Limaçon

Grafica limaçon

In geometrie , The limaçon ( de asemenea , numit limaçon Pascal, slime Pascal sau melc Pascal), este o algebric plat curba , ca o formă de inimă; în versiunea sa cea mai caracteristică, curba are un inel care îi conferă o formă similară cu cea a cochiliei unui melc , de unde și numele (din limaçon francez și din latin limax , adică melc ).

A fost studiat inițial de Albrecht Dürer în lucrarea sa din 1525 Underweysung der Messung ( Instrucțiuni de măsurare ), unde sunt descrise metode geometrice specifice pentru obținerea acestor curbe. Ulterior a fost redescoperit de Étienne Pascal (tatăl lui Blaise Pascal ).

Ecuația curbei

Ecuația limaçonului în coordonate polare $(\rho ,\theta )$ ${\ displaystyle (\ rho, \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ rho, \ theta)}$ Și:

\rho =a+b\cos \theta

{\ displaystyle \ rho = a + b \ cos \ theta}

{\ displaystyle \ rho = a + b \ cos \ theta}

,

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt doi parametri reali pozitivi. De asemenea, poate fi utilizată ecuația $\rho =a+b\sin \theta$ ${\ displaystyle \ rho = a + b \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ rho = a + b \ sin \ theta}$ , care produce aceeași curbă rotită de un unghi drept . În coordonatele carteziene ecuația curbei este:

(x^{2}+y^{2}-bx)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -bx) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})}

(x ^ {2} + y ^ {2} -bx) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})

,

în timp ce în coordonate parametrice devine:

\left\{{\begin{matrix}x&=&{b \over 2}+a\cos \theta +{b \over 2}\cos 2\theta \\y&=&a\sin \theta +{b \over 2}\sin 2\theta \end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {b \ over 2} + a \ cos \ theta + {b \ over 2} \ cos 2 \ theta \\ y & = & a \ sin \ theta + {b \ over 2} \ sin 2 \ theta \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & {b \ over 2} + a \ cos \ theta + {b \ over 2} \ cos 2 \ theta \\ y & = & a \ sin \ theta + {b \ over 2} \ sin 2 \ theta \ end {matrix}} \ right.}

.

Proprietate

Construirea unui limaçon

Limaçonul este un caz particular al epitrohoidului , curba generată de un punct fix al unui cerc care se rotește fără să se târască în afara unui alt cerc cu rază egală. Prin variația poziției punctului fix, se obțin diferite configurații ale curbei.

La nivel complex , limaçonul este locul punctelor $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ $z = x + iy$ care satisfac ecuația

z={b \over 2}+ae^{i\theta }+{b \over 2}e^{2i\theta }

{\ displaystyle z = {b \ over 2} + ae ^ {i \ theta} + {b \ over 2} e ^ {2i \ theta}}

{\ displaystyle z = {b \ over 2} + ae ^ {i \ theta} + {b \ over 2} e ^ {2i \ theta}}

.

Prin efectuarea unei traduceri orizontale a ${\frac {b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {2}}}$ , obținem o ecuație care evidențiază proprietățile trohoidice ale curbei:

z=ae^{it}+{b \over 2}e^{2it}

{\ displaystyle z = ae ^ {it} + {b \ over 2} e ^ {2it}}

{\ displaystyle z = ae ^ {it} + {b \ over 2} e ^ {2it}}

.

Tipuri de limaçon

Caracteristicile curbei depind de valorile celor doi parametri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ; pot apărea următoarele cazuri:

$a\geq 2b$ ${\ displaystyle a \ geq 2b}$ ${\ displaystyle a \ geq 2b}$ : limaçonul este convex ; în cazul extrem $a=2b$ ${\ displaystyle a = 2b}$ ${\ displaystyle a = 2b}$ , ideea $(-a,0)$ ${\ displaystyle (-a, 0)}$ ${\ displaystyle (-a, 0)}$ are curbură zero;
$b\leq a<2b$ ${\ displaystyle b \ leq a <2b}$ ${\ displaystyle b \ leq a <2b}$ : limaçonul este concav; treptat $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este redus comparativ cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , concavitatea devine mai pronunțată, până când devine o cuspidă pentru $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ : curba devine cardioidă ;
$0\leq a<b$ ${\ displaystyle 0 \ leq a <b}$ ${\ displaystyle 0 \ leq a <b}$ : limaçonul are un inel, care se împletește în origine; cu scăderea de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ inelul interior tinde să-l umple pe cel exterior, până când, pentru $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle a = 0}$ , limaçonul devine un cerc traversat de două ori.

Cele trei tipuri de limaçon: nețesute, cu cuspide și împletite.

Zona închisă

Suprafața închisă de curbă are o suprafață de

(a^{2}+{{b^{2}} \over 2})\pi

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) \ pi}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) \ pi}

dacă curba nu este împletită ( $a\geq b$ ${\ displaystyle a \ geq b}$ ${\ displaystyle a \ geq b}$ ); dacă curba este împletită, zona închisă de inelul exterior se menține

(a^{2}+{{b^{2}} \over 2})(\pi -\arccos {a \over b})+{3 \over 2}a{\sqrt {{b^{2}}-{a^{2}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) (\ pi - \ arccos {a \ over b}) + {3 \ over 2} a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) (\ pi - \ arccos {a \ over b}) + {3 \ over 2} a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

;

cel închis în inelul interior este valabil

(a^{2}+{{b^{2}} \over 2})\arccos {a \over b}-{3 \over 2}a{\sqrt {{b^{2}}-{a^{2}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) \ arccos {a \ over b} - {3 \ over 2} a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) \ arccos {a \ over b} - {3 \ over 2} a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

;

zona închisă între cele două inele este deci:

(a^{2}+{{b^{2}} \over 2})(\pi -2\arccos {a \over b})+3a{\sqrt {{b^{2}}-{a^{2}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) (\ pi -2 \ arccos {a \ over b}) + 3a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + {{b ^ {2}} \ over 2}) (\ pi -2 \ arccos {a \ over b}) + 3a {\ sqrt {{b ^ {2}} - {a ^ {2}}}}}

.

Relațiile cu alte curbe

Limaçonul ca podaria circumferinței

Limaconul poate fi obținut prin diferite construcții pornind de la alte curbe:

podaria unei circumferințe este un limaçon;
concoida unei circumferințe față de un punct al circumferinței în sine este un limaçon;
dată o circumferință $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ nu coincident cu centrul din $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , plicul tuturor cercurilor centrat pe $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și trecători pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un limaçon.

Pornind de la limaçon, alte curbe pot fi generate prin procedura de inversare circulară : inversul limaçonului față de circumferința unității este curba ecuației polare:

r={1 \over {a+b\cos \theta }}

{\ displaystyle r = {1 \ over {a + b \ cos \ theta}}}

{\ displaystyle r = {1 \ over {a + b \ cos \ theta}}}

.

Această ecuație este cea a unei secțiuni conice a excentricității ${\frac {b}{a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}$ și foc în origine; dacă limaçonul nu este împletit, se obține o elipsă , dacă este împletită o hiperbolă ; ca caz limitativ, inversul cardioidului este o parabolă .

Bibliografie

( RO ) Eric W. Weisstein, Limaçon , pe MathWorld - A Wolfram Web Resource . Adus la 18 iulie 2008 .
( RO ) Jan Wassenaar, Limaçon , pe 2dcurves.com . Adus la 18 iulie 2008 .
( EN ) Limaçon of Pascal , on The MacTutor History of Mathematics archive , School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Adus la 18 iulie 2008 .
( FR ) Robert Ferréol, Jacques Mandonnet, Limaçon de Pascal , pe Encyclopédie des formes Mathématiques Remarquables . Adus la 18 iulie 2008 .
( EN ) Xah Lee, Limaçon of Pascal , on Visual Dictionary of Special Plane Curves . Adus la 18 iulie 2008 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe limaçon

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică