Problema pătratului înscris

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Exemplu: curba în culoare neagră traversează vârfurile și perimetrul mai multor pătrate evidențiate în albastru.

Problema pătratului inscripționat , cunoscută și sub numele de conjectura lui Toeplitz , este o chestiune de geometrie care nu a fost încă rezolvată, care constă în această întrebare: „fiecare curbă simplă și închisă plană (nu împletită) conține cele patru vârfuri ale unui pătrat ? ". Se știe că acest lucru este adevărat dacă curba este convexă sau netedă sau în alte cazuri speciale. Problema a fost ridicată pentru prima dată de Otto Toeplitz în 1911. [1] . Unele rezultate pozitive au fost obținute de Arnold Emch [2] și Lev Schnirelmann . [3] Începând cu 2015, întrebarea rămâne încă deschisă. [4]

Formularea problemei

Fie C o curbă Jordan . Se spune că un poligon P este înscris în C dacă toate vârfurile lui P aparțin lui C. Problema pătratului inscripționat este apoi următoarea:

Admite fiecare curbă a lui Jordan un pătrat înscris?

Nu este necesar ca partea de sus a pătratului să aparțină curbei într-o anumită ordine.

Exemple

Circumferința sau pătratul admite un număr infinit de pătrate inscripționate. Dacă C este un triunghi obtuz , admite exact un pătrat înscris; triunghiurile dreptunghiulare conțin două; triunghiurile acute conțin trei pătrate inscripționate. [5]

Cazuri rezolvate

O abordare a unei posibile soluții a problemei pătratelor inscripționate constă în demonstrarea faptului că o anumită clasă de curbe bine formate conține întotdeauna un pătrat inscripționat și apoi în aproximarea unei curbe arbitrare cu o succesiune a acestor curbe speciale, și apoi deducerea faptului că există un pătrat înscris ca limită a pătratelor înscrise în curbele care alcătuiesc succesiunea. Un motiv pentru care acest tip de abordare nu a ajuns încă la o concluzie definitivă este faptul că limita este un punct, nu un pătrat. În ciuda acestui fapt, nu există cazuri speciale de curbe care să nu conțină un pătrat. [4]

Curbe hibride

Arnold Emch (1916) a arătat că o curbă hibridă, definită de un set de subfuncții care operează în intervale ale domeniului funcției principale, are întotdeauna un pătrat inscripționat. Acest lucru este valabil mai ales pentru poligoane. Dovada lui Emch ia în considerare punctul de mijloc al segmentului de linie secant la curbă, paralel cu o linie dată. El arată că atunci când aceste curbe sunt făcute să se intersecteze cu cele generate în mod obișnuit pentru o familie de secante perpendiculare pe linia dată, numărul de intersecții rezultat este egal. Rezultă că există întotdeauna un vârf, care este centrul unui romb înscris în curba dată. Prin rotirea continuă a celor două linii perpendiculare cu un unghi drept și aplicarea teoremei valorii intermediare , el demonstrează că cel puțin una dintre aceste diamante este un pătrat. [4]

Curbele locale monotone

Stromquist a demonstrat că fiecare curbă plană monotonă locală simplă admite un pătrat înscris. [6] . Condiția este că pentru orice punct p , curba C poate fi reprezentată local ca graficul unei funcții y = f ( x ). Mai exact, pentru fiecare punct p pe C există o vecinătate U ( p ) și o direcție fixă n ( p ) (direcția axei y ) astfel încât nici o coardă a lui C în acest vecinătate U nu este paralelă cu n ( p ) . Curbele monotone la nivel local includ poligoane, toate curbele convexe închise și curbele netede hibride de clasă C1 (adică diferențiate o dată în cel puțin un punct al setului) fără cuspizi.

Curbe fără trapezoide speciale

O condiție și mai slabă pe curba de monotonie locală este aceea că, pentru unele ε> 0, curba nu are un trapez special inscripționat de dimensiunea ε. Un trapez special este un trapez isoscel cu trei laturi egale, fiecare mai lungă decât a patra latură, inscripționată în curbă cu un ordin de vârfuri egal cu dispunerea lor în sensul acelor de ceasornic în curba însăși. Perimetrul său este egal cu lungimea părții de curbă care se întinde în jurul celor trei laturi egale. Dacă un astfel de trapez (adică un număr par) nu există, argumentul limită pentru curba generică poate fi încă încheiat, arătând că curbele cu această proprietate au întotdeauna un pătrat inscripționat. [4]

Curbe într-o coroană circulară

Dacă o curbă Jordan este înscrisă într-o coroană circulară a cărei rază exterioară este egală cu maximul ori raza sa interioară și este desenată în așa fel încât să separe circumferința coroanei interioare de cea exterioară (fără puncte de intersecție), apoi conține un pătrat inscripționat. În acest caz, pătratele inscripționate mai mari care conțin centrul coroanei sunt separate topologic de pătratele inscripționate mai mici care nu conțin centrul. Limita unei serii de pătrate mari trebuie să fie din nou un pătrat mare, mai degrabă decât un punct degenerat, astfel încât argumentul limită să poată fi aplicat.

Curbele simetrice

Răspunsul afirmativ la problema pătratului inscripționat este, de asemenea, cunoscut pentru curbele simetrice față de centru, inclusiv chiar și cele care nu sunt bine formate, cum ar fi curba Koch . [7]

Variante și generalizări

S-ar putea întreba dacă alte forme pot fi inscripționate într-o curbă Jordan. Se știe că pentru fiecare triunghi T și curba Jordan I C , există un triunghi similar cu T inscripționat în C. [8] [9] Mai mult, setul de vârfuri ale acestui triunghi este dens pe C [10] . În special, există întotdeauna un triunghi echilateral înscris. Se știe, de asemenea, că fiecare curbă a lui Jordan admite un dreptunghi inscripționat.

Unele generalizări ale problemei pătrate inscripționate iau în considerare poligoanele înscrise în curbe și, chiar mai general, continuumul ( spațiul metric convex compact ne-gol) în spații cu mai multe dimensiuni decât cel euclidian . De exemplu, Stromquist a demonstrat că fiecare curbă continuă închisă din R n care îndeplinește condiția A pentru care nu există două corzi perpendiculare ale lui C într-un cartier adecvat, admite un patrulater inscripționat având două laturi egale și două diagonale egale. [6] . Această clasă de curbe include toate curbele de clasa C ².
Nielsen și Wright au demonstrat că fiecare K continuu din R n conține mai multe dreptunghiuri inscripționate [7] . HW Guggenheimer a dovedit că fiecare hip-suprafață C ³- difeomorfă în raport cu sfera n S n −1 conține 2 n vârfuri ale unui cub n euclidian regulat. [11]

Notă

  1. ^ Toeplitz, O .: "Ueber einige Aufgaben der Analysis situs" Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn , 94 (1911), p. 197.
  2. ^ Arnold Emch, Despre unele proprietăți ale medianelor curbelor continue închise formate din arcuri analitice , în American Journal of Mathematics , vol. 38, nr. 1, 1916, pp. 6 -18, DOI : 10.2307 / 2370541 , MR 1506274 . .
  3. ^ LG Šnirel'man , Despre anumite proprietăți geometrice ale curbelor închise , în Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , voi. 10, 1944, pp. 34-44 , MR 0012531 . .
  4. ^ a b c d Benjamin Matschke, Un studiu asupra problemei pătratelor pătrate , în Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 61, nr. 4, 2014, pp. 346–253, DOI : 10.1090 / nota1100 . .
  5. ^ Bailey, Herbert și DeTemple, Duane, „Pătrate inscripționate în unghiuri și triunghiuri”, Revista de matematică 71 (4), 1998, 278-284.
  6. ^ a b Walter Stromquist, Pătrate inscripționate și patrulatere pătrate în curbe închise , în Mathematika , vol. 36, n. 2, 1989, pp. 187–197, DOI : 10.1112 / S0025579300013061 , MR 1045781 . .
  7. ^ a b Mark J. Nielsen și SE Wright, Dreptunghiuri înscrise în continuă simetrică , în Geometriae Dedicata , vol. 56, nr. 3, 1995, pp. 285–297, DOI : 10.1007 / BF01263570 , MR 1340790 . .
  8. ^ Mark D. Meyerson, Triunghiuri echilaterale și curbe continue , în Fundamenta Mathematicae , vol. 110, nr. 1, 1980, pp. 1-9, MR 600575 . .
  9. ^ EH Kronheimer și PB Kronheimer , The tripos problem , în Journal of the London Mathematical Society , Second Series, vol. 24, n. 1, 1981, pp. 182–192, DOI : 10.1112 / jlms / s2-24.1.182 , MR 623685 . .
  10. ^ Mark J. Nielsen, Triunghiuri inscripționate în curbe închise simple , în Geometriae Dedicata , vol. 43, nr. 3, 1992, pp. 291–297, DOI : 10.1007 / BF00151519 , MR 1181760 . .
  11. ^ H. Guggenheimer, Seturi finite pe curbe și suprafețe , în Israel Journal of Mathematics , vol. 3, 1965, pp. 104-112, DOI : 10.1007 / BF02760036 , MR 0188898 . .

.

Bibliografie

  • Victor Klee și Stan Wagon, Probleme vechi și noi nerezolvate în geometria plană și teoria numerelor , The Dolciani Mathematical Expositions, numărul 11, Mathematical Association of America, 1991

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_del_squadrato_inscritto&oldid=121541477 ”