Regula Bayes

În contextul teoriei probabilității și a aplicațiilor sale, regula lui Bayes leagă disparitățile evenimentului $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ la eveniment $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , înainte și după condiționarea lor la eveniment $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ $B_ {1}$ . Relația este exprimată în termeni de factor Bayes , $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ . Regula lui Bayes este derivată din și este strâns legată de teorema lui Bayes . Regula lui Bayes poate fi preferată teoremei omonime atunci când probabilitatea relativă a două evenimente (adică posibilitățile lor de a se produce) este importantă, dar nu și probabilitățile individuale. Acest lucru se datorează regulii lui Bayes $P(B)$ ${\ displaystyle P (B)}$ ${\ displaystyle P (B)}$ este eliminat și, prin urmare, nu trebuie calculat ( vezi Derivarea ). Regula lui Bayes este utilizată în prezent în domeniile științifice și inginerești , în special pentru selectarea modelelor .

Conform interpretării frecvenței probabilității, regula lui Bayes este o relație generală între disparități $O(A_{1}:A_{2})$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2})}$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2})}$ Și $O(A_{1}:A_{2}|B)$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B)}$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B)}$ , pentru orice eveniment $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în același spațiu al evenimentelor . În acest caz, $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ reprezintă impactul condiționării asupra disparităților evenimentelor. Aceasta este o formă de inferență bayesiană ; cantitatea $O(A_{1}:A_{2})$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2})}$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2})}$ se numește disparitate a priori , în timp ce $O(A_{1}:A_{2}|B)$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B)}$ ${\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B)}$ este disparitatea a posteriori . Prin analogie cu termenii de probabilitate a priori și a posteriori, regula lui Bayes poate fi privită ca teorema lui Bayes în termeni de disparitate. Pentru mai multe detalii despre aplicarea regulii Bayes în cadrul interpretării Bayesiene a probabilității, consultați intrarea de selecție a modelului Bayesian .

Regula

Eveniment unic

Având în vedere evenimentele $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ , $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , Regula lui Bayes afirmă că disparitățile condiționate ale $A_{1}:A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {1}: A_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {1}: A_ {2}}$ dat $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt egale cu disparitățile marginale ale $A_{1}:A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {1}: A_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {1}: A_ {2}}$ înmulțiți cu factorul Bayes $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ :

O(A_{1}:A_{2}|B)=\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\cdot O(A_{1}:A_{2}),

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}),}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}),}

unde este

\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}}.

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}}.}

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}}.}

În cazul special în care $A_{1}=A$ ${\ displaystyle A_ {1} = A}$ ${\ displaystyle A_ {1} = A}$ Și $A_{2}=\neg A$ ${\ displaystyle A_ {2} = \ neg A}$ ${\ displaystyle A_ {2} = \ neg A}$ , acest lucru poate fi scris ca:

O(A|B)=\Lambda (A|B)\cdot O(A).

{\ displaystyle O (A | B) = \ Lambda (A | B) \ cdot O (A).}

{\ displaystyle O (A | B) = \ Lambda (A | B) \ cdot O (A).}

Evenimente multiple

Regula lui Bayes poate fi condiționată de un număr arbitrar de evenimente. Pentru două evenimente $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ,

O(A_{1}:A_{2}|B\cap C)=\Lambda (A_{1}:A_{2}|B\cap C)\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\cdot O(A_{1}:A_{2}),

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) \ cdot \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}),}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) \ cdot \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}),}

unde este

\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)={\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}},

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}},}

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}},}

\Lambda (A_{1}:A_{2}|B\cap C)={\frac {P(C|A_{1}\cap B)}{P(C|A_{2}\cap B)}}.

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) = {\ frac {P (C | A_ {1} \ cap B)} {P (C | A_ {2} \ cap B)}}.}

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B \ cap C) = {\ frac {P (C | A_ {1} \ cap B)} {P (C | A_ {2} \ cap B)}}.}

În acest caz, notația echivalentă este

O(A|B,C)=\Lambda (A|B\cap C)\cdot \Lambda (B|A)\cdot O(A).

{\ displaystyle O (A | B, C) = \ Lambda (A | B \ cap C) \ cdot \ Lambda (B | A) \ cdot O (A).}

{\ displaystyle O (A | B, C) = \ Lambda (A | B \ cap C) \ cdot \ Lambda (B | A) \ cdot O (A).}

Derivare

Să luăm în considerare două exemple ale teoremei lui Bayes :

P(A_{1}|B)={\frac {1}{P(B)}}\cdot P(B|A_{1})\cdot P(A_{1}),

{\ displaystyle P (A_ {1} | B) = {\ frac {1} {P (B)}} \ cdot P (B | A_ {1}) \ cdot P (A_ {1}),}

{\ displaystyle P (A_ {1} | B) = {\ frac {1} {P (B)}} \ cdot P (B | A_ {1}) \ cdot P (A_ {1}),}

P(A_{2}|B)={\frac {1}{P(B)}}\cdot P(B|A_{2})\cdot P(A_{2}).

{\ displaystyle P (A_ {2} | B) = {\ frac {1} {P (B)}} \ cdot P (B | A_ {2}) \ cdot P (A_ {2}).}

{\ displaystyle P (A_ {2} | B) = {\ frac {1} {P (B)}} \ cdot P (B | A_ {2}) \ cdot P (A_ {2}).}

Combinându-le împreună obținem

{\frac {P(A_{1}|B)}{P(A_{2}|B)}}={\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}}\cdot {\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}}.

{\ displaystyle {\ frac {P (A_ {1} | B)} {P (A_ {2} | B)}} = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}} \ cdot {\ frac {P (A_ {1})} {P (A_ {2})}}.}

{\ displaystyle {\ frac {P (A_ {1} | B)} {P (A_ {2} | B)}} = {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}} \ cdot {\ frac {P (A_ {1})} {P (A_ {2})}}.}

Acum să definim

O(A_{1}:A_{2}|B)\triangleq {\frac {P(A_{1}|B)}{P(A_{2}|B)}}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) \ triangleq {\ frac {P (A_ {1} | B)} {P (A_ {2} | B)}}}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) \ triangleq {\ frac {P (A_ {1} | B)} {P (A_ {2} | B)}}}

O(A_{1}:A_{2})\triangleq {\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2}) \ triangleq {\ frac {P (A_ {1})} {P (A_ {2})}}}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2}) \ triangleq {\ frac {P (A_ {1})} {P (A_ {2})}}}

\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\triangleq {\frac {P(B|A_{1})}{P(B|A_{2})}},

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ triangleq {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}},}

{\ displaystyle \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ triangleq {\ frac {P (B | A_ {1})} {P (B | A_ {2})}},}

asta implică

O(A_{1}:A_{2}|B)=\Lambda (A_{1}:A_{2}|B)\cdot O(A_{1}:A_{2}).

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}).}

{\ displaystyle O (A_ {1}: A_ {2} | B) = \ Lambda (A_ {1}: A_ {2} | B) \ cdot O (A_ {1}: A_ {2}).}

O derivare similară este aplicabilă pentru condiționarea evenimentelor multiple, utilizând extensia corespunzătoare a teoremei lui Bayes

Exemplu

Vom face acum un exemplu de aplicare a regulii lui Bayes, dar mai întâi vom arăta exemplul corespunzător pentru teorema lui Bayes.

Să presupunem că un test de droguri are o sensibilitate (adică un coeficient între numărul pozitivilor adevărați și suma acestora din urmă și numărul de negative negative) de 99% și o specificitate (adică coeficientul dintre numărul negativelor adevărate și suma dintre acestea din urmă și numărul falsurilor pozitive) de 99%. Adică, testul produce 99% pozitive adevărate pentru consumatorii de droguri și 99% rezultate negative pentru cei care nu. Să presupunem că 0,5% dintre oameni consumă droguri. Dacă un individ ales aleatoriu dă rezultate pozitive, atunci care este probabilitatea ca acesta să fie consumator de droguri?

{\begin{aligned}P({\text{Fruitore}}|{\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}|{\text{Fruitore}})P({\text{Fruitore}})}{P({\text{+}}|{\text{Fruitore}})P({\text{Fruitore}})+P({\text{+}}|{\text{Non Fruitore}})P({\text{Non Fruitore}})}}\\[8pt]&={\frac {0.99\times 0.005}{0.99\times 0.005+0.01\times 0.995}}\\[8pt]&\approx 33.2\%\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P ({\ text {User}} | {\ text {+}}) & = {\ frac {P ({\ text {+}} | {\ text {User}} ) P ({\ text {User}})} {P ({\ text {+}} | {\ text {User}}) P ({\ text {User}}) + P ({\ text {+} } | {\ text {Not User}}) P ({\ text {Not User}})}} \\ [8pt] & = {\ frac {0.99 \ times 0.005} {0.99 \ times 0.005 + 0.01 \ times 0.995 }} \\ [8pt] & \ approx 33,2 \% \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} P ({\ text {User}} | {\ text {+}}) & = {\ frac {P ({\ text {+}} | {\ text {User}} ) P ({\ text {User}})} {P ({\ text {+}} | {\ text {User}}) P ({\ text {User}}) + P ({\ text {+} } | {\ text {Nu este utilizator}}) P ({\ text {Nu este utilizator}})}} \\ [8pt] & = {\ frac {0,99 \ ori 0,005} {0,99 \ ori 0,005 + 0,01 \ ori 0,995 }} \\ [8pt] & \ approx 33,2 \% \ end {align}}}

În ciuda preciziei aparente a testului, dacă un individ dă rezultate pozitive, atunci este mai probabil să nu fie un consumator de droguri decât să fie.

Acest rezultat surprinzător provine din numărul mare de non-consumatori de droguri comparativ cu cel al consumatorilor de droguri, astfel încât numărul de fals pozitivi (0,995%) depășește numărul de pozitivi adevărați (0,495%). Concret, în termeni numerici, dacă 1000 de persoane sunt testate, se așteaptă ca 995 dintre aceștia să nu fie utilizatori și 5 să fie. De asemenea, este de așteptat ca din cei 995 de non-utilizatori, $0.01\times 995\approx 10$ ${\ displaystyle 0,01 \ ori 995 \ aproximativ 10}$ ${\ displaystyle 0,01 \ ori 995 \ aproximativ 10}$ sunt fals pozitive. Dintre cei 5 utilizatori se așteaptă ca. $0.99\times 5\approx 5$ ${\ displaystyle 0,99 \ ori 5 \ aproximativ 5}$ ${\ displaystyle 0,99 \ ori 5 \ aproximativ 5}$ sunt adevărate pozitive. Din cele 15 rezultate pozitive ale testului, doar 5 sunt autentice sau aproximativ 33%.

Aceleași rezultate pot fi obținute folosind regula lui Bayes. Diferențele a priori conform cărora un individ este consumator de droguri sunt de la 1 la 199, în acest sens $\textstyle 0.5\%={\frac {1}{200}}$ ${\ displaystyle \ textstyle 0.5 \% = {\ frac {1} {200}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle 0.5 \% = {\ frac {1} {200}}}$ Și $\textstyle 99.5\%={\frac {199}{200}}$ ${\ displaystyle \ textstyle 99.5 \% = {\ frac {199} {200}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle 99.5 \% = {\ frac {199} {200}}}$ respectiv. Factorul Bayes atunci când un individ testează pozitiv este $\textstyle {\frac {0.99}{0.01}}=99:1$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {0.99} {0.01}} = 99: 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {0.99} {0.01}} = 99: 1}$ în favoarea consumatorului de droguri: acest lucru este echivalent cu raportul dintre probabilitatea unui individ de a testa pozitiv și probabilitatea ca un non-utilizator să dea test pozitiv. Prin urmare, diferențele a posteriori de a fi consumator de droguri sunt $\textstyle 1\times 99:199\times 1=99:199$ ${\ displaystyle \ textstyle 1 \ times 99: 199 \ times 1 = 99: 199}$ ${\ displaystyle \ textstyle 1 \ times 99: 199 \ times 1 = 99: 199}$ , care este foarte aproape de $\textstyle 100:200=1:2$ ${\ displaystyle \ textstyle 100: 200 = 1: 2}$ ${\ displaystyle \ textstyle 100: 200 = 1: 2}$ . Aproximativ vorbind, doar unul din trei dintre cei care dau rezultate pozitive sunt de fapt consumatori de droguri.

linkuri externe

Manualul on-line: Teoria informației, inferența și algoritmii de învățare , de David JC MacKay , discută compararea modelelor bayesiene în capitolele 3 și 28.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57886

Portal de statistici : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de statistici

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rata de eșec · Estimatorul Kaplan-Meier · jurnalul de testare
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit