Tractor (geometrie)

Tractorul (din latina tractrix , care la rândul său derivă din trahere , to tow) este o curbă geometrică particulară, în care segmentele tangente dintre curbă și o dreaptă dată sunt de dimensiuni egale; în practică, un obiect (sau un punct) este târât de-a lungul unui plan orizontal (xy) de un segment de glisare de lungime constantă. Acest segment își menține capătul pe un punct al liniei drepte y care se mișcă cu o mișcare rectilinie uniformă cu viteză infinitesimală. Cealaltă extremă se suprapune asupra obiectului tras, care va rămâne întotdeauna echidistant față de y față de direcția mișcării sale în acel moment. Tractorul este numit și cu denumirea de curbă de urmărire sau curbă de vânătoare . A fost introdus pentru prima dată de Claude Perrault în 1670 și mai târziu studiat de Isaac Newton în 1676 și Christian Huygens în 1692 .

Tractor cu obiect poziționat inițial în punctul (4.0)

Modele matematice bazate pe tractor

Între octombrie și noiembrie 1692 , Huygens a descris trei modele care descriu tractoare.
În 1693 Leibniz a afișat public un model bazat pe tractoare care, în teorie, era capabil să integreze orice ecuație diferențială.
În 1706 John Perks a dezvoltat un model de tracțiune capabil să rezolve cvadratura hiperbolică .
În 1729 Johann Poleni a dezvoltat un model de tracțiune care a permis trasarea funcțiilor logaritmice .

Derivarea matematică

Să presupunem că un obiect este plasat în punct $(a,0)$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ și șoferul din origine, astfel încât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ fie lungimea segmentului care le unește. Ulterior, șoferul începe să se deplaseze de-a lungul axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în direcția pozitivă. În orice moment, segmentul va fi tangent la curbă $y=y(x)$ ${\ displaystyle y = y (x)}$ $y = y (x)$ descris de obiect, astfel încât traiectoria acestuia să fie determinată de mișcarea șoferului. Matematic, mișcarea va fi descrisă prin ecuația diferențială

{\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}

cu stare inițială $y(a)=0$ ${\ displaystyle y (a) = 0}$ ${\ displaystyle y (a) = 0}$ , ale căror soluții sunt:

y=\pm \int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}\,dx

{\ displaystyle y = \ pm \ int _ {x} ^ {a} {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}} \, dx}

{\ displaystyle y = \ pm \ int _ {x} ^ {a} {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}} \, dx}

y=\pm \left(a\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)

{\ displaystyle y = \ pm \ left (a \ ln {\ left ({\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}} \ right)} - {\ Sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle y = \ pm \ left (a \ ln {\ left ({\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}} \ right)} - {\ Sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \ right)}

Semnul minus va fi aplicat dacă șoferul se deplasează în direcția negativă a axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . De fapt, ambele ramuri ale curbei aparțin tractorului și se întâlnesc în punctul cuspid $(a,0)$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ .

Pentru a obține ecuația diferențială anterioară, au fost utilizate caracteristicile care definesc tractorul:

Considerat sistemul de referință cartezian în plan $(O;XY)$ ${\ displaystyle (O; XY)}$ ${\ displaystyle (O; XY)}$ scrie distanța de la un punct al axei $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și un punct constant al tractorului: fie el $H(0,t)$ ${\ displaystyle H (0, t)}$ ${\ displaystyle H (0, t)}$ punctul de pe axă $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și fie $P(x,y(x))$ ${\ displaystyle P (x, y (x))}$ ${\ displaystyle P (x, y (x))}$ punctul care se află pe tractor (aceste două sunt extremele segmentului de lungime întotdeauna constantă), prin urmare $x^{2}+(y(x)-t)^{2}=a^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + (y (x) -t) ^ {2} = a ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + (y (x) -t) ^ {2} = a ^ {2}}$ (a fiind lungimea segmentului), în consecință $y(x)-t=\pm {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ ${\ displaystyle y (x) -t = \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle y (x) -t = \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}}$ ;
Acest segment trebuie să fie întotdeauna tangent la curba de determinat; scriind linia tangentă la curbă și trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ca $Y={\frac {d[y(x)]}{dx}}(X-x)+y(x)$ ${\ displaystyle Y = {\ frac {d [y (x)]} {dx}} (Xx) + y (x)}$ ${\ displaystyle Y = {\ frac {d [y (x)]} {dx}} (X-x) + y (x)}$ impunem că și această linie trece prin punct $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ obtinerea afectiunii $t=-{\frac {d[y(x)]}{dx}}x+y(x)$ ${\ displaystyle t = - {\ frac {d [y (x)]} {dx}} x + y (x)}$ ${\ displaystyle t = - {\ frac {d [y (x)]} {dx}} x + y (x)}$ . Înlocuind în ecuația obținută înainte de a afla că ${\frac {d[y(x)]}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d [y (x)]} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d [y (x)]} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}$ . Semnul $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ indică faptul că coeficientul unghiular al liniei tangente poate fi pozitiv sau negativ în funcție de punct $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ se deplasează spre ordonatele pozitive (având coeficientul unghiular negativ) sau spre ordonatele negative (având coeficientul unghiular pozitiv). Din acest raționament observăm modul în care viteza cu care se mișcă punctul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în axa y este irelevantă pentru a determina ecuația cartesiană a tractorului.

Ecuațiile tractorului

Trigonometric:
$x=a\sin(t)$ ${\ displaystyle x = a \ sin (t)}$ ${\ displaystyle x = a \ sin (t)}$
$y=a\ln \left(\tan \left({\frac {t}{2}}\right)\right)+\cos(t)$ ${\ displaystyle y = a \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ right) + \ cos (t)}$ ${\ displaystyle y = a \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ right) + \ cos (t)}$
unde t aparține intervalului $[0,\pi ]$ ${\ displaystyle [0, \ pi]}$ ${\ displaystyle [0, \ pi]}$
Hiperbolic:
$y={\frac {a}{\cosh(t)}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a} {\ cosh (t)}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a} {\ cosh (t)}}}$
Diferenţial:
${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - {\ frac {y} {\ sqrt {a ^ {2} -y ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - {\ frac {y} {\ sqrt {a ^ {2} -y ^ {2}}}}}$

Proprietatea tractorului

Proprietatea esențială a tractorului este că lungimea tangentei dintre acesta și axa „y” (care reprezintă asimptota sa) rămâne constantă pentru orice punct.

Tractorul, datorită acestei proprietăți, poate fi văzut ca:

locusul geometric al centrului unei spirale hiperbolice care se rotește (fără a aluneca) în jurul unei linii drepte.
evoluția funcției descrise printr-un acord flexibil, neelastic și omogen blocat la extreme, supus unui câmp gravitațional și având ecuația: $y(x)=a\cdot \operatorname {ch} (x/a)$ ${\ displaystyle y (x) = a \ cdot \ operatorname {ch} (x / a)}$ ${\ displaystyle y (x) = a \ cdot \ operatorname {ch} (x / a)}$
traiectoria determinată de punctul de mijloc al osiei spate a unei mașini trase de o frânghie cu viteză și direcție constantă (inițial perpendiculară pe vehicul); funcția corelată admite o asimptotă orizontală, curba este simetrică față de axa x , iar raza de curbură este dată de ecuație: $r=a\cdot \operatorname {ctg} (x/y)$ ${\ displaystyle r = a \ cdot \ operatorname {ctg} (x / y)}$ ${\ displaystyle r = a \ cdot \ operatorname {ctg} (x / y)}$ .

O mare implicație oferită de tractor a fost studiul suprafeței create de revoluția sa în jurul asimptotei sale: pseudosfera (analizată de Eugenio Beltrami în 1868 , care s-a dovedit a fi deosebit de interesantă în interpretarea lui Nikolai Ivanovich Lobachevsky a geometriei neeuclidiene ). Spre deosebire de sfera , care are o curbură gaussiană constantă și pozitivă, pseudosfera are în schimb o curbură gaussiană constantă și negativă.

Alte proprietăți ale tractorului sunt următoarele:

Lungimea arcului uneia dintre ramurile dintre x = x ₁ și x = x _{2 se} menține $a\ln \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)$ ${\ displaystyle a \ ln \ left ({\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle a \ ln \ left ({\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} \ right)}$
Zona dintre tractor și asimptota acestuia este: $\pi a^{2}/2$ ${\ displaystyle \ pi a ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle \ pi a ^ {2} / 2}$ , care poate fi calculat folosind o integrală .
Plicul a normalele tractorului, care este evoluată tractorului, este catenară dată de ecuația: $x=a\cosh {\frac {y}{a}}$ ${\ displaystyle x = a \ cosh {\ frac {y} {a}}}$ ${\ displaystyle x = a \ cosh {\ frac {y} {a}}}$ .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe tractor

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică