Cardul Smith

În ingineria electrică , electronică și de telecomunicații , hârtia Smith ^[1] ^[2] este o nomogramă utilizată în soluționarea problemelor liniilor de transmisie sau a circuitelor de potrivire din domeniul frecvenței radio (RF) ^[3] . Utilizarea diagramei Smith a crescut constant de-a lungul anilor și este încă utilizată pe scară largă astăzi, nu numai ca un ajutor în rezolvarea unor probleme, ci și pentru a arăta grafic modul în care se modifică unii parametri RF prin variația frecvenței . Diagrama Smith, utilizată pornind de la anumite date numerice, este, de fapt, în multe domenii, mai ușor de înțeles decât un tabel care conține aceleași informații și necesită mai puțin timp pentru rezolvarea problemelor numerice decât aplicarea formulelor matematice.

Diagrama Smith poate fi utilizată pentru a reprezenta diverși parametri în domeniul electronicii și ingineriei electrice, inclusiv impedanța , admisia , coeficienții de reflexie , parametrii de împrăștiere. $S_{nn}$ ${\ displaystyle S_ {nn}}$ ${\ displaystyle S_ {nn}}$ (numiți și parametri S), cifra de zgomot , curbe de câștig constant, regiuni de stabilitate necondiționată ^[4] ^[5] .

Descriere generala

Un grafic Smith (fără date urmărite).

Diagrama Smith este reprezentată pe planul complex al coeficientului de reflecție, iar valorile reprezentate sunt de obicei impedanțe sau admisii normalizate, sau în unele cazuri ambele, care sunt reprezentate cu culori diferite pentru a le permite să fie distinse. Astfel de grafice sunt adesea cunoscute ca diagrame Smith Z, Y sau YZ, respectiv ^[6] . Normalizarea face posibilă utilizarea graficului Smith pentru probleme care implică orice valoare a impedanței caracteristice sau a impedanței sistemului, deși această valoare este în multe cazuri egală cu $50\Omega$ ${\ displaystyle 50 \ Omega}$ ${\ displaystyle 50 \ Omega}$ . Cu construcții grafice simple este posibil să se convertească admitențele sau impedanțele normalizate în coeficientul de reflecție corespunzător.

Regiunea cea mai frecvent utilizată a diagramei Smith este regiunea internă sau plasată pe circumferință cu o unitate de rază , deoarece pentru componentele pasive modulul coeficientului de reflexie este cel mult egal cu unul. În orice caz, zona rămasă are oricum o relevanță matematică, fiind utilizată de exemplu în proiectarea oscilatoarelor și în analiza stabilității ^[7] .

Diagrama Smith are o scară unghiulară atât în grade, cât și în lungimi de undă . Scara lungimii de undă permite rezolvarea problemelor cu componentele distribuite și reprezintă distanța dintre sursă sau generator și sarcina măsurată de-a lungul liniei de transmisie care le conectează. Scara de grade reprezintă faza coeficientului complex de reflexie în acel moment. Diagrama Smith poate fi, de asemenea, utilizată pentru adaptarea sau analiza circuitelor cu parametri forfetari .

Deoarece impedanța și admisia și toți ceilalți parametri electrici variază în funcție de frecvență , soluția care poate fi găsită manual cu diagrama Smith (reprezentată printr-un punct pe plan) este valabilă doar pentru o singură frecvență. În multe cazuri, acest lucru este suficient, deoarece acestea sunt aplicații cu bandă îngustă (de obicei până la 5-10% din bandă ), în timp ce pentru aplicații pe benzi mai largi este necesar să folosiți hârtie Smith de mai multe ori. Dacă distanța de frecvență dintre punctele pentru care se efectuează calculul este mică, interpolând soluțiile găsite se obține un locus geometric al soluțiilor.

Un locus de puncte care acoperă o anumită bandă de frecvență pe o diagramă Smith poate fi folosit pentru a reprezenta:

cât este o sarcină capacitivă sau inductivă ;
la care frecvențe este mai ușor să se adapteze o anumită sarcină;
calitatea potrivirii unei anumite sarcini.

Acuratețea metodelor bazate pe graficul Smith este evident redusă dacă studiem componente care prezintă o mare variabilitate statistică a parametrilor, deși este încă posibil să se mărească scara graficului în zone restricționate pentru a reduce eroarea comisă.

Bazele matematice și fizice

Un analizor de rețea ( HP 8720A) care prezintă o diagramă Smith.

Intrări și impedanțe reale și normalizate

O linie de transmisie cu o impedanță caracteristică de $Z_{0}$ ${\ displaystyle Z_ {0}}$ $Z_0$ poate fi întotdeauna gândit ca fiind caracterizat de o admitere caracteristică $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ egal cu:

Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}

{\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {1} {Z_ {0}}}}

{\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {1} {Z_ {0}}}}

Orice impedanță $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ exprimat în ohmi , poate fi normalizat împărțindu-l la impedanța caracteristică. Notarea cu litere mici este utilizată pentru impedanțe normalizate $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Versiunea normalizată a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ este deci:

z={\frac {Z}{Z_{0}}}

{\ displaystyle z = {\ frac {Z} {Z_ {0}}}}

{\ displaystyle z = {\ frac {Z} {Z_ {0}}}}

În mod regulat, pentru admiterea normalizată corespunzătoare avem:

y={\frac {Y}{Y_{0}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {Y} {Y_ {0}}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {Y} {Y_ {0}}}}

În sistemul internațional, unitatea de măsură pentru impedanță sunt ohmi, reprezentată de litera greacă omega (Ω), în timp ce siemens sunt folosiți pentru admiterea, reprezentată de litera majusculă S. Parametrii normalizați, pe de altă parte, sunt adimensionali, după cum se poate vedea din definiția lor. Normalizarea admitențelor și impedanțelor este necesară înainte de a utiliza graficul Smith. Rezultatele vor fi apoi denormalizate corect înmulțindu-le cu impedanța sau admisia caracteristică pentru a obține valoarea reală.

Linii de transmisie

Același subiect în detaliu: Linia de transmisie .

Conform teoriei liniilor de transmisie, dacă o linie de transmisie este terminată pe o sarcină constând dintr-o impedanță $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ care diferă de impedanța caracteristică $Z_{0}$ ${\ displaystyle Z_ {0}}$ $Z_0$ , se va forma o undă staționară obținută din rezultanta undei de tensiune incidentă $V_{F}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ iar cea reflectată $V_{R}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ . Folosind reprezentarea exponențială pentru numere complexe și transformați-o în domeniul fazor:

Model de circuit general al unei linii de transmisie.

V_{F}=A\mathrm {e} ^{j\omega t}\mathrm {e} ^{-\gamma x}

{\ displaystyle V_ {F} = A \ mathrm {e} ^ {j \ omega t} \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}

{\ displaystyle V_ {F} = A \ mathrm {e} ^ {j \ omega t} \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}

Și

V_{R}=B\mathrm {e} ^{j\omega t}\mathrm {e} ^{\gamma x}

{\ displaystyle V_ {R} = B \ mathrm {e} ^ {j \ omega t} \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}}

{\ displaystyle V_ {R} = B \ mathrm {e} ^ {j \ omega t} \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}}

unde este

$\mathrm {e} ^{j\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {j \ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {j \ omega t}}$ reprezintă dependența de timp a undei sau a fazei în timp,
$\mathrm {e} ^{\pm \gamma x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ pm \ gamma x}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ pm \ gamma x}}$ reprezintă dependența spațială,
$\omega =2\pi f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ este viteza unghiulară în radiani pe secundă (rad / s), unde
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este frecvența în hertz (Hz),
$t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este timpul în secunde,
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt constante dependente de condițiile limită (adică de terminații, sursă și sarcină),
$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este coordonata spațială măsurată de-a lungul liniei de transmisie în metri (m), crescând de la generator către sarcină. În cazul particular în care se prezintă originea $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ a axei spațiului la sarcină $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ la sfârșitul liniei, atunci fiecare punct al liniei este la o coordonată x negativă.

În plus

$\gamma =\alpha +j\beta$ ${\ displaystyle \ gamma = \ alpha + j \ beta}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ alpha + j \ beta}$ este constanta de propagare (măsurată în 1 / m),

cu

$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este constanta de atenuare în neper pe metru (Np / m),
$\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ este constanta de fază în radiani pe metru (rad / m),

Diagrama Smith poate fi utilizată o frecvență la un moment dat, de aici și componenta de timp a fazei ( $\mathrm {e} ^{\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ omega t}}$ ) este fix și, din acest motiv, este adesea neglijat. Amintiți-vă că acest termen trebuie luat în considerare dacă doriți să obțineți cursul de timp al curentului sau tensiunii. Astfel obținem:

V_{F}=A\mathrm {e} ^{-\gamma x}

{\ displaystyle V_ {F} = A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}

{\ displaystyle V_ {F} = A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}

Și

V_{R}=B\mathrm {e} ^{\gamma x}

{\ displaystyle V_ {R} = B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}}

{\ displaystyle V_ {R} = B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}}

Tendința coeficientului de reflexie în raport cu coordonatele spațiale

Coeficientul complex de reflexie $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este definit ca raportul dintre unda reflectată și unda incidentă (sau directă), adică:

\rho ={\frac {V_{R}}{V_{F}}}={\frac {B\mathrm {e} ^{\gamma x}}{A\mathrm {e} ^{-\gamma x}}}=C\mathrm {e} ^{2\gamma x}=C\mathrm {e} ^{2\alpha x}\mathrm {e} ^{j2\beta x}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {V_ {R}} {V_ {F}}} = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}} {A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}} = C \ mathrm {e} ^ {2 \ gamma x} = C \ mathrm {e} ^ {2 \ alpha x} \ mathrm {e} ^ {j2 \ beta x}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {V_ {R}} {V_ {F}}} = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}} {A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}} = C \ mathrm {e} ^ {2 \ gamma x} = C \ mathrm {e} ^ {2 \ alpha x} \ mathrm {e} ^ {j2 \ beta x}}

unde C este o constantă adecvată dependentă de terminare.

Acum luați în considerare o linie de transmisie uniformă, adică în care $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este o constantă. Având în vedere formula de mai sus, coeficientul de reflexie variază în funcție de poziția de-a lungul liniei de transmisie. Dacă acesta din urmă are pierderi (adică $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este diferită de zero), tendința de $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este reprezentată pe diagrama Smith printr-o curbă spirală . Într-adevăr, termenul

\mathrm {e} ^{2\alpha x}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 \ alpha x}}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 \ alpha x}}

, proporțional cu modulul de

\rho

{\ displaystyle \ rho}

\ rho

, scade exponențial deplasându-se de la sarcină la generator (din moment ce

X

{\ displaystyle x}

X

merge de la 0 la o valoare negativă).

În majoritatea cazurilor, pierderile pot fi considerate zero sau cel puțin neglijabile ( $\alpha \approxeq 0$ ${\ displaystyle \ alpha \ approxeq 0}$ ${\ displaystyle \ alpha \ approxeq 0}$ ), care simplifică foarte mult depanarea. În absența pierderilor, expresia coeficientului de reflexie devine:

\rho =\rho _{0}\mathrm {e} ^{2j\beta x}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ mathrm {e} ^ {2j \ beta x}}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ mathrm {e} ^ {2j \ beta x}}

Constanta de fază $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ se poate rescrie și ca

\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este lungimea de undă caracteristică a liniei de transmisie la frecvența considerată.

Prin urmare, obținem:

\rho =\rho _{0}\mathrm {e} ^{{\frac {4j\pi }{\lambda }}x}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ mathrm {e} ^ {{\ frac {4j \ pi} {\ lambda}} x}}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ mathrm {e} ^ {{\ frac {4j \ pi} {\ lambda}} x}}

Această ecuație arată că, pentru o undă staționară, coeficientul de reflexie are o periodicitate egală cu jumătate din lungimea de undă a liniei de transmisie. Din acest motiv, scala lungimii de undă de pe inelul exterior al diagramei Smith care reprezintă distanța sarcinii de la generator are ca extreme 0 și 0,5, deoarece comportamentul este periodic în afara acestui interval.

Tendința impedanței normalizate în raport cu coordonatele spațiale

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ sunt respectiv tensiunea pe linia de transmisie și curentul care intră în sarcină $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ în partea de jos a liniei de transmisie, puteți scrie:

V_{F}+V_{R}=V

{\ displaystyle V_ {F} + V_ {R} = V}

{\ displaystyle V_ {F} + V_ {R} = V}

V_{F}-V_{R}=Z_{0}I

{\ displaystyle V_ {F} -V_ {R} = Z_ {0} I}

{\ displaystyle V_ {F} -V_ {R} = Z_ {0} I}

Fiind $Z_{L}={\frac {V}{I}}$ ${\ displaystyle Z_ {L} = {\ frac {V} {I}}}$ ${\ displaystyle Z_ {L} = {\ frac {V} {I}}}$ , împărțind aceste ecuații între ele, se obține impedanța normalizată:

{\frac {V}{Z_{0}I}}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}=z_{L}

{\ displaystyle {\ frac {V} {Z_ {0} I}} = {\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}}} = z_ {L}}

{\ displaystyle {\ frac {V} {Z_ {0} I}} = {\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}}} = z_ {L}}

Prin inserarea în locul $V_{F}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ Și $V_{R}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ coeficientul de reflexie $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ primesti:

z_{L}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

{\ displaystyle z_ {L} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

{\ displaystyle z_ {L} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

Inversarea formulei și rezolvarea pentru $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ :

\rho ={\frac {z_{L}-1}{z_{L}+1}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {z_ {L} -1} {z_ {L} +1}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {z_ {L} -1} {z_ {L} +1}}}

.

În realitate, aceleași ecuații sunt valabile, nu doar la sfârșitul liniei unde se află sarcina $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ , dar și într-un punct generic al liniei, pentru care, prin conectarea unui generator în acesta, linia are o anumită impedanță de intrare $Z_{in}={\frac {V}{I}}$ ${\ displaystyle Z_ {in} = {\ frac {V} {I}}}$ ${\ displaystyle Z_ {in} = {\ frac {V} {I}}}$ , unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ sunt respectiv tensiunea și curentul în punctul liniei luate în considerare. De fapt, dacă introducem impedanța de intrare normalizată $z_{in}={\frac {Z_{in}}{Z_{0}}}$ ${\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {Z_ {in}} {Z_ {0}}}}$ ${\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {Z_ {in}} {Z_ {0}}}}$ , împărțind ecuațiile

V_{F}+V_{R}=V

{\ displaystyle V_ {F} + V_ {R} = V}

{\ displaystyle V_ {F} + V_ {R} = V}

V_{F}-V_{R}=Z_{0}I

{\ displaystyle V_ {F} -V_ {R} = Z_ {0} I}

{\ displaystyle V_ {F} -V_ {R} = Z_ {0} I}

această impedanță normalizată se obține:

{\frac {V}{Z_{0}I}}={\frac {Z_{in}}{Z_{0}}}=z_{in}

{\ displaystyle {\ frac {V} {Z_ {0} I}} = {\ frac {Z_ {in}} {Z_ {0}}} = z_ {in}}

{\ displaystyle {\ frac {V} {Z_ {0} I}} = {\ frac {Z_ {in}} {Z_ {0}}} = z_ {in}}

și introducerea în locul $V_{F}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ ${\ displaystyle V_ {F}}$ Și $V_{R}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ ${\ displaystyle V_ {R}}$ coeficientul de reflexie $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ în punctul generic al liniei obținem, de asemenea, pentru impedanța normalizată în acel punct:

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

și inversare

\rho ={\frac {z_{in}-1}{z_{in}+1}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {z_ {în} -1} {z_ {în} +1}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {z_ {în} -1} {z_ {în} +1}}}

.

Acestea sunt ecuațiile utilizate pentru a construi graficul de impedanță Smith. Din punct de vedere matematic, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $z_{in}\$ ${\ displaystyle z_ {in} \}$ ${\ displaystyle z_ {in} \}$ , sau în special $z_{L}$ ${\ displaystyle z_ {L}}$ ${\ displaystyle z_ {L}}$ la sfârșitul liniei, acestea sunt legate printr-o transformare Möbius . Rețineți că este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ acea $z_{in}$ ${\ displaystyle z_ {in}}$ ${\ displaystyle z_ {in}}$ sunt numere complexe adimensionale, în funcție de frecvență, de aceea pentru fiecare măsurare a acestora este necesar să se ia în considerare și banda în care a fost efectuată această măsurare.

$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ acesta poate fi exprimat în mărime și fază pe diagrama polară și exact asta se face pe graficul Smith. După cum sa menționat anterior, în dispozitivele pasive fiecare coeficient de reflecție trebuie să aibă un modul mai mic sau egal cu unul și, prin urmare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ poate fi reprezentat cu un punct în interiorul circumferinței cu o unitate de rază. Principalul avantaj al graficului Smith este că are diferite scale care vă permit să convertiți o valoare generică a coeficientului de reflecție în valoarea impedanței corespunzătoare și invers. Practic, trasând un punct care reprezintă un anumit coeficient de reflecție pe diagrama Smith ca și cum ar fi o diagramă polară generică, este posibil să citiți impedanța asociată pe scale. Viceversa, având în vedere o anumită impedanță normalizată, aceasta poate fi desenată pe graficul Smith prin intermediul unor scale speciale și astfel se obține grafic valoarea $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ . Această tehnică înlocuiește în esență utilizarea ecuațiilor pentru a trece $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ la $z_{in}\$ ${\ displaystyle z_ {in} \}$ ${\ displaystyle z_ {in} \}$ , sau în special $z_{L}$ ${\ displaystyle z_ {L}}$ ${\ displaystyle z_ {L}}$ la sfârșitul liniei.

Înlocuind expresia modificării coeficientului de reflexie de-a lungul unei linii de transmisie fără pierderi de neegalat:

\rho ={\frac {B\mathrm {e} ^{\gamma x}}{A\mathrm {e} ^{-\gamma x}}}={\frac {B\mathrm {e} ^{j\beta x}}{A\mathrm {e} ^{-j\beta x}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}} {A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}} = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {j \ beta x}} {A \ mathrm {e} ^ {- j \ beta x}}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {\ gamma x}} {A \ mathrm {e} ^ {- \ gamma x}}} = {\ frac {B \ mathrm {e} ^ {j \ beta x}} {A \ mathrm {e} ^ {- j \ beta x}}}}

în ecuația impedanței normalizate în funcție de coeficientul de reflexie

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

și folosind formula lui Euler :

\mathrm {e} ^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {j \ theta} = \ cos \ theta + j \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {j \ theta} = \ cos \ theta + j \ sin \ theta}

obținem ecuația care exprimă modul în care variază impedanța de intrare de-a lungul unei linii de transmisie fără pierderi:

Z_{in}=Z_{in}(x)=Z_{0}{\frac {Z_{in}(x=0)-jZ_{0}\tan(\beta x)}{Z_{0}-jZ_{in}(x=0)\tan(\beta x)}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {in} (x) = Z_ {0} {\ frac {Z_ {in} (x = 0) -jZ_ {0} \ tan (\ beta x)} {Z_ {0 } -jZ_ {în} (x = 0) \ tan (\ beta x)}}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {in} (x) = Z_ {0} {\ frac {Z_ {in} (x = 0) -jZ_ {0} \ tan (\ beta x)} {Z_ {0 } -jZ_ {în} (x = 0) \ tan (\ beta x)}}}

amintindu-mi din nou că, așa cum am spus anterior, coordonarea spațială x crește mergând de la generator către sarcină. În cazul particular în care se prezintă originea $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ chiar la sarcină $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ la sfârșitul liniei, deci $Z_{L}=Z_{in}(x=0)$ ${\ displaystyle Z_ {L} = Z_ {în} (x = 0)}$ ${\ displaystyle Z_ {L} = Z_ {în} (x = 0)}$ și fiecare punct al liniei are o coordonată x negativă, apoi:

Z_{in}=Z_{0}{\frac {Z_{L}-jZ_{0}\tan(\beta x)}{Z_{0}-jZ_{L}\tan(\beta x)}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {0} {\ frac {Z_ {L} -jZ_ {0} \ tan (\ beta x)} {Z_ {0} -jZ_ {L} \ tan (\ beta x) }}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {0} {\ frac {Z_ {L} -jZ_ {0} \ tan (\ beta x)} {Z_ {0} -jZ_ {L} \ tan (\ beta x) }}}

Dacă, în loc de x, introducem o a doua coordonată spațială și aceasta este distanța $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ de la sarcină, care, spre deosebire de x, crește mergând de la sarcină spre generator, plasând $x=-l\$ ${\ displaystyle x = -l \}$ ${\ displaystyle x = -l \}$ ecuația devine ^[8] :

Z_{in}=Z_{0}{\frac {Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta l)}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {0} {\ frac {Z_ {L} + jZ_ {0} \ tan (\ beta l)} {Z_ {0} + jZ_ {L} \ tan (\ beta l) }}}

{\ displaystyle Z_ {in} = Z_ {0} {\ frac {Z_ {L} + jZ_ {0} \ tan (\ beta l)} {Z_ {0} + jZ_ {L} \ tan (\ beta l) }}}

Echivalentul grafic pe graficul lui Smith al utilizării ecuației nou derivate este de a se normaliza $Z_{L}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ ${\ displaystyle Z_ {L}}$ , desenați punctul rezultat pe o diagramă Smith a impedanțelor și desenați un cerc care trece prin acel punct centrat în centrul graficului. Calea de-a lungul arcului circumferinței reprezintă modul în care se modifică impedanța pe măsură ce vă deplasați de-a lungul liniei de transmisie. În acest caz, este util să folosiți inelul extern scalat în lungimi de undă, amintind că lungimea de undă a liniei de transmisie poate diferi de cea din spațiul liber.

Impedanțe

Circumferințe cu rezistență constantă sau reactanță

În planul coeficientului de reflexie, unde coordonatele carteziene sunt:

u=Re[\rho ]

{\ displaystyle u = Re [\ rho]}

{\ displaystyle u = Re [\ rho]}

w=Im[\rho ]\

{\ displaystyle w = Im [\ rho] \}

{\ displaystyle w = Im [\ rho] \}

,

așa cum am menționat, diagrama Smith ocupă un cerc de rază unitară centrat la origine. Prin urmare, în coordonatele carteziene, circumferința va trece prin punctele (1,0) și (-1,0) pe axa u și punctele (0,1) și (0, -1) pe axa w.

Diagrama Smith a impedanțelor conține în ea două familii diferite de curbe:

circumferințe cu rezistență constantă;
arcuri de circumferință la reactanță constantă.

Fiecare dintre aceste curbe este marcată de un număr, care reprezintă rezistența normalizată (sau reactanța) punctelor situate pe ea.

Pentru a înțelege originea acestor curbe, să le exprimăm pe ambele $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ acea $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu notație carteziană:

z_{in}=r_{in}+jx_{in}

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in}}

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in}}

\ \rho \ \ =\ u\ +jw

{\ displaystyle \ \ rho \ \ = \ u \ + jw}

{\ displaystyle \ \ rho \ \ = \ u \ + jw}

Înlocuind aceste ecuații în cea care descrie relația dintre impedanța normalizată și coeficientul de reflexie, adică:

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

{\ displaystyle z_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}}}

primesti

z_{in}=r_{in}+jx_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

Demonstrație

Intr-adevar:

{\begin{aligned}\ z_{in}=r_{in}+jx_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}={\frac {1+u+jw}{1-u-jw}}\\[6pt]={\frac {(1+u+jw)(1-u+jw)}{(1-u-jw)(1-u+jw)}}={\frac {(1+jw)^{2}-u^{2}}{(1-u)^{2}-(jw)^{2}}}\\[6pt]={\frac {1+2jw-w^{2}-u^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}} = {\ frac {1 + u + jw} {1-u-jw}} \\ [6pt] = {\ frac {(1 + u + jw) (1-u + jw)} {(1-u-jw) (1-u + jw) }} = {\ frac {(1 + jw) ^ {2} -u ^ {2}} {(1-u) ^ {2} - (jw) ^ {2}}} \\ [6pt] = { \ frac {1 + 2jw-w ^ {2} -u ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} = {\ frac {1-u ^ {2} - w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2 }}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1+ \ rho} {1- \ rho}} = {\ frac {1 + u + jw} {1-u-jw}} \\ [6pt] = {\ frac {(1 + u + jw) (1-u + jw)} {(1-u-jw) (1-u + jw) }} = {\ frac {(1 + jw) ^ {2} -u ^ {2}} {(1-u) ^ {2} - (jw) ^ {2}}} \\ [6pt] = { \ frac {1 + 2jw-w ^ {2} -u ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} = {\ frac {1-u ^ {2} - w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2 }}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}

Această ecuație descrie modul în care coeficientul de reflexie variază prin schimbarea impedanței normalizate și poate fi folosit pentru a construi curbele constante ale părții reale și imaginare ^[9] ^[10] . De fapt, dacă $r_{in}=r_{0}$ ${\ displaystyle r_ {in} = r_ {0}}$ ${\ displaystyle r_ {in} = r_ {0}}$ constantă, obținem:

\left(u-{\frac {r_{0}}{1+r_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+r_{0}}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {0}} {1 + r_ {0}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {0}}} \ dreapta) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {0}} {1 + r_ {0}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {0}}} \ dreapta) ^ {2}}

care este ecuația unui cerc cu o rază $1/(1+r_{0})$ ${\ displaystyle 1 / (1 + r_ {0})}$ ${\ displaystyle 1 / (1 + r_ {0})}$ și centru $(r_{0}/(1+r_{0}),0)$ ${\ displaystyle (r_ {0} / (1 + r_ {0}), 0)}$ ${\ displaystyle (r_ {0} / (1 + r_ {0}), 0)}$ .

Demonstrație

De fapt, pornind de la ecuația anterioară:

z_{in}=r_{in}+jx_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

și având în vedere doar partea reală, avem:

r_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}

{\ displaystyle r_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}}}

{\ displaystyle r_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}}}

sau:

r_{in}(1-u)^{2}+r_{in}w^{2}=1-u^{2}-w^{2}

{\ displaystyle r_ {in} (1-u) ^ {2} + r_ {in} w ^ {2} = 1-u ^ {2} -w ^ {2}}

{\ displaystyle r_ {in} (1-u) ^ {2} + r_ {in} w ^ {2} = 1-u ^ {2} -w ^ {2}}

r_{in}(u-1)^{2}+u^{2}-1+r_{in}w^{2}+w^{2}=0

{\ displaystyle r_ {in} (u-1) ^ {2} + u ^ {2} -1 + r_ {in} w ^ {2} + w ^ {2} = 0}

{\ displaystyle r_ {in} (u-1) ^ {2} + u ^ {2} -1 + r_ {in} w ^ {2} + w ^ {2} = 0}

r_{in}(u-1)^{2}+u^{2}-1+r_{in}w^{2}+w^{2}+{\frac {1}{1+r_{in}}}={\frac {1}{1+r_{in}}}

{\ displaystyle r_ {in} (u-1) ^ {2} + u ^ {2} -1 + r_ {in} w ^ {2} + w ^ {2} + {\ frac {1} {1+ r_ {in}}} = {\ frac {1} {1 + r_ {in}}}}

{\ displaystyle r_ {in} (u-1) ^ {2} + u ^ {2} -1 + r_ {in} w ^ {2} + w ^ {2} + {\ frac {1} {1+ r_ {in}}} = {\ frac {1} {1 + r_ {in}}}}

{\biggr [}r_{in}(u-1)^{2}+(u^{2}-1)+{\frac {1}{1+r_{in}}}{\biggl ]}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}

{\ displaystyle {\ biggr [} r_ {in} (u-1) ^ {2} + (u ^ {2} -1) + {\ frac {1} {1 + r_ {in}}} {\ biggl ]} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

{\ displaystyle {\ biggr [} r_ {in} (u-1) ^ {2} + (u ^ {2} -1) + {\ frac {1} {1 + r_ {in}}} {\ biggl ]} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

Dar:

{\begin{aligned}{\biggr [}r_{in}(u-1)^{2}+(u^{2}-1)+{\frac {1}{1+r_{in}}}{\biggl ]}=r_{in}u^{2}-2ur_{in}+r_{in}+u^{2}-1+{\frac {1}{1+r_{in}}}\\[6pt]=(1+r_{in})u^{2}+(1+r_{in}){\biggr [}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}-1}{1+r_{in}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {(r_{in}-1)(1+r_{in})}{(1+r_{in})^{2}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}-1}{(1+r_{in})^{2}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggr [} r_ {in} (u-1) ^ {2} + (u ^ {2} -1) + {\ frac {1} {1 + r_ {în }}} {\ biggl]} = r_ {in} u ^ {2} -2ur_ {in} + r_ {in} + u ^ {2} -1 + {\ frac {1} {1 + r_ {in} }} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) u ^ {2} + (1 + r_ {in}) {\ biggr [} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} -1} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {in}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {(r_ {în} -1) (1 + r_ {în})} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {în} ^ {2} -1} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {în }) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} ^ {2}} {(1 + r_ {in}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] \ end {align }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggr [} r_ {in} (u-1) ^ {2} + (u ^ {2} -1) + {\ frac {1} {1 + r_ {în }}} {\ biggl]} = r_ {in} u ^ {2} -2ur_ {in} + r_ {in} + u ^ {2} -1 + {\ frac {1} {1 + r_ {in} }} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) u ^ {2} + (1 + r_ {in}) {\ biggr [} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} -1} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {in}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {(r_ {în} -1) (1 + r_ {în})} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {în} ^ {2} -1} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(1 + r_ {în }) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] = (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} ^ {2}} {(1 + r_ {in}) ^ {2}}} {\ biggl]} \\ [6pt] \ end {align }}}

Înlocuind în egalitatea anterioară, obținem:

(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}

{\ displaystyle (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} ^ {2}} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} {\ biggl]} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

{\ displaystyle (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u ^ {2} -2u {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} + {\ frac {r_ {in} ^ {2}} {(1 + r_ {în}) ^ {2}}} {\ biggl]} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

(1+r_{in}){\biggr [}u-{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}{\biggl ]}^{2}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}

{\ displaystyle (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u - {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} {\ biggl]} ^ {2} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

{\ displaystyle (1 + r_ {in}) {\ biggr [} u - {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} {\ biggl]} ^ {2} + (1 + r_ {în}) w ^ {2} = {\ frac {1} {1 + r_ {în}}}}

din care, împărțind membru la membru la $(1+r_{in})$ ${\ displaystyle (1 + r_ {în})}$ ${\ displaystyle (1 + r_ {în})}$ , avem:

\left(u-{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+r_{in}}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {în}}} \ dreapta) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {in}} {1 + r_ {in}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {în}}} \ dreapta) ^ {2}}

că pentru $r_{in}=r_{0}$ ${\ displaystyle r_ {in} = r_ {0}}$ ${\ displaystyle r_ {in} = r_ {0}}$ , îl scrii:

\left(u-{\frac {r_{0}}{1+r_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+r_{0}}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {0}} {1 + r_ {0}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {0}}} \ dreapta) ^ {2}}

{\ displaystyle \ left (u - {\ frac {r_ {0}} {1 + r_ {0}}} \ right) ^ {2} + w ^ {2} = \ left ({\ frac {1} { 1 + r_ {0}}} \ dreapta) ^ {2}}

De exemplu, punctele caracterizate prin $r_{in}=1$ ${\ displaystyle r_ {in} = 1}$ ${\ displaystyle r_ {in} = 1}$ sunt situate pe circumferința centrată în $(1/2,0)$ ${\ displaystyle (1 / 2.0)}$ ${\ displaystyle (1 / 2,0)}$ și de rază 1/2.

Un calcul similar poate fi făcut și pentru punctele în afară de constanta imaginară $x_{in}=x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {in} = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {in} = x_ {0}}$ , obținând ecuația:

\left(u-1\right)^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{0}^{2}}}

{\ displaystyle \ left (u-1 \ right) ^ {2} + \ left (w - {\ frac {1} {x_ {0}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { x_ {0} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ left (u-1 \ right) ^ {2} + \ left (w - {\ frac {1} {x_ {0}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { x_ {0} ^ {2}}}}

reprezentând circumferințe de rază $1/|x_{0}|$ ${\ displaystyle 1 / | x_ {0} |}$ ${\ displaystyle 1 / | x_ {0} |}$ și centru $(1,1/x_{0})$ ${\ displaystyle (1,1 / x_ {0})}$ ${\ displaystyle (1,1 / x_ {0})}$ .

Demonstrație

De fapt, pornind de la ecuația anterioară:

z_{in}=r_{in}+jx_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle z_ {in} = r_ {in} + jx_ {in} = {\ frac {1-u ^ {2} -w ^ {2}} {(1-u) ^ {2} + w ^ { 2}}} + j \ left ({\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}} \ right)}

și având în vedere doar partea imaginară, avem:

x_{in}={\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}

{\ displaystyle x_ {in} = {\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}}}

{\ displaystyle x_ {in} = {\ frac {2w} {(1-u) ^ {2} + w ^ {2}}}}

sau:

(1-u)^{2}+w^{2}={\frac {2w}{x_{in}}}

{\ displaystyle (1-u) ^ {2} + w ^ {2} = {\ frac {2w} {x_ {in}}}}

{\ displaystyle (1-u) ^ {2} + w ^ {2} = {\ frac {2w} {x_ {in}}}}

(1-u)^{2}+w^{2}-{\frac {2w}{x_{in}}}=0

{\ displaystyle (1-u) ^ {2} + w ^ {2} - {\ frac {2w} {x_ {in}}} = 0}

{\ displaystyle (1-u) ^ {2} + w ^ {2} - {\ frac {2w} {x_ {in}}} = 0}

(u-1)^{2}+w^{2}-{\frac {2w}{x_{in}}}+{\frac {1}{x_{in}^{2}}}={\frac {1}{x_{in}^{2}}}

{\ displaystyle (u-1) ^ {2} + w ^ {2} - {\ frac {2w} {x_ {in}}} + {\ frac {1} {x_ {in} ^ {2}}} = {\ frac {1} {x_ {în} ^ {2}}}}

{\ displaystyle (u-1) ^ {2} + w ^ {2} - {\ frac {2w} {x_ {in}}} + {\ frac {1} {x_ {in} ^ {2}}} = {\ frac {1} {x_ {în} ^ {2}}}}

de la care:

\left(u-1\right)^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{in}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{in}^{2}}}

{\ displaystyle \ left (u-1 \ right) ^ {2} + \ left (w - {\ frac {1} {x_ {in}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { x_ {în} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ left (u-1 \ right) ^ {2} + \ left (w - {\ frac {1} {x_ {in}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { x_ {în} ^ {2}}}}

că pentru $x_{in}=x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {in} = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {in} = x_ {0}}$ , îl scrii:

\left(u-1\right)^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{0}^{2}}}

{\ displaystyle \ left (u-1 \ right) ^ {2} + \ left (w - {\ frac {1} {x_ {0}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { x_ {0} ^ {2}}}}

\left(u-1\right)^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{0}^{2}}}

Considerando il limite di queste circonferenze per $x_{0}\to 0$ $x_{0}\to 0$ $x_{0}\to 0$ , si deduce che i punti a parte immaginaria nulla collassano sull'asse delle ascisse (asse orizzontale delle u) della carta di Smith.

Visualizzazione grafica di come il piano complesso delle impedenze normalizzate sia mappato sulla carta di Smith.

Regioni

Quando viene mappato un diagramma polare in un sistema di coordinate cartesiane generalmente si misurano gli angoli rispetto al semiasse positivo delle ascisse (semiasse orizzontale positivo delle u) per carta di Smith, considerando positiva la direzione antioraria. Il modulo del numero complesso è la lunghezza della linea retta tracciata tra l' origine e il punto considerato. La carta di Smith usa appunto questa convenzione. Si noti che il semiasse delle ascisse (semiasse orizzontale delle u) positive della carta di Smith mappa quindi le impedenze normalizzate che vanno da $z_{in}=1\pm j0$ $z_{in}=1\pm j0$ $z_{in}=1\pm j0$ (origine della carta di Smith) a $z_{in}=\infty \pm j\infty$ $z_{in}=\infty \pm j\infty$ $z_{in}=\infty \pm j\infty$ , corrispondente al punto (1, 0).

La regione che si estende al di sopra dell'asse delle ascisse (asse orizzontale delle u) della carta di Smith corrisponde a reattanze di tipo induttivo, cioè maggiori di zero. Infatti contiene le curve a reattanza costante che hanno centro $(1,1/x_{0})$ $(1,1/x_{0})$ $(1,1/x_{0})$ con $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ positivo. Dualmente, la parte della carta al di sotto dell'asse delle ascisse contiene le reattanze di tipo capacitivo.

Se la terminazione è perfettamente adattata, il coefficiente di riflessione è pari a zero, ed è rappresentato da una circonferenza di raggio nullo, corrispondente all'origine della carta di Smith. Se la terminazione è un perfetto circuito aperto oppure un cortocircuito il modulo del coefficiente di riflessione sarà unitario, tutta la potenza viene riflessa e il punto giace sulla circonferenza di raggio unitario. In particolare, un perfetto circuito aperto ha $\rho =1$ $\rho =1$ $\rho =1$ , e quindi è rappresentato dal punto (1, 0), mentre un perfetto cortocircuito ha $\rho =-1$ $\rho =-1$ $\rho =-1$ , e sulla carta di Smith giace alle coordinate (-1, 0).

Alcuni esempi

Esempi di punti tracciati su una carta di Smith delle impedenze.

Un punto con un modulo del coefficiente di riflessione pari a 0.63 e una fase pari a $60^{\circ }$ $60^{\circ }$ $60^{\circ }$ , rappresentabile in forma polare come $0.63\angle 60^{\circ }$ $0.63\angle 60^{\circ }$ $0.63\angle 60^{\circ }$ , è rappresentato nella carta di Smith a lato come il punto P ₁ . Per tracciare tale punto, si può usare la ghiera esterna scalata in gradi relativa al coefficiente di riflessione per cercare il punto $\angle 60^{\circ }$ $\angle 60^{\circ }$ $\angle 60^{\circ }$ e tracciare una linea passante per tale punto e per il centro della carta. La distanza del punto dal centro deve essere ricavata scalando il modulo del punto P ₁ assumendo un raggio unitario per la carta di Smith. Per esempio, se il raggio reale della carta fosse 100 mm, la lunghezza OP ₁ sarebbe 63 mm.

La tabella seguente contiene altri esempi simili a questo di punti tracciati sulla carta di Smith delle impedenze. Per ciascuno, il coefficiente di riflessione è dato in forma polare insieme alla corrispondente impedenza normalizzata in forma cartesiana o rettangolare. La conversione può essere effettuata direttamente dalla carta di Smith o sostituendo i valori nell'equazione precedentemente ricavata.

Alcuni esempi di punti tracciati sulla carta di Smith delle impedenze
Identificativo del punto	Coefficiente di riflessione (forma polare)	Impedenza normalizzata (forma rettangolare)
P ₁ (induttivo)	$0.63\angle 60^{\circ }$ $0.63\angle 60^{\circ }$ $0.63\angle 60^{\circ }$	$0.80+j1.40$ ${\displaystyle 0.80+j1.40}$ $0.80+j1.40$
P ₂ (induttivo)	$0.73\angle 125^{\circ }$ $0.73\angle 125^{\circ }$ $0.73\angle 125^{\circ }$	$0.20+j0.50$ ${\displaystyle 0.20+j0.50}$ $0.20+j0.50$
P ₃ (capacitivo)	$0.44\angle -116^{\circ }$ $0.44\angle -116^{\circ }$ $0.44\angle -116^{\circ }$	$0.50-j0.50$ ${\displaystyle 0.50-j0.50}$ $0.50-j0.50$

Utilizzo pratico della carta di Smith delle impedenze

Caso 1 - Nota l'impedenza d'ingresso $Z_{in}(x)$ $Z_{in}(x)$ $Z_{in}(x)$ in una certa posizione lungo la linea di trasmissione, per determinare il coefficiente di riflessione $\rho (x)$ $\rho (x)$ $\rho (x)$ nella stessa posizione si può procedere nel modo seguente:

determinare l'impedenza d'ingresso normalizzata dividendo l'impedenza d'ingresso per l'impedenza caratteristica

z_{in}=r_{in}+jx_{in}=z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

z_{in}=r_{in}+jx_{in}=z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

z_{in}=r_{in}+jx_{in}=z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

individuarere la corrispondente circonferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante
individuarere il corrispondente arco di circonferenza con $x_{in}$ $x_{in}$ $x_{in}$ costante
le coordinate cartesiane $(u,w)$ ${\displaystyle (u,w)}$ $(u,w)$ del punto del piano in cui si intersecano queste due curve forniscono il valore del coefficiente di riflessione

\rho (x)=\rho =u+jw

\rho (x)=\rho =u+jw

\rho (x)=\rho =u+jw

Caso 2 - Noto il coefficiente di riflessione $\rho (x)$ $\rho (x)$ $\rho (x)$ in una certa posizione lungo la linea di trasmissione, per determinare l'impedenza d'ingresso $Z_{in}(x)$ $Z_{in}(x)$ $Z_{in}(x)$ nella stessa posizione si può procedere nel modo seguente:

individuarere il punto del piano le cui coordinate cartesiane $(u,w)$ ${\displaystyle (u,w)}$ $(u,w)$ corrispondono al valore noto del coefficiente di riflessione, ossia sono tali che

\rho (x)=\rho =u+jw

\rho (x)=\rho =u+jw

\rho (x)=\rho =u+jw

individuarere la circonferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante passante per questo punto
individuarere il l'arco di circonferenza con $x_{in}$ $x_{in}$ $x_{in}$ costante passante per questo punto
l'impedenza d'ingresso normalizzata è allora

z_{in}(x)=z_{in}=r_{in}+jx_{in}

z_{in}(x)=z_{in}=r_{in}+jx_{in}

z_{in}(x)=z_{in}=r_{in}+jx_{in}

e l'impedenza d'ingresso è

Z_{in}(x)=z_{in}(x)\cdot Z_{0}

Z_{in}(x)=z_{in}(x)\cdot Z_{0}

Z_{in}(x)=z_{in}(x)\cdot Z_{0}

Caso 3 - Nota l'impedenza del carico a fine linea $Z_{L}=Z_{in}(l=0)$ $Z_{L}=Z_{in}(l=0)$ $Z_{L}=Z_{in}(l=0)$ , oppure il coefficiente di riflessione a fine linea $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ , per determinare l'impedenza d'ingresso $Z_{in}(l)$ $Z_{in}(l)$ $Z_{in}(l)$ o il coefficiente di riflessione $\rho (l)$ $\rho (l)$ $\rho (l)$ in un'altra posizione della linea posta a distanza $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ dal carico, si può procedere nel modo seguente:

individuarere il punto del piano le cui coordinate cartesiane corrispondono al valore del coefficiente di riflessione a fine linea $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ , che coincide con il punto del piano in cui si intersecano la circonferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante e l'arco di circonferenza con $x_{in}$ $x_{in}$ $x_{in}$ costante corrispondenti al valore dell'impedenza del carico normalizzata che rappresenta l'impedenza d'ingresso normalizzata a fine linea

z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}=z_{in}(l=0)={\frac {Z_{in}(l=0)}{Z_{0}}}\ ,

z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}=z_{in}(l=0)={\frac {Z_{in}(l=0)}{Z_{0}}}\ ,

z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}=z_{in}(l=0)={\frac {Z_{in}(l=0)}{Z_{0}}}\ ,

ricordando che in qualsiasi posizione lungo la linea si può passare da impedenza d'ingresso normalizzata a coefficiente di riflessione e viceversa, come descritto per i casi 1 e 2

individuare la circonferenza centrata nell'origine e passante per questo punto del piano; operativamente, la si può tracciare con un compasso
individuare sulla stessa circonferenza centrata nell'origine il punto ottenuto partendo dal punto precedente e spostandosi in senso orario di un angolo proporzionale a $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ sapendo che un giro completo corrisponde a mezza lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{2}}\$ ${\frac {\lambda }{2}}\$ ${\frac {\lambda }{2}}\$ ; nella pratica, le moderne carte di Smith presentano anche una ghiera angolare scalata in frazioni di lunghezza d'onda, lungo la circonferenza più esterna, dunque con un righello si può tracciare una linea dall'origine passante per il punto di partenza fino a raggiungere la ghiera esterna, spostarsi in senso orario lungo la ghiera, poi tracciare con un righello una linea fino all'origine la quale interseca la circonferenza in un nuovo punto che è il punto di arrivo
le coordinate cartesiane del nuovo punto del piano corrispondono al valore del coefficiente di riflessione $\rho (l)$ $\rho (l)$ $\rho (l)$ nella posizione lungo la linea posta a distabza $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ dal carico, mentre la corconferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante e l'arco di corconferenza con $x_{in}$ $x_{in}$ $x_{in}$ costante che si intersecano in questo punto corrispondono all'impedenza d'ingresso normalizzata $\mathbf {z_{in}} (l)$ $\mathbf {z_{in}} (l)$ $\mathbf {z_{in}} (l)$ sempre a distabza $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ dal carico; fatto ciò, l'impedenza d'ingresso è data da

Z_{in}(l)=z_{in}(l)\cdot Z_{0}

Z_{in}(l)=z_{in}(l)\cdot Z_{0}

Z_{in}(l)=z_{in}(l)\cdot Z_{0}

Caso 4 - Nota l'impedenza d'ingresso oppure il coefficiente di riflessione a una certa distanza dal carico, per esempio a inizio linea, per determinare l'impedenza del carico a fine linea o il coefficiente di riflessione presso il carico:

basta procedere come nel caso precedente, ma spostandosi in senso antiorario.

Rapporto di onda stazionaria e carta di Smith

Conoscendo l'impedenza d'ingresso $Z_{in}=Z_{in}(x)$ $Z_{in}=Z_{in}(x)$ $Z_{in}=Z_{in}(x)$ , o il coefficiente di riflessione $\rho =\rho (x)$ $\rho =\rho (x)$ $\rho =\rho (x)$ , in una qualunque posizione lungo una linea non dissipativa, per esempio l'impedenza del carico a fine linea $\mathbb {Z} _{L}$ $\mathbb {Z} _{L}$ $\mathbb {Z} _{L}$ , o il coefficiente di riflessione a fine linea $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ $\rho (l=0)$ , per determinare il rapporto di onda stazionaria lungo una linea non dissipativa si può procedere nel modo seguente:

individuare il punto del piano le cui coordinate cartesiane corrispondono al valore del coefficiente di riflessione $\rho (x)$ $\rho (x)$ $\rho (x)$ , che coincide con il punto del piano in cui si intersecano la circonferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante e l'arco di corconferenza con $x_{in}$ $x_{in}$ $x_{in}$ costante corrispondenti al valore dell'impedenza d'ingresso normalizzata

z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

z_{in}(x)={\frac {Z_{in}(x)}{Z_{0}}}

individuare la circonferenza centrata nell'origine e passante per questo punto del piano; operativamente, la si può tracciare con un compasso
tale circonferenza interseca l'asse delle ascisse (asse delle u) in due punti disposti simmetricamente rispetto all'origine: P ₁ con ascissa u negativa e P ₂ con ascissa u positiva
allora il $R O S$ ${\displaystyle ROS}$ $ROS$ è uguale al valore di $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ corrispondente alla circonferenza con $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ costante passante per P ₂ , mentre il valore di $r_{in}$ $r_{in}$ $r_{in}$ relativo a P ₁ è pari a $1/ROS$ ${\displaystyle 1/ROS}$ $1/ROS$ .

Tuttavia, in molte carte di Smith moderne è presente una scala in basso graduata in modo tale che, per leggere il valore del $R O S$ ${\displaystyle ROS}$ $ROS$ , occorre tracciare con un righello una linea verticale verso il basso dal punto P ₁ invece che dal punto P ₂ .

Dimostrazione

Infatti, per prima cosa, cominciamo a dimostrare che, fissato il modulo $|\rho |$ $|\rho |$ $|\rho |$ del coefficiente di riflessione, cioè fissata una circonferenza centrata nell'origine, il modulo $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ dell'impedenza d'ingresso normalizzata, lungo tale circonferenza, rispettivamente ha il minimo in P ₁ e il massimo in P ₂ .

Per provare ciò, basta osservare che, come sappiamo, al variare della posizione x lungo una linea non dissipativa, nel piano complesso della carta di Smith il coefficiente di riflessione $\rho (x)$ $\rho (x)$ $\rho (x)$ , che ha modulo costante $|\rho |\leqslant 1$ $|\rho |\leqslant 1$ $|\rho |\leqslant 1$ , descrive una circonferenza di raggio $|\rho |$ $|\rho |$ $|\rho |$ centrata nell'origine. Da ciò segue che la quantità complessa $1+\rho (x)$ $1+\rho (x)$ $1+\rho (x)$ descrive una circonferenza di raggio $|\rho |$ $|\rho |$ $|\rho |$ e centro $(1,0)$ ${\displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ . Il modulo $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ è pari alla lunghezza del segmento che congiunge l'origine con il generico punto di questa circonferenza. Ma tale lunghezza ha il minimo e il massimo nei due punti in cui questa circonferenza interseca l'asse delle ascisse: un minimo nel punto più vicino all'origine e il massimo nell'altro punto che è più lontano. Da ciò si comprende che, se P ₁ e P ₂ sono i due punti in cui la circonferenza, descritta nel piano cartesiano dal coefficiente di riflessione $\rho (x)$ $\rho (x)$ $\rho (x)$ , interseca l'asse delle ascisse, allora la funzione $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ ha il minimo nel punto P ₁ con ascissa negativa e il massimo nel punto P ₂ con ascissa positiva. Ma se ciò è vero per la funzione $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ $|1+\rho (x)|$ , a maggior ragione è vero per la funzione ${\frac {|1+\rho (x)|}{|1-\rho (x)|}}$ ${\frac {|1+\rho (x)|}{|1-\rho (x)|}}$ ${\frac {|1+\rho (x)|}{|1-\rho (x)|}}$ , visto che la funzione $|1-\rho (x)|$ $|1-\rho (x)|$ $|1-\rho (x)|$ ha il minimo e il massimo scambiati e si trova al denominatore. Dunque, ricordando che

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}\ ,\

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}\ ,\

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}\ ,\

P ₁ e P ₂ sono, rispettivamente, il punto di minimo e il punto di massimo della funzione $|z_{in}(x)|$ $|z_{in}(x)|$ $|z_{in}(x)|$ .

D'altra parte, abbiamo visto che gli archi di circonferenza $x_{in}=x_{0}$ $x_{in}=x_{0}$ $x_{in}=x_{0}$ nel limite $x_{0}\to 0$ $x_{0}\to 0$ $x_{0}\to 0$ collassano sull'asse u delle ascisse. Duque, per i punti P ₁ e P ₂ , che si trovano sull'asse delle ascisse, si ha $x_{in}=0$ $x_{in}=0$ $x_{in}=0$ , ossia l'impedenza d'ingresso normalizzata $z_{in}$ $z_{in}$ $z_{in}$ è un numero reale. Ma allora, essendo sempre $r_{in}>0$ $r_{in}>0$ $r_{in}>0$ , ancora dalla relazione

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

z_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

si ha:

r_{in}(P_{2})=z_{in}(P_{2})=|z_{in}(P_{2})|={\frac {|1+\rho (P_{2})|}{|1-\rho (P_{2})|}}

r_{in}(P_{2})=z_{in}(P_{2})=|z_{in}(P_{2})|={\frac {|1+\rho (P_{2})|}{|1-\rho (P_{2})|}}

r_{in}(P_{2})=z_{in}(P_{2})=|z_{in}(P_{2})|={\frac {|1+\rho (P_{2})|}{|1-\rho (P_{2})|}}

e, dato che in P ₂ il modulo $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ ha il massimo, essendo come è noto

ROS={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}\ ,\

ROS={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}\ ,\

ROS={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}\ ,\

si ha:

r_{in}(P_{2})={\frac {1+|\rho (P_{2})|}{1-|\rho (P_{2})|}}={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}=ROS

r_{in}(P_{2})={\frac {1+|\rho (P_{2})|}{1-|\rho (P_{2})|}}={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}=ROS

r_{in}(P_{2})={\frac {1+|\rho (P_{2})|}{1-|\rho (P_{2})|}}={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}=ROS

Analogamente, per il punto P ₁ si ha:

r_{in}(P_{1})=z_{in}(P_{1})=|z_{in}(P_{1})|={\frac {|1+\rho (P_{1})|}{|1-\rho (P_{1})|}}

r_{in}(P_{1})=z_{in}(P_{1})=|z_{in}(P_{1})|={\frac {|1+\rho (P_{1})|}{|1-\rho (P_{1})|}}

r_{in}(P_{1})=z_{in}(P_{1})=|z_{in}(P_{1})|={\frac {|1+\rho (P_{1})|}{|1-\rho (P_{1})|}}

e, dato che in $P_{1}$ $P_{1}$ $P_1$ il modulo $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ $|z_{in}|$ ha il minimo, si ha:

r_{in}(P_{1})={\frac {1-|\rho (P_{1})|}{1+|\rho (P_{1})|}}={\frac {1-|\rho |}{1+|\rho |}}={\frac {1}{ROS}}

r_{in}(P_{1})={\frac {1-|\rho (P_{1})|}{1+|\rho (P_{1})|}}={\frac {1-|\rho |}{1+|\rho |}}={\frac {1}{ROS}}

r_{in}(P_{1})={\frac {1-|\rho (P_{1})|}{1+|\rho (P_{1})|}}={\frac {1-|\rho |}{1+|\rho |}}={\frac {1}{ROS}}

Ammettenze

La carta di Smith delle ammettenze viene costruita in maniera del tutto simile a quella delle impedenze. In un generico punto di una linea di trasmissione, si può considerare l'ammettenza d'ingresso normalizzata che è il reciproco dell'impedenza d'ingresso normalizzata, perciò:

y_{in}={\frac {1}{z_{in}}}

y_{in}={\frac {1}{z_{in}}}

y_{in}={\frac {1}{z_{in}}}

Inoltre,

y_{in}={\frac {1-\rho }{1+\rho }}

y_{in}={\frac {1-\rho }{1+\rho }}

y_{in}={\frac {1-\rho }{1+\rho }}

quindi:

\rho ={\frac {1-y_{in}}{1+y_{in}}}

\rho ={\frac {1-y_{in}}{1+y_{in}}}

\rho ={\frac {1-y_{in}}{1+y_{in}}}

Circonferenze a conduttanza o suscettanza costante

In maniera del tutto equivalente a quanto fatto per la carta delle impedenze, è possibile anche per la carta delle ammettenze ottenere due diverse famiglie di curve:

circonferenze a conduttanza costante;
archi di circonferenza a suscettanza costante.

Anche in questo caso ogni curva è contrassegnata dal valore di conduttanza o suscettanza normalizzata che la contraddistingue.

Analogamente a prima, si esprime sia $\rho$ $\rho$ $\rho$ che $y_{in}$ $y_{in}$ $y_{in}$ con la notazione cartesiana:

y_{in}=g_{in}+jb_{in}

y_{in}=g_{in}+jb_{in}

y_{in}=g_{in}+jb_{in}

\ \rho \ \ =\ u\ +jw

\ \rho \ \ =\ u\ +jw

\ \rho \ \ =\ u\ +jw

Utilizzando la relazione:

y_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

y_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

y_{in}={\frac {1+\rho }{1-\rho }}

si ricava

y_{in}=g_{in}+jb_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1+u)^{2}+w^{2}}}-j\left({\frac {2w}{(1+u)^{2}+w^{2}}}\right)

y_{in}=g_{in}+jb_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1+u)^{2}+w^{2}}}-j\left({\frac {2w}{(1+u)^{2}+w^{2}}}\right)

y_{in}=g_{in}+jb_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1+u)^{2}+w^{2}}}-j\left({\frac {2w}{(1+u)^{2}+w^{2}}}\right)

Se $g_{in}=g_{0}$ $g_{in}=g_{0}$ $g_{in}=g_{0}$ costante, si ottiene:

\left(u+{\frac {g_{0}}{1+g_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+g_{0}}}\right)^{2}

\left(u+{\frac {g_{0}}{1+g_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+g_{0}}}\right)^{2}

\left(u+{\frac {g_{0}}{1+g_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+g_{0}}}\right)^{2}

che è l'equazione di una circonferenza di raggio $1/(1+g_{0})$ $1/(1+g_{0})$ $1/(1+g_{0})$ e centro $(-g_{0}/(1+g_{0}),0)$ $(-g_{0}/(1+g_{0}),0)$ $(-g_{0}/(1+g_{0}),0)$ . Ad esempio, i punti caratterizzati da $g_{in}=1$ $g_{in}=1$ $g_{in}=1$ si trovano sulla circonferenza centrata in $(-1/2,0)$ ${\displaystyle (-1/2,0)}$ $(-1/2,0)$ e di raggio 1/2.

Per i punti a parte immaginaria costante $b_{in}=b_{0}$ $b_{in}=b_{0}$ $b_{in}=b_{0}$ invece si ottiene l'equazione:

\left(u+1\right)^{2}+\left(w+{\frac {1}{b_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{b_{0}^{2}}}

\left(u+1\right)^{2}+\left(w+{\frac {1}{b_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{b_{0}^{2}}}

\left(u+1\right)^{2}+\left(w+{\frac {1}{b_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{b_{0}^{2}}}

che rappresenta circonferenze di raggio $1/|b_{0}|$ $1/|b_{0}|$ $1/|b_{0}|$ e centro $(-1,-1/b_{0})$ $(-1,-1/b_{0})$ $(-1,-1/b_{0})$ . Anche per la carta delle ammettenze i punti a parte immaginaria nulla si trovano quindi sull'asse u della carta di Smith.

La carta di Smith delle ammettenze è quindi identica a quella delle impedenze solo che risulta ruotata di $180^{\circ }$ $180^{\circ }$ $180^{\circ }$ .

Regioni

Anche nella carta di Smith delle ammettenze la regione al di sopra dell'asse delle ascisse (asse orizzontale delle u) rappresenta suscettanze induttive, in quanto contiene le curve a suscettanza costante negativa. Al di sotto dell'asse delle ascisse ci sono invece i punti che rappresentano suscettanze capacitive.

Anche in questo caso, se la terminazione è perfettamente adattata, il coefficiente di riflessione sarà pari a zero, rappresentato da una circonferenza di raggio nullo, cioè il punto al centro della carta di Smith. In caso di circuito aperto o corto circuito, il modulo del coefficiente di riflessione sarà unitario, tutta la potenza sarà riflessa e il punto giacerà sulla circonferenza di raggio unitario. In particolare, anche in questo caso il circuito aperto ( $y_{in}=0$ $y_{in}=0$ $y_{in}=0$ ) viene mappato nel punto (1, 0), mentre un cortocircuito ( $y_{in}=\infty$ $y_{in}=\infty$ $y_{in}=\infty$ ) è rappresentato dal punto (-1, 0).

Note

^ Smith .
^ Smith .
^ Ramo et al. , pag. 35-39 .
^ Pozar , pag. 64-71 .
^ Gonzalez , pag. 93-103 .
^ Gonzalez , pag. 97 .
^ Gonzalez , pag. 98-101 .
^ Hayt , pag. 428-433 .
^ Davidson , pag. 80-85 .
^ Midrio , pag. 36-37 .

Bibliografia

( EN ) PH Smith, Transmission Line Calculator , in Electronics , vol. 12, n. 1, gennaio 1939 , pp. 29-31.
( EN ) PH Smith, An Improved Transmission Line Calculator , in Electronics , vol. 17, n. 1, gennaio 1944 , p. 130.
( EN ) William H. Jr. Hayt,Engineering Electromagnetics , New York, McGraw-Hill, 1981, ISBN 0-07-027395-2 .
( EN ) CW Davidson, Transmission Lines for Communications with CAD Programs , Basingstoke, Macmillan, 1989, ISBN 0-333-47398-1 .
( EN ) Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, Fields and Waves in Communications Electronics , John Wiley & Sons, 1994, ISBN 0-471-58551-3 .
( EN ) Guillermo Gonzalez, Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design , Prentice Hall, 1997, ISBN 0-13-254335-4 .
( EN ) Philip H. Smith, Electronic Applications of the Smith Chart , Noble Publishing Corporation, 2000, ISBN 1-884932-39-8 .
( EN ) David M. Pozar, Microwave Engineering , John Wiley & Sons, 2005, ISBN 0-471-44878-8 .
Michele Midrio, Propagazione guidata , SGEditoriali, 2006, ISBN 88-86281-86-2 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Carta di Smith

Collegamenti esterni

Flash tutorial per la carta di Smith Tutorial interattivo per la carta di Smith
Risorse sulla carta di Smith Tutorial, grafici e altre informazioni sulla carta di Smith
linSmith Un programma per tracciare carte di Smith con Linux .
SuperSmith di Tonne Software Archiviato il 13 maggio 2008 in Internet Archive . Programma per tracciare carte di Smith con Windows2000 e versioni successive.
Carta di Smith Stampa di carte di Smith dal proprio computer
Black Magic Carta di Smith in grafica vettoriale (infinitamente scalabile).
Carta di Smith con Excel grafici del coefficiente di riflessione in parte reale e immaginaria.
Funzioni Postscript Funzioni per tracciare punti, linee, curve a parte reale e immaginaria costante in formato Postscript per creare immagini vettoriali.
Interactive online Smith chart .
Funzione MATLAB per generate una carta di Smith a colori standard .
QuickSmith Utility per l'adattamento con la carta di Smith.

Controllo di autorità	GND ( DE ) 7715904-4

Portale Ingegneria : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria

[1] Smith .

[2] Smith .

[3] Ramo et al. , pag. 35-39 .

[4] Pozar , pag. 64-71 .

[5] Gonzalez , pag. 93-103 .

[6] Gonzalez , pag. 97 .

[7] Gonzalez , pag. 98-101 .

[8] Hayt , pag. 428-433 .

[9] Davidson , pag. 80-85 .

[10] Midrio , pag. 36-37 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]