Funcția E a lui MacRobert

Funcția E a fost definită de Thomas Murray MacRobert în 1938 pentru a generaliza funcția hipergeometrică generalizată $\;_{p}F_{q}(\cdot )$ ${\ displaystyle \; _ {p} F_ {q} (\ cdot)}$ $\; _ {{p}} F _ {{q}} (\ cdot)$ la întâmplare $p>q+1$ ${\ displaystyle p> q + 1}$ $p> q + 1$ . Scopul final a fost introducerea unei funcții atât de generale încât să poată include ca caz particular majoritatea funcțiilor speciale cunoscute până atunci. Cu toate acestea, această funcție nu a avut un mare succes în literatură, deoarece poate fi întotdeauna exprimată în funcție de funcția Meijer G , în timp ce opusul nu este adevărat, deci funcția G are o validitate și mai generală.

Definiție

Există diferite moduri de definire a funcției $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ ; următorul este în ceea ce privește funcția hipergeometrică generalizată:

de sine $p<q$ ${\ displaystyle p <q}$ $p <q$ Și $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ $x \ neq 0$ sau $p=q+1$ ${\ displaystyle p = q + 1}$ $p = q + 1$ Și $|x|>1$ ${\ displaystyle | x |> 1}$ $| x |> 1$ :

E\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;x\right)={\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j})}}\;_{p}F_{q}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;-{\frac {1}{x}}\right)

{\ displaystyle E \ left (\ left. {\ begin {matrix} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ right ) = {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {p} \ Gamma (a_ {k})} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} \ Gamma (b_ {j})}} \; _ {p} F_ {q} \ left (\ left. {\ begin {matrix} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end {matrix}} \; \ right | \; - {\ frac {1} {x}} \ right)}

E \ left (\ left. {\ Begin {matrix} {\ mathbf {a_ {p}}} \\ {\ mathbf {b_ {q}}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ dreapta) = {\ frac {\ prod _ {{k = 1}} ^ {{p}} \ Gamma (a_ {k})} {\ prod _ {{j = 1}} ^ {{q}} \ Gamma (b_ {j})}};; {{p}} F _ {{q}} \ left (\ left. {\ Begin {matrix} {\ mathbf {a_ {p}}} \\ {\ mathbf {b_ {q}}} \ end {matrix}} \; \ right | \; - {\ frac {1} {x}} \ right)

de sine $p\geq q+1$ ${\ displaystyle p \ geq q + 1}$ $p \ geq q + 1$ :

E\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;x\right)=\sum _{n=1}^{p}{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}-a_{n})^{*}}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j}-b_{n})^{*}}}\Gamma (a_{n})x^{a_{n}}\;_{q+1}F_{p-1}\left(\left.{\begin{matrix}a_{n},a_{n}-b_{1}+1,\dots ,a_{n}-b_{q}+1\\a_{n}-a_{1},\dots ,*,\dots ,a_{n}-a_{p}+1\end{matrix}}\;\right|\;(-1)^{p+q}x\right)

{\ displaystyle E \ left (\ left. {\ begin {matrix} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ right ) = \ sum _ {n = 1} ^ {p} {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {p} \ Gamma (a_ {k} -a_ {n}) ^ {*}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} \ Gamma (b_ {j} -b_ {n}) ^ {*}}} \ Gamma (a_ {n}) x ^ {a_ {n}} \; _ { q + 1} F_ {p-1} \ left (\ left. {\ begin {matrix} a_ {n}, a_ {n} -b_ {1} +1, \ dots, a_ {n} -b_ {q } +1 \\ a_ {n} -a_ {1}, \ dots, *, \ dots, a_ {n} -a_ {p} +1 \ end {matrix}} \; \ right | \; (- 1 ) ^ {p + q} x \ dreapta)}

E \ left (\ left. {\ Begin {matrix} {\ mathbf {a_ {p}}} \\ {\ mathbf {b_ {q}}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ dreapta) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{p}} {\ frac {\ prod _ {{k = 1}} ^ {{p}} \ Gamma (a_ {k} -a_ {n }) ^ {*}} {\ prod _ {{j = 1}} ^ {{q}} \ Gamma (b_ {j} -b_ {n}) ^ {*}}} \ Gamma (a_ {n} ) x ^ {{a_ {n}}} \; _ {{q + 1}} F _ {{p-1}} \ left (\ left. {\ begin {matrix} a_ {n}, a_ {n } -b_ {1} +1, \ dots, a_ {n} -b_ {q} +1 \\ a_ {n} -a_ {1}, \ dots, *, \ dots, a_ {n} -a_ { p} +1 \ end {matrix}} \; \ right | \; (- 1) ^ {{p + q}} x \ right)

Asteriscurile vă reamintesc să ignorați cazurile $a_{k}=a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {k} = a_ {n}}$ $a_ {k} = a_ {n}$ Și $b_{j}=b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {j} = b_ {n}}$ $b_ {j} = b_ {n}$ , înlocuind zerourile care ar fi obținute în producție cu un 1 . După cum este evident, este valabil pentru orice valoare de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ .

Relația cu funcția Meijer G.

Functia $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ poate fi întotdeauna exprimat în funcție de funcție $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de Meijer după cum urmează:

E\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;x\right)=G_{q+1,p}^{p,1}\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\;x\right)

{\ displaystyle E \ left (\ left. {\ begin {matrix} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ right ) = G_ {q + 1, p} ^ {p, 1} \ left (\ left. {\ Begin {matrix} 1, \ mathbf {b_ {q}} \\\ mathbf {a_ {p}} \ end {matrice}} \; \ right | \; x \ right)}

E \ left (\ left. {\ Begin {matrix} {\ mathbf {a_ {p}}} \\ {\ mathbf {b_ {q}}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ dreapta) = G _ {{q + 1, p}} ^ {{p, 1}} \ left (\ left. {\ begin {matrix} 1, {\ mathbf {b_ {q}}} \\ {\ mathbf {a_ {p}}} \ end {matrix}} \; \ right | \; x \ right)

nu există limitări ale valorilor parametrilor, adică această relație are valabilitate generală.

Bibliografie

( EN ) LC Andrews,Funcții speciale pentru ingineri și matematicieni aplicați , New York, MacMillan, 1985, ISBN 0-02-948650-5 .
( EN ) A. Erdélyi , W. Magnus, F. Oberhettinger și FG Tricomi, Higher Transcendental Functions ( PDF ), Vol. 1, New York, McGraw - Hill, 1953. (a se vedea § 5.2, "Definiția funcției E ", p. 203)
( RU ) Izrail 'Solomonovich Gradshteyn și Iosif Moiseevich Ryzhik, Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tabelele integralelor, sumelor, seriilor și produselor] , 5, Moscova, Nauka, 1971. (vezi Capitolul 9.4)

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Funcția E a lui MacRobert în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică