distribuție Laplace

distribuție Laplace
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\mu \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ parametru de poziție $b\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ B displaystyle \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ B displaystyle \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ parametru de scară
A sustine	$x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in {\ mathbb {R}}$
Funcția de densitate	${\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {\|x-\mu \|}{b}}\right)$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2b}} \ exp \$ la $stânga (- {\ frac {\| x- \ mu \|} {b}} \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2b}} \ exp \ la stânga (- {\ frac {\| x- \ mu \|} {b}} \ dreapta)}$
Funcția de distribuție	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {2}} \ exp \$ din $stânga ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x < \ mu \\ 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \$ din $stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x \ geq \ end mu \ {cazuri}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {2}} \ exp \ din stânga ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x < \ mu \\ 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ din stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x \ geq \ end mu \ {cazuri}}}$
Valorea estimata	$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
Median	$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
Modă	$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
Varianța	$2b^{2}$ ${\ Displaystyle 2b ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 2b ^ {2}}$
Indicele de asimetrie
Curios	$3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$
Entropie	$\log(2be)$ ${\ Displaystyle \ log (2be)}$ ${\ Displaystyle \ log (2be)}$
Funcție generatoare de momente	${\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/b$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu t)} {1-b ^ {2} t ^ {2}}} {\ text {pentru}} \| t \| <1 / b}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu t)} {1-b ^ {2} t ^ {2}}} {\ text {pentru}} \| t \| <1 / b}$
Funcția caracteristică	${\frac {\exp(\mu it)}{1+b^{2}t^{2}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu l)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ exp (\ mu l)} {1 + b ^ {2} t ^ {2}}}}$
Manual

În statistici , distribuția Laplace este o distribuție de probabilitate continuă numit după matematicianul Pierre-Simon de Laplace . Este , de asemenea , cunoscut sub numele de dublu exponențială , deoarece densitatea acesteia poate fi văzută ca asocierea a două densități de legi exponențiale. Legea lui Laplace pot fi obținute și de diferența dintre cele două variabile independente exponențială cu același parametru (de exemplu, o mișcare browniană evaluată ori distribuite exponențial). Creșterile în mișcare Laplace sau un proces gamma varianță evaluat pe scara de timp, de asemenea, o distribuție Laplace.

Distribuția Laplace este distribuția maximă de entropie dată punctul central $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ iar abaterea medie absolută $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Ecuație diferențială

Funcția de densitate de probabilitate (pdf) a distribuției Laplace este o soluție din următoarele ecuațiile diferențiale :

{\begin{cases}\left\{{\begin{array}{l}bf'(x)+f(x)=0\\[8pt]f(0)={\frac {e^{\frac {\mu }{b}}}{2b}}\end{array}}\right\}&{\text{if }}x\geq \mu \\[8pt]\left\{{\begin{array}{l}bf'(x)-f(x)=0\\[8pt]f(0)={\frac {e^{-{\frac {\mu }{b}}}}{2b}}\end{array}}\right\}&{\text{if }}x<\mu \end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ părăsit \ {{\ begin {array} {l} bf „(x) + f (x) = 0 \\ [8pt] f (0) = {\ frac {e ^ {\ frac {\ mu} {b}}} {2b}} \ end {array}} \ dreapta \} & {\ text {if}} x \ geq \ mu \\ [8pt] \ stângă \ {{\ begin {array} {l} bf „(x) -f (x) = 0 \\ [8pt] f (0) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {\ mu} {b}}}} {2b}} \ end {array}} \ dreapta \} & {\ text {if}} x <\ mu \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ părăsit \ {{\ begin {array} {l} bf „(x) + f (x) = 0 \\ [8pt] f (0) = {\ frac {e ^ {\ frac {\ mu} {b}}} {2b}} \ end {array}} \ dreapta \} & {\ text {if}} x \ geq \ mu \\ [8pt] \ stângă \ {{\ begin {array} {l} bf „(x) -f (x) = 0 \\ [8pt] f (0) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {\ mu} {b}}}} {2b}} \ end {array}} \ dreapta \} & {\ text {if}} x <\ mu \ end {cazuri}}}

Funcția de densitate de probabilitate

O variabilă aleatoare are o distribuție de ${\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ în cazul în care sa pdf este

f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!

{\ F displaystyle (x \ mid \ mu, b) = {\ frac {1} {2b}} \ exp \

din

stânga (- {\ frac {| x- \ mu |} {b}} \ dreapta) \, \!}

{\ F displaystyle (x \ mid \ mu, b) = {\ frac {1} {2b}} \ exp \ din stânga (- {\ frac {| x- \ mu |} {b}} \ dreapta) \, \!}

={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle = {\ frac {1} {2b}} \ stângă \ {{\ begin {matrix} \ exp \

din

stânga (- {\ frac {\ mu -x} {b}} \ dreapta) & {\ textul {if}} x <\ mu \\ [8pt] \ exp \

din

stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ {if text}} x \ geq \ end mu \ {matrice}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle = {\ frac {1} {2b}} \ stângă \ {{\ begin {matrix} \ exp \ din stânga (- {\ frac {\ mu -x} {b}} \ dreapta) & {\ textul {if}} x <\ mu \\ [8pt] \ exp \ din stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ {if text}} x \ geq \ end mu \ {matrice}} \ dreapta.}

În această formulă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este un parametru de poziție și $b>0$ ${\ B displaystyle> 0}$ ${\ B displaystyle> 0}$ . care este uneori menționată ca diversitate, este un parametru de scară. De sine $\mu =0$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ Și $b=1$ ${\ displaystyle b = 1}$ $b = 1$ pozitiv pe jumătate linia este exact o scalate- o jumătate de distribuție exponențială .

PDF al distribuției Laplace reamintește, de asemenea, distribuția normală; cu toate acestea, în timp ce distribuția normală este exprimată în termeni de pătratul diferențele față de media $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ distribuția Laplace este exprimată în termeni de diferență absolută de la medie. În consecință, distribuția Laplace are „cozi“ mai grele decât distribuția normală.

Funcția de distribuție cumulativă

Funcția de distribuție Laplace este ușor integrabil (dacă două cazuri simetrice se disting datorită utilizării valorii absolute funcția). Funcția sa de distribuție este după cum urmează:

{\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} F (x) & = \ int _ {! -! \ Infty} ^ {x} \ \ f (u) \, \ mathrm {d} u = {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {2}} \ exp \

din

stânga ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x <\ mu \\ 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \

din

stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x \ geq \ mu \ end {cazuri}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {sgn} (x- \ mu) \ stânga (1 \ exp \

din

stânga (- {\ frac {| x- \ mu |.} {b}} \ dreapta) \ dreapta) \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} F (x) & = \ int _ {! -! \ Infty} ^ {x} \ \ f (u) \, \ mathrm {d} u = {\ begin {cazuri} {\ frac {1} {2}} \ exp \ din stânga ({\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x <\ mu \\ 1 - {\ frac {1} {2}} \ exp \ din stânga (- {\ frac {x- \ mu} {b}} \ dreapta) & {\ mbox {if}} x \ geq \ mu \ end {cazuri}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {sgn} (x- \ mu) \ stânga (1 \ exp \ din stânga (- {\ frac {| x- \ mu |.} {b}} \ dreapta) \ dreapta) \ end {aliniat}}}

Distribuția cumulativă inversă este dată de

F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).

{\ Displaystyle ^ {F - 1} (p) = \ mu -B \, \ operatorname {sgn} (p-0,5) \, \ ln (1-2 | p-0.5 |).}

{\ Displaystyle ^ {F - 1} (p) = \ mu -B \, \ operatorname {sgn} (p-0,5) \, \ ln (1-2 | p-0.5 |).}

Generarea de variabile aleatoare în funcție de distribuția Laplace

Având în vedere o variabilă aleatoare $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ luate dintr - o distribuție uniformă în intervalul $\left(-1/2,1/2\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga (-1 / 2,1 / 2 \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga (-1 / 2,1 / 2 \ right]}$ variabila aleatorie

X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)

{\ Displaystyle X = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (U) \, \ ln (1-2 | U |)}

{\ Displaystyle X = \ mu -b \, \ operatorname {sgn} (U) \, \ ln (1-2 | U |)}

are o distribuție Laplace parametrizate $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Aceasta provine din distribuția inversă cumulativă de mai sus.

A ${\textrm {Laplace}}(0,b)$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ acesta poate fi generat ca diferența dintre cele două variabile aleatoare ${\textrm {exp}}(1/b)$ ${\ Displaystyle {\ textrm {exp}} (1 / b)}$ ${\ Displaystyle {\ textrm {exp}} (1 / b)}$ independente identic repartizate, IID. In acelasi fel ${\textrm {Laplace}}(0,1)$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ea poate fi generată ca logaritm al raportului dintre două variabile aleatoare uniforme IID.

Estimarea parametrilor

Dat $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ independent, cu o distribuție identică a probelor $x_{1},x_{2},...,x_{N}$ ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {N}}$ ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {N}}$ estimarea probabilității maxime ${\hat {\mu }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}}}$ din $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este proba mediana ^[1] și că ${\hat {b}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {b}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {b}}}$ din $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și

{\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-{\hat {\mu }}|

{\ Displaystyle {\ hat {b}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | X_ {i} - {\ hat {\ mu}} |}

{\ Displaystyle {\ hat {b}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} | X_ {i} - {\ hat {\ mu}} |}

(Dezvăluind astfel o legătură între distribuția Laplace și abaterile minime absolute.

momente

\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}={\frac {m^{n+1}}{2b}}\left(e^{m/b}E_{-n}(m/b)-e^{-m/b}E_{-n}(-m/b)\right)

{\ Displaystyle \ mu _ {r} „= {\ bigg (} {\ frac {1} {2}} {\ bigg)} \ sum _ {k = 0} ^ {r} {\ bigg [} {\ frac {r!} {(rk)!}} b ^ {k} \ mu ^ {(rk)} \ {1 + (- 1) ^ {k} \} {\ bigg]} = {\ frac {m ^ {n + 1}} {2b}} \ stânga (e ^ {m / b} e _ {- n} (m / b) -e ^ {- m / b} e _ {- n} (- m / b) \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ mu _ {r} „= {\ bigg (} {\ frac {1} {2}} {\ bigg)} \ sum _ {k = 0} ^ {r} {\ bigg [} {\ frac {r!} {(rk)!}} b ^ {k} \ mu ^ {(rk)} \ {1 + (- 1) ^ {k} \} {\ bigg]} = {\ frac {m ^ {n + 1}} {2b}} \ stânga (e ^ {m / b} e _ {- n} (m / b) -e ^ {- m / b} e _ {- n} (- m / b) \ dreapta)}

unde este $E_{n}()$ ${\ Displaystyle E_ {n} ()}$ ${\ Displaystyle E_ {n} ()}$ este generalizată funcția integrală exponențială $E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)$ ${\ Displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}$ ${\ Displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}$ .

distribuții similare

De sine $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ asa de $kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,kb)$ ${\ Displaystyle kx + c \ sim {\ textrm {Laplace}} (k \ mu + c, kb)}$ ${\ Displaystyle kx + c \ sim {\ textrm {Laplace}} (k \ mu + c, kb)}$
De sine $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ asa de $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, b)}$ ( Distribuție exponențială )
De sine $X,Y\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ asa de $X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$ ${\ Displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} \ stânga (0, \ lambda ^ {- 1} \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle X-Y \ sim {\ textrm {Laplace}} \ stânga (0, \ lambda ^ {- 1} \ dreapta)}$
De sine $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ asa de $\left|X-\mu \right|\sim {\textrm {exp}}(b^{-1})$ ${\ Displaystyle \ left | X- \ mu \ dreapta | \ sim {\ textrm {exp}} (b ^ {- 1})}$ ${\ Displaystyle \ left | X- \ mu \ dreapta | \ sim {\ textrm {exp}} (b ^ {- 1})}$
De sine $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ asa de $X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,0)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {EPD}} (\ mu, b, 0)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {EPD}} (\ mu, b, 0)}$ (Distribuție de putere exponențială)
De sine $X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)$ ${\ Displaystyle X_ {1}, ..., X_ {4} \ sim {\ textrm {N}} (0,1)}$ ${\ Displaystyle X_ {1}, ..., X_ {4} \ sim {\ textrm {N}} (0,1)}$ ( Distribuție normală ) , atunci $X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ ${\ X_ displaystyle {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ X_ displaystyle {1} X_ {2} -X_ {3} X_ {4} \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
De sine $X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ X_ displaystyle {i} \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ X_ displaystyle {i} \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ asa de ${\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ displaystyle 2} {b}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - \ mu | \ sim \ chi ^ {2} (2n)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ displaystyle 2} {b}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | X_ {i} - \ mu | \ sim \ chi ^ {2} (2n)}$ ( Distribuție chi pătrat )
De sine $X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ asa de ${\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {| X$ - $\ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {| X-\ mu |} {| Y- \ mu |}} \ sim \ operatorname {F} (2,2)}$ ( Distribuție F )
De sine $X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {U}} (0,1)}$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {U}} (0,1)}$ ( Distribuție uniformă ) , atunci $\log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ ${\ Displaystyle \ log (X / Y) \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ Displaystyle \ log (X / Y) \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
De sine $X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ și $Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {Bernoulli}} (0,5)}$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {Bernoulli}} (0,5)}$ ( Distribuție Bernoulli ) independent de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ asa de $X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$ ${\ Displaystyle X (2Y-1) \ sim {\ textrm {Laplace}} \ stânga (0, \ lambda ^ {- 1} \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle X (2Y-1) \ sim {\ textrm {Laplace}} \ stânga (0, \ lambda ^ {- 1} \ dreapta)}$
De sine $X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ și $Y\sim {\textrm {exp}}(\nu )$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ nu)}$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ nu)}$ independent de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ asa de $\lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ ${\ Displaystyle \ lambda X \ Nu Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$ ${\ Displaystyle \ lambda X \ Nu Y \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1)}$
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are o distribuție de Rademacher și $Y\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ asa de $XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$ ${\ Displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ ${\ Displaystyle XY \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$
De sine $V\sim {\textrm {exp}}(1)$ ${\ Displaystyle V \ sim {\ textrm {exp}} (1)}$ ${\ Displaystyle V \ sim {\ textrm {exp}} (1)}$ Și $Z\sim N(0,1)$ ${\ Displaystyle Z \ sim N (0,1)}$ ${\ Displaystyle Z \ sim N (0,1)}$ sunt independente de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ asa de $X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X = \ mu + b {\ sqrt {2V}} Z \ sim \ mathrm {Laplace} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X = \ mu + b {\ sqrt {2V}} Z \ sim \ mathrm {Laplace} (\ mu, b)}$
De sine $X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {GeometricStable}} (2,0, \ lambda, 0)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {GeometricStable}} (2,0, \ lambda, 0)}$ ( Distribuție geometrică stabilă ) , atunci $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, \ lambda)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (0, \ lambda)}$
Distribuția Laplace este un caz de limitare a distribuției hiperbolice
De sine $X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,\sigma =Y)$ ${\ Displaystyle X | Y \ sim {\ textrm {N}} (\ mu \ sigma = Y)}$ ${\ Displaystyle X | Y \ sim {\ textrm {N}} (\ mu \ sigma = Y)}$ cu $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {Rayleigh}} (b)}$ ${\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {Rayleigh}} (b)}$ ( Distribuție Rayleigh ) atunci $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$ ${\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Laplace}} (\ mu, b)}$

Relația cu distribuția exponențială

O variabilă aleatoare Laplace poate fi reprezentat ca diferența dintre două variabile exponențială cu o distribuție identică ^[2] . O modalitate de a demonstra acest lucru este prin utilizarea funcției caracteristice . Pentru orice set de variabile aleatoare continue și independente, pentru orice combinație liniară a acestor variabile, funcția sa caracteristică (care determină în mod unic de distribuție) poate fi obținută prin multiplicarea funcțiilor caracteristice.

Având în vedere două variabile aleatoare IID $X,Y\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle X, Y \ sim {\ textrm {exp}} (\ lambda)}$ . Caracteristice pentru funcții $X,-Y$ ${\ Displaystyle X, -Y}$ ${\ Displaystyle X, -Y}$ sunt respectiv

{\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ lambda} {- l + \ lambda}} \ quad {\ frac {\ lambda} {l + \ lambda}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ lambda} {- l + \ lambda}} \ quad {\ frac {\ lambda} {l + \ lambda}}}

Inmultind aceste funcții caracteristice (echivalentă cu funcția caracteristică a sumei variabilelor aleatoare $X+(-Y)$ ${\ Displaystyle X + (- Y)}$ ${\ Displaystyle X + (- Y)}$ ) rezultatul este

{\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.

{\ Displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {(- l + \ lambda) (l + \ lambda)}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {t ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {(- l + \ lambda) (l + \ lambda)}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {t ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}

care este echivalentă cu funcția caracteristică a $Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$ ${\ Displaystyle Z \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ ${\ Displaystyle Z \ sim {\ textrm {Laplace}} (0,1 / \ lambda)}$ , care este

{\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.

{\ Displaystyle {\ frac {1} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}}}}.}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {1 + {\ frac {t ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}}}}.}

Distribuții Sargan lui

distribuții Sargan sunt un sistem de distribuție în care distribuția Laplace este un membru esențial. O distribuție a Sargan $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Pentru th are o densitate ^[3] ^[4]

f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},

{\ Displaystyle f_ {p} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ exp (- \ alpha | x |) {\ frac {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p } \ beta _ {j} \ alpha ^ {j} | x |! ^ {j}} {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p} j \ beta _ {j}}}}

{\ Displaystyle f_ {p} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ exp (- \ alpha | x |) {\ frac {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p } \ beta _ {j} \ alpha ^ {j} | x |! ^ {j}} {\ displaystyle 1+ \ sum _ {j = 1} ^ {p} j \ beta _ {j}}}}

pentru parametrii $\alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0$ ${\ Displaystyle \ alpha \ geq 0, \ beta _ {j} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ geq 0, \ beta _ {j} \ geq 0}$ . Distribuția Lapalce are o valoare $p=0$ ${\ Displaystyle p = 0}$ ${\ Displaystyle p = 0}$

Istorie

Această distribuție este adesea menționată ca prima lege a lui Laplace de erori. El a publicat în 1774, când a observat că frecvența unei erori poate fi exprimată ca o funcție exponențială de amploarea ei o dată semnul său a fost trecut cu vederea ^[5] ^[6] .

John Maynard Keynes a publicat în 1911 un articol bazat pe tezele sale anterioare , în cazul în care el a arătat că distribuția Laplace minimizat abaterea absolută din mediana ^[7] .

Aplicații

Distribuția Laplace a fost utilizat în recunoașterea cuvintelor pentru a modela prioritățile coeficientii transformata Fourier discretă ^[8] și în compresia JPEG imagini pentru a modela coeficienții AC ^[9] generate într - o transformare discretă de cosinus.
Adăugarea de zgomot de la o distribuție Laplace, cu un parametru de scală adecvată pentru tipul de date, pentru a genera rezultatul unei interogări de baze de date statistice este una dintre metodele cele mai comune pentru generarea de confidențialitate diferențiale în bazele de date statistice..
În analizele de regresie, metoda abaterilor minime absolute dă naștere la estimarea probabilității maxime în cazul în care se presupune o distribuție Laplace pentru erori.
LASSO Metoda poate fi gândită ca o regresie Bayesian cu a priori Laplace distribuție centrată pe 0 pentru toți parametrii cu excepția interceptului.

Notă

^ Robert M. Norton , Double exponentiala Distribuție: Utilizarea Calculul pentru a găsi o probabilitate mai mare estimator de , în The American Statisticianul , voi. 38, nr. 2, Asociația Americană de Statistică, mai 1984, pag. 135-136, DOI : 10.2307 / 2683252 , JSTOR 2683252 .
^ Samuel Kotz, Tomasz J. Kozubowski și Krzysztof Podgórski, Distribuția Laplace și generalizări: o revizita cu aplicații de comunicații, economie, inginerie și finanțe , Birkhauser, 2001, pp. 23 (Propozitia 2.2.2, 2.2.8 Ecuația), ISBN 978-0-8176-4166-5 .
^ Everitt, BS (2002) Dicționarul Cambridge de Statistică, CUP. ISBN 0-521-81099-X
^ Johnson, NL, Kotz S., Balakrishnan, N. (1994) Continuous univariată Distributions, Wiley. ISBN 0-471-58495-9 . p. 60
^ Laplace, PS. (1774). Memoire sur la probabilité des cauze par les Evenements. Mémoires de l'Academie Royale des Sciences presentes par Divers Savan, 6, 621-656
^ Wilson EB (1923) Prima și a doua legi de eroare. Jasa 18, 143
^ Keynes JM (1911) Principalele valori medii și legile de eroare care duc la ele. J Roy Stat Soc, 74, 322-331
^ T. Eltoft, Taesu Kim și Te-Won Lee, pe distribuția Laplace multivariată (PDF), în IEEE Signal Processing Letters, voi. 13, n. 5, 2006, pp. 300-303, DOI : 10.1109 / LSP.2006.870353 (arhivate de original pe 06 iunie 2013).
^ J. Minguillon și J. Pujol, standard de modelare eroare JPEG uniform cuantizare cu aplicații la moduri de operare secvențiale și progresive , în Journal of Electronic Imaging, voi. 10, nr. 2, 2001, pp. 475-485, DOI : 10.1117 / 1.1344592 .

Portal de statistici : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de statistici

[1] Robert M. Norton , Double exponentiala Distribuție: Utilizarea Calculul pentru a găsi o probabilitate mai mare estimator de , în The American Statisticianul , voi. 38, nr. 2, Asociația Americană de Statistică, mai 1984, pag. 135-136, DOI : 10.2307 / 2683252 , JSTOR 2683252 .

[2] Samuel Kotz, Tomasz J. Kozubowski și Krzysztof Podgórski, Distribuția Laplace și generalizări: o revizita cu aplicații de comunicații, economie, inginerie și finanțe , Birkhauser, 2001, pp. 23 (Propozitia 2.2.2, 2.2.8 Ecuația), ISBN 978-0-8176-4166-5 .

[3] Everitt, BS (2002) Dicționarul Cambridge de Statistică, CUP. ISBN 0-521-81099-X

[4] Johnson, NL, Kotz S., Balakrishnan, N. (1994) Continuous univariată Distributions, Wiley. ISBN 0-471-58495-9 . p. 60

[Laplace1774-5] Laplace, PS. (1774). Memoire sur la probabilité des cauze par les Evenements. Mémoires de l'Academie Royale des Sciences presentes par Divers Savan, 6, 621-656

[Wilson1923-6] Wilson EB (1923) Prima și a doua legi de eroare. Jasa 18, 143

[Keynes1911-7] Keynes JM (1911) Principalele valori medii și legile de eroare care duc la ele. J Roy Stat Soc, 74, 322-331

[8] T. Eltoft, Taesu Kim și Te-Won Lee, pe distribuția Laplace multivariată (PDF), în IEEE Signal Processing Letters, voi. 13, n. 5, 2006, pp. 300-303, DOI : 10.1109 / LSP.2006.870353 (arhivate de original pe 06 iunie 2013).

[9] J. Minguillon și J. Pujol, standard de modelare eroare JPEG uniform cuantizare cu aplicații la moduri de operare secvențiale și progresive , în Journal of Electronic Imaging, voi. 10, nr. 2, 2001, pp. 475-485, DOI : 10.1117 / 1.1344592 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]