Operație binară

În matematică , o operație binară internă este o funcție care ia două argumente din același set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (adică se spune că are ariety 2) și returnează un element de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În mod formal, adică este o funcție * din produsul cartezian $X\times X$ ${\ displaystyle X \ times X}$ ${\ displaystyle X \ times X}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

*:X\times X\to X

{\ displaystyle *: X \ times X \ to X}

{\ displaystyle *: X \ times X \ to X}

Pentru a indica imaginea unei perechi de puncte $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ notația infix este adesea utilizată $x*y$ ${\ displaystyle x * y}$ $X y$ . Prin urmare, operațiunea este identificată prin simbolul „ $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ ". În unele cazuri sunt utilizate alte simboluri, cum ar fi plusul " + "sau for pentru " $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle \ times}$ ".

Un set cu operație binară se numește magmă . Termenul de lege al compoziției este uneori folosit sinonim.

Exemple

Seturi numerice

Adunarea este o operație binară pe setul de numere naturale . Folosind funcția formalism, această operație este descrisă după cum urmează:

+:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}

{\ displaystyle +: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}

{\ displaystyle +: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}

(a,b)\mapsto a+b.

{\ displaystyle (a, b) \ mapsto a + b.}

{\ displaystyle (a, b) \ mapsto a + b.}

În mod similar, produsul este, de asemenea, o operație binară pe setul de numere naturale. Suma și produsul sunt operații binare și pe alte seturi numerice, cum ar fi seturi de numere întregi , raționale , reale sau complexe .

Scăderea nu este o operație binară pe setul de numere naturale: diferența dintre două numere naturale poate fi de fapt negativă și, prin urmare, nu poate fi un număr natural. Cu toate acestea, scăderea este o operație binară pe setul de numere întregi:

-:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}

{\ displaystyle -: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle -: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}

(a,b)\mapsto a-b.

{\ displaystyle (a, b) \ mapsto ab.}

{\ displaystyle (a, b) \ mapsto a-b.}

Seturi mai generale

Operația care, dată fiind două persoane, ne dă înapoi pe cel mai tânăr, este, de asemenea, o operație binară.

Structuri algebrice

Un set cu operație binară se numește magma : aceasta este cea mai simplă structură algebrică . Dacă operația îndeplinește anumite proprietăți particulare, setul se numește semigrup , monoid , grup și așa mai departe. Dintre aceste structuri, structura grupului are o importanță fundamentală în algebră și geometrie .

Alte structuri mai rafinate sunt definite pe baza a două operații binare: printre acestea găsim noțiunea de inel și câmp . De exemplu, numerele întregi , cu cele două operații binare de sumă și produs, formează un inel.

Variante

Unii autori folosesc termenul operație binară pentru a identifica o funcție binară mai generică, adică o funcție

f:X\times Y\to Z.

{\ displaystyle f: X \ times Y \ to Z.}

{\ displaystyle f: X \ times Y \ to Z.}

În general, această utilizare a limbajului este prezentă atunci când această funcție seamănă mult cu o operație binară, de exemplu, deoarece două din cele trei seturi $X, Da, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ coincide. De exemplu, multiplicarea la scară ar putea intra în această categorie

f:V\times K\to V

{\ displaystyle f: V \ times K \ to V}

{\ displaystyle f: V \ times K \ to V}

prezent în fiecare spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , sau operația de scădere

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Z}

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Z}}

care asociază un număr întreg cu două numere naturale. Un alt exemplu este acțiunea unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe un platou $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , care este o anumită funcție binară

f:G\times X\to X.

{\ displaystyle f: G \ times X \ to X.}

{\ displaystyle f: G \ times X \ to X.}

Autorii care folosesc operația binară în acest sens mai larg indică în general cu termenul operație binară internă definiția originală, în care toate cele trei seturi prezente coincid și termenul operație binară externă în celelalte cazuri.