Funcția pas

În matematică , o funcție reală este numită funcție pas sau funcție în niveluri sau scalare dacă este constantă uneori .

De exemplu, este pasată următoarea funcție:

F:\mathbb {R} \to [0,1],x\mapsto {\begin{cases}0&x<0\\0,2&x\in [0,2)\\0,6&x\in [2,4)\\1&x\geq 4\end{cases}}

{\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ to [0,1], x \ mapsto {\ begin {cases} 0 & x <0 \\ 0,2 & x \ în [0,2) \\ 0, 6 & x \ in [2,4) \\ 1 & x \ geq 4 \ end {cases}}}

{\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ to [0,1], x \ mapsto {\ begin {cases} 0 & x <0 \\ 0,2 & x \ în [0,2) \\ 0, 6 & x \ in [2,4) \\ 1 & x \ geq 4 \ end {cases}}}

În general, a spus ${\textstyle A_{i}=[x_{i},x_{i+1}),i\in I,-\infty \leq x_{i}\leq +\infty }$ ${\ textstyle A_ {i} = [x_ {i}, x_ {i + 1}), i \ in I, - \ infty \ leq x_ {i} \ leq + \ infty}$ ${\ textstyle A_ {i} = [x_ {i}, x_ {i + 1}), i \ in I, - \ infty \ leq x_ {i} \ leq + \ infty}$ o partiție - finită sau infinită în funcție de cardinalitatea lui ${\textstyle I}$ ${\ textstyle I}$ ${\ textstyle I}$ - a domeniului , atunci ${\textstyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\ textstyle f: A \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle f: A \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ se spune că este treptat dacă există ${\textstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ ${\ textstyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ în \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ în \ mathbb {R}}$ astfel încât:

f(x)=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot \chi _{A_{i}}(x)

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i \ in I} \ alpha _ {i} \ cdot \ chi _ {A_ {i}} (x)}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i \ in I} \ alpha _ {i} \ cdot \ chi _ {A_ {i}} (x)}

unde este $\chi _{A_{i}}(x)$ ${\ displaystyle \ chi _ {A_ {i}} (x)}$ ${\ displaystyle \ chi _ {A_ {i}} (x)}$ este funcția indicator a întregului $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ , acesta este

f_{/A_{i}}(x)=\alpha _{i}\quad \forall x\in A_{i}

{\ displaystyle f _ {/ A_ {i}} (x) = \ alpha _ {i} \ quad \ forall x \ in A_ {i}}

{\ displaystyle f _ {/ A_ {i}} (x) = \ alpha _ {i} \ quad \ forall x \ in A_ {i}}

O funcție pas nu este altceva decât o combinație liniară de funcții indicator.

Proprietate

O funcție pas nu este în general continuă , deoarece este ușor de observat, dar este totuși continuă aproape peste tot (are un număr finit sau numărabil de discontinuități ) și, prin urmare, poate fi integrabilă conform lui Riemann ; integrala sa este

\int f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\sum _{i\in I}\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})

{\ displaystyle \ int f (x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = \ sum _ {i \ in I} \ alpha _ {i} (x_ {i + 1} -x_ {i}) }

{\ displaystyle \ int f (x) \ mathop {} \! \ mathrm {d} x = \ sum _ {i \ in I} \ alpha _ {i} (x_ {i + 1} -x_ {i}) }

,

adică, după cum se poate imagina, aria subtendentă este suma ariilor dreptunghiurilor de bază unice $(x_{i+1}-x_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i + 1} -x_ {i})}$ ${\ displaystyle (x_ {i + 1} -x_ {i})}$ și înălțime $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ .

Riemann va porni apoi de la integrala funcțiilor pasului pentru construcția integralei sale.

Elemente conexe

Funcția de pas Heaviside
Funcția de semnare
Funcție simplă , generalizarea argumentului într-un spațiu măsurabil
Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii discrete este o funcție pas
Integrala Riemann

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția pas

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică