tranziție de fază cuantică

In fizica si chimie o tranziție de fază cuantică este o tranziție de fază ^[1] între stări cuantice ale materiei , la temperatura de zero.

Definiție

Putem vorbi de o tranziție de fază cuantică numai la temperatura de zero ( $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ ). Deoarece, cu toate acestea, toate experimentele sunt efectuate la un non-zero , temperatură , oricât de mică, obiectivul central al oricărei teorii asupra tranzițiilor de fază cuantică este de a fi capabil de a spune ce se întâmplă cu discontinuitățile la $T>0$ ${\ T displaystyle> 0}$ $T> 0$ . Pentru aceasta, o alta decât temperatura parametru este utilizat în general, cum ar fi variația energiei ( Josephson joncțiune ), câmpul magnetic ( cuantic sistem Hall ), doparea supraconductori , tulburarea unui conductor în vecinătatea tranziției. .

După cum se va vedea mai jos, atunci când o anumită cantitate variază (de exemplu, constanta de cuplare g) simetria sistemului se va schimba și parametrul ordine, adică parametrul care indică starea de ordine sau de tulburare a sistemului, va să ia o valoare nulă sau nenulă , în funcție de faptul dacă cantitatea g este mai mare sau mai mică decât o valoare critică dată.

In general, un sistem fizic poate fi modelat printr - o Hamiltonian în cadrul căruia sunt descrise toate proprietățile de simetrie ale sistemului. Să luăm, de exemplu, o $H(g)$ ${\ H displaystyle (g)}$ ${\ H displaystyle (g)}$ funcție de o constantă de cuplare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ și pot fi defalcate după cum urmează:

H(g)=H_{0}+gH_{1}

{\ Displaystyle H (g) = H_ {0} + gH_ {1}}

H (g) = H_ {0} + gH_ {1}

unde este $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ comuta între ele. Aceasta înseamnă că $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ poate fi diagonalizată simultan și că lor de funcții proprii sunt independente de valoarea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , Chiar dacă acest lucru nu este cazul pentru valorile proprii . Nu va fi atunci o valoare critică $g_{C}$ ${\ Displaystyle g_ {C}}$ ${\ Displaystyle g_ {C}}$ pentru care sistemul va suferi o schimbare calitativă, crescând posibilitatea ca nivelurile încrucișează și mai presus de toate că zăbrele , care descrie comportă sistem ca și cum ar fi fost compus dintr - un număr de site - uri (adică locurile în care particulele sunt plasate) infinit .

Spus $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ energie scara la care are loc schimbarea calitativă în sistem, ea, așa cum se apropie de punctul critic, se va comporta în felul următor:

\Delta \sim J\left|g-g_{C}\right|^{z\nu }

{\ Displaystyle \ Delta \ sim J \

la

stânga | g-g_ {C} \ dreapta | ^ {z \ Nu}}

\ Delta \ sim J \ la stânga | g-g_ {C} \ dreapta | ^ {{z \ Nu}}

unde este $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este scara energetică a caracteristicii de cuplare microscopică a sistemului, e $z\nu$ ${\ Displaystyle z \ Nu}$ ${\ Displaystyle z \ Nu}$ este exponentul critic, a cărui valoare este de obicei numit universal, adică, independent de detaliile microscopice ale Hamiltonianului.

Cu toate acestea, alte cantități de sistem poate fi definit, cum ar fi teren cu zăbrele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , Care măsoară distanța dintre un site și un altul, iar lungimea de corelare $\xi$ ${\ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , Care măsoară cât de strâns legate de site-uri sunt unul cu altul. În special, această ultimă la distanță, atunci când se apropie de punctul critic, are un comportament de tipul:

\xi ^{-1}\sim \Lambda \left|g-g_{C}\right|^{\nu }

{\ Displaystyle \ xi ^ {- 1} \ sim \ Lambda \

la

stânga | g-g_ {C} \ dreapta | ^ {\ Nu}}

\ Xi ^ {{- 1}} \ sim \ Lambda \ la stânga | g-g_ {C} \ dreapta | ^ {\ Nu}

unde este $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este critic exponent e $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ inversul o lungime (o tăietură cinematică) de ordinul a inversului terenului reticular.

Dintr-o comparație între aceste ultime două ecuații, obținem:

\Delta \sim \xi ^{-z}

{\ Displaystyle \ Delta \ sim \ xi ^ {- z}}

\ Delta \ sim \ xi ^ {{-}} z

Modelul Ising

În cea mai simplă dintre versiuni, modelul Ising poate fi descris pur și simplu prin următoarele zăbrele hamiltonian:

H_{I}=-Jg\sum _{i}{\hat {\sigma }}_{i}^{x}-J\sum _{<ij>}{\hat {\sigma }}_{i}^{z}{\hat {\sigma }}_{j}^{z}

{\ H_ displaystyle {I} = - Jg \ sum _ {i} {\ hat {\ sigma}} _ {i} ^ {x} -J \ sum _ {<ij>} {\ hat {\ sigma}} _ {i} ^ {z} {\ hat {\ sigma}} _ {j} ^ {z}}

H_ {I} = - Jg \ sum _ {i} {\ hat \ sigma} _ {i} ^ {x} -J \ sum _ {{<ij>}} {\ hat \ sigma} _ {i} ^ {zn} {\ hat \ sigma} _ {j} ^ {z}

unde este : ${\hat {\sigma }}_{i}^{z,x}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {i} ^ {z, x}}$ ${\ Hat \ sigma} _ {i} ^ {{z, x}}$ sunt matricele Pauli , operatorii care reprezintă gradele de libertate pe fiecare singur site $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ zăbrele hypercubic în dimensiune $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ luată în considerare; valorile proprii sunt spinii $\sigma _{i}^{z,x}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {z, x}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {z, x}}$ ; Suma în sus $\langle {i,j}\rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle {i, j} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ Langle {i, j} \ rangle}$ se intenționează să se facă pe site-urile mai întâi învecinate; $J>0$ ${\ Displaystyle J> 0}$ ${\ Displaystyle J> 0}$ este o constantă care se referă la interacțiunea magnetică între spini, care preferă o feromagnetic aliniere globală; $g J$ ${\ Displaystyle gJ}$ ${\ Displaystyle gJ}$ este transversal câmpul magnetic care rupe ordinea magnetică a grilajului.

Cu acest model putem observa existența valorii critice $g_{C}$ ${\ Displaystyle g_ {C}}$ ${\ Displaystyle g_ {C}}$ . Atunci când, de fapt, avem de-a face cu o $g\gg 1$ ${\ Displaystyle g \ gg 1}$ ${\ Displaystyle g \ gg 1}$ , Când eigenstates hamiltoniene sunt o combinație liniară de sus (rotire în sus) și în jos ( de spin în jos) indică, se observă că funcția de corelare a stării de vid este:

\left\langle 0\left|{\hat {\sigma }}_{i}^{z}{\hat {\sigma }}_{j}^{z}\right|0\right\rangle \sim \operatorname {e} ^{-{\frac {\left|x_{i}-x_{j}\right|}{\xi }}}

{\ Displaystyle \ left \ Langle 0 \ left | {\ hat {\ sigma}} _ {i} ^ {z} {\ hat {\ sigma}} _ {j} ^ {z} \ dreapta | 0 \ dreapta \ rangle \ sim \ operatorname {e} ^ {- {\ frac {\ left | X_ {i} -x_ {j} \ dreapta |} {\ xi}}}}

\ Left \ Langle 0 \ left | {\ hat \ sigma} _ {i} ^ {z} {\ hat \ sigma} _ {j} ^ {z} \ dreapta | 0 \ dreapta \ rangle \ sim \ operatorname e ^ {{- {\ frac {\ left | X_ {i} -x_ {j} \ dreapta |} {\ xi}}}}

în timp ce pentru $g\ll 1$ ${\ Displaystyle g \ ll 1}$ ${\ Displaystyle g \ ll 1}$ , În cazul în care numai posibile eigenstates sunt doar în sus sau în jos, aceeași funcție de corelare este egal cu:

\lim _{\left|x_{i}-x_{j}\right|\longrightarrow \infty }\left\langle 0\left|{\hat {\sigma }}_{i}^{z}{\hat {\sigma }}_{j}^{z}\right|0\right\rangle =N_{0}^{2}

{\ Displaystyle \ lim _ {\ left | X_ {i} -x_ {j} \ dreapta | \ longrightarrow \ infty} \ left \ Langle 0 \ left | {\ hat {\ sigma}} _ {i} ^ {z } {\ hat {\ sigma}} _ {j} ^ {z} \ dreapta | 0 \ dreapta \ rangle = N_ {0} ^ {2}}

\ Lim _ {{\ left | X_ {i} -x_ {j} \ dreapta | \ longrightarrow \ infty}} \ left \ Langle 0 \ left | {\ hat \ sigma} _ {i} ^ {z} {\ hat \ sigma} _ {j} ^ {z} \ dreapta | 0 \ dreapta \ rangle = N_ {0} ^ {2}

cu $N_{0}\neq 0$ ${\ Displaystyle N_ {0} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle N_ {0} \ neq 0}$ care este magnetizare spontană, de obicei la zero, așa cum se observă cu precedenta ecuație .

Este evident că există o valoare critică care determină constanta de cuplare la schimbarea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . În funcție de această modificare, apoi, diferitele termodinamice cantitățile de sistem și exponenții critice legate de acestea trebuie să fie determinată, utilizând , de exemplu , acest Hamiltonian în funcția de partiție :

Z=\sum _{[\sigma ]}e^{-\beta H_{I}}

{\ Displaystyle Z = \ sum _ {[\ sigma]} și {^ - \ beta H_ {I}}}

Z = \ sum _ {{[\ sigma]}} și {^ {- \ beta H_ {I}}}

teorii de câmp

O modalitate buna de a studia o fază de tranziție cuantică este de a utiliza o teorie câmp și se aplică la sistemul în cauză. Pentru a aplica o teorie, cu toate acestea, este necesar să se respecte anumite condiții, diferite în funcție de abordarea utilizată în studiul sistemului, dar absolut echivalent. Din punct de vedere al fizicii particulelor, în limitele de $\Lambda \to +\infty$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ to + \ infty}$ Și $J\to +\infty$ ${\ Displaystyle J \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle J \ to + \ infty}$ in timp ce $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , $\xi$ ${\ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ rămân fixe (cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ scara de frecvență ). În ceea ce privește parametrii adimensionali, acest lucru înseamnă că $\Lambda \xi \to +\infty$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ xi \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ xi \ to + \ infty}$ Și ${\frac {J}{\Lambda }}\to +\infty$ ${\ Displaystyle {\ frac {J} {\ Lambda}} \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle {\ frac {J} {\ Lambda}} \ to + \ infty}$ , in timp ce ${\frac {\hbar \omega }{\Delta }},\;{\frac {x}{\xi }}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ hbar \ omega} {\ Delta}} \; {\ frac {x} {\ xi}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ hbar \ omega} {\ Delta}} \; {\ frac {x} {\ xi}}}$ Și ${\frac {k_{B}T}{\Delta }}$ ${\ Displaystyle {\ frac {k_ {B} T} {\ Delta}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {k_ {B} T} {\ Delta}}}$ sunt fixe, în cazul în care $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta Planck redusă e $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ este constanta lui Boltzmann . Aceste limite sunt verificate la abordarea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ la valoarea critică.

Din punct de vedere al materiei condensate , pe de altă parte, ele devin fixe $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ și răspunsul sistemului la mici este studiată $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , mare $\xi$ ${\ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ și la distanțe mari și timpi și la temperaturi scăzute.

Cele două abordări sunt echivalente în măsura în care relațiile adimensionali sunt identice în fiecare dintre ele.

Răspunsul care rezultă funcțiile pot fi considerate ca corelatori ale unei teorii cuantice domeniu, asociate cu un anumit hamiltonian. În acest Hamiltonian (Comandă) parametrul care caracterizează sistemul este determinată și, în loc de cantitatea fizică, se utilizează un câmp reală, astfel încât să fie în măsură să trateze teoria ca o teorie.

În particular, funcția de partiție va fi definită printr - o Feynman cale integrală :

Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{\alpha }(x,\tau )\operatorname {e} ^{-S_{\phi }}

{\ Displaystyle Z = \ int {\ mathcal {D}} \ phi _ {\ alpha} (x, \ tau) \ operatorname {e} ^ {- S _ {\ phi}}}

Z = \ int {\ mathcal {D}} \ phi _ {\ alpha} (x, \ tau) \ operatorname e ^ {{- S _ {\ phi}}}

cu

S_{\phi }=\int \operatorname {d} ^{d}x\int _{0}^{\hbar /k_{B}T}\operatorname {d} \tau \left\{{\frac {1}{2}}\left[\left(\partial _{\tau }\phi _{\alpha }\right)^{2}+c^{2}\left(\nabla _{x}\phi _{\alpha }\right)^{2}+r\phi _{\alpha }^{2}(x)\right]+{\frac {u}{4!}}\left(\phi _{\alpha }^{2}(x)\right)^{2}\right\}

{\ S displaystyle _ {\ phi} = \ int \ operatorname {d} ^ {d} x \ int _ {0} ^ {\ hbar / k_ {B} T} \ operatorname {d} \ tau \

din

stânga \ { {\ frac {1} {2}} \ stânga [\ stânga (\ parțial _ {\ tau} \ phi _ {\ alpha} \ dreapta) ^ {2} + c ^ {2} \ stânga (\ nabla _ { x} \ phi _ {\ alpha} \ dreapta) ^ {2} + r \ phi _ {\ alpha} ^ {2} (x) \ right] + {\ frac {u} {4!}} \ stânga ( \ phi _ {\ alpha} ^ {2} (x) \ dreapta) ^ {2} \ dreapta \}}

S _ {\ phi} = \ int \ operatorname d ^ {d} x \ int _ {0} ^ {{\ hbar / k_ {B} T}} \ operatorname d \ tau \ din stânga \ {{\ frac {1 } {2}} \ stânga [\ stânga (\ parțial _ {\ tau} \ phi _ {\ alpha} \ dreapta) ^ {2} + c ^ {2} \ stânga (\ nabla _ {x} \ phi _ {\ alpha} \ dreapta) ^ {2} + r \ phi _ {\ alpha} ^ {2} (x) \ right] + {\ frac {u} {4!}} \ stânga (\ phi _ {\ alfa} ^ {2} (x) \ dreapta) ^ {2} \ dreapta \}

unde este $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este un imaginar de temperatură, $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ campul, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ o viteză , $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ constantele de cuplare ed $S_{\phi }$ ${\ Displaystyle S _ {\ phi}}$ ${\ Displaystyle S _ {\ phi}}$ este o acțiune .

Această teorie domeniu prezintă o fază de tranziție de la o fază cu:

\left\langle \phi _{\alpha }\right\rangle \neq 0

{\ Displaystyle \

din

stânga \ Langle \ phi _ {\ alpha} \ dreapta \ rangle \ neq 0}

\ Stângă \ Langle \ phi _ {\ alpha} \ dreapta \ rangle \ neq 0

una cu:

\left\langle \phi _{\alpha }\right\rangle =0

{\ Displaystyle \

din

stânga \ Langle \ phi _ {\ alpha} \ dreapta \ rangle = 0}

\ Stângă \ Langle \ phi _ {\ alpha} \ dreapta \ rangle = 0

cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care variază față de o valoare critică $r_{C}$ ${\ Displaystyle R_ {C}}$ ${\ Displaystyle R_ {C}}$ la $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ .

Modelul sigma non-linear

O teorie particulară câmp, sau model, de obicei cunoscut ca un model sigma O non-lineară (N) în dimensiuni d are o funcție de partiție definită după cum urmează:

Z=\int {\mathcal {D}}\operatorname {n} (x,\tau )\delta \left(\operatorname {n} ^{2}(x,\tau )-1\right)\operatorname {e} ^{-S_{n}}

{\ Displaystyle Z = \ int {\ mathcal {D}} \ operatorname {n} (x, \ tau) \ delta \ stânga (\ operatorname {n} ^ {2} (x, \ tau) -1 \ dreapta) \ operatorname {e} ^ {- S_ {n}}}

Z = \ int {\ mathcal {D}} \ operatorname n (x, \ tau) \ delta \ left (\ operatorname n ^ {2} (x, \ tau) -1 \ dreapta) \ operatorname e ^ {{- S_ {n}}}

cu

{\mathcal {S}}_{n}={\frac {N}{2cg}}\int \operatorname {d} ^{d}x\int _{0}^{\hbar /k_{B}T}\operatorname {d} \tau \left[\left(\partial _{\tau }\operatorname {n} \right)^{2}+c^{2}\left(\nabla _{x}\operatorname {n} \right)^{2}\right]

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} = {\ frac {N} {2cg}} \ int \ operatorname {d} ^ {d} x \ int _ {0} ^ {\ hbar / k_ { B} T} \ operatorname {d} \ tau \ stânga [\ stânga (\ parțial _ {\ tau} \ operatorname {n} \ dreapta) ^ {2} + c ^ {2} \ stânga (\ nabla _ {x } \ operatorname {n} \ dreapta) ^ {2} \ right]}

{\ Mathcal S} _ {n} = {\ frac {N} {2cg}} \ int \ operatorname d ^ {d} x \ int _ {0} ^ {{\ hbar / k_ {B} T}} \ operatorname d \ tau \ stânga [\ stânga (\ parțial _ {\ tau} \ operatorname n \ dreapta) ^ {2} + c ^ {2} \ stânga (\ nabla _ {x} \ operatorname n \ dreapta) ^ { 2} \ dreapta]

în cazul în care câmpul $n(x,\tau )$ ${\ N displaystyle (x, \ tau)}$ ${\ N displaystyle (x, \ tau)}$ aceasta trebuie să îndeplinească condițiile de periodicitate similare cu cele ale câmpului $\phi _{\alpha }$ ${\ Displaystyle \ phi _ {\ alpha}}$ $\ Phi _ {\ alpha}$ .

Acțiunea este pătratică în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar acesta trebuie, în cele din urmă, să îndeplinească condiția:

\operatorname {n} ^{2}(x,\tau )=1

{\ Displaystyle \ operatorname {n} ^ {2} (x, \ tau) = 1}

\ Operatorname n ^ {2} (x, \ tau) = 1

.

Această acțiune este asociat cu un Lagrangian de tipul:

{\mathcal {L}}=\left|\partial _{\nu }\operatorname {n} \right|^{2}+\mu |\operatorname {n} |^{2}-\lambda |\operatorname {n} |^{4}

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \

din

stânga | \ parțial _ {\ Nu} \ operatorname {n} \ dreapta | ^ {2} + \ mu | \ operatorname {n} | ^ {2} - \ lambda | \ operatorname {n} | ^ {4}}

{\ L mathcal} = \ din stânga | \ parțial _ {\ Nu} \ operatorname n \ dreapta | ^ {2} + \ mu | \ operatorname n | ^ {2} - \ lambda | \ operatorname n | ^ {4}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ sunt doi parametri definiți ca fiind pozitiv.

Notă

^ Când vorbim despre „tranziție de fază” folosim greșit termenul de „fază”, care în acest context indică starea de agregare (solidă, lichidă, gazoasă).

Bibliografie

(RO) Subir Sachdev, Quantum Phase Tranziții, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521582547 .
Luigi Rolla, Chimie și mineralogie. Pentru licee , ediția a 29-a, Dante Alighieri, 1987.
(RO) H. Eugene Stanley, Introducere în faza Treceri si Critical Fenomene, Oxford Știință Publications, 1971.
( EN ) Michel Le Bellac, Quantum and Statistical Field Theory , Oxford Science Publications, 1991.
(EN) Anderson, PW , Noțiuni de bază despre fizica materiei condensate, Editura Perseus, 1997.
(RO) Nigel Goldenfeld, Prelegeri de faza Tranziții și Grupul renormalizare, Perseu Publishing, 1992.
(EN) LD Landau și EM Lifshitz , statistică Fizică Partea 1 Curs de Fizică Teoretică , vol. 5, 3rd Ed., Pargamon, 1994.
Giuseppe Mussardo, The Ising Model. Introducere în teoria câmpului și tranzițiile de fază , Bollati Boringhieri , 2007.

linkuri externe

SL Sondhi, SM Girvin, JP Carini și D. Shahar continuă Quantum Faza Tranziții
S. Sachdev Dinamica și transportul în apropierea punctelor cuantice critice
D. Belitz, TR Kirkpatrick De ce Quantum Phase Tranzitii sunt interesante
M. Vojta Quantum tranziții de fază

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] Când vorbim despre „tranziție de fază” folosim greșit termenul de „fază”, care în acest context indică starea de agregare (solidă, lichidă, gazoasă).

[1]