Grup simetric

În matematică , grupul simetric al unei mulțimi este grupul format din setul de permutări ale elementelor sale, adică de setul de funcții bijective ale acestui set în sine, echipat cu operația binară de compoziție a funcțiilor . Toate grupurile simetrice de mulțimi având aceeași cardinalitate sunt izomorfe. Printre grupurile simetrice ale unui anumit număr n finit de obiecte este în general preferat să se considere cea constituită de permutările numerele întregi 1, 2, ..., n și reprezintă cu S _n. Această succesiune de grupuri este studiată în profunzime și joacă un rol de primă importanță pentru studiul simetriilor. Este ușor să demonstrezi că grupa S _n are ordinea n ! (vezi permutarea intrării) și care nu este Abelian pentru n > 2.

Structura lui S _n

Dintre elementele lui S _n, ciclurile k- (cu k ≤ n ) sunt de mare importanță, adică elementele lui S _n care au ordinea k și care au exact nk puncte fixe . Pentru fiecare k = 1, 2, ..., n se poate arăta că numărul de k- cicluri este ${\frac {n!}{k(n-k)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n!} {k (nk)!}}}$ ${\ frac {n!} {k (n-k)!}}$ și, prin urmare, în special, că numărul celor 2 cicluri este exact ${\frac {n(n-1)}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n (n-1)} {2}}}$ ${\ frac {n (n-1)} {2}}$ : aceste ultime permutări se mai numesc transpuneri sau schimburi . Noi spunem că două cicluri sunt disjuncte dacă punctele dintr - un ciclu care nu sunt fixate sunt stabilite pentru celălalt ciclu.

Este ușor de arătat că fiecare element al lui S _n poate fi scris ca produs al ciclurilor disjuncte reciproc. Mai mult, fiecare ciclu poate fi, de asemenea, descompus ca produs al transpunerilor (în majoritatea cazurilor nu este disjunct). Deși descompunerea unui element al lui S _n în transpuneri nu este unică, aplicarea lui S _n în grupul format din {+ 1, -1} are produsul obișnuit care trimite un element în 1 dacă se poate obține ca produs al un număr par de transpuneri și în -1 dacă se poate obține deoarece produsul unui număr impar de transpuneri este bine definit și este un omomorfism al grupurilor . Permutările a căror imagine este 1 se numesc permutări pare , celelalte ciudate .

Nucleul acestui homomorfism (sau echivalent setul de permutări pare) se numește grup alternativ (sau alternativ ) și este indicat de A _n . Acest subgrup, având index 2 pe S _n , are ${\frac {n!}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n!} {2}}}$ ${\ frac {n!} {2}}$ elemente și este normal pe S _n . Se poate arăta că grupul S _n este izomorf pentru produsul semidirect al lui A _n cu subgrupul generat de orice transpunere.

Se poate arăta că pentru n ≥ 5 A _n este un grup simplu non- Abelian . O consecință imediată a acestui fapt este că A _n nu poate fi rezolvat și, prin urmare, întrucât un subgrup al unui grup rezolvabil este rezolvabil, nici măcar S _n pentru n ≥ 5 nu poate fi rezolvabil (în schimb, este ușor să arăți că S _n este rezolvabil pentru n ≤ 4).

Clase de conjugare

Clasele de conjugare ale lui S _n corespund descompunerilor în cicluri disjuncte; cu alte cuvinte, două elemente ale lui S _n sunt conjugate dacă și numai dacă descompunerile lor în cicluri disjuncte constau din același număr de cicluri de aceeași lungime. De exemplu, toate produsele a două cicluri 2 și 3 cicluri disjuncte sunt conjugate, în timp ce un element obținut ca produs al unui 2 ciclu disjunct și al unui 3 ciclu nu este niciodată conjugat la un element obținut ca produs al două disjuncte 2 cicluri.

Homomorfisme cu alte grupuri

Grupurile simetrice $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , pentru $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ , sunt exemple de grupuri Coxeter și exemple de grupuri de reflecție . Ele pot fi realizate ca grupuri de reflecții în ceea ce privește hiperavioanele $x_{i}=x_{j},1\leq i<j\leq n$ ${\ displaystyle x_ {i} = x_ {j}, 1 \ leq i <j \ leq n}$ $x_ {i} = x_ {j}, 1 \ leq i <j \ leq n$ . Mai mult, grupul $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ poate fi realizat ca un grup de coeficient al grupului de împletituri $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ .

Unul dintre motivele pentru care grupurile simetrice sunt deosebit de importante este dat de teorema lui Cayley care afirmă că fiecare grup finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este izomorfă pentru un subgrup de $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ .

Exemple

Grupul S ₂ este izomorf pentru grupul ciclic cu două elemente, în timp ce A ₂ este grupul compus doar din identitate.

Grupul S ₃ este izomorf la grupul diedric de ordinul 6, adică grupul de reflecții și rotații simetrice ale unui triunghi echilateral , deoarece aceste simetrii permută cele 3 vârfuri ale triunghiului. Cele 2 cicluri corespund reflexiilor, în timp ce ciclurile de lungime 3 la rotații. Acest izomorfism trimite A ₃ în grupul de rotații al triunghiului: deoarece acestea au 3 elemente, ambele sunt izomorfe pentru grupul ciclic de 3 elemente.

Grupul S ₄ este izomorf pentru grupul format de rotațiile proprii ale cubului . În acest caz, obiectele permutate sunt cele patru diagonale ale cubului.

Elemente conexe

Permutare

Controlul autorității	Tezaur BNCF 53097 · LCCN (EN) sh85131444 · BNF (FR) cb12364813q (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică