Spațiul lenticular

În matematică , un spațiu lenticular este o varietate eliptică specială. Este un colector cu 3 colecții având o structură a colectorului Riemannian cu o curbură secțională de +1 peste tot. Un spațiu lenticular este indicat cu

L(p,q)

{\ displaystyle L (p, q)}

L (p, q)

și depinde de o pereche de coprimi întregi $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Spațiile lenticulare sunt deosebit de simple 3 manifolduri, al căror grup fundamental este un grup ciclic finit .

Definiție

Este $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ hipersfera din $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ . Identificarea $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ cu $\mathbb {C} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ , acest lucru poate fi definit ca

S^{3}={\big \{}(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\ {\big |}\ |z|^{2}+|w|^{2}=1{\big \}}.

{\ displaystyle S ^ {3} = {\ big \ {} (z, w) \ in \ mathbb {C} ^ {2} \ {\ big |} \ | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1 {\ big \}}.}

{\ displaystyle S ^ {3} = {\ big \ {} (z, w) \ in \ mathbb {C} ^ {2} \ {\ big |} \ | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1 {\ big \}}.}

Este $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ o pereche de coprimi întregi , cu $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ . Este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ rădăcina unității

\omega =e^{2\pi i/p}.\,\!

{\ displaystyle \ omega = e ^ {2 \ pi i / p}. \, \!}

{\ displaystyle \ omega = e ^ {2 \ pi i / p}. \, \!}

Elementul și el $\omega ^{q}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {q}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {q}}$ este o rădăcină primitivă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -thth din unitate. Luați în considerare aplicația liniară

f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}

{\ displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {2} \ to \ mathbb {C} ^ {2}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {2} \ to \ mathbb {C} ^ {2}}

f(z,w)=(\omega z,\omega ^{q}w).

{\ displaystyle f (z, w) = (\ omega z, \ omega ^ {q} w).}

{\ displaystyle f (z, w) = (\ omega z, \ omega ^ {q} w).}

Harta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un izomorfism liniar pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ . Atâta timp cât $|\omega |=|\omega ^{q}|=1$ ${\ displaystyle | \ omega | = | \ omega ^ {q} | = 1}$ ${\ displaystyle | \ omega | = | \ omega ^ {q} | = 1}$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ păstrați norma transportatorilor și apoi trimiteți $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ in sinea lui. Citiți mai departe $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ , este reprezentat de o matrice ortogonală $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ . Prin urmare, este o izometrie a $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ : în special, păstrează $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ și se micșorează la o izometrie de $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$

f:S^{3}\to S^{3}.

{\ displaystyle f: S ^ {3} \ to S ^ {3}.}

{\ displaystyle f: S ^ {3} \ to S ^ {3}.}

Izometria $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ generează un grup de izometrii

\{f,f^{2},\ldots ,f^{p}={\rm {id}}\}\,\!

{\ displaystyle \ {f, f ^ {2}, \ ldots, f ^ {p} = {\ rm {id}} \} \, \!}

{\ displaystyle \ {f, f ^ {2}, \ ldots, f ^ {p} = {\ rm {id}} \} \, \!}

izomorfă la grupul ciclic de ordine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Spațiul lenticular este spațiul coeficient în raport cu acest grup de izometrii.

Proprietate

Soi eliptic

Grupul de izometrii generate de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ acționează într-un mod liber și corect discontinuu . Coeficientul este deci o varietate topologică compactă și proiecția

p:S^{3}\to L(p,q)\,\!

{\ displaystyle p: S ^ {3} \ to L (p, q) \, \!}

{\ displaystyle p: S ^ {3} \ to L (p, q) \, \!}

este o acoperire . Acesta este învelișul universal , deoarece $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ este pur și simplu conectat .

Din moment ce $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o izometrie, coeficientul $L(p,q)$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ $L (p, q)$ moștenește o structură multiplă riemanniană . Ca $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ , aceasta are o curbură secțională peste tot egală cu +1 și, prin urmare, este un exemplu de varietate eliptică .

Grup fundamental

Grupul fundamental al $L(p,q)$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ $L (p, q)$ este izomorf pentru grupul ciclic $\mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}$ .

Dependența de parametri

Spațiile $L(p,q)$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ ${\ displaystyle L (p, q)}$ Și $L(p',q')$ ${\ displaystyle L (p ', q')}$ ${\ displaystyle L (p ', q')}$ :

au același grup fundamental dacă și numai dacă $p=p'$ ${\ displaystyle p = p '}$ ${\ displaystyle p = p '}$ ;
sunt izometrice dacă și numai dacă sunt homeomorfe , iar acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $p=p'$ ${\ displaystyle p = p '}$ ${\ displaystyle p = p '}$ Și
$q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}};$ ${\ displaystyle q_ {1} \ equiv \ pm q_ {2} ^ {\ pm 1} {\ pmod {p}};}$ ${\ displaystyle q_ {1} \ equiv \ pm q_ {2} ^ {\ pm 1} {\ pmod {p}};}$
sunt echivalente homotopic dacă și numai dacă $p=p'$ ${\ displaystyle p = p '}$ ${\ displaystyle p = p '}$ Și
$q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}.$ ${\ displaystyle q_ {1} q_ {2} \ equiv \ pm n ^ {2} {\ pmod {p}}.}$ ${\ displaystyle q_ {1} q_ {2} \ equiv \ pm n ^ {2} {\ pmod {p}}.}$

După cum este scris, se presupune de obicei $p>q>0$ ${\ displaystyle p> q> 0}$ ${\ displaystyle p> q> 0}$ .

Printre spațiile lenticulare există, prin urmare, exemple de 3-manifolduri cu același grup fundamental, dar nu echivalent homotopic, de exemplu

L(5,1),\quad L(5,2)

{\ displaystyle L (5,1), \ quad L (5,2)}

{\ displaystyle L (5,1), \ quad L (5,2)}

și varietăți homotopice echivalente, dar nu homeomorfe, de exemplu

L(7,1),\quad L(7,2).

{\ displaystyle L (7,1), \ quad L (7,2).}

{\ displaystyle L (7,1), \ quad L (7,2).}

Pentru $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ se obține numai varietate $L(2,1)$ ${\ displaystyle L (2,1)}$ ${\ displaystyle L (2,1)}$ ; în acest caz funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este harta antipodală și deci coeficientul $L(2,1)$ ${\ displaystyle L (2,1)}$ ${\ displaystyle L (2,1)}$ este spațiul proiectiv real

L(2,1)=\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}.

{\ displaystyle L (2,1) = \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {3}.}

{\ displaystyle L (2,1) = \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {3}.}

Geometrizare

Un spațiu lenticular este întotdeauna un prim -grup 3 ireductibil .

Conform conjecturii de geometrizare a lui Thurston , dovedită de Grigori Perelman , o varietate compactă 3 având un grup fundamental ciclic finit este în mod necesar un spațiu lenticular.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică