Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer

În matematică , conjectura Birch și Swinnerton-Dyer se referă la un anumit tip de curbe, curbe eliptice în număr rațional . Această presupunere se bazează pe dacă ecuațiile au soluții raționale finite sau infinite. A zecea problemă a lui Hilbert a fost similară, dar s-a ocupat de ecuațiile diofantine , iar indecidabilitatea lor a fost dovedită.

Context

Printre problemele prezentate de Hilbert , a zecea a vizat ecuațiile diofantine, adică acele ecuații cu mai multe necunoscute ale căror soluții întregi sunt căutate. În 1970, Yuri Matiyasevich a dovedit că nu există o metodă generală pentru a le rezolva. Cu toate acestea, atunci când soluțiile sunt punctele unei varietăți abeliene , conjectura Birch și Swinnerton-Dyer afirmă că dimensiunea grupului de puncte raționale ale curbei este legată de comportamentul unei anumite funcții. $z(s)$ ${\ displaystyle z (s)}$ $z (s)$ , pentru valori de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ aproape de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Introducere matematică

În 1922 Louis Mordell a demonstrat teorema lui Mordell , care afirmă că grupul de puncte raționale pe o curbă eliptică este generat finit. Aceasta înseamnă că pentru orice curbă eliptică există un subset finit de puncte raționale pe curbă, din care pot fi obținute toate celelalte puncte raționale. Dacă numărul de puncte raționale pe curbă este infinit , atunci cel puțin un punct pe bază trebuie să aibă o ordine infinită.

Numărul de generatori ai grupului de puncte raționale se numește rangul curbei eliptice și este o proprietate importantă de invarianță a curbelor eliptice. Dacă rangul unei curbe eliptice este, atunci curba are doar un număr finit de puncte raționale. Pe de altă parte, dacă rangul curbei este mai mare decât, atunci curba are un număr infinit de puncte raționale. Deși teorema lui Mordell arată că rangul unei curbe eliptice este întotdeauna finit, nu oferă o metodă eficientă de calcul pentru fiecare curbă. Rangul unor curbe eliptice poate fi calculat folosind metode numerice, dar (în starea actuală de cunoaștere) acestea nu pot fi generalizate pentru a gestiona toate curbele.

La fiecare curbă eliptică $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ puteți asocia o funcție L funcție $L(E,s)$ ${\ displaystyle L (E, s)}$ $L (E, s)$ prin construirea unui produs Euler folosind numărul de puncte din curbă pe un câmp finit de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ mai întâi . Această funcție L este analogă funcției zeta Riemann și funcțiilor L Dirichlet și este un caz special al unei funcții Hasse - Weil L.

Definiția lui $L(E,s)$ ${\ displaystyle L (E, s)}$ $L (E, s)$ ca serie converge doar pentru valori de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în planul complex cu $\mathrm {Re} (s)>{\frac {3}{2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> {\ frac {3} {2}}}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> {\ frac {3} {2}}$ . Helmut Hasse a presupus asta $L(E,s)$ ${\ displaystyle L (E, s)}$ $L (E, s)$ ar putea fi extinsă prin extensie analitică pe tot planul complex. Această ipoteză a fost dovedită de Max Deuring pentru curbele eliptice cu multiplicare complexă . Ulterior s-a dovedit că acest lucru este valabil pentru toate curbele eliptice, ca o consecință a teoremei modularității .

Găsirea punctelor raționale pe o curbă eliptică generică este o problemă dificilă. Găsiți puncte pe o curbă eliptică formează un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în schimb, este simplă din punct de vedere conceptual, deoarece există doar un număr finit de posibilități de verificat. Cu toate acestea, pentru primele mari este obositor din punct de vedere al calculului.

Afirmarea conjecturii

Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer afirmă acest rang $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ a unei curbe eliptice $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este egal cu ordinul de anulare din $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ din $L(E,s)$ ${\ displaystyle L (E, s)}$ $L (E, s)$ .

Adică sunt valabile

L^{(r)}(E,1)\neq 0

{\ displaystyle L ^ {(r)} (E, 1) \ neq 0}

L ^ {{(r)}} (E, 1) \ neq 0

Și

L^{(k)}(E,1)=0\quad \forall k<r.

{\ displaystyle L ^ {(k)} (E, 1) = 0 \ quad \ forall k <r.}

L ^ {{(k)}} (E, 1) = 0 \ quad \ forall k <r.

Starea curenta

Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer a fost dovedită doar în câteva cazuri particulare:

În 1976 John Coates și Andrew Wiles au dovedit că dacă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este o curbă pe un câmp numeric $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu multiplicare complexă printr-un câmp pătratic imaginar $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu numărul clasei $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , de sine $F=K$ ${\ displaystyle F = K}$ ${\ displaystyle F = K}$ sau $F=\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle F = \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle F = \ mathbb {Q}}$ , si daca $L(E,1)\neq 0$ ${\ displaystyle L (E, 1) \ neq 0}$ ${\ displaystyle L (E, 1) \ neq 0}$ , asa de $E(F)$ ${\ displaystyle E (F)}$ ${\ displaystyle E (F)}$ este un grup finit . Acest rezultat a fost extins la cazul în care $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o extensie abeliană finită a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de Nicole Arthaud-Kuhman , care împărțea biroul cu Wiles, când erau amândoi studenți Coates la Stanford .
În 1983 Benedict Gross și Don Zagier au dovedit că dacă o curbă eliptică modulară are un zero de ordine $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ atunci are un punct rațional de ordine infinită; vezi teorema lui Gross-Zagier .
În 1990 Victor Kolyvagin a dovedit că o curbă eliptică modulară $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ pentru care $L(E,1)$ ${\ displaystyle L (E, 1)}$ ${\ displaystyle L (E, 1)}$ nu este egal cu zero are rang și o curbă eliptică modulară $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ astfel încât $L(E,1)$ ${\ displaystyle L (E, 1)}$ ${\ displaystyle L (E, 1)}$ are un zero de ordine $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ are rangul unu.
În 1991, Karl Rubin a arătat că pentru curbele eliptice definite pe un câmp pătratic imaginar $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu multiplicare complexă cu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , dacă seria L a curbei eliptice nu este zero în $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ , apoi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -partea grupului Tate-Shafarevich are ordinea prevăzută de conjectura Birch și Swinnerton-Dyer, pentru toți primii $p>7$ ${\ displaystyle p> 7}$ ${\ displaystyle p> 7}$ .
În 1999, Andrew Wiles, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond și Richard Lawrence Taylor au demonstrat că toate curbele eliptice definite pe câmpul numerelor raționale sunt modulare ( teorema Taniyama - Shimura ), care se extinde la rezultatele 2 și 3 pentru toate eliptice curbe pe raționale.

Premiul Clay Mathematics Institute

Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer este una dintre cele șapte probleme ale mileniului selectate de Clay Mathematics Institute, care oferă un premiu de 1 milion de dolari pentru prima dovadă a întregii conjecturi.

linkuri externe

( EN ) Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture pe site-ul Claymath.org , pe claymath.org . Adus la 30 aprilie 2019 (arhivat din original la 26 septembrie 2013) .
( RO ) Pagina principală a premiului Clay , pe claymath.org . Adus la 30 aprilie 2019 (Arhivat din original la 3 noiembrie 2013) .

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh94001868

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică