Plus

1 + 1 = 2

Adunarea (în mod normal notată cu simbolul plus , „+”) este una dintre cele patru operații de bază ale aritmeticii , împreună cu scăderea , înmulțirea și împărțirea . Adunarea a două numere naturale poate fi definită în termeni de set-teoretic . Pentru a adăuga două numere naturale a și b , considerăm două mulțimi A și B care au, respectiv, a și b ca număr de elemente și care sunt disjuncte (adică nu au elemente în comun). Atunci rezultatul adunării lui a și b este numărul de elemente ale mulțimii de uniune A și B (mulțimea A ∪ B ).

De exemplu, dacă într-o pungă avem trei mere și într-o altă pungă avem două mere, punând împreună conținutul celor două pungi vom avea cinci mere. Această observație este echivalentă cu expresia matematică „3 + 2 = 5”, adică „3 plus 2 este egal cu 5”.

3 + 2 = 5 folosind mere.

Adunarea poate fi definită și pe mărimi mai abstracte, cum ar fi numere întregi relative , numere raționale , numere reale și numere complexe și pe alte obiecte matematice, cum ar fi vectori și matrici .

Adăugarea are câteva proprietăți de bază. Este comutativ , adică prin schimbarea ordinii addendelor, suma nu se schimbă. Este asociativ , adică atunci când se adaugă mai mult de două numere, rezultatul este același indiferent de ordinea în care se fac adunările. Zero este elementul neutru al adunării, adică adăugarea zero la un număr lasă acel număr neschimbat.

Notaţie

Numerele sau termenii implicați în plus sunt denumiți colectiv adunări , iar rezultatul adunării este suma lor. ^[1]

Dacă adăugirile sunt scrise individual, adăugarea este reprezentată de caracterul „ + ”, care este interpus între un termen și altul. Între secvența addendelor și suma lor este interpus simbolul egalității , " = ". Adăugările valide sunt:

Simbolul adaosului

3+2=5

{\ displaystyle 3 + 2 = 5}

{\ displaystyle 3 + 2 = 5}

998+1+1=1000

{\ displaystyle 998 + 1 + 1 = 1000}

{\ displaystyle 998 + 1 + 1 = 1000}

1+1+2+3+5+8+13+21=54

{\ displaystyle 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54}

{\ displaystyle 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54}

iar prima dintre acestea citește, indiferent,

„trei plus doi este egal cu cinci”,
„trei plus doi este egal cu cinci”,
sau, de asemenea, implicând semnul egal, mai ales în adaosuri scurte, sub forma „trei plus doi cinci”.

În scrierile anterioare secolului al XVI-lea este posibil să se găsească un alt simbol care să indice adăugarea. Acesta este un „P” cursiv care a înlocuit cuvântul „plus”. ^[2]

Simbolul anterior al adaosului. Un P în cursiv.

Dacă termenii nu sunt scrisi individual, dar succesiunea completărilor se obține cu ușurință din scriere, suma poate fi indicată cu o elipsă („...”) pentru a indica termenii lipsă: suma numerelor naturale de la 1 la 100 poate fi, prin urmare, scris ca 1 + 2 + ... + 99 + 100 = 5050.

Alternativ, suma poate fi reprezentată cu simbolul însumării , reprezentat de majuscula greacă Sigma . În special, dată fiind o succesiune de numere notate cu $x_{1},\,...,x_{m},\,...x_{n},\,...$ ${\ displaystyle x_ {1}, \, ..., x_ {m}, \, ... x_ {n}, \, ...}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \, ..., x_ {m}, \, ... x_ {n}, \, ...}$ , suma n-m + 1 cuprinsă între cea a poziției m și cea a poziției n poate fi exprimată în scris

\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} x_ {i} = x_ {m} + x_ {m + 1} + x_ {m + 2} + \ dots + x_ {n-1} + x_ {n}.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} x_ {i} = x_ {m} + x_ {m + 1} + x_ {m + 2} + \ dots + x_ {n-1} + x_ {n}.}

Simbolul „ + ” este o abreviere a cuvântului latin et , care înseamnă „și”. Utilizarea sa în lucrări tipărite este atestată încă din 1486. ^[3]

Interpretare intuitivă

Combinație de seturi

Una dintre interpretările adunării este cea a combinației de seturi:

Când două sau mai multe colecții disjuncte sunt combinate într-o singură colecție, numărul de obiecte din colecția rezultată este suma numărului de obiecte din colecțiile originale. ^[4]

Această interpretare, ușor de vizualizat, este, de asemenea, baza definiției formale a adunării între numerele cardinale . ^[5]

Extinderea lungimilor

O reprezentare grafică a adunării 2 + 4 = 6. O traducere de 2 unități urmată de 4 traduceri de 1 unitate este echivalentă cu o traducere de 6 unități.

O a doua interpretare a adunării este dată de extensia unei lungimi de început (întregi) în termenii unei lungimi date (întregi):

Lungimea corespunzătoare sumei a două lungimi a și b se obține prin mărirea lungimii a cu o unitate de b ori. ^[1]

Această interpretare este baza definiției formale a adunării între numere ordinale .

Definiție formală

Pornind de la funcția succesorală, introdusă de axiomele lui Peano pentru a defini un model pentru numerele naturale , putem formula recursiv o definiție riguroasă a adunării între naturale.

Prin urmare ambele $(\mathbb {N} ,0,S)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, 0, S)}$ un model pentru numerele naturale unde $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle S \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle S \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ este funcția succesorului care satisface axiomele lui Peano. Adăugarea în $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ este deci operația binară internă

+\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,

{\ displaystyle + \ colon \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ longrightarrow \ mathbb {N},}

{\ displaystyle + \ colon \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ longrightarrow \ mathbb {N},}

astfel încât:

pentru fiecare $m\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ $m \ in \ mathbb {N}$ merita $m+0=m;$ ${\ displaystyle m + 0 = m;}$ ${\ displaystyle m + 0 = m;}$
pentru fiecare $m,n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ avem asta $m+S(n)=S(m+n).$ ${\ displaystyle m + S (n) = S (m + n).}$ ${\ displaystyle m + S (n) = S (m + n).}$

Proprietate

Comutativitate

Proprietatea comutativă: adăugarea a trei mere la un grup de două echivalează cu adăugarea a două la un grup de trei

Adăugarea este o operație comutativă , adică prin schimbarea ordinii addendelor rezultatul nu se modifică: ^[6]

a+b=b+a.

{\ displaystyle a + b = b + a.}

{\ displaystyle a + b = b + a.}

De exemplu: $2+3=5=3+2.$ ${\ displaystyle 2 + 3 = 5 = 3 + 2.}$ ${\ displaystyle 2 + 3 = 5 = 3 + 2.}$

Asociativitate

Exemplu vizual de asociativitate: 2+ (1 + 3) = (2 + 1) +3

Adunarea este o operație asociativă , adică atunci când se adaugă trei sau mai multe adunări, ordinea operațiilor nu afectează rezultatul: ^[6]

(a+b)+c=a+(b+c).

{\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c).}

{\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c).}

De exemplu: $(3+5)+2=8+2=10=3+7=3+(5+2).$ ${\ displaystyle (3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10 = 3 + 7 = 3 + (5 + 2).}$ ${\ displaystyle (3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10 = 3 + 7 = 3 + (5 + 2).}$

Existența elementului neutru

Adăugarea zero la orice număr lasă acel număr neschimbat; cu alte cuvinte, zero este elementul neutru al adaosului. ^[7] În formule,

a+0=0+a=a.

{\ displaystyle a + 0 = 0 + a = a.}

{\ displaystyle a + 0 = 0 + a = a.}

Această proprietate a fost identificată în Brahmagupta lui Brahmasphuta Siddhanta în 628 d.Hr., deși formulată în cuvinte și în ceea ce privește trei legi distincte în funcție de faptul dacă un fost negativ, pozitiv sau zero. Alți matematicieni indieni au dezvoltat ulterior ideea; în jurul anului 830 d.Hr., Mahāvīra a scris că „zero devine ceea ce i se adaugă”, ceea ce este echivalent cu proprietatea 0 + a = a . În secolul al XII-lea , Bhaskara scria: „Cu adaosul de zero sau cu scăderea sa, cantitatea, pozitivă sau negativă, rămâne aceeași”, care este echivalentă cu proprietatea a + 0 = a . ^[8]

Calculul adunării

Transferul

Pentru a efectua rapid o adunare între numere naturale, suplimentele sunt aliniate într-o coloană, începând de la cifra unităților din dreapta. Apoi se adaugă cifrele fiecărei coloane, de la dreapta la stânga, și în cazul în care rezultatul sumei pe o coloană este mai mare sau egal cu zece, zecile în exces sunt „raportate” ca o adăugare suplimentară imediat pe coloană la stânga la cel tocmai calculat. ^[9]

De exemplu, în plus 27 + 59,

 ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16, iar cifra 1 este transportul.

Algoritm de adăugare

Metoda discutată mai sus poate fi aplicată pentru a adăuga oricare două numere naturale cu n cifre A = a _n-1 ... a ₁ a ₀ și B = b _n-1 ... b ₁ b ₀ (în cazul în care numărul de cifre a lui A și B este diferit, trebuie doar să adăugați numărul corespunzător de zerouri la numărul cu mai puține cifre). În pseudocod , algoritmul este după cum urmează: ^[9]

 funcția sumă (a _n-1 ... a ₁ a ₀ , b _n-1 ... b ₁ b ₀ )
     pentru i ← 0 la n-1 do
        r ← 0
        s ← a _i + b _i + r
        r ← s div 10 ( calculul reportului )
        c _i ← s mod 10
        returnează rc _n-1 ... c ₁ c ₀

Adunarea fracțiilor zecimale

Urmând o metodă similară celei descrise mai sus, se pot adăuga și două fracții zecimale . Cele două numere zecimale sunt aliniate astfel încât virgula să fie în aceeași poziție. Dacă este necesar, adăugați zero după numărul mai scurt pentru a avea același număr de cifre ca și cel mai lung. În cele din urmă, urmați procedura văzută mai sus, cu singura grijă de a adăuga virgula la rezultat în aceeași poziție în care apare în cele două addende. De exemplu, 45,1 + 4,34 merg așa:

 4 5, 1 0 +
   0 4, 3 4 =
——————————————
   4 9, 4 4

Această extensie a metodei a fost dezvăluită de Simone Stevino . ^[10]

Generalizări

În teoria algebrei abstracte putem numi „adunare” orice operație asociativă și comutativă definită pe un set, care este dotată cu un element neutru . O structură algebrică care include o astfel de operație se numește monoid comutativ . ^[11]

Istorie

Deja vechii egipteni aveau o metodă simplă de adăugare a numerelor naturale. În notația hieroglifică , numerele au fost indicate prin repetarea unei cantități adecvate de simboluri reprezentând unități, zeci, sute și așa mai departe. Pentru a obține suma a două numere, prin urmare, a fost suficient să combinați unitățile, apoi zecile, apoi sutele și așa mai departe, cu previziunea pentru a înlocui orice grupuri de zece simboluri identice cu un simbol de tipul următor. ^[12] De exemplu, pentru a adăuga 783 și 275, combinați

cu

obtinerea

că simplificată devine

(adică 1058).

Metoda modernă de adăugare a poziției era cu siguranță deja cunoscută în India în jurul anului 600 d.Hr. , ^[13] dar este foarte plauzibil că același tip de algoritm a fost deja folosit de babilonieni în Mesopotamia în 1700 î.Hr. , chiar dacă într-un sistem sexagesimal mai degrabă decât zecimal . ^[14]

În Europa, algoritmul de adăugare modern a fost introdus în secolul al XII-lea ^[15] prin traducerea scrierilor matematicianului persan al-Khwarizmi . ^[16]

Notă

^ ^a ^b Carboncini și colab. , p. 6 .
^ Cajori , p. 118.
^ Cajori , p. 217 .
^ Alberta De Flora, Teoria și analiza seturilor , Bologna, Zanichelli, 1976, p. 55.
^ Suppes , p. 110.
^ ^a ^b Carboncini și colab. , p. 10 .
^ Carboncini și colab. , p. 11.
^ Robert Kaplan, The nothing that is: a natural history of zero , Oxford University Press, 2000, pp. 69-71, ISBN 0-19-512842-7 .
^ ^a ^b Brent și Zimmermann , p. 2.
^ Simon Stevin, Disme: the Art of Tenths, Or, Decimall Arithmetike , Londra, imprimat de SS pentru Hugh Astley, 1608.
^ Mac Lane și Birkhhoff , p. 40 .
^ Katz , p. 4 .
^ Katz , p. 233.
^ Katz , pp. 10-13 .
^ Katz , pp. 326-327 .
^ Katz , p. 268.

Referințe bibliografice

Claudio Carboncini și colab. , Matematica C ³ , Algebra 1 ( PDF ), ediția a VI-a, Matematici.it, 2015, ISBN 978-88-96354-80-3 .
Richard Brent și Paul Zimmermann, Modern Computer Arithmetic , Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-19469-3 .
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , Dover, 2003, ISBN 978-0-486-67766-8 .
Victor J. Katz, A History of Mathematics , ed. A III-a, Pearson Education, 2009, ISBN 0-321-38700-7 .
Saunders Mac Lane și Garrett Birkhoff, Algebra , ediția a treia, American Mathematical Society, 1991, ISBN 0-8218-1646-2 .
Patrick Suppes, Abstract Set Theory , Dover, 1973, ISBN 0-486-61630-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « adăugire »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere prin adăugare

linkuri externe

( EN ) Adăugare , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 30949 · LCCN (EN) sh85000817 · GND (DE) 4296282-1 · BNF (FR) cb11976283t (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:3-1] Carboncini și colab. , p. 6 .

[:0-2] Cajori , p. 118.

[3] Cajori , p. 217 .

[4] Alberta De Flora, Teoria și analiza seturilor , Bologna, Zanichelli, 1976, p. 55.

[5] Suppes , p. 110.

[:2-6] Carboncini și colab. , p. 10 .

[7] Carboncini și colab. , p. 11.

[8] Robert Kaplan, The nothing that is: a natural history of zero , Oxford University Press, 2000, pp. 69-71, ISBN 0-19-512842-7 .

[:1-9] Brent și Zimmermann , p. 2.

[10] Simon Stevin, Disme: the Art of Tenths, Or, Decimall Arithmetike , Londra, imprimat de SS pentru Hugh Astley, 1608.

[11] Mac Lane și Birkhhoff , p. 40 .

[12] Katz , p. 4 .

[13] Katz , p. 233.

[14] Katz , pp. 10-13 .

[15] Katz , pp. 326-327 .

[16] Katz , p. 268.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]