {0} a_ {1} +1) + a_ {0}} {a_ {2} a_ {1} +1}}, \ qquad {\ frac {a_ {3} (a_ {2} (a_ {0 } a_ {1} +1) + a_ {0}) + (a_ {0} a_ {1} +1)} {a_ {3} (a_ {2} a_ {1} +1) + a_ {1} }}.

În cuvinte, numeratorul celei de-a treia convergențe este format din produsul numărătorului celei de-a doua convergențe cu al treilea coeficient, adăugând numeratorul primei convergențe. Numitorii se găsesc în mod similar. Recursiv, postări $h_{1},h_{2},\ldots$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots}$ $h_ {1}, h_ {2}, \ ldots$ numeratorii și $k_{1},k_{2},\ldots$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots}$ $k_ {1}, k_ {2}, \ ldots$ numitorii, da

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.$ ${\ displaystyle h_ {n} = a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}, \ qquad k_ {n} = a_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2} .}$ $h_ {n} = a_ {n} h _ {{n-1}} + h _ {{n-2}}, \ qquad k_ {n} = a_ {n} k _ {{n-1}} + k _ {{n-2}}.$

și prin urmare convergențele pot fi exprimate prin formula

{\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.

{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} = {\ frac {a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}} {a_ {n} k_ {n -1} + k_ {n-2}}}.}

{\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} = {\ frac {a_ {n} h _ {{n-1}} + h _ {{n-2}}} {a_ {n} k_ {{n-1}} + k _ {{n-2}}}}.

unde sunt termenii inițiali

h_{-1}=0\quad h_{0}=1

{\ displaystyle h _ {- 1} = 0 \ quad h_ {0} = 1}

h _ {{- 1}} = 0 \ quad h_ {0} = 1

k_{-1}=1\quad k_{0}=0

{\ displaystyle k _ {- 1} = 1 \ quad k_ {0} = 0}

k _ {{- 1}} = 1 \ quad k_ {0} = 0

Acest lucru implică faptul că, pentru fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in {\ mathbb {R}}$ pozitiv,

\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.

{\ displaystyle \ left [a_ {0}; a_ {1}, \, \ dots, a_ {n-1}, x \ right] = {\ frac {xh_ {n-1} + h_ {n-2} } {xk_ {n-1} + k_ {n-2}}}.}

\ left [a_ {0}; a_ {1}, \, \ dots, a _ {{n-1}}, x \ right] = {\ frac {xh _ {{n-1}} + h _ { {n- 2}}} {xk _ {{n-1}} + k _ {{n-2}}}}.

O proprietate importantă leagă numeratorii și numitorii a două convergențe consecutive: de fapt, avem

k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}

{\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n} = (- 1) ^ {n}}

k_ {n} h _ {{n-1}} - k _ {{n-1}} h_ {n} = (- 1) ^ {n}

Aceasta implică faptul că fiecare convergență este redusă la termenii minimi (pentru că dacă h _n și k _n ar avea un divizor comun, acest lucru s-ar împărți $k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}$ ${\ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n}}$ $k_ {n} h _ {{n-1}} - k _ {{n-1}} h_ {n}$ , adică 1, ceea ce este imposibil); de asemenea, vă permite să rescrieți fracția continuată ca o serie cu semne alternative:

a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}}

{\ displaystyle a_ {0} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {k_ {n + 1} k_ {n}}}}

a_ {0} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {{n}}} {k _ {{n + 1}} k _ {{n }}}}

Convergențele se apropie una de alta: adică, dacă x _n este a n-a convergență și r < s < t , atunci

|x_{s}-x_{t}|<|x_{r}-x_{t}|

{\ displaystyle | x_ {s} -x_ {t} | <| x_ {r} -x_ {t} |}

| x_ {s} -x_ {t} | <| x_ {r} -x_ {t} |

Aproximări raționale

Cea mai bună aproximare rațională la un număr real x este un număr rațional ⁿ ⁄ _d , d > 0, care are caracteristica de a fi mai aproape de x decât orice altă aproximare cu un numitor mai mic. Fracția continuă simplă pentru x generează toate cele mai bune aproximări pentru x conform acestor 3 reguli:

trunchiați fracția continuă și, eventual, reduceți ultimul termen.
Termenul scăzut nu poate avea mai puțin de jumătate din valoarea inițială.
dacă termenul final este egal, o regulă specială decide dacă jumătate din valoarea sa este admisibilă. (uita-te jos.)

De exemplu, 0,84375 are ca fracție continuă [0; 1,5,2,2]. Mai jos sunt toate cele mai bune aproximări raționale.

[0; 1]	[0; 1,3]	[0; 1.4]	[0; 1,5]	[0; 1,5,2]	[0; 1,5,2,1]	[0; 1,5,2,2]
1	³⁄ ₄	⁴ ⁄ ₅	⁵ ⁄ ₆	¹¹ ⁄ ₁₃	¹⁶ ⁄ ₁₉	²⁷ ⁄ ₃₂

De asemenea, este posibil să estimăm cât de apropiate sunt convergențele de numărul original: de fapt, avem

{\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|x-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}<{\frac {1}{k_{n}^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {k_ {n} (k_ {n + 1} + k_ {n})}} <\ left | x - {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}} } \ right | <{\ frac {1} {k_ {n} k_ {n + 1}}} <{\ frac {1} {k_ {n} ^ {2}}}}

{\ frac {1} {k_ {n} (k _ {{n + 1}} + k_ {n})}} <\ left | x - {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}} } \ right | <{\ frac {1} {k_ {n} k _ {{n + 1}}}} <{\ frac {1} {k_ {n} ^ {2}}}

Această proprietate (care include monotonia numitorilor) permite crearea algoritmilor în care bunătatea aproximării este fixată de la început.

Dezvoltări infinite

Evoluții periodice

Joseph-Louis Lagrange în 1770 a demonstrat că un număr irațional are o expansiune periodică a fracției continue dacă și numai dacă este o irațională pătratică , adică dacă este soluția unei ecuații polinomiale de gradul doi cu coeficienți raționali. Fracția continuă este de asemenea pur periodică (adică periodică de la început) dacă și numai dacă conjugatul său algebric este între -1 și 0.

Fracțiile continue ale rădăcinilor pătrate ale numerelor întregi libere de pătrate au o formă specială: avem de fapt

{\sqrt {n}}=q_{0};{\overline {q_{1},q_{2},\cdots ,q_{2},q_{1},2q_{0}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} = q_ {0}; {\ overline {q_ {1}, q_ {2}, \ cdots, q_ {2}, q_ {1}, 2q_ {0}}}}

{\ sqrt {n}} = q_ {0}; \ overline {q_ {1}, q_ {2}, \ cdots, q_ {2}, q_ {1}, 2q_ {0}}

(bara superioară indică perioada); un termen central poate fi sau nu prezent.

"Proprietati tipice

Deși orice succesiune de numere întregi pozitive este expansiunea continuă a fracției unui număr, există unele proprietăți care se mențin pentru aproape toate numerele reale, adică a căror excepție formează un set de măsuri zero ; acestea implică faptul că, deși nu rămân mici, coeficienții nu pot fi prea mari prea frecvent.

Mai precis, dacă f ( n ) este o funcție cu valoare întreagă astfel încât f ( n )> 1 pentru toate n e

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f(n)}}=\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {f (n)}} = \ infty}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {f (n)}} = \ infty

atunci mulțimea numerelor reale astfel încât a _n < f ( n ) pentru fiecare n (unde a _n este al n - lea termen al fracției continue) este de măsură zero. Ca un caz special, acest lucru implică faptul că numerele ale căror coeficienți parțiali sunt delimitați formează un set de măsuri zero (luați doar f ( n ) = N , apoi luați uniunea pe toate N , care sunt o cantitate numărabilă ).

Pe de altă parte, prima lemă Borel-Cantelli poate fi utilizată pentru a demonstra că, dacă f ( n )> 1 pentru toate n și

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f(n)}}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {f (n)}} <\ infty}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {f (n)}} <\ infty

atunci mulțimea de numere astfel încât a _n > f ( n ) are infinit de multe ori măsura zero.

O altă proprietate interesantă este legată de media geometrică a coeficienților parțiali: pentru aproape toate numerele reale, de fapt, aceasta tinde spre o constantă, numită constantă Khinchin , independent de numărul de pornire; mai general, media

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}

{\ displaystyle K_ {p} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p } \ dreapta] ^ {1 / p}}

K_ {p} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} ^ { p} \ dreapta] ^ {{1 / p}}

este (pentru aproape toate x și pentru p <1) independent de numărul de pornire. Limita lui K _p , deoarece p tinde la 0, este constanta Khinchin. ^[1]

Unele evoluții speciale

Dezvoltările unor numere au structuri recunoscute. Printre acestea se numără câteva puteri ale și :

e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\ldots ]

{\ displaystyle e ^ {1 / n} = [1; n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1, \ ldots]}

e ^ {{1 / n}} = [1; n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1, \ ldots]

e^{2/n}=[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,\ldots ,3nk+{\frac {n-1}{2}},6n(2k+1),3nk+{\frac {5n-1}{2}},1,1,\ldots ]

{\ displaystyle e ^ {2 / n} = [1; {\ frac {n-1} {2}}, 6n, {\ frac {5n-1} {2}}, 1,1, \ ldots, 3nk + {\ frac {n-1} {2}}, 6n (2k + 1), 3nk + {\ frac {5n-1} {2}}, 1,1, \ ldots]}

e ^ {{2 / n}} = [1; {\ frac {n-1} {2}}, 6n, {\ frac {5n-1} {2}}, 1,1, \ ldots, 3nk + {\ frac {n-1} {2}}, 6n (2k + 1), 3nk + {\ frac {5n-1} {2}}, 1,1, \ ldots]

acesta din urmă pentru n ciudat; sunt cazuri speciale

e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\ldots ]

{\ displaystyle e = e ^ {1} = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1, 1, \ ldots]}

e = e ^ {1} = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1, \ ldots]

e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\ldots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\ldots ]

{\ displaystyle e ^ {2} = [7; 2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1, \ ldots , 3k, 12k + 6,3k + 2,1,1, \ ldots]}

e ^ {2} = [7; 2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1, \ ldots, 3k, 12k + 6,3k + 2,1,1, \ ldots]

Alte formule privesc tangenta și tangenta hiperbolică :

\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\ldots ]

{\ displaystyle \ tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \ ldots]}

\ tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \ ldots]

\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\ldots ]

{\ displaystyle \ tan (1 / n) = [0; n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1, \ ldots]}

\ tan (1 / n) = [0; n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1, \ ldots]

cu cazuri speciale

\tanh(1)={\frac {e-e^{-1}}{e+e^{-1}}}=[0;1,3,5,7,\ldots ]

{\ displaystyle \ tanh (1) = {\ frac {ee ^ {- 1}} {e + e ^ {- 1}}} = [0; 1,3,5,7, \ ldots]}

\ tanh (1) = {\ frac {e-e ^ {{- 1}}} {e + e ^ {{- 1}}}} = [0; 1,3,5,7, \ ldots]

\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.

{\ displaystyle \ tan (1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19, 1, \ dots] \, \!.}

\ tan (1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1, \ puncte] \, \!.

Ecuații diofantine

Fracțiile continue pot fi utilizate pentru a obține soluții explicite ale unor ecuații diofantine : de exemplu penultimul convergent la fracțiunea p / q dă o identitate Bézout pentru p și q , în timp ce soluțiile ecuației lui Pell

x^{2}-ny^{2}=1

{\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}

x ^ {2} -ny ^ {2} = 1

sunt date de unele convergente la fracția continuată a ${\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ $\ sqrt {n}$ . Legendre a conceput și o metodă de rezolvare a ecuației

x^{2}+y^{2}=p

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = p}

x ^ {2} + y ^ {2} = p

unde p este un prim sub forma 4 k + 1, prin convergenți la fracția continuată de ${\sqrt {p}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {p}}}$ ${\ sqrt {p}}$ .

Notă

^ Eric W. Weisstein, Constanta lui Khinchin , în MathWorld . Adus la 28 ianuarie 2010 .

Bibliografie

A. Da. Khinchin , Continued Fractions , 1935, traducere în engleză University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
CD Olds, Continuous Fractions , Zanichelli, 1992
Andrew M. Rockett și Peter Szusz, Fracții continue , World Scientific Press, 1992.
H. Davenport, Aritmetica superioară, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolul IV

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Calculator de fracții continuu online , la wims.unice.fr .
(RO) Linas Vepstas Punctul de întrebare Minkowski și Modular Group SL (2, Z) Depus la 8 februarie 2006 Arhiva Internet . (2004) analizează izomorfismele fracțiilor continue.
( EN ) Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) trece în revistă structurile haotice în fracții continue.
( EN ) Linas Vepstas Operatorul Bernoulli, Operatorul Gauss-Kuzmin-Wirsing și Riemann Zeta (2004) analizează operatorul continuu de schimbare a fracției (operatorul Gauss-Kuzmin-Wirsing).
(EN) Fracții continue pe arborele Stern-Brocot la tăierea nodului
( EN ) Francois Balsalobre cfc - a (cli) calculator de fracții continuate Arhivat 7 ianuarie 2006 la Internet Archive . pentru POSIX și Cygwin
(EN) Fracții continuate și ultima teoremă a lui Fermat.
(EN) Introducere elementară la fracțiile continuate , pe phy6.org.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85051149 · NDL (EN, JA) 00.569.391

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Eric W. Weisstein, Constanta lui Khinchin , în MathWorld . Adus la 28 ianuarie 2010 .

[1]