Transformarea lui Legendre

Afișare tip metodă punct fix . O functie

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

, (culoare roșie), are o linie tangentă în punct

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

(culoarea albastra). Această tangentă are o pantă

f'(x)

{\ displaystyle f '(x)}

f '(x)

, și intersectează axa verticală la

(0,-g)

{\ displaystyle (0, -g)}

{\ displaystyle (0, -g)}

.

g

{\ displaystyle g}

g

este valoarea transformării Legendre a lui f în punctul x. Varianta punctului x variază transformarea g (x) care este legată de valoarea f (x) și de derivata sa f '(x).

În analiza funcțională, funcționalul Legendre sau transformarea Legendre este o involuție funcțională care a fost definită de Adrien-Marie Legendre . Funcția de rezultat se numește de obicei transformată , ca și transformatele integrale ale lui Laplace, Fourier etc. Permite o modificare majoră a variabilelor pentru funcții cu unele proprietăți. Funcționalul este inversul lui însuși

Este foarte important în termodinamică : funcțiile energetice ( energia internă , entalpia , energia liberă a lui Gibbs ) sunt de fapt legate între ele prin transformări Legendre.

Argumentul Legendre funcțional este o real- evaluată funcție convexă a unei variabile reale, iar rezultatul este o altă funcție convexă dependentă în mod explicit de derivat al argumentului. ^[1]

Definiție

Transformarea lui Legendre $f^{\star }$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ a unei funcții convexe reale $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ este dat de:

f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}\qquad p\in \mathbb {R}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (p) = \ sup _ {x} {\ bigl (} px-f (x) {\ bigr)} \ qquad p \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (p) = \ sup _ {x} {\ bigl (} px-f (x) {\ bigr)} \ qquad p \ in \ mathbb {R}}

In caz $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ transformarea este diferențiată $f^{\star }$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ poate fi văzută ca valoarea semnului modificată a interceptării pe axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ unei anumite linii tangente la funcție, aceea de pantă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . ^[2] Pentru a calcula extremanta de $px-f(x)$ ${\ displaystyle px-f (x)}$ ${\ displaystyle px-f (x)}$ în comparație cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , care este punctul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care distanța dintre funcție și linia dreaptă este maximă $y=px$ ${\ displaystyle y = px}$ ${\ displaystyle y = px}$ , derivatul este nul:

{\frac {d}{dx}}\left(px-f(x)\right)=p-{df(x) \over dx}=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (px-f (x) \ right) = p- {df (x) \ over dx} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (px-f (x) \ right) = p- {df (x) \ over dx} = 0}

prin urmare, valoarea maximă apare atunci când:

p={df(x) \over dx}=f'(x)

{\ displaystyle p = {df (x) \ over dx} = f '(x)}

{\ displaystyle p = {df (x) \ over dx} = f '(x)}

In caz $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ avem:

\nabla _{x}\left(p\cdot x-f(x)\right)=0

{\ displaystyle \ nabla _ {x} \ left (p \ cdot xf (x) \ right) = 0}

{\ displaystyle \ nabla _ {x} \ left (p \ cdot x-f (x) \ right) = 0}

și vectorul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ coincide cu gradientul:

p=\nabla f(x)

{\ displaystyle p = \ nabla f (x)}

{\ displaystyle p = \ nabla f (x)}

Scris $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ca o funcție a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și inserarea acestuia în derivată oferă o definiție operațională:

f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x)=p\,\,x(p)-f(x(p))

{\ displaystyle f ^ {\ star} (f '(x)) = xf' (x) -f (x) = p \, \, x (p) -f (x (p))}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (f '(x)) = xf' (x) -f (x) = p \, \, x (p) -f (x (p))}

unde în relația din dreapta depinde de transformarea din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Transformarea Legendre se transformă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-o altă funcție dependentă în mod explicit de derivată $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ în loc de din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . ^[3]

Funcție generatoare

Un mod de a scrie explicit $f^{\star }(p)$ ${\ displaystyle f ^ {\ star} (p)}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star} (p)}$ se obține prin diferențierea funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

df=f'(x)\,dx={\frac {df}{dx}}dx=p\,dx

{\ displaystyle df = f '(x) \, dx = {\ frac {df} {dx}} dx = p \, dx}

{\ displaystyle df = f '(x) \, dx = {\ frac {df} {dx}} dx = p \, dx}

Introducerea funcției auxiliare $g=f-px$ ${\ displaystyle g = f-px}$ ${\ displaystyle g = f-px}$ avem:

dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp

{\ displaystyle dg = df-p \, dx-x \, dp = -x \, dp}

{\ displaystyle dg = df-p \, dx-x \, dp = -x \, dp}

fiind $df=p\,dx$ ${\ displaystyle df = p \, dx}$ ${\ displaystyle df = p \, dx}$ . Prin urmare, avem:

x(p)=-{\frac {dg(p)}{dp}}

{\ displaystyle x (p) = - {\ frac {dg (p)} {dp}}}

{\ displaystyle x (p) = - {\ frac {dg (p)} {dp}}}

Funcția auxiliară $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se numește generatrix .

În general, se arată că dacă $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ Și $g(p)=f^{\star }(p)$ ${\ displaystyle g (p) = f ^ {\ star} (p)}$ ${\ displaystyle g (p) = f ^ {\ star} (p)}$ asa de $x(p)=\nabla g(p)$ ${\ displaystyle x (p) = \ nabla g (p)}$ ${\ displaystyle x (p) = \ nabla g (p)}$ , unde este $x(p)$ ${\ displaystyle x (p)}$ ${\ displaystyle x (p)}$ este soluția $p=\nabla f(x)$ ${\ displaystyle p = \ nabla f (x)}$ ${\ displaystyle p = \ nabla f (x)}$ . Acest rezultat ne permite să arătăm că transformata Legendre aplicată unei funcții convexe produce o altă funcție convexă.

Definiție alternativă

Transformarea lui Legendre $f^{\star }$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi definit și ca transformare astfel încât prima sa derivată și derivata funcției să fie una funcția inversă a celeilalte. Spus $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ operatorul de derivare:

Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}

{\ displaystyle Df = \ left (Df ^ {\ star} \ right) ^ {- 1}}

{\ displaystyle Df = \ left (Df ^ {\ star} \ right) ^ {- 1}}

Într-adevăr, derivând $f^{\star }$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ în comparație cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ avem:

{df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x

{\ displaystyle {df ^ {\ star} (p) \ over dp} = {d \ over dp} (xp-f (x)) = x + p {dx \ over dp} - {df \ over dx} { dx \ over dp} = x}

{\ displaystyle {df ^ {\ star} (p) \ over dp} = {d \ over dp} (xp-f (x)) = x + p {dx \ over dp} - {df \ over dx} { dx \ over dp} = x}

Prin urmare, relațiile sunt valabile:

p={df \over dx}(x)\qquad x={df^{\star } \over dp}(p)

{\ displaystyle p = {df \ over dx} (x) \ qquad x = {df ^ {\ star} \ over dp} (p)}

{\ displaystyle p = {df \ over dx} (x) \ qquad x = {df ^ {\ star} \ over dp} (p)}

unde funcțiile $D. f$ ${\ displaystyle Df}$ $Df$ Și $Df^{\star }$ ${\ displaystyle Df ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle Df ^ {\ star}}$ sunt determinate în mod unic, cu excepția cazului în care există o constantă aditivă, de obicei fixată cu condiția suplimentară:

f(x)+f^{\star }(p)=x\,p

{\ displaystyle f (x) + f ^ {\ star} (p) = x \, p}

{\ displaystyle f (x) + f ^ {\ star} (p) = x \, p}

Funcțiile mai multor variabile

Considera $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ al cărui diferențial este dat de:

df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy=udx+vdy

{\ displaystyle df = {\ partial f \ over \ partial x} dx + {\ partial f \ over \ partial y} dy = udx + vdy}

{\ displaystyle df = {\ partial f \ over \ partial x} dx + {\ partial f \ over \ partial y} dy = udx + vdy}

Pentru a construi o funcție care depinde de $d tu$ ${\ displaystyle du}$ $du$ Și $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ (in loc de $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ Și $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ ) este definit $g(u,y)=f-ux$ ${\ displaystyle g (u, y) = f-ux}$ ${\ displaystyle g (u, y) = f-ux}$ . Diferențierea:

dg=df-udx-xdu=udx+vdy-udx-xdu=-xdu+vdy

{\ displaystyle dg = df-udx-xdu = udx + vdy-udx-xdu = -xdu + vdy}

{\ displaystyle dg = df-udx-xdu = udx + vdy-udx-xdu = -xdu + vdy}

de la care:

x=-{\partial g \over \partial u}\qquad v={\partial g \over \partial y}

{\ displaystyle x = - {\ partial g \ over \ partial u} \ qquad v = {\ partial g \ over \ partial y}}

{\ displaystyle x = - {\ partial g \ over \ partial u} \ qquad v = {\ partial g \ over \ partial y}}

Functia $g(u,y)$ ${\ displaystyle g (u, y)}$ ${\ displaystyle g (u, y)}$ este rezultatul transformării lui Legendre a $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ unde variabila independentă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a fost înlocuit cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ .

Exemplu

De exemplu, pentru orice eventualitate $f(x)=\log x$ ${\ displaystyle f (x) = \ log x}$ ${\ displaystyle f (x) = \ log x}$ obținem că:

p={\frac {df}{dx}}={\frac {1}{x}}

{\ displaystyle p = {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {1} {x}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {1} {x}}}

prin urmare:

f^{\star }(p)=1-\log {\frac {1}{p}}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (p) = 1- \ log {\ frac {1} {p}}}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (p) = 1- \ log {\ frac {1} {p}}}

Cu procedura formală, totuși, folosind generatorul în acest caz avem:

g=\log x-px\qquad x=-{\frac {dg}{dp}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}+p{\frac {dx}{dp}}+x

{\ displaystyle g = \ log x-px \ qquad x = - {\ frac {dg} {dp}} = - {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {dp}} + p { \ frac {dx} {dp}} + x}

{\ displaystyle g = \ log x-px \ qquad x = - {\ frac {dg} {dp}} = - {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {dp}} + p { \ frac {dx} {dp}} + x}

și simplificarea:

{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}=p{\frac {dx}{dp}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {dp}} = p {\ frac {dx} {dp}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {dp}} = p {\ frac {dx} {dp}}}

de la care:

{\frac {1}{x}}=p

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = p}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = p}

Transformarea într-o dimensiune

Într-o dimensiune, transformarea lui Legendre a $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ poate fi evaluat cu formula:

f^{\star }(y)=y\,x-f(x)\qquad x={\dot {f}}^{-1}(y)

{\ displaystyle f ^ {\ star} (y) = y \, xf (x) \ qquad x = {\ dot {f}} ^ {- 1} (y)}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (y) = y \, x-f (x) \ qquad x = {\ dot {f}} ^ {- 1} (y)}

Pentru a arăta acest lucru, luăm în considerare definiția:

{\dot {f}}(x)={\dot {f}}^{\star -1}(x)

{\ displaystyle {\ dot {f}} (x) = {\ dot {f}} ^ {\ star -1} (x)}

{\ displaystyle {\ dot {f}} (x) = {\ dot {f}} ^ {\ star -1} (x)}

Prin integrarea ambilor membri din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ , folosind teorema fundamentală a calculului integral în partea stângă și înlocuind cu termenul corect:

y={\dot {f}}^{\star -1}(x)

{\ displaystyle y = {\ dot {f}} ^ {\ stea -1} (x)}

{\ displaystyle y = {\ dot {f}} ^ {\ stea -1} (x)}

avem:

f(x_{1})-f(x_{0})=\int _{y_{0}}^{y_{1}}y\,{\ddot {f}}^{\star }(y)\,dy

{\ displaystyle f (x_ {1}) - f (x_ {0}) = \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} y \, {\ ddot {f}} ^ {\ star} (y) \, dy}

{\ displaystyle f (x_ {1}) - f (x_ {0}) = \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} y \, {\ ddot {f}} ^ {\ star} (y) \, dy}

cu:

f^{\star }(y_{0})=x_{0}\qquad f^{\star }(y_{1})=x_{1}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (y_ {0}) = x_ {0} \ qquad f ^ {\ star} (y_ {1}) = x_ {1}}

{\ displaystyle f ^ {\ star} (y_ {0}) = x_ {0} \ qquad f ^ {\ star} (y_ {1}) = x_ {1}}

Integrarea pe piese:

y_{1}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{1})-y_{0}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{0})-\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\dot {f}}^{\star }(y)\,dy=y_{1}\,x_{1}-y_{0}\,x_{0}-f^{\star }(y_{1})+f^{\star }(y_{0})

{\ displaystyle y_ {1} \, {\ dot {f}} ^ {\ star} (y_ {1}) - y_ {0} \, {\ dot {f}} ^ {\ star} (y_ {0 }) - \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} {\ dot {f}} ^ {\ star} (y) \, dy = y_ {1} \, x_ {1} -y_ {0} \, x_ {0} -f ^ {\ star} (y_ {1}) + f ^ {\ star} (y_ {0})}

{\ displaystyle y_ {1} \, {\ dot {f}} ^ {\ star} (y_ {1}) - y_ {0} \, {\ dot {f}} ^ {\ star} (y_ {0 }) - \ int _ {y_ {0}} ^ {y_ {1}} {\ dot {f}} ^ {\ star} (y) \, dy = y_ {1} \, x_ {1} -y_ {0} \, x_ {0} -f ^ {\ star} (y_ {1}) + f ^ {\ star} (y_ {0})}

prin urmare:

f(x_{1})+f^{\star }(y_{1})-y_{1}\,x_{1}=f(x_{0})+f^{\star }(y_{0})-y_{0}\,x_{0}

{\ displaystyle f (x_ {1}) + f ^ {\ star} (y_ {1}) - y_ {1} \, x_ {1} = f (x_ {0}) + f ^ {\ star} ( y_ {0}) - y_ {0} \, x_ {0}}

{\ displaystyle f (x_ {1}) + f ^ {\ star} (y_ {1}) - y_ {1} \, x_ {1} = f (x_ {0}) + f ^ {\ star} ( y_ {0}) - y_ {0} \, x_ {0}}

Deoarece termenul stâng depinde doar de $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ iar cel din dreapta numai din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ :

f(x)+f^{\star }(y)-y\,x=C\qquad x={\dot {f}}^{\star }(y)={\dot {f}}^{-1}(y)

{\ displaystyle f (x) + f ^ {\ star} (y) -y \, x = C \ qquad x = {\ dot {f}} ^ {\ star} (y) = {\ dot {f} } ^ {- 1} (y)}

{\ displaystyle f (x) + f ^ {\ star} (y) -y \, x = C \ qquad x = {\ dot {f}} ^ {\ star} (y) = {\ dot {f} } ^ {- 1} (y)}

Rezolvarea pentru $f^{\star }$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ star}}$ și alegând $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ se obține relația inițială.

Hamiltoniană

Același subiect în detaliu: mecanica hamiltoniană și ecuațiile lui Hamilton .

În analiza funcțională Hamiltonianul $H(q_{i},p_{i},t)$ ${\ displaystyle H (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ ${\ displaystyle H (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ este dat de transformata Legendre a Lagrangianului sistemului ${\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ , cu:

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}

În cazul sistemelor cu un grad de libertate (o singură coordonată Lagrangiană ) și amintind ecuațiile Euler-Lagrange , diferențialul de ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}}, t)}$ il scrii:

\operatorname {d} \!{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+p\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+\operatorname {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q}} \ operatorname {d} \! q + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} \ operatorname {d} \! {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t = {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + p \ operatorname {d} \! {\ dot {q}} + { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t = {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + \ operatorname {d} ( {\ dot {q}} p) - {\ dot {q}} \ operatorname {d} \! p + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d } \! t}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q}} \ operatorname {d} \! q + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} \ operatorname {d} \! {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t = {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + p \ operatorname {d} \! {\ dot {q}} + { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t = {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + \ operatorname {d} ( {\ dot {q}} p) - {\ dot {q}} \ operatorname {d} \! p + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d } \! t}

de la care:

d({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\operatorname {d} \!q+{\dot {q}}\operatorname {d} \!p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t

{\ displaystyle d ({\ dot {q}} p - {\ mathcal {L}}) = - {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + {\ dot {q}} \ operatorname { d} \! p - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t}

{\ displaystyle d ({\ dot {q}} p - {\ mathcal {L}}) = - {\ dot {p}} \ operatorname {d} \! q + {\ dot {q}} \ operatorname { d} \! p - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t}

În acest fel, Lagrangianul a fost transformat într-o altă ecuație dependentă în mod explicit de derivata sa față de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , adică dependent de:

p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}}}

Dacă apare $H(q,p,t)={\dot {q}}(t)p(t)-{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)$ ${\ displaystyle H (q, p, t) = {\ dot {q}} (t) p (t) - {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}} (q, p, t ), t)}$ ${\ displaystyle H (q, p, t) = {\ dot {q}} (t) p (t) - {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}} (q, p, t ), t)}$ , știind că diferențialul de $H(q,p,t)$ ${\ displaystyle H (q, p, t)}$ ${\ displaystyle H (q, p, t)}$ , dependent de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , Și:

\operatorname {d} \!H={\frac {\partial H}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial H}{\partial t}}\operatorname {d} \!t

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! H = {\ frac {\ partial H} {\ partial q}} \ operatorname {d} \! q + {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ operatorname {d} \! p + {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! H = {\ frac {\ partial H} {\ partial q}} \ operatorname {d} \! q + {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ operatorname {d} \! p + {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} \ operatorname {d} \! t}

prin echivalarea membrilor obținem ecuațiile Hamilton:

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\qquad {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\qquad {\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}=-{\partial H \over \partial t}

{\ displaystyle {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ qquad {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial q}} \ qquad {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t} = - {\ partial H \ over \ partial t}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ qquad {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial q}} \ qquad {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t} = - {\ partial H \ over \ partial t}}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle q}$ sunt variabilele sale canonice hamiltoniene. Vom proceda în mod analog , în cazul n coordonate Lagrangianului.

Funcții termodinamice

Același subiect în detaliu: Funcția de stare .

Pentru prima lege a termodinamicii avem:

dU=\delta Q-pdV\qquad \delta Q=pdV+dU

{\ displaystyle dU = \ delta Q-point of sale \ qquad \ delta Q = point of view + dU}

{\ displaystyle dU = \ delta Q-point of sale \ qquad \ delta Q = point of view + dU}

și pentru definirea entropiei , în condiții cvasistatice reversibile:

\delta Q=TdS

{\ displaystyle \ delta Q = TdS}

{\ displaystyle \ delta Q = TdS}

Înlocuind:

dU(S,V)=TdS-pdV

{\ displaystyle dU (S, V) = TdS-pdV}

{\ displaystyle dU (S, V) = TdS-pdV}

Presupunând ca variabile libere (sau naturale) $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , adică prin exprimarea oricărei alte funcții de stare ca o funcție a acestor două (suficiente pentru a descrie starea sistemului), procedăm la diferențierea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ :

dU(S,V)={\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}dS+{\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}dV

{\ displaystyle dU (S, V) = {\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial S}} dS + {\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial V}} dV}

{\ displaystyle dU (S, V) = {\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial S}} dS + {\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial V}} dV}

de la care:

T=\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}\right)_{S}

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial S}} \ right) _ {V} \ qquad p = - \ left ({\ frac {\ partial U ( S, V)} {\ partial V}} \ right) _ {S}}

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {\ partial U (S, V)} {\ partial S}} \ right) _ {V} \ qquad p = - \ left ({\ frac {\ partial U ( S, V)} {\ partial V}} \ right) _ {S}}

Folosind teorema lui Schwartz obținem următoarea relație, numită ecuația lui Maxwell :

\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial V}} \ right) _ {S} = - left ({\ frac {\ partial p} {\ partial S}} \ right) _ {V}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial V}} \ right) _ {S} = - left ({\ frac {\ partial p} {\ partial S}} \ right) _ {V}}

Acum este posibil să se opereze unele transformări (non-standard) ale lui Legendre pe energia internă pentru a obține alte funcții termodinamice și alte relații utile asupra diferitelor mărimi derivate din când în când sau menținute constante. Calculele sunt absolut similare cu exemplele anterioare, atâta timp cât variabilele libere ale sistemului sunt modificate din când în când.

Entalpia $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ :

dH(S,p)=d(U+pV)=TdS+Vdp

{\ displaystyle dH (S, p) = d (U + pV) = TdS + Vdp}

{\ displaystyle dH (S, p) = d (U + pV) = TdS + Vdp}

T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S}\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial S}} \ right) _ {p} \ qquad V = \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ right) _ {S} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial p}} \ right) _ {S} = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial S} } \ dreapta) _ {p}}

{\ displaystyle T = \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial S}} \ right) _ {p} \ qquad V = \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ right) _ {S} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial p}} \ right) _ {S} = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial S} } \ dreapta) _ {p}}

Energie liberă Helmholtz ( $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ conform IUPAC , $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ conform altor convenții):

dA(T,V)=d(U-TS)=-SdT-pdV

{\ displaystyle dA (T, V) = d (U-TS) = - SdT-pdV}

{\ displaystyle dA (T, V) = d (U-TS) = - SdT-pdV}

S=-\left({\frac {\partial A}{\partial T}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial A}{\partial V}}\right)_{T}\qquad \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}

{\ displaystyle S = - \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial T}} \ right) _ {V} \ qquad p = - \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial V }} \ right) _ {T} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ dreapta) _ {V}}

{\ displaystyle S = - \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial T}} \ right) _ {V} \ qquad p = - \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial V }} \ right) _ {T} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ dreapta) _ {V}}

Energie liberă Gibbs $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ :

dG(T,p)=d(U+pV-TS)=-SdT+Vdp

{\ displaystyle dG (T, p) = d (U + pV-TS) = - SdT + Vdp}

{\ displaystyle dG (T, p) = d (U + pV-TS) = - SdT + Vdp}

S=-\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T}\qquad -\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}

{\ displaystyle S = - \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial T}} \ right) _ {p} \ qquad V = \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial p} } \ right) _ {T} \ qquad - \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial p}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial T}} \ dreapta) _ {p}}

{\ displaystyle S = - \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial T}} \ right) _ {p} \ qquad V = \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial p} } \ right) _ {T} \ qquad - \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial p}} \ right) _ {T} = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial T}} \ dreapta) _ {p}}

Rezumând, avem:

H(S,p)=U(S,V)+pV\qquad A(T,V)=U(S,V)-TS\,

{\ displaystyle H (S, p) = U (S, V) + pV \ qquad A (T, V) = U (S, V) -TS \,}

{\ displaystyle H (S, p) = U (S, V) + pV \ qquad A (T, V) = U (S, V) -TS \,}

G(T,p)=U(S,V)+pV-TS=H(S,p)-TS

{\ displaystyle G (T, p) = U (S, V) + pV-TS = H (S, p) -TS}

{\ displaystyle G (T, p) = U (S, V) + pV-TS = H (S, p) -TS}

Notă

^ Arnol'd , p. 63 .
^ Arnol'd , p. 62 .
^ Arnol'd , p. 61 .

Bibliografie

( EN ) Vladimir Igorevich Arnol'd , Mathematical Methods of Classical Mechanics , ediția a II-a, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 .
Corrado Mencuccini și Vittorio Silvestrini, Fizica I - Mecanică și termodinamică , ed. A III-a, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0 .
( EN ) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis , reeditare din 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4 .