Funcțiile Struve s-au schimbat

În matematică , funcțiile Struve modificate sunt funcții speciale strâns legate de funcțiile Struve și funcțiile Bessel sferice modificate.

Acestea sunt funcțiile:

\mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\frac {z}{2}})^{2k}}{\Gamma (k+{\frac {3}{2}})\Gamma (\nu +k+{\frac {3}{2}})}}={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (\nu +1/2)}}\int _{0}^{\pi /2}\sinh(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }\theta d\theta

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ nu} (z) = \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ nu +1} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {z} {2}}) ^ {2k}} {\ Gamma (k + {\ frac {3} {2}}) \ Gamma (\ nu + k + {\ frac {3} {2}})}}} = {\ frac {2 \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ nu}} {{\ sqrt {\ pi} } \, \ Gamma (\ nu +1/2)}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sinh (z \ cos \ theta) \ sin ^ {2 \ nu} \ theta d \ theta }

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ nu} (z) = \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ nu +1} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ frac {z} {2}}) ^ {2k}} {\ Gamma (k + {\ frac {3} {2}}) \ Gamma (\ nu + k + {\ frac {3} {2}})}}} = {\ frac {2 \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ nu}} {{\ sqrt {\ pi} } \, \ Gamma (\ nu +1/2)}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sinh (z \ cos \ theta) \ sin ^ {2 \ nu} \ theta d \ theta }

În special:

\mathbf {L} _{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\,z\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {z}{2j+1}}\right)^{2}\right]

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {0} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} \, z \, \ left [1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {z} {2j + 1}} \ right) ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {0} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} \, z \, \ left [1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {z} {2j + 1}} \ right) ^ {2} \ right]}

\mathbf {L} _{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}{\frac {z^{2}}{4j^{2}-1}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {z ^ {2}} {4j ^ {2} -1}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {z ^ {2}} {4j ^ {2} -1}}}

unde este $\Gamma (z)$ ${\ displaystyle \ Gamma (z)}$ $\ Gamma (z)$ este funcția Gamma . Acestea sunt legate de funcțiile obișnuite Struve $\mathbf {H} _{\nu }(iz)$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {\ nu} (iz)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {\ nu} (iz)}$ din raport:

\mathbf {L} _{\nu }(z):=-ie^{-i\nu \pi /2}\mathbf {H} _{\nu }(iz)

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ nu} (z): = - ie ^ {- i \ nu \ pi / 2} \ mathbf {H} _ {\ nu} (iz)}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ nu} (z): = - ie ^ {- i \ nu \ pi / 2} \ mathbf {H} _ {\ nu} (iz)}

Bibliografie

( EN ) YL Luke (1962): Integrale ale funcțiilor Bessel , McGraw-Hill
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover Capitolul 12
(EN) Shanjie Zhang, Jin Jianming (1996): Calculul funcțiilor speciale, J.Wiley (Capitolul 11)
( EN ) AP Prudnikov, OI Marichev, Yu. A. Brychkov (1990): The Struve Functions H _ν (x) and L _ν (x) , §1.4 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions, Gordon and Breach, pp. 24-27.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Funcția Struve modificată în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică