Teorema lui Gauss-Lucas

În analiza complexă , o ramură a matematicii , teorema Gauss - Lucas oferă o relație geometrică între rădăcinile unui polinom $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și rădăcinile derivatului său ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ . Mulțimea rădăcinilor unui polinom real sau complex este un set de puncte din planul complex . Teorema afirmă că rădăcinile ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ toate se află în plicul convex al rădăcinilor din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , adică cel mai mic poligon convex care conține rădăcinile lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Cand $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ are o singură rădăcină, atunci plicul său convex este un singur punct, în timp ce atunci când zerourile se află pe o linie, atunci plicul este un segment aparținând acelei linii. Teorema Gauss - Lucas, care își datorează numele lui Carl Friedrich Gauss și Félix Lucas, este foarte asemănătoare în unele privințe cu teorema lui Rolle .

Afirmație

Este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un polinom (neconstant) cu coeficienți complecși, apoi toate rădăcinile lui ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ aparțin plicului convex al setului de zerouri ale $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . ^[1]

Cazuri speciale

Este ușor de văzut asta $P(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ este un polinom de gradul al doilea , zero de $P'(x)=2ax+b$ ${\ displaystyle P '(x) = 2ax + b}$ ${\ displaystyle P '(x) = 2ax + b}$ este mijlocul rădăcinilor $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . În acest caz, anvelopa convexă este segmentul extremelor celor două rădăcini și este evident că media zerourilor se află în punctul mediu al segmentului respectiv. Pentru un polinom complex $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de gradul III ( funcție cubică ) cu trei zerouri distincte, teorema lui Marden afirmă că zerourile lui ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ sunt focarele inelipsei lui Steiner , care este singura elipsă tangentă la laturile triunghiului format de zerourile $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în punctele lor medii.

Pentru un polinom complex $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ gradul al patrulea cu 4 zerouri distincte formând un patrulater concav, unul dintre zerourile lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se află în plicul convex al celorlalte trei; toate cele trei rădăcini ale ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ se află în două dintre cele trei triunghiuri formate de zero interior al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar celelalte două. ^[2]

Mai mult, dacă este un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un coeficienți reali are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini distincte $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_ {n}}$ , se arată, folosind teorema lui Rolle , că zerourile polinomului derivat se află în interval $[x_{1},x_{n}]$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ , care este plicul convex al setului de rădăcini.

Plicul convex al rădăcinilor polinomului $p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}$ în special include punctul $-{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}}$ .

Demonstrație

Pe numere complexe, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ poate fi luată în considerare în factori primi

P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})

{\ displaystyle P (z) = \ alpha \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}

{\ displaystyle P (z) = \ alpha \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}

unde numere complexe $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}$ ele sunt rădăcinile - nu neapărat distincte - ale polinomului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , numărul complex $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este coeficientul principal al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este gradul polinomului. Este $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ orice număr complex pentru care $P(z)\neq 0$ ${\ displaystyle P (z) \ neq 0}$ ${\ displaystyle P (z) \ neq 0}$ . Apoi avem derivata logaritmică

{\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}.

{\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i} }}.}

{\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i} }}.}

În special, dacă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este un zero de ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ Și $P(z)\neq 0$ ${\ displaystyle P (z) \ neq 0}$ ${\ displaystyle P (z) \ neq 0}$ , asa de

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}

,

echivalentă cu

\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0.

{\ displaystyle \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} = 0.}

{\ displaystyle \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} = 0.}

Îl poți scrie ca

\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}\right).

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} \ right) {\ overline {z} } = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} \ right) {\ overline {z} } = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ dreapta).}

Luând conjugatele, observăm că $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este o sumă ponderată cu coeficienți pozitivi care au o sumă egală cu 1 sau centrul de greutate în coordonate afine, al numerelor complexe $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ (cu o contribuție diferită atribuită fiecărei rădăcini și astfel încât suma greutăților să fie 1).

De sine $P(z)=P^{\prime }(z)=0$ ${\ displaystyle P (z) = P ^ {\ prime} (z) = 0}$ ${\ displaystyle P (z) = P ^ {\ prime} (z) = 0}$ , asa de $z=1\cdot a_{i}+\left(\sum _{j=1,j\neq i}^{n}0\cdot {a_{j}}\right)$ ${\ displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}$ ${\ displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}$ pentru unii $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , și este încă o combinație convexă a rădăcinilor de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .