Relația dintre muzică și matematică

Bustul lui Pitagora

„Muzica este plăcerea pe care o simte mintea umană atunci când contează fără a fi conștientă de numărare”

( GW Von Leibniz )

Relația dintre muzică și matematică a fost descoperită în timpuri foarte vechi, care datează de la geniul lui Pitagora . El a fost primul care a ghicit existența relațiilor numerice între frecvențe și, prin acestea, a construit prima scară muzicală. Această relație a fost apoi studiată de mulți oameni de știință, filozofi, muzicieni precum Ptolemeu , Zarlino , Galileo Galilei , Jean-Philippe Rameau , Leibniz și alții.

Muzică și matematică legate încă din cele mai vechi timpuri

Anecdota care spune despre modul în care Pitagora a descoperit puntea dintre muzică și matematică este transmisă de Iamblichus din Chalcis. Pitagora a auzit într-o zi un fierar care lovea ciocanele cu greutăți diferite pe nicovală. El a observat că, în funcție de greutate, frecvența sunetului varia, producând zgomote mai mult sau mai puțin plăcute. Investigând de ce, Pitagora și-a dat seama că ciocanele ale căror greutăți erau în proporții precise produceau sunete consonante (plăcute).

În laborator, Pitagora a întins corzile elastice (nervii boi) folosind diferite greutăți. Aici a descoperit că există o consonanță între perechi de sunete, când tensiunile erau între ele într-un raport de 4: 1 sau 9: 4. Un șir întins de o greutate cvadruplă emite apoi o notă cu frecvență dublă. Putem spune că este un interval de octavă față de cel precedent. Creierul nostru percepe cele două frecvențe „egale”, dar una mai acută decât cealaltă.

Astăzi știm că frecvența fundamentală f0 a sunetului emis de un șir tensionat, plasat în vibrație, este direct proporțională cu rădăcina pătrată a tensiunii T la care este supusă șirul și invers proporțională cu lungimea sa L și, sub rădăcină , la densitatea sa ρ și la secțiunea sa S :

Intervalele

Raportul de lungime	Raportul de greutate	Raport de frecvențe	Interval (Consonant)
1: 2	4: 1	2: 1	Octavă
2: 3	9: 4	3: 2	a cincea
3: 4	16: 9	4: 3	Al patrulea

Un interval este deci un raport între frecvențele notelor luate în considerare.

Această proprietate este valabilă atât prin „alungirea” șirului nostru, cât și prin „scurtarea acestuia”, adică prin apăsarea unui punct de pe șir, plasat la un raport de distanță precis. Dacă apăsăm șirul exact în mijloc și smulgem una dintre cele două jumătăți, obținem o notă în octava superioară. In practica:

Dacă șirul deschis emite nota de referință „C”, același șir

înjumătățit, joacă „C” în octava superioară (mai mare);
redus la aproximativ 3/4, joacă un „F” (al patrulea)
redus la 2/3, joacă un "G" (al cincilea)

[Puteți vedea acest proces explicat foarte bine în „Duck Donald în lumea Matemagica” de Walt Disney (1959)]

Progresul pitagoreicilor a ajuns la construirea unei scări diatonice pitagorice. Era alcătuită din șapte note, înainte de a ajunge la nota a opta, „egală” cu prima, dar mai acută. „Numărul” (octavă, al cincilea, al treilea, al patrulea, ...) atribuit intervalului depinde de notele care sunt numărate în cadrul acestuia, referindu-se la scara: C - G, intervalul unei cincimi, de la C la G sunt 5 note: DO, RE, MI, FA, SOL.

Dincolo de Pitagora

Al doilea principiu pentru împărțirea octavei într-un număr dat de părți a fost conceput de Archita, un Tarantino al școlii grecești (430-348 î.Hr.). Didymus (secolul I î.Hr.) și Ptolemeu (83-161 d.Hr.), dar au găsit aplicații practice numai odată cu apariția muzicii tonale și cu teoretizarea ulterioară formulată de Gioseffo Zarlino (1517-1590) în 1558.

În timp ce sistemul pitagoric prevedea împărțirea coardei în 2, 3 sau 4 părți, noutatea sistemului ptolemeic a constat în posibilitatea împărțirii coardei în 5 și 6 părți. A treia majoră (5/4) și a treia minoră (6/5) au fost adăugate, de asemenea, între intervalele fundamentale. Inițial această scară nu a fost transmisă, deoarece intervalele de treimi nu au fost considerate suficient de consonante de către greci.

Celelalte intervale

a doua majoră ca diferență între un al cincilea și un al patrulea perfect: 3/2: 4/3 = 9/8
al șaselea major ca suma unui al patrulea perfect și al unei treimi majore: 4/3: 5/4 = 5/3
al șaptelea major ca suma unei cincimi perfecte și a unei treimi majore: 3/2: 5/4 = 15/8

Sunetele care alcătuiesc scala Zarlin se trag din seria armonicilor naturale ale unei note de referință. Din acest motiv se mai numește și scară naturală. Această serie poate fi generată prin alegerea unei note de referință și multiplicarea frecvenței acesteia cu 2, 3, 4 și așa mai departe. Pentru a aduce notele generate în acest mod înapoi la octava de pornire, frecvența lor este împărțită la 2 n unde n indică numărul de octave parcurse de nota de pornire. În cele din urmă, orice duplicat obținut este eliminat.

Tradiția dictează că notele care alcătuiesc scala diatonică sunt 7:

în timp ce cele care alcătuiesc scala cromatică sunt 12. Se adaugă 5 note modificate la cele 7 note ale scalei diatonice naturale, atingând astfel toate notele posibile.

Explicați muzica cu matematica și matematica cu muzica

Muzica și matematica, aparent diametral opuse - prima o formă de artă, cea de-a doua o știință exactă - au, prin urmare, multe aspecte în comun. Studiul lor combinat poate oferi beneficii numai în ambele sensuri ale relației.

Dacă este adevărat că ajutorul matematicii a fost fundamental în studiul și înțelegerea muzicii, așa cum ne amintește și compozitorul Jean-Philippe Rameau (care a trăit între secolele al XVII-lea și al XVIII-lea):

„În ciuda tuturor experiențelor pe care le-am dobândit în muzică din faptul că m-am asociat cu ea atât de mult timp, trebuie să mărturisesc că ideile mele au devenit mai clare doar cu ajutorul matematicii”

„Este la fel de adevărat că uneori, în istorie, muzica a anticipat concepte matematice care au fost descoperite abia mai târziu”.

Să ne gândim, de exemplu, la pentagramă : nu este altceva decât un plan cartezian. Axa absciselor este reprezentată de ori, iar axa ordonată de frecvență și, prin urmare:

«Muzica este o știință care trebuie să aibă anumite reguli: acestea trebuie extrase dintr-un principiu evident, care nu poate fi cunoscut fără ajutorul matematicii. Trebuie să recunosc că, în ciuda tuturor experienței pe care am putut să o dobândesc cu o practică muzicală îndelungată, ideile mele s-au soluționat doar cu ajutorul matematicii și că lumina a risipit întunericul "

( Jean-Philippe Rameau , Tratat de armonie redus la principiile sale fundamentale (1722) )

Bătăi

Același subiect în detaliu: Beats (muzică) .

1% bate cu două valuri de frecvență diferită

Fenomenul beat apare atunci când sunt redate două note cu o frecvență similară (dar nu identică). Unul are atunci impresia de a auzi un sunet cu o frecvență apropiată de cea a primelor două, a căror intensitate totuși oscilează în timp, cu atât mai lent, cu cât frecvențele primelor două sunete erau mai apropiate. Din acest motiv, bătăile sunt utilizate pentru a determina prezența notelor plate sau plate atunci când intonați un instrument.

Explicația acestui fenomen rezidă parțial în natura fizică a undelor sonore și, în parte, în modul în care urechile noastre percep sunetele. Dacă ne fixăm atenția asupra suprapunerii a două tonuri pure (adică astfel încât să poată fi reprezentate de unde sinusoidale ) și presupunând, pentru simplitate, că sunt de amplitudine egală, putem aplica formulele de prostafereză la sunetul rezultat:

\mathrm {sen} (\omega _{1}t)+\mathrm {sen} (\omega _{2}t)=2\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\cdot \mathrm {sen} \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right)=2\cos(\Omega t)\cdot \mathrm {sen} (\omega t)

{\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ omega _ {1} t) + \ mathrm {sen} (\ omega _ {2} t) = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}} t \ right) \ cdot \ mathrm {sen} \ left ({\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} t \ right ) = 2 \ cos (\ Omega t) \ cdot \ mathrm {sen} (\ omega t)}

{\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ omega _ {1} t) + \ mathrm {sen} (\ omega _ {2} t) = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}} t \ right) \ cdot \ mathrm {sen} \ left ({\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} t \ right ) = 2 \ cos (\ Omega t) \ cdot \ mathrm {sen} (\ omega t)}

Unde este plasat

\omega ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}}}

\ omega = {\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}}

\Omega ={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}.

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}}.}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}}.}

De sine $\Omega \ll \omega$ ${\ displaystyle \ Omega \ ll \ omega}$ ${\ displaystyle \ Omega \ ll \ omega}$ , (adică dacă $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ Și $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ sunt apropiate), suma celor două sunete poate fi exprimată ca un sunet cu frecvență intermediară, egal cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , a cărui amplitudine este modulată la frecvența mult mai mică $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Metode de intonație

Același subiect în detaliu: Temperament (muzică) .

Descoperirile lui Pitagora au pus în relație directă percepția noastră asupra sunetelor cu cantități măsurabile (în acest caz lungimea șirului vibrant). Cu alte cuvinte, dacă luăm în considerare modurile de vibrație ( armonice ) ale unui șir tensionat fixat la extreme și numit n frecvența fundamentală , avem următoarele corespondențe (unde f (x) indică frecvența notei x ):

Notă (x) :	Faceți ₁	Faceți ₂	Sol ₂	Faceți ₃	I ₃	Sol ₃	Bb ₃	Faceți ₄
f (x) :	n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n

Intervalul, de exemplu, între Do ₁ și Do ₂ (dublarea frecvenței), se numește interval de octavă . Rețineți că intervalul cuvântului, referitor la tonurile sunetelor, se referă la raportul de frecvențe, nu la diferența lor.

Din acestea putem deduce frecvențele care trebuie atribuite tuturor notelor scalei C: metoda adoptată (care este denumită în mod obișnuit temperament , chiar dacă acest termen se referă doar la metode de intonație care diferă de cele „naturale”) are consecințe importante pentru construcția de instrumente muzicale cu înălțime fixă (cum ar fi pianul ) și, de asemenea, pentru metodele compozițiilor muzicale în sine (de exemplu tonul cu douăsprezece conceput de Arnold Schönberg este o consecință, dusă la extrem, a utilizării temperamentului egal ). În istorie, problema temperamentului muzical a fost rezolvată în mod consecvent (cel puțin în muzica occidentală) numai în secolul al XVII-lea de Andreas Werckmeister .

Intonația pitagorică

Același subiect în detaliu: scara pitagorică .

Metoda pitagorică constă în calcularea inițială a celui de-al cincilea raport, adică frecvența notei G ₁ față de nota C ₁ , după cum urmează:

G ₁ : se reduce la prima octavă G ₂ împărțindu-și frecvența la două, obținând: $f(\mathrm {Sol} _{1})=f(\mathrm {Sol} _{2}):2=(3:2)n$ ${\ displaystyle f (\ mathrm {Sol} _ {1}) = f (\ mathrm {Sol} _ {2}): 2 = (3: 2) n}$ ${\ displaystyle f (\ mathrm {Sol} _ {1}) = f (\ mathrm {Sol} _ {2}): 2 = (3: 2) n}$

În mod similar, D ₁ este al cincilea din G ₁ (D ₂ ) coborât cu o octavă: f (D ₁ ) = f (D ₂ ): 2 = (3: 2 f (G ₁ )): 2 = 9: 8 n

Acum este posibil să se utilizeze rapoartele a cincea și a octavei pentru a obține celelalte note ale scalei.

Continuând cu această metodă, în cele din urmă, succesiunea notelor în scara pitagorică este definită de succesiunea frecvențelor care urmează (indicate în raport cu fundamentalul):

Notă :	Faceți ₁	Regele ₁	Eu ₁	Fa ₁	Sol ₁	₁	Da ₁	Faceți ₂
Frecventa :	1	9: 8	81:64	4: 3	3: 2	27:16	243: 128	2

Rețineți că în acest mod există doar două intervale (raporturi de frecvență) între sunete consecutive: tonul , care corespunde la 9: 8 și semitonul sau limma egal cu 256: 243.

Cu toate acestea, scara pitagorică are dezavantajul că intervalele adoptate nu se împacă cu necesitatea de a împărți octava în părți proporționale (pentru a evita să se schimbe tonul notelor individuale pe măsură ce tonalitatea se schimbă).

Intonația naturală

Același subiect în detaliu: Intonarea naturală .

Unul dintre dezavantajele scalei pitagoreice este acela că raportul al treilea și al șaselea, folosind numeratori și numitori mari, dau naștere la corzi consoane mici atunci când sunt utilizate împreună cu alte note ale scalei.

Folosind, de asemenea, armonicele superioare și, în special, a cincea armonică - E3 - a fundamentalului, este posibil să se obțină mai multe rapoarte consonante, după cum urmează:

Eu ₁

Se obține prin coborârea celei de-a cincea armonici a fundamentalului cu două octave:

f (Mi ₁ ) = 1/2 (1/2 (5 n )) = 5/4 n

₁

Se obține ca al cincilea descendent al lui E ₂ (a cincea armonică coborâtă cu o octavă):

f (La ₁ ) = 2/3 (1/2 (5 n )) = 5/3 n

Da ₁

Este al cincilea din Mi ₁ :

f (Si ₁ ) = 3/2 (5/4 n ) = 15/8 n

Categoric:

Notă	Faceți ₁	Regele ₁	Eu ₁	Fa ₁	Sol ₁	₁	Da ₁	Faceți ₂
Frecvență (scară naturală)	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
Frecvența (scara pitagorică)	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2

Prin reducerea notelor la fracții mai simple, se obține, de asemenea, o consonanță excelentă a celei de-a șasea (A1) și relația cu cea de-a șaptea majoră (B1) se îmbunătățește. Cu toate acestea, omogenitatea se pierde în intervale: avem acum rapoarte de 9/8 ( ton major ), 10/9 ( ton minor ) și 16/15 ( semiton tonat). Raporturile (intervalele) dintre tonurile majore și minore, egale cu 81/80, se numesc virgula Didymus; raportul dintre tonul minor și semitonul diatonic, egal cu 25/24, se numește semiton cromatic . Rețineți că în acest sistem, intervalul D1-La1 (o cincime) nu mai este 3/2, ci 40/27 (numit intervalul îngust al cincilea ). Relația dintre cele două intervale ale celui de-al cincilea, care este 80/81, este inversul virgulei Didymus și se mai numește virgulă sintonică .

Având în vedere o consonanță mai mare între note, scara naturală introduce, prin urmare, un anumit număr de nereguli în succesiunea intervalelor, ceea ce o face și mai nepotrivită decât cea pitagorică pentru acordarea instrumentelor cu ton fix (în timp ce este cea mai apropiată de nevoile instrumentelor cu ton variabil).

Ciclul de cincimi

Același subiect în detaliu: Ciclul cincimilor .

Ciclul cincimilor

Problema intonației, așa cum am menționat mai sus, derivă din necesitatea de a putea regla instrumente cu coarde, cum ar fi pianul sau corzile, pentru a putea juca în diferite taste. Nici una dintre cele două metode văzute până acum nu permite rezolvarea exactă a acestei probleme, după cum se poate observa din următoarea procedură.

O modalitate de a regla un instrument de reglare fixă este de a păstra intervalele a cincea dintr-o coardă de bază. În acest fel se acordă urmând așa-numitul ciclu al cincimilor : Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Fa (sau Mi♯) , Do, care după șapte octave revine la nota rădăcină. Este ușor de văzut că niciuna dintre metodele examinate până acum nu poate face ca C8 să coincidă cu cea obținută din ciclul cincimilor: de fapt, atât pentru temperamentul natural, cât și pentru cel pitagoric, frecvențele octavelor sunt multiple de puteri de doi, în timp ce în ciclul cincimilor frecvențele sunt multipli de puteri de 3/2: nici o putere de doi nu este, de asemenea, o putere de 3/2. Acest raționament se aplică și celorlalte relații avute în vedere.

Prin urmare, se poate observa că un tuner care dorea să acordeze un instrument în timp ce încerca să păstreze toate intervalele corecte (treimi, pătrimi, cincimi) s-ar confrunta cu o problemă insolubilă și ar trebui totuși să caute un compromis: acesta este temperamentul egal promoții.

Temperament egal

Același subiect în detaliu: temperament egal .

Grafic frecvență / cenți, temperament egal: Săgeata roșie indică nota de bază (A 440 Hz)

Abaterea relativă de la temperamentul egal. Verde: temperament pitagoric, roșu: temperament natural.

Găsirea unei soluții stabile la problema temperamentului a durat câteva secole. În plus față de cele două temperamente ilustrate, au fost sugerate mai multe altele: de exemplu temperamentul mezotonic (numit temperamentul cu ton mediu), care păstrează intervalele celui de-al treilea (și a fost folosit în jurul Renașterii).

O metodă alternativă la cele luate în considerare până acum (care încearcă să păstreze exact un anumit număr de intervale raționale, pe lângă cel de octavă) este impunerea împărțirii octavei într-un anumit număr de intervale constante. (Am văzut că temperamentele examinate necesită cel puțin două intervale pentru compoziția unei octave). Soluția modernă, numită sistem egal temperat, stabilește că fiecare octavă este împărțită în 12 intervale, numite semitonuri și distribuie notele (grade ale scării diatonice ) de-a lungul unei curbe logaritmice : raportul de octavă este stabilit la două ca de obicei. Utilizarea unei scări logaritmice derivă din faptul fiziologic că urechea noastră percepe ca intervale egale între sunete în care raportul dintre frecvențe este constant. Acest fapt identifică o distribuție logaritmică a gradelor în ceea ce privește frecvențele pentru toate temperamentele examinate până acum: dar în timp ce temperamentul egal adoptă aceeași distribuție omogenă pe un interval de octavă, celelalte încearcă să combine secvențe de intervale sau să mențină același interval fără respectați intervalul de octavă.

Din cele spuse, este ușor de văzut că un interval de un semiton (obținut prin inserarea a 12 mijloace geometrice între 1 și 2) este egal cu ${\sqrt[{12}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}}}$ ${\ sqrt [{12}] {2}}$ .

În acest fel, frecvența fiecărei note corespunzătoare unei taste de pian este egală cu frecvența notei corespunzătoare tastei imediat precedente, înmulțită cu ${\sqrt[{12}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}}}$ ${\ sqrt [{12}] {2}}$ . Cu douăsprezece taste mai la dreapta, ajungeți la o notă care are frecvență ${\sqrt[{12}]{2}}^{12}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} ^ {12}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} ^ {12}}$ , care este exact dublu comparativ cu nota de pornire.

Acest sistem egal stabilește rapoarte de frecvență identice din orice notă detectată de tastatura pianului (sau a clavecinului ). În acest fel, puteți comuta de la o tastă la alta (adică faceți modulații ) fără probleme de reglare. Modulațiile sunt o caracteristică tipică a muzicii lui Johann Sebastian Bach , care a susținut introducerea temperamentului egal cu colecția „ Clavecinul bine temperat ”: patruzeci și opt de preludii și fugi (două pentru fiecare cheie majoră și minoră) care trebuie jucate, de fapt, pe un clavecin acordat unui temperament „bun”. În realitate, termenul „temperat”, pe vremea lui JS Bach, nu însemna neapărat „la fel de temperat”, ci pur și simplu „cu unele intervale modificate (temperate) de cincimi”. Dintre diferitele temperamente utilizate în acel moment, cel egal era încă departe de a se afirma, tot datorită dificultății intrinseci de a face ca toate cele douăsprezece intervale de cincisprezece să fie identice; Probabil că Bach a folosit temperamentul Werckmeister III ^[1] .

Metoda de construire a temperamentului egal înseamnă că frecvențele tuturor notelor pot fi exprimate ca:

$f=f_{0}2^{c/1200}$ ${\ displaystyle f = f_ {0} 2 ^ {c / 1200}}$ ${\ displaystyle f = f_ {0} 2 ^ {c / 1200}}$

unde este $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ este frecvența fundamentală (de obicei, A ₄ = 440 Hz) și c exprimă abaterea de la aceasta, exprimată în cenți (o octavă conține 1200 de cenți).

Temperamentul egal, prin urmare, permite să aibă octavele în ton și compuse prin repetarea unui singur interval, dar are dezavantajul de a nu folosi niciun alt interval corect. Pe de altă parte, se poate observa cum, având în vedere toate diviziunile posibile ale octavei până la 24, se poate vedea că există doar trei subdiviziuni posibile care permit să compună triada majoră (Do, G, Mi) menținând în același timp o eroare generală mai mică de '1%: acestea sunt cea din 12 (corespunzătoare temperamentului egal), cea din 24 (corespunzătoare unei subdiviziuni în sferturi de tonuri încă în temperamentul egal) și cea din 19, care corespunde unei subdiviziune în treimi de ton care a stârnit un anumit interes în trecut.

În acest sens, prin dezvoltarea în fracție continuă (ai cărei convergenți asigură succesiunea celor mai bune aproximări prin rapoarte de numere întregi cât mai mici posibil) a numărului log ₂ 3 (care este „soluția” problemei obținerii unui număr întreg de octave prin secvențe de cincimi), vedem că numărul de subdiviziuni ale octavei care vă permite să vă apropiați de idealul temperamentului (adică echidistanța dintre grade), fără a abate prea mult de la consonanță (adică folosind valori care sunt cât mai aproape posibil de raporturile de numere mici) este subdiviziunea în 5 grade, sau în 12 sau 41 sau 53, o subdiviziune teoretizată și în China, precum și în Europa, la începutul secolului al XX-lea. Un raționament similar se poate face prin dezvoltarea jurnalului numeric ₂ 5, care apare atunci când sunt utilizate treimi în loc de cincimi pentru intonație ^[2] .

Compararea metodelor de intonație

Tabelul ilustrează înălțimile (exprimate în cenți ) ale gradelor scalei majore conform diferitelor metode de reglare.

Grad a scării	Temperament egal	Interv.	Intonaţie natural	Interv.	Intonaţie Pitagoric	Interv.
THE	0	-	0	-	0	-
II	200	200	204	204	204	204
III	400	200	386	182	408	204
IV	500	100	498	112	498	90
V.	700	200	702	204	702	204
TU	900	200	884	182	906	204
VII	1100	200	1088	204	1110	204
VIII	1200	100	1200	112	1200	90

După cum se poate observa, în toate cele trei metode intervalul de octavă este identic (1200 de cenți), iar intervalul al patrulea (498-500 de cenți) și al cincilea (700-702 de cenți) sunt, de asemenea, practic identici. Discursul este foarte diferit pentru intervalele celui de-al treilea major și al șaselea major. Intervalul treimei majore naturale valorează 386 de cenți, în timp ce intervalul pitagoric este foarte crescător: 408 de cenți; un argument similar se aplică celui de-al șaselea. Prin urmare, putem înțelege de ce un interval perfect consonant în funcție de sensibilitatea noastră, precum cel al treimei majore, a fost considerat intolerabil disonant la începutul polifoniei , când s-a folosit temperamentul pitagoric: „vina” era inerentă construcției pitagoreice a scării. .

Tabelul arată, de asemenea, că aproximările introduse cu temperamentul egal sunt mai modeste decât cele pitagoreice (al treilea interval major valorează 400 de cenți în loc de 386 de cenți naturali) și astfel încât acestea sunt acum tolerate pe scară largă. Așa se explică de ce al treilea interval sună consoane la urechea noastră chiar și atunci când se cântă la pian (care este înălțat în funcție de temperament egal).

Tabelul următor arată, de asemenea, temperamentul mezotonic (sau tonul mediu sau mediu ), comparativ cu celelalte și proporțiile pitagoreice relative:

Nº semitonuri	Numele gamei	Gama naturală	Intervalele în cenți
Nº semitonuri	Numele gamei	Gama naturală	Temperament egal	Intonația naturală	Intonația pitagorică	Temperament mezotonic
0	Unison	1: 1	0	0	0	0
1	Al doilea minor	16:15	100	112	90	117
2	Al doilea major	9: 8	200	204	204	193
3	A treia minora	6: 5	300	316	294	310
4	Al treilea major	5: 4	400	386	408	386
5	Al patrulea drept	4: 3	500	498	498	503
6	A patra mărită A cincea diminuat	45:32 64:45	Triton 600	590 610	612	579 621
7	A cincea dreapta	3: 2	700	702	702	697 Al cincilea al lupului : 737
8	Minor al șaselea	8: 5	800	814	792	814
9	Al șaselea major	5: 3	900	884	906	889
10	Minor al șaptelea	9: 5	1000	1018	996	1007
11	Major al șaptelea	15: 8	1100	1088	1110	1083
12	Octavă	2: 1	1200	1200	1200	1200

Notă

^(EN) Kyle Gann, An Introduction to Historical Tunings
^(EN) Edward G. Dunne, Pianos and Continued Fractions

Bibliografie

Dave Benson, Matematică și muzică , Cambridge University Press (2006)
Piergiorgio Odifreddi , Stilou, pensulă, baghetă: cele trei invidii ale matematicianului , Laterza (2005), ISBN 88-420-7969-3
G. Assayag, HG Feichtinger, Matematică și muzică. Un forum matematic Diderot , Springer (2002)
Andrea Frova, Fizica în muzică , Zanichelli (1999)
Giuseppe Gerbino, Canoane și enigme , Torre d'Orfeo (1995)
James Jeans , Știință și muzică , Cambridge University Press (1937)
Guerino Mazzola, The Topos of Music, ediția a II-a (4 voturi), Springer 2017
John Pierce, Știința sunetului , Zanichelli (1987)

Elemente conexe

linkuri externe

Muzică veche nouă - Note de temperament de Nicola Ferroni.
Calculul frecvențelor notelor , pe dmr.ath.cx. Adus la 30 octombrie 2006 (arhivat din original la 5 octombrie 2006) .
Note despre acustică de Marco Motta
Math Music de Daniele Trucco

Portal muzical : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de muzică

[1] (EN) Kyle Gann, An Introduction to Historical Tunings

[2] (EN) Edward G. Dunne, Pianos and Continued Fractions

[1]

[2]