Acțiunea Poljakov

În fizica teoretică , acțiunea Poljakov este bidimensională acțiune care descrie worldsheet unui șir de caractere, ca o entitate din cadrul teoriei corzilor . A fost introdus de S. Deser și Bruno Zumino și independent de L. Brink, P Di Vecchia și PS Howe ^[1] și a fost asociat ulterior cu Aleksandr Poljakov când l-a folosit pentru cuantificarea șirurilor. Acțiunea este descrisă de următoarea formulă:

{\mathcal {S}}={\frac {T}{2}}\int {{\text{d}}^{\text{2}}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }\left(X\right)\partial _{a}X^{\mu }\left(\sigma \right)\partial _{b}X^{\nu }\left(\sigma \right)},

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ left (X \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ left (\ sigma \ right) \ partial _ {b} X ^ {\ nu } \ left (\ sigma \ right)},}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ left (X \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ left (\ sigma \ right) \ partial _ {b} X ^ {\ nu } \ left (\ sigma \ right)},}

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este propria tensiune a corzii, $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ este metrica așa-numitului colector țintă ( colector de referință) e $h^{ab}$ ${\ displaystyle h ^ {ab}}$ ${\ displaystyle h ^ {ab}}$ este metrica unei foi de lume auxiliare numită metrică indusă ; $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este determinantul $h_{ab}$ ${\ displaystyle h_ {ab}}$ ${\ displaystyle h_ {ab}}$ . Toate foile lumii au dimensiunea unei suprafețe bidimensionale și, prin urmare, avem nevoie de doi parametri pentru a specifica un punct pe foaie; teoreticienii șirurilor folosesc simboluri: $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ coordonată de timp e $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ coordonată spațială pentru acești parametri. O convenție este de a atribui un semn pozitiv direcției temporale și un semn negativ celei spațiale. Acest lucru este, de asemenea, cunoscut sub numele de model sigma neliniar ^[2] .

Convenții analitice în teoria corzilor

Pentru a evalua proprietățile acțiunii lui Poljakov este bine să ne amintim definiția Lagrangianului în mecanica relativistă și câteva convenții în teoria corzilor.

Abordarea lagrangiană a mecanicii are avantajul de a fi ușor extinsă și generalizată. De exemplu, putem scrie un Lagrangian pentru o particulă relativistă, care va fi valabilă chiar dacă particula călătorește aproape de viteza luminii. Pentru a menține invarianța Lorentz, acțiunea trebuie să depindă de cantități care sunt aceleași pentru toți observatorii Lorentz. Cea mai simplă dintre aceste cantități este timpul potrivit , notat cu $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , care este timpul măsurat de un ceas într-un sistem de referință integral cu particula. Conform relativității speciale avem că cantitatea:

-(c\,d\tau )^{2}=-ds^{2}=-(c\,dt)^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\

{\ displaystyle - (c \, d \ tau) ^ {2} = - ds ^ {2} = - (c \, dt) ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \}

{\ displaystyle - (c \, d \ tau) ^ {2} = - ds ^ {2} = - (c \, dt) ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \}

unde cu $c$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ viteza luminii a fost indicată și cu $d\tau =-ds/c$ ${\ displaystyle d \ tau = -ds / c}$ ${\ displaystyle d \ tau = -ds / c}$ este variația infinitesimală a timpului adecvat. Pentru un punct material care nu este supus forțelor, acțiunea relativistă este dată de ^[3] :

S=-mc\int ds=-mc^{2}\int d\tau .

{\ displaystyle S = -mc \ int ds = -mc ^ {2} \ int d \ tau.}

{\ displaystyle S = -mc \ int ds = -mc ^ {2} \ int d \ tau.}

unde cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a fost indicată masa inerțială a particulei.

Așa cum mișcarea unui punct material (zero dimensional) este descrisă de traiectoria sa pe o diagramă spațiu-timp, tot așa un șir unidimensional este reprezentat de o lume-foaie. Toate foile lumii au dimensiunea unei suprafețe bidimensionale și, prin urmare, avem nevoie de doi parametri pentru a specifica un punct pe foaie; teoreticienii șirurilor folosesc simboluri $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ Și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ pentru acești parametri. Dacă d indică numărul de dimensiuni spațiale, putem reprezenta un punct în spațiu-timp în acest fel:

x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).

{\ displaystyle x = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {d}).}

{\ displaystyle x = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {d}).}

Descriem un șir folosind funcții care mapează o poziție în spațiul parametrilor ( $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ) a unui punct din spațiu-timp. Pentru fiecare valoare de $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ și de $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , aceste funcții sunt specificate de un singur vector de tip spațiu-timp:

X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).

{\ displaystyle X (\ tau, \ sigma) = (X ^ {0} (\ tau, \ sigma), X ^ {1} (\ tau, \ sigma), X ^ {2} (\ tau, \ sigma ), \ ldots, X ^ {d} (\ tau, \ sigma)).}

{\ displaystyle X (\ tau, \ sigma) = (X ^ {0} (\ tau, \ sigma), X ^ {1} (\ tau, \ sigma), X ^ {2} (\ tau, \ sigma ), \ ldots, X ^ {d} (\ tau, \ sigma)).}

Funcții $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ ${\ displaystyle X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma)}$ determinați forma foii lumii luată în considerare.

De sine $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ este tensorul metric în (d + 1) -spatiu-timp dimensional. Avem această măreție:

h_{ab}=g_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{b}}}\

{\ displaystyle h_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial X ^ {\ mu}} {\ partial \ sigma ^ {a}}} {\ frac {\ partial X ^ {\ nu}} {\ partial \ sigma ^ {b}}} \}

{\ displaystyle h_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial X ^ {\ mu}} {\ partial \ sigma ^ {a}}} {\ frac {\ partial X ^ {\ nu}} {\ partial \ sigma ^ {b}}} \}

este tensorul metric indus pe foile lumii.

Zona ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ pe foaia mondială este dată de:

\mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}}}

unde este

\mathrm {d} ^{2}\sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma = \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} \ tau}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma = \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} \ tau}

Și

h=\mathrm {det} \left(h_{ab}\right)\

{\ displaystyle h = \ mathrm {det} \ left (h_ {ab} \ right) \}

{\ displaystyle h = \ mathrm {det} \ left (h_ {ab} \ right) \}

Folosind următoarea notație:

{\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ frac {\ partial X} {\ partial \ tau}}}

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ frac {\ partial X} {\ partial \ tau}}}

Și

X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},

{\ displaystyle X '= {\ frac {\ partial X} {\ partial \ sigma}},}

{\ displaystyle X '= {\ frac {\ partial X} {\ partial \ sigma}},}

se poate rescrie tensorul metric $h_{ab}$ ${\ displaystyle h_ {ab}}$ ${\ displaystyle h_ {ab}}$ asa de:

h_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\

{\ displaystyle h_ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} {\ dot {X}} ^ {2} & {\ dot {X}} \ cdot X '\\ X' \ cdot { \ dot {X}} & X '^ {2} \ end {array}} \ right) \}

{\ displaystyle h_ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} {\ dot {X}} ^ {2} & {\ dot {X}} \ cdot X '\\ X' \ cdot { \ dot {X}} & X '^ {2} \ end {array}} \ right) \}

h={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}

{\ displaystyle h = {\ dot {X}} ^ {2} X '^ {2} - ({\ dot {X}} \ cdot X') ^ {2}}

{\ displaystyle h = {\ dot {X}} ^ {2} X '^ {2} - ({\ dot {X}} \ cdot X') ^ {2}}

.

Simetriile globale

Acțiunea este invariantă sub traduceri infinitezimale și transformări Lorentz.

$X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha }$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ to X ^ {\ alpha} + b ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ to X ^ {\ alpha} + b ^ {\ alpha}}$
$X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\beta }^{\alpha }X^{\beta }$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ to X ^ {\ alpha} + \ omega _ {\ beta} ^ {\ alpha} X ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ to X ^ {\ alpha} + \ omega _ {\ beta} ^ {\ alpha} X ^ {\ beta}}$

in care $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mu \ nu} = - \ omega _ {\ nu \ mu}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mu \ nu} = - \ omega _ {\ nu \ mu}}$ , care compune simetria Poincaré a varietății țintă. $b^{\alpha }$ ${\ displaystyle b ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle b ^ {\ alpha}}$ este constantă, deci acțiunea depinde de prima derivată a lui $X^{\alpha }$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ alpha}}$ si in consecinta ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ nu se schimbă dacă este supus traducerii. Iată dovada celei de-a doua relații:

{{\mathcal {S}}'}={\frac {T}{2}}\int {{\text{d}}^{\text{2}}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left({X^{\mu }+\omega _{\delta }^{\mu }X^{\delta }}\right)\partial _{b}\left({X^{\nu }+\omega _{\delta }^{\nu }X^{\delta }}\right)}=

{\ displaystyle {{\ mathcal {S}} '} = {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h }} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ partial _ {a} \ left ({X ^ {\ mu} + \ omega _ {\ delta} ^ {\ mu} X ^ {\ delta} } \ right) \ partial _ {b} \ left ({X ^ {\ nu} + \ omega _ {\ delta} ^ {\ nu} X ^ {\ delta}} \ right)} =}

{\ displaystyle {{\ mathcal {S}} '} = {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h }} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ partial _ {a} \ left ({X ^ {\ mu} + \ omega _ {\ delta} ^ {\ mu} X ^ {\ delta} } \ right) \ partial _ {b} \ left ({X ^ {\ nu} + \ omega _ {\ delta} ^ {\ nu} X ^ {\ delta}} \ right)} =}

={\mathcal {S}}+{\frac {T}{2}}\int {{\text{d}}^{\text{2}}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}\left({\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }}\right)+O\left({\omega ^{2}}\right)}=

{\ displaystyle = {\ mathcal {S}} + {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left ({\ omega _ {\ mu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + \ omega _ {\ nu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ delta} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}} \ right) + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right)} =}

{\ displaystyle = {\ mathcal {S}} + {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left ({\ omega _ {\ mu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + \ omega _ {\ nu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ delta} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}} \ right) + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right)} =}

={\mathcal {S}}+{\frac {T}{2}}\int {{\text{d}}^{\text{2}}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}\left({\omega _{\mu \delta }-\omega _{\mu \delta }}\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+O\left({\omega ^{2}}\right)}={\mathcal {S}}+O\left({\omega ^{2}}\right).

{\ displaystyle = {\ mathcal {S}} + {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left ({\ omega _ {\ mu \ delta} - \ omega _ {\ mu \ delta}} \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right)} = {\ mathcal {S}} + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right).}

{\ displaystyle = {\ mathcal {S}} + {\ frac {T} {2}} \ int {{\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left ({\ omega _ {\ mu \ delta} - \ omega _ {\ mu \ delta}} \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right)} = {\ mathcal {S}} + O \ left ({\ omega ^ {2}} \ right).}

Simetriile locale

Acțiunea este invariantă sub difeomorfisme sau transformări de coordonate și, de asemenea, sub transformări Weyl .

Diffeomorfisme

Luați în considerare următoarea transformare:

\sigma ^{\alpha }\to {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left({\sigma ,\tau }\right);

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ alpha} \ to {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha} \ left ({\ sigma, \ tau} \ right);}

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ alpha} \ to {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha} \ left ({\ sigma, \ tau} \ right);}

transformă tensorul metric

h^{ab}\to {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}{\partial \sigma ^{c}}}{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}{\partial \sigma ^{d}}}.

{\ displaystyle h ^ {ab} \ to {\ tilde {h}} ^ {ab} = h ^ {cd} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}} {\ partial \ sigma ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}} {\ partial \ sigma ^ {d}}}.}

{\ displaystyle h ^ {ab} \ to {\ tilde {h}} ^ {ab} = h ^ {cd} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}} {\ partial \ sigma ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}} {\ partial \ sigma ^ {d}}}.}

Deci, puteți vedea asta

{\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }{\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }=h^{cd}{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}{\partial \sigma ^{c}}}{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}{\partial \sigma ^{d}}}{\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }{\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }=h^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }.

{\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {ab} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} {\ frac {\ partial } {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} = h ^ {cd} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}} { \ partial \ sigma ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}} {\ partial \ sigma ^ {d}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} = h ^ {ab} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}.}

{\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {ab} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} {\ frac {\ partial } {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} = h ^ {cd} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}} { \ partial \ sigma ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}} {\ partial \ sigma ^ {d}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} = h ^ {ab} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}.}

Știind că iacobianul acestei transformări este dat de

{\text{J}}=\det \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\sigma ^{\beta }}}\right),

{\ displaystyle {\ text {J}} = \ det \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha}} {\ sigma ^ {\ beta}}} \ right), }

{\ displaystyle {\ text {J}} = \ det \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha}} {\ sigma ^ {\ beta}}} \ right), }

care duce la

{\text{d}}^{\text{2}}\sigma \to {\text{d}}^{\text{2}}{\tilde {\sigma }}={\text{Jd}}^{\text{2}}\sigma

{\ displaystyle {\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma \ to {\ text {d}} ^ {\ text {2}} {\ tilde {\ sigma}} = {\ text { Jd}} ^ {\ text {2}} \ sigma}

{\ displaystyle {\ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma \ to {\ text {d}} ^ {\ text {2}} {\ tilde {\ sigma}} = {\ text { Jd}} ^ {\ text {2}} \ sigma}

h=\det \left({h_{ab}}\right)\to {\tilde {h}}={\text{J}}^{\text{ - 2}}h,

{\ displaystyle h = \ det \ left ({h_ {ab}} \ right) \ to {\ tilde {h}} = {\ text {J}} ^ {\ text {- 2}} h,}

{\ displaystyle h = \ det \ left ({h_ {ab}} \ right) \ to {\ tilde {h}} = {\ text {J}} ^ {\ text {- 2}} h,}

vezi asta

{\sqrt {-{\tilde {h}}}}{\text{d}}^{\text{2}}{\tilde {\sigma }}={\sqrt {-h}}{\text{d}}^{\text{2}}\sigma .

{\ displaystyle {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} {\ text {d}} ^ {\ text {2}} {\ tilde {\ sigma}} = {\ sqrt {-h}} { \ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma.}

{\ displaystyle {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} {\ text {d}} ^ {\ text {2}} {\ tilde {\ sigma}} = {\ sqrt {-h}} { \ text {d}} ^ {\ text {2}} \ sigma.}

Prin urmare, adăugând această transformare, acțiunea nu variază.

Acțiunea Nambu-Goto

Acțiunea Nambu-Goto este cea mai simplă acțiune invariantă din teoria șirurilor bosonice . Este punctul de plecare al analizei comportamentului unui șir , folosind principiile mecanicii lagrangiene . La fel cum acțiunea relativistă a unui punct material liber este proporțională cu timpul său, exact acțiunea relativistă pentru un șir este proporțională cu aria „foii lumii”. Adică, soluțiile ecuațiilor clasice pentru acțiunea unui șir liber sunt suprafețele universului cu suprafață minimă ^[4] .

Acțiunea Nambu-Goto poartă numele fizicienilor japonezi Yōichirō Nambu și T. Goto ^[5] ^[6] .

Acțiunea Nambu - Goto este, prin definiție, proporțională cu suprafața și această acțiune pentru un șir liber este definită după cum urmează ^[4] :

{\mathcal {S}}\

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \}

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int d {\ mathcal {A}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int d {\ mathcal {A}}}

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}}}

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.\

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {({\ dot {X}} \ cdot X ') ^ { 2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X ') ^ {2}}}. \}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {({\ dot {X}} \ cdot X ') ^ { 2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X ') ^ {2}}}. \}

Unde este $T_{0}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ este tensiunea șirului e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii.

De obicei, teoreticienii șirurilor lucrează în „ unități naturale ”, unde $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este egal cu unul, ca și constanta lui Planck $h=1$ ${\ displaystyle h = 1}$ ${\ displaystyle h = 1}$ și constanta gravitațională universală $G=1$ ${\ displaystyle G = 1}$ ${\ displaystyle G = 1}$ . De asemenea, parțial din motive istorice, ei folosesc „parametrul pantei” $\alpha '$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ in loc de $T_{0}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ . Cu aceste schimbări, acțiunea lui Nambu-Goto devine:

{\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {({\ dot {X }} \ cdot X ') ^ {2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X') ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {({\ dot {X }} \ cdot X ') ^ {2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X') ^ {2}}}.}

Aceste două forme sunt, desigur, complet echivalente: alegerea uneia sau a celeilalte este o chestiune de convenții și comoditate.

De obicei, acțiunea Nambu-Goto nu este acțiunea fundamentală pentru fizicieni, deoarece aceștia preferă să utilizeze acțiunea Poljakov, care este echivalentă clasic cu acțiunea Nambu-Goto, dar este mai convenabilă pentru formularea cuantică. Cu toate acestea, este posibil să se dezvolte o teorie cuantică a șirurilor începând de la acțiunea Nambu-Goto.

Şir

Un șir este o structură ipotetică sub-atomică, unul dintre principalele obiecte de studiu ale teoriei șirurilor , o ramură a fizicii teoretice . Există mai multe teorii ale șirurilor, dintre care multe sunt unificate prin teoria M. Un șir este un obiect cu o extensie spațială liniară, spre deosebire de o particulă elementară care este zero dimensională, adică asemănătoare unui punct.

Postulând această structură unidimensională, multe trăsături ale fizicii particulelor apar automat; în special, aproape fiecare teorie a șirurilor este în concordanță cu mecanica cuantică și conține, de asemenea, gravitația cuantică .

Scara caracteristică a lungimii șirurilor este de ordinul lungimii lui Planck , la care se crede că efectele gravitației cuantice devin semnificative:

\ell _{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\cong 1.61624(12)\times 10^{-35}

{\ displaystyle \ ell _ {P} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}} \ cong 1.61624 (12) \ times 10 ^ {- 35}}

{\ displaystyle \ ell _ {P} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}} \ cong 1.61624 (12) \ times 10 ^ {- 35}}

m

Pe scări de lungime mult mai mare, cum ar fi cele accesibile laboratoarelor de fizică nucleară, aceste obiecte nu se pot distinge de particule, care par a fi zero-dimensionale. Diferitele moduri de vibrație ale șirului și ale structurii sale dau naștere diferitelor particule elementare ale modelului standard al teoriei câmpului cuantic . De exemplu, o stare a șirului ar fi asociată cu un foton și o altă stare cu un quark .

Teoria corzilor

Același subiect în detaliu: teoria corzilor .

În fizică , teoria șirurilor , uneori numită teoria șirurilor , este o teorie bazată pe principiul că materia, energia și, sub anumite ipoteze , spațiul și timpul sunt de fapt manifestarea entităților fizice subiacente. Care, în funcție de numărul de dimensiuni în care se dezvoltă, sunt numite „șiruri” sau „ brane ”.

În acest moment există îndoieli cu privire la clasificarea care trebuie atribuită acestei teorii: întrucât după patruzeci și doi de ani de istorie nu este încă posibilă demonstrarea concretă a acesteia, unii cred că nu are o validitate științifică reală. Vezi capitolul relevant .

Interacțiuni în modul subatomic: liniile universului de particule punctuale din Modelul standard (stânga) și o foaie universală compusă din șiruri închise în teoria șirurilor (dreapta)

Teoria corzilor este un model fizic ai cărui constituenți fundamentali sunt obiecte unidimensionale (șiruri) în loc de obiecte (puncte) cu dimensiuni zero caracteristice fizicii înainte de teoria corzilor. Din acest motiv, teoriile șirurilor sunt capabile să evite problemele unei teorii fizice legate de prezența particulelor punctiforme.

Un studiu mai aprofundat al teoriei șirurilor a arătat că obiectele descrise de teorie pot fi de diferite dimensiuni și, astfel, să fie puncte (0 dimensiuni), șiruri (1 dimensiune), membrane (2 dimensiuni) și obiecte D- dimensionale superioare (D-brane ).

Termenul de teoria corzilor se referă în mod corespunzător atât la teoria bosonică cu 26 de dimensiuni, cât și la teoria supersimetrică cu 10 dimensiuni. Cu toate acestea, în utilizarea obișnuită, teoria corzilor se referă la varianta supersimetrică, în timp ce teoria anterioară se numește teoria corzii bosonice .

Interesul teoriei constă în faptul că se speră că poate fi o teorie a totul , adică o teorie care cuprinde toate forțele fundamentale. Este o soluție viabilă pentru gravitația cuantică, plus că poate descrie în mod natural interacțiunile electromagnetice și alte interacțiuni fundamentale. Teoria supersimetrică include și fermioni , elementele de bază ale materiei. Nu se știe încă dacă teoria șirurilor este capabilă să descrie un univers cu aceleași caracteristici de forțe și materie ca cel observat până acum.

La un nivel mai concret, teoria corzilor a dat naștere la progrese în matematica nodurilor , spațiile Calabi-Yau și multe alte domenii. Teoria corzilor a aruncat, de asemenea, mai multă lumină asupra teoriilor ecartamentului supersimetric , un subiect care include posibile extensii ale modelului standard . .

Principalele proprietăți

**Teoriile corzilor**
Tip	Dimensiuni	Detalii
Bosonic	26	Numai bosoni , fără fermioni , deci numai forțe, indiferent, atât șiruri închise cât și deschise; inconsecvență majoră: o particulă cu masă imaginară, numită tahion
THE	10	Supersimetrie între forțe și materie , cu șiruri deschise și închise, fără tahion , grup simetric SO (32)
IIA	10	Supersimetrie între forțe și materie , numai corzi închise, fără tahion , fermioni fără masă cu rotire în ambele direcții (non-chirale)
IIB	10	Supersimetrie între forțe și materie , numai corzi închise, fără tahion , fermioni fără masă cu rotire într-o singură direcție (chirali)
EU AM	10	Supersimetria dintre forțe și materie , doar corzile închise, heterotice, adică corzile care se deplasează spre dreapta diferă de cele care se deplasează spre stânga, fără tahion , grup simetric SO (32)
EL	10	Supersimetria dintre forțe și materie , doar corzile închise, heterotice, adică corzile care se deplasează spre dreapta diferă de cele care se deplasează spre stânga, fără tahion , grup simetric E ₈ × E ₈

În timp ce înțelegerea detaliilor teoriilor șirurilor și supersirurilor necesită cunoașterea matematicii destul de sofisticate, unele proprietăți calitative ale șirurilor cuantice pot fi înțelese destul de intuitiv. De exemplu, corzile sunt supuse tensiunii, la fel ca corzile de instrumente tradiționale; această tensiune este considerată un parametru fundamental al teoriei. Tensiunea șirului este strâns legată de dimensiunea sa. Luați în considerare un șir închis într-un inel, liber să se miște în spațiu fără a fi supus forțelor externe. Tensiunea sa va tinde să-l contracteze într-un inel din ce în ce mai strâns. Intuiția clasică sugerează că s-ar putea reduce până la un punct, dar acest lucru ar contrazice principiul incertitudinii lui Heisenberg . Mărimea caracteristică a șirului va fi, prin urmare, determinată de echilibrul dintre forța de tensiune, care tinde să o facă mai mică, și efectul de incertitudine, care tinde să o mențină „mărită”.

În consecință, dimensiunea minimă a șirului trebuie să fie legată de tensiunea sa.

Dualitate

Înainte de anii 1990, teoreticienii șirurilor credeau că există cinci tipuri diferite de suprasiruri: tip I, tip IIA și tip IIB și cele două teorii heterotice ale șirurilor ( SO (32) și E ₈ × E ₈ ). S-a crezut că dintre aceste cinci teorii candidate, doar una era teoria corectă a tuturor lucrurilor și că teoria era teoria a cărei limită de energie scăzută, cu zece dimensiuni spațiu-timp împachetate în patru, implica fizica observată în lumea noastră. Dar acum se știe că această reprezentare naivă este greșită și că cele cinci teorii ale super-șirului sunt conectate la una ulterioară, ca și cum fiecare ar fi un caz special al unei teorii mai fundamentale. Aceste teorii sunt legate de transformări care se numesc dualitate. Dacă două teorii sunt legate de o transformare a dualității, înseamnă că prima teorie poate fi transformată într-un fel, astfel încât să ajungă să fie aceeași cu a doua teorie. Se spune că cele două teorii sunt duale față de alta în cadrul acestui tip de transformare.

Dimensiuni suplimentare

Același subiect în detaliu: dimensiune suplimentară .

O caracteristică interesantă a teoriei șirurilor este că prezice numărul de dimensiuni pe care Universul ar trebui să le aibă. Nici una dintre „teoria electromagnetismului lui Maxwell și nici teoria relativității lui Einstein nu spun nimic despre acest subiect: ambele teorii necesită ca potrivirea fizică să„ potrivească ”numărul de dimensiuni.

În schimb, teoria șirurilor vă permite să calculați numărul de dimensiuni ale spațiu-timp din principiile sale de bază. Din punct de vedere tehnic, acest lucru se întâmplă deoarece principiul invarianței Lorentz poate fi satisfăcut doar într-un anumit număr de dimensiuni. Mai mult sau mai puțin, este același lucru cu a spune că dacă măsurăm distanța dintre două puncte și apoi rotim observatorul cu un anumit unghi și măsurăm din nou, distanța observată rămâne aceeași numai dacă universul are un număr specific de dimensiuni.

Singura problemă este că, atunci când faceți acest calcul, numărul dimensiunilor din univers nu este de patru, așa cum v-ați putea aștepta (trei axe spațiale și o axă de timp), ci douăzeci și șase. Mai precis, teoriile bosonice implică 26 de dimensiuni, în timp ce superstring și teoriile M par să necesite 10 sau 11 dimensiuni. În teoriile șirurilor bosonice, cele 26 de dimensiuni rezultă din ecuația lui Poljakov

Z=\int D^{F}\left[\rho \left(\xi \right)\right]\exp \left(-{(26-D) \over 12\pi }\int _{\xi }\left[{1 \over 2}{\left(\partial _{a}\rho \right)^{2} \over \rho ^{2}}\right]+\int _{\xi }\mu _{R}^{2}\rho ^{2}\right).

{\ displaystyle Z = \ int D ^ {F} \ left [\ rho \ left (\ xi \ right) \ right] \ exp \ left (- {(26-D) \ over 12 \ pi} \ int _ { \ xi} \ left [{1 \ over 2} {\ left (\ partial _ {a} \ rho \ right) ^ {2} \ over \ rho ^ {2}} \ right] + \ int _ {\ xi } \ mu _ {R} ^ {2} \ rho ^ {2} \ right).}

Z = \ int D ^ {F} \ left [\ rho \ left (\ xi \ right) \ right] \ exp \ left (- {(26-D) \ over 12 \ pi} \ int _ {\ xi} \ left [{1 \ over 2} {\ left (\ partial _ {a} \ rho \ right) ^ {2} \ over \ rho ^ {2}} \ right] + \ int _ {\ xi} \ mu _ {R} ^ {2} \ rho ^ {2} \ dreapta).

O reprezentare tridimensională a unui spațiu Calabi-Yau

Cu toate acestea, aceste modele par să contrazică fenomenele observate. Fizicienii rezolvă de obicei această problemă într-unul din cele două moduri. Primul este compactarea dimensiunilor suplimentare; adică cele 6 sau 7 dimensiuni suplimentare ar trebui să producă efecte fizice pe o rază atât de mică încât nu pot fi detectate în observațiile noastre experimentale. Fără a adăuga fluxurile, suntem capabili să obținem rezoluția modelului în 6 dimensiuni cu spațiile Calabi-Yau . În 7 dimensiuni, acestea sunt numite soiuri G2 și în 8 soiuri de spin (7) . În esență, aceste dimensiuni suplimentare sunt compactate matematic cu succes, făcându-le să se plieze pe ele însele.

O analogie utilizată pe scară largă pentru aceasta este de a privi spațiul multidimensional ca un furtun de cauciuc pentru grădină. Dacă privim tubul de la distanță, acesta pare să aibă o singură dimensiune, lungimea acestuia. Aceasta corespunde celor patru dimensiuni macroscopice cu care suntem obișnuiți în mod normal. Totuși, dacă ne apropiem de tub, descoperim că are și o a doua dimensiune, circumferința sa. Această dimensiune suplimentară este vizibilă numai când suntem aproape de tub, la fel cum dimensiunile suplimentare ale spațiilor Calabi-Yau sunt vizibile doar la distanțe extrem de mici și, prin urmare, nu sunt ușor de observat.

(Evident, un furtun normal de grădină există în trei dimensiuni spațiale, dar pentru a permite analogia, neglijăm grosimea acestuia și luăm în considerare doar mișcarea de pe suprafața tubului. Un punct de pe suprafața tubului poate fi identificat cu două numere, distanța de la un capăt și o distanță de circumferință, la fel cum un punct de pe suprafața pământului poate fi identificat în mod unic prin latitudine și longitudine. În ambele cazuri, spunem că obiectul are două dimensiuni spațiale. La fel ca Pământul, grădinile de țevi au un interior, o regiune care necesită o dimensiune suplimentară; totuși, spre deosebire de Pământ, un spațiu Calabi-Yau nu are un interior).

O altă posibilitate este că suntem blocați într-un sub-spațiu dimensional "3 + 1" al întregului univers, unde 3 + 1 ne amintește că timpul este o dimensiune a unui alt tip decât spațiul. Deoarece această idee implică obiecte matematice numite D-brane , este cunoscută sub numele de Teoria Braneworld .

În ambele cazuri, gravitația, acționând în dimensiunile ascunse, produce alte forțe non-gravitaționale, precum electromagnetismul. Prin urmare, în principiu, este posibil să se deducă natura acestor dimensiuni suplimentare prin impunerea congruenței cu modelul standard, dar aceasta nu este încă o posibilitate practică.

Notă

^ A se vedea: Physics Letters B65, pp. 369 și respectiv 471 și Joseph Polchinski , Teoria corzilor , Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Teoria supercordurilor și dincolo, ISBN 0-521-63304-4 .
^ D. Friedan , Modele neliniare în dimensiuni 2 + ε ( PDF ), în Physical Review Letters , vol. 45, 1980, p. 1057, DOI : 10.1103 / PhysRevLett . 45.1057 .
^ LD Landau și EM Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25
^ ^a ^b Joseph Polchinski, Teoria corzilor , Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Teoria supercordurilor și dincolo, ISBN 0-521-63304-4 .
^ Y. Nambu și G. Jona-Lasinio , Phys. Rev. , 122, 345-358 (1961)
^ Y. Nambu și G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. , 124, 246-254 (1961)

Bibliografia

Testi divulgativi

Warren Siegel , Particelle,stringhe , Di Renzo Editore, 2008, ISBN 88-8323-204-6 .
Brian Greene , L'Universo Elegante , Einaudi, 2000, ISBN 88-06-15523-7 .
Brian Greene, La Trama del Cosmo , Einaudi, 2004, ISBN 88-06-18091-6 .
Robert Foot, La Materia-Specchio , Macro Edizioni, 2005, ISBN 88-7507-448-8 .
Robert Laughlin , Un Universo Diverso , Codice Edizioni, 2006, ISBN 88-7578-033-1 .
Jeffrey Satinover, Il Cervello Quantico , Macro Edizioni, 2002, ISBN 88-7507-408-9 .
Gordon Kane, Il Giardino delle Particelle , Tea Edizioni, 1997, ISBN 88-502-0125-7 .
Leonard Susskind , Il Paesaggio Cosmico: Dalla teoria delle stringhe al megaverso , Adelphi, 2006, ISBN 88-459-2153-0 .
Peter Woit , Neanche sbagliata. Il fallimento della teoria delle stringhe e la corsa all'unificazione delle leggi della fisica , Codice Edizioni, 2007, ISBN 88-7578-072-2 .
Antonino Palumbo, Rischiare con Dio (dopo Einstein) , Edizioni Scientifiche Italiane, 2006, ISBN 88-495-1257-0 .
Antonino Palumbo, L'Unificazione della Conoscenza , Edizioni Scientifiche Italiane, 2008, ISBN 978-88-495-1745-3 .

Manuali

Michael Green , John Schwarz and Edward Witten , Superstring theory , Cambridge University Press (1987). Il libro di testo originale.
- Vol. 1: Introduction, ISBN 0-521-35752-7 .
- Vol. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology, ISBN 0-521-35753-5 .
Clifford Johnson, D-branes , Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-80912-6 .
Joseph Polchinski , String Theory , Cambridge University Press, 1998. Un testo moderno.
- Vol. 1: An introduction to the bosonic string, ISBN 0-521-63303-6 .
- Vol. 2: Superstring theory and beyond, ISBN 0-521-63304-4 .
Barton Zwiebach, A First Course in String Theory , Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-83143-1 . Sono disponibili correzioni online .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Azione di Poljakov

Collegamenti esterni

Tutto sulle stringhe (incluso un test di autovalutazione) in ScienzaPerTutti , su scienzapertutti.lnf.infn.it .
( EN ) The Official String Theory Web Site - Ottimo sito di divulgazione, contiene anche un apparato matematico utile agli esperti , su superstringtheory.com .
( EN ) PLANCK Home page , su aether.lbl.gov .
( EN ) Risultati del WMAP , su map.gsfc.nasa.gov .
( EN ) Superstringtheory.com - Guida online.
( EN ) Beyond String Theory - Progetto in corso che spiega molti aspetti della teoria delle stringhe e gli argomenti correlati.
( EN ) The Elegant Universe - Documentario NOVA di Brian Greene. Varie immagini, testi, video ed animazioni sulla teoria delle stringhe.
( EN ) The Symphony of Everything: a short interactive introduction to string theory. , su msnbc.com . URL consultato il 24 settembre 2008 (archiviato dall' url originale il 24 settembre 2008) .
( EN ) "Cosmic strings reborn?" di Tom Kibble, conferenza del September 2004 .
( EN ) SCI.physics.STRINGS - La home page di un newsgroup dedicato alla teoria delle stringhe.
( EN ) Resource Letter - Una buona guida per studenti alla letteratura sulla teoria delle stringhe.
( EN ) Superstrings! String Theory Home Page - Tutorial online.
( EN ) A popular blog on string theory , su math.columbia.edu .
( EN ) Is string theory even wrong? - Critica alla teoria delle stringhe.

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] A se vedea: Physics Letters B65, pp. 369 și respectiv 471 și Joseph Polchinski , Teoria corzilor , Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Teoria supercordurilor și dincolo, ISBN 0-521-63304-4 .

[Frie80-2] D. Friedan , Modele neliniare în dimensiuni 2 + ε ( PDF ), în Physical Review Letters , vol. 45, 1980, p. 1057, DOI : 10.1103 / PhysRevLett . 45.1057 .

[3] LD Landau și EM Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

[Polchinski-4] Joseph Polchinski, Teoria corzilor , Cambridge University Press (1998). Vol. 2: Teoria supercordurilor și dincolo, ISBN 0-521-63304-4 .

[5] Y. Nambu și G. Jona-Lasinio , Phys. Rev. , 122, 345-358 (1961)

[6] Y. Nambu și G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. , 124, 246-254 (1961)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]