Grilă de cercuri suprapuse

Exemplu de figuri cu cercuri suprapuse

grilă pătrată a cercurilor contigue
1+
4
9
grilă pătrată a cercurilor centrate
5
13
grilă de cercuri triunghiulare
1+
3
4
7
19

O grilă de cercuri suprapuse este un model geometric repetitiv de cercuri suprapuse cu rază egală în spațiul bidimensional . În mod obișnuit, desenele se bazează pe cercuri centrate pe triunghiuri (cu forma simplă în două cercuri numită vesica piscis ) sau cu un model reticular pătrat.

Figurile alcătuite din șapte cercuri suprapuse apar în artefacte istorice începând cu secolul al VII-lea î.Hr. ele devin un ornament folosit frecvent în perioada Imperiului Roman și supraviețuiesc tradițiilor artistice medievale atât în arta islamică (decorațiuni girih ), cât și în arta gotică .

Deosebit de interesantă este floarea cu șase petale , derivată din modelul „șapte cercuri suprapuse”, cunoscut și sub numele de „Soarele Alpilor” datorită utilizării sale frecvente în arta populară alpină din secolele XVII și XVIII.

Grilă triunghiulară a cercurilor suprapuse

Acest model geometric, care poate fi extins la infinit, este prezentat aici cu inele hexagonale de 1, 7, 19, 37, 61 și 91 cercuri

Forma reticulară triunghiulară, cu raze circulare egale cu separarea lor, se numește o rețea de șapte cercuri suprapuse ^[1] . Conține șase cercuri care se intersectează la un punct, cu un al șaptelea cerc centrat pe acea intersecție.

Cercurile suprapuse cu construcții geometrice similare au fost folosite în diferite arte decorative din cele mai vechi timpuri. Modelul a găsit o gamă largă de utilizări în cultura populară, modă , bijuterii , tatuaje și produse decorative.

Semnificație culturală

Estul apropiat

Cel mai vechi artefact cunoscut al cercurilor suprapuse datează din secolele VII sau VI î.Hr., găsit în pragul palatului regelui asirian Aššur-bāni-apli din Dur Šarrukin (acum în Luvru ) ^[2] .

Acest motiv geometric devine mai răspândit în primele secole ale erei comune. Un prim exemplu sunt cinci reprezentări ale a 19 cercuri suprapuse desenate pe coloanele de granit din Templul lui Osiris din Abydos , Egipt ^[3] și alte cinci pe o coloană din fața clădirii. Acestea sunt desenate cu ocru roșu, iar unele sunt foarte deteriorate și dificil de distins ^[4] . Motivele sunt graffiti și nu se găsesc în ornamentele tipic egiptene. Acestea sunt în mare parte datate în primele secole ale erei creștine ^[5], deși originea medievală sau chiar modernă (începutul secolului al XX-lea) nu poate fi exclusă cu certitudine, deoarece desenele nu sunt menționate în listele de graffiti ale lui Margaret Murray din 1904 ^{[6]. ]} .

Motive similare au fost uneori folosite în Anglia ca semne apotropaice pentru a împiedica vrăjitoarele să intre în clădiri ^[7] .

În arta islamică , este una dintre mai multe compoziții de cercuri folosite pentru a construi grile pentru motive geometrice islamice , precum și stele cu 6 și 12 puncte și motive hexagonale în stilul numit girih . Modelele rezultate au, totuși, caracteristica de a ascunde grila de construcție, dând astfel formă motivului clasic islamic întrețesut ^[8] .

Europa

Modelele a șapte cercuri suprapuse se găsesc în Cipru pe o cupă arhaică din secolele VIII-VII î.Hr. și în mozaicurile romane, cum ar fi cea din palatul lui Irod datând din secolul I î.Hr.

Același motiv se regăsește și pe una dintre plăcile de argint ale tezaurului roman Kaiseraugst târziu (descoperit în 1961) ^[9] . Mai târziu este prezent ca ornament în arhitectura gotică și chiar mai târziu în arta populară europeană din perioada modernă timpurie.

Exemplele medievale timpurii includ etajele Cosmati din Abația Westminster (secolul al XIII-lea) ^[10] . Leonardo da Vinci a discutat explicit proporțiile matematice ale proiectului ^[11] .

Simbolul „Sole delle Alpi” a fost folosit ca o emblemă a naționalismului padan în nordul Italiei încă din 1990 ^[12] și este prezent ca motiv arhitectural în multe clădiri din acel teritoriu ^[13] .

Leonardo da Vinci

Figurile geometrice derivate din grilele de cercuri suprapuse sunt prezente în desenele lui Leonardo da Vinci ^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]} .

• 

  Desen de Leonardo da Vinci ( Codex Atlanticus , fol.307v)

• 

  Desen de Leonardo da Vinci ( Codex Atlanticus , fol.459r)

Galerie de imagini

Varianta hexagonală cu 1, 7 și 19 cercuri

În exemplele următoare, modelul are un contur hexagonal și este în continuare circumscris.

• 

  1 cerc cu arcade

• 

  7 cercuri: podeaua mozaicului unei băi din palatul lui Irod , secolul I î.Hr.

• 

  Simbol cu ​​19 cercuri cu arce și delimitat de un cerc mai mare

• 

  19 cercuri: două simboluri desenate cu ocru roșu în Templul lui Osiris din Abydos, Egipt

• 

  19 cercuri: o fereastră în absida sudică a bisericii mănăstirii Preveli (Moni Preveli), Creta.

• 

  19 cercuri: în Efes , Turcia

Motive similare

În exemplele următoare, modelul nu are un contur hexagonal.

• 

  Cupa cu scene mitologice. Cipro-Arhaic I (secolele VIII-VII î.Hr.). Din Idalion, Cipru .

• 

  Sferă ținută de laba unui leu la poarta Supremei Armonii , Orașul Interzis , Beijing , China, cu modelul geometric clar vizibil pe suprafața sferei.

• 

  Decor de podea din palatul regelui Ashurbanipal , în Irak, vizibil în Muzeul Luvru, datat 645 î.Hr.

• 

  Emblema „Sole delle Alpi” folosită de Liga Nordică

Floarea vieții

În Floarea Vieții (stânga) cele treisprezece cercuri care alcătuiesc Fructul Vieții (dreapta)

Numele Floare de viață cu care se numesc unele dintre aceste figuri este modern, răspândit de publicațiile mișcării New Age și atribuit în mod obișnuit lui Drunvalo Melchizedek, care a început să-l folosească în seminariile care anticipau publicarea cărții sale Secretul antic al Floarea vieții (1999). ^{[21] [22] [23]}

Sămânța Vieții (o componentă a Florii Vieții )

În această reprezentare New Age, simbolul oului vieții (în care se află semința vieții ) este compus din cele șapte cercuri centrale ale Florii vieții ^[24] , în timp ce simbolul rodului vieții este compus din treisprezece cercuri preluate din aceeași schemă ^[25] . Se spune că Fructul Vieții este modelul universului și că conține baza pentru structura fiecărui atom, moleculă, formă de viață și orice alt lucru existent: dacă centrul fiecărui cerc al său este considerat un „ nod ”, iar fiecare nod este conectat cu un alt nod cu o singură linie, în total sunt create 78 de linii care formează așa-numitul cub Metatron .

Motivul și denumirea sa modernă Flower of Life s-au răspândit într-o gamă largă de utilizări în cultura populară, modă, bijuterii, tatuaje și produse decorative. În matlasare a fost numit diamant de mireasă sau verighetă triunghiulară pentru a-l deosebi de rețeaua pătrată a cercurilor suprapuse. În plus față de utilizarea ocazională în modă ^[26] , este folosit și în artele decorative. De exemplu, albumul Sempiternal (2013) Bring Me the Horizon folosește grila a 61 de cercuri suprapuse ca caracteristică principală a copertei sale ^[27] , în timp ce albumul lui Coldplay A Head Full of Dreams (2015) prezintă grila a 19 cercuri suprapuse ca partea centrală a copertei albumului său. Afișele mari care ilustrează coperta A Head Full of Dreams au fost expuse la metroul din Londra în ultima săptămână a lunii octombrie 2015 ^[28] .

19 cercuri cu arcade
Pandantiv, argint, ⌀ 27 mm
(produs comercial, 2013)

Constructie

Martha Bartfeld, autoarea tutorialelor de artă geometrică, scria în 1968: „Acest design constă din cercuri cu o rază de 1 [inch], fiecare punct de intersecție servind ca un nou centru. Designul poate fi extins la infinit în funcție de numărul de ori sunt luate în considerare punctele impare ".

Figura motivului poate fi desenată cu un stilou și busolă , creând mai multe serii de cercuri de același diametru care ating fiecare centrul cercului anterior. Al doilea cerc este centrat oriunde pe primul cerc. Toate cercurile următoare sunt centrate pe intersecția altor două cercuri.

Progresii

Modelul poate fi extins spre exterior în inele concentrice hexagonale de cercuri, așa cum se arată. Primul rând arată inele de cercuri. Al doilea rând arată o interpretare tridimensională a unui set de n × n × n cuburi de sfere privite de pe o axă diagonală. Al treilea rând arată modelul completat cu arcuri de cerc parțiale într-o serie de cercuri.

Motivele au un număr de cercuri egal cu 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127 etc. și inele hexagonale din ce în ce mai mari. Numărul de cercuri este n ³ - ( n -1) ³ = 3 n ² -3 n +1 = 3 n ( n -1) +1.

Aceste cercuri suprapuse pot fi, de asemenea, văzute ca o proiecție a unui cub n- unitar de sfere în spațiul tridimensional, văzut pe axa diagonală. Există mai multe sfere decât căutați, deoarece unele se suprapun în 2 dimensiuni.

Figurile rozete cu cercuri

1 cerc	7 cercuri (8-1)	19 cercuri (27-8)	37 cercuri (64-27)	61 de cercuri (125-64)	91 de cercuri (216-125)	127 cercuri (343-216)
1 sferă (1 × 1 × 1)	8 bile (2 × 2 × 2)	27 de bile (3 × 3 × 3)	64 de mingi (4 × 4 × 4)	125 de bile (5 × 5 × 5)	216 sfere (6 × 6 × 6)	343 sfere (7 × 7 × 7)
+12 arcuri	+24 arcuri	+36 arcade	+48 arcade	+60 arcade	+72 arcuri	+84 arcuri

Alte variante

O altă formă de rețea triunghiulară este comună, cu separarea cercului ca rădăcină pătrată de 3 ori raza lor. Richard Kershner a arătat în 1939 că nici un aranjament de cercuri nu poate acoperi planul mai eficient decât acest aranjament reticular hexagonal ^[29] .

Două copii offset ale acestui model circular formează un model romboid cu plăci , în timp ce trei copii formează modelul triunghiular original.

• 

  19 cercuri

• 

  Două copii suprapuse ale modelului de 19 cercuri creează un model de plăci romboidale , ca acesta roșu și albastru.

• 

  Trei copii suprapuse ale modelului cu 19 cercuri creează modelul cu 7 cercuri, precum cel roșu, verde și albastru.

• 

  Exemplu pe o vază vitrată din gresie porțelanată Ayyubid Raqqa . Siria, secolele XII / XIII

• 

  Pardoseli alb-negru cu mozaic în Vila lui Hadrian , Tivoli, secolul al II-lea d.Hr.

Concepte conexe

Lentila centrală a figurii cu două cercuri este Vesica piscis a lui Euclid . Cele două cercuri se mai numesc cercuri Villarceau ca o intersecție plană a unui tor. Zonele din interiorul unui cerc și din afara celuilalt cerc sunt numite luni .

Figura cu 3 cercuri seamănă cu o reprezentare a inelelor Borromee și este utilizată în diagramele Venn pentru a indica intersecțiile . Interiorul său creează o curbă algebrică numită triquetra . Centrul figurii cu 3 cercuri se numește triunghi Reuleaux .

Unele poliedre sferice cu margini de-a lungul cercurilor mari pot fi proiectate stereografic pe plan ca cercuri suprapuse.

Modelul cu 7 cercuri a fost numit și motivul islamic cu 7 cercuri pentru utilizarea sa în arta islamică .

Forma rețelei pătrate poate fi văzută cu cercuri care se aliniază orizontal și vertical, pe măsură ce se intersectează pe diagonalele lor. Modelul arată ușor diferit atunci când este rotit pe diagonală și se numește rețea pătrată centrată, deoarece poate fi văzut ca două rețele pătrate centrate fiecare pe spațiile celuilalt.

Se numește Kawung motiv în indoneziană batic și se găsește pe pereții din secolul al 8 - lea hindus Prambanan templu în Java .

Se numește Apsamikkum în matematica antică mesopotamiană ^[30] .

• 

  Grila pătrată

• 

  Cincea grilă de cercuri suprapuse ^[31]

• 

  Kawung sau „boabe de cafea” într-un sarong Batik (detaliu), Java, Indonezia

Notă

Elemente conexe

• Teoria nodurilor