Distribuția Pascal

Distribuția Pascal sau binom negativ ${\mathcal {NB}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, n)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, n)$
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	$p\in [0,1]\$ ${\ displaystyle p \ in [0,1] \}$ $p \ in [0,1] \$ $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$ $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ sau $r\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ $r \ in {\ mathbb {R}}$
A sustine	$\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$
Funcția de densitate	${k+n \choose k-1}p^{k}\ =\ {-n \choose k}p^{n}(-q)^{k}$ ${\ displaystyle {k + n \ choose k-1} p ^ {k} \ = \ {-n \ choose k} p ^ {n} (- q) ^ {k}}$ ${\ displaystyle {k + n \ choose k-1} p ^ {k} \ = \ {-n \ choose k} p ^ {n} (- q) ^ {k}}$
Funcția de distribuție	$I_{p}(n,k+1)\$ ${\ displaystyle I_ {p} (n, k + 1) \}$ $I_ {p} (n, k + 1) \$ Funcția beta incompletă este regularizată
Valorea estimata	${\frac {n}{p}}-n$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {p}} - n}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {p}} - n}$
Varianța	$n{\frac {q}{p^{2}}}$ ${\ displaystyle n {\ frac {q} {p ^ {2}}}}$ $n {\ frac {q} {p ^ {2}}}$
Indicele de asimetrie	${\frac {1+q}{\sqrt {nq}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1 + q} {\ sqrt {nq}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1 + q} {\ sqrt {nq}}}}$
Curios	${\frac {6}{n}}+{\frac {p^{2}}{nq}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {n}} + {\ frac {p ^ {2}} {nq}}}$ ${\ frac {6} {n}} + {\ frac {p ^ {2}} {nq}}$
Funcție generatoare de momente	$\left({\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}\right)^{n}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}} \ right) ^ {n}}$
Funcția caracteristică	$\left({\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}\right)^{n}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {pe ^ {it}} {1-qe ^ {it}}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {pe ^ {it}} {1-qe ^ {it}}} \ right) ^ {n}}$
Manual

În teoria probabilității , distribuția Pascal este o distribuție discretă de probabilitate cu doi parametri, $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , care descrie numărul eșecurilor premergătoare celui de - al n - lea succes într-un proces Bernoulli al parametrului p .

Uneori, distribuția Pascal este considerată a fi distribuția care descrie numărul de încercări necesare pentru a obține n succese. Această distribuție este echivalentă cu cea anterioară, dar redefinită, adică descrie o variabilă aleatorie $T_{n}+n$ ${\ displaystyle T_ {n} + n}$ $T_ {n} + n$ Decat $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ .

De exemplu, dacă răsuciți o monedă până când obțineți 3 capete , distribuția lui Pascal descrie probabilitățile numărului de cozi văzute între timp.

Distribuția poartă numele matematicianului francez Blaise Pascal .

Această distribuție de probabilitate poate fi generalizată prin înlocuirea numărului natural n cu un număr real pozitiv r . În acest caz se mai numește distribuția binomială negativă (datorită formulei sale particulare) sau Polya (de la matematicianul maghiar George Polya ).

Definiție

Având în vedere un proces Bernoulli , aceasta este o serie de variabile aleatoare independente $X_{1},X_{2},...$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ...}$ $X_ {1}, X_ {2}, ...$ de distribuție egală Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ , distribuția Pascal ${\mathcal {NB}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, n)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, n)$ descrie variabila aleatorie $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ care numără numărul de eșecuri premergătoare numărului de succes $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (adică numărul de teste necesare pentru obținerea acestuia, minus n ):

T_{n}=\min\{t\colon X_{1}+...+X_{t+n}=n\}

{\ displaystyle T_ {n} = \ min \ {t \ colon X_ {1} + ... + X_ {t + n} = n \}}

T_ {n} = \ min \ {t \ colon X_ {1} + ... + X _ {{t + n}} = n \}

,

T_{n}+n=\min\{t\colon X_{1}+...+X_{t}=n\}

{\ displaystyle T_ {n} + n = \ min \ {t \ colon X_ {1} + ... + X_ {t} = n \}}

T_ {n} + n = \ min \ {t \ colon X_ {1} + ... + X_ {t} = n \}

.

Probabilitatea eșecului unui singur proces este $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$ . Probabilitatea ca exact k eșecuri să apară înainte de a atinge un total de n succese este dată de probabilitatea de a obține un succes în numărul de test k + n ( $X_{k+n}=1$ ${\ displaystyle X_ {k + n} = 1}$ $X _ {{k + n}} = 1$ ) și pentru a obține exact k eșecuri și n-1 succese în testele anterioare, adică

P(k)={k+n-1 \choose k}p^{n}q^{k}

{\ displaystyle P (k) = {k + n-1 \ alege k} p ^ {n} q ^ {k}}

P (k) = {k + n-1 \ alege k} p ^ {n} q ^ {k}

,

unde coeficientul binomial contează numărul de combinații posibile de reușite și eșecuri . Această probabilitate poate fi scrisă și sub forma binomului negativ

P(k)={-n \choose k}p^{n}(-q)^{k}

{\ displaystyle P (k) = {- n \ alege k} p ^ {n} (- q) ^ {k}}

P (k) = {- n \ alege k} p ^ {n} (- q) ^ {k}

,

unde se are în vedere generalizarea coeficientului binomial

{-n \choose k}={\frac {(-n)(-n-1)\cdots (-n-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{n+k-1 \choose k}

{\ displaystyle {-n \ choose k} = {\ frac {(-n) (- n-1) \ cdots (-n-k + 1)} {k!}} = (- 1) ^ {k} {n + k-1 \ alege k}}

{-n \ alege k} = {\ frac {(-n) (- n-1) \ cdots (-n-k + 1)} {k!}} = (- 1) ^ {k} {n + k- 1 \ alege k}

.

Definiții alternative

Prin înlocuirea numărului natural n cu numărul real pozitiv r, formula păstrează o semnificație, chiar dacă coeficientul binomial poate fi exprimat prin funcția Gamma , care extinde conceptul de factorial ( $\Gamma (n+1)=n!$ ${\ displaystyle \ Gamma (n + 1) = n!}$ $\ Gamma (n + 1) = n!$ ):

{k+r-1 \choose k}p^{r}q^{k}={\frac {r(r+1)\cdots (k+r-1)}{k!}}p^{r}q^{k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\Gamma (r)}}p^{r}q^{k}

{\ displaystyle {k + r-1 \ alege k} p ^ {r} q ^ {k} = {\ frac {r (r + 1) \ cdots (k + r-1)} {k!}} p ^ {r} q ^ {k} = {\ frac {\ Gamma (k + r)} {k! \ Gamma (r)}} p ^ {r} q ^ {k}}

{k + r-1 \ alege k} p ^ {r} q ^ {k} = {\ frac {r (r + 1) \ cdots (k + r-1)} {k!}} p ^ {r } q ^ {k} = {\ frac {\ Gamma (k + r)} {k! \ Gamma (r)}} p ^ {r} q ^ {k}

.

Unele texte definesc distribuția lui Pascal ca descriind numărul de încercări până la cel de - al n - lea succes, iar altele greșesc termenii succes și eșec în definiție. Pentru a conecta aceste definiții, este suficient să se ia în considerare variabila aleatorie respectiv $T_{n}+n$ ${\ displaystyle T_ {n} + n}$ $T_ {n} + n$ in loc de $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ în primul caz și schimbați valorile lui p și q în celălalt.

Distribuția geometrică

O variabilă aleatorie $T_{n}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$ $T_ {n}$ cu distribuție Pascal ${\mathcal {NB}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, n)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, n)$ este egal cu suma $Y_{1}+...+Y_{n}$ ${\ displaystyle Y_ {1} + ... + Y_ {n}}$ $Y_ {1} + ... + Y_ {n}$ a n variabile aleatoare independente cu distribuție geometrică egală ${\mathcal {G}}(p)-1$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ , deoarece, spre deosebire de distribuția geometrică care reprezintă numărul total de încercări necesare pentru a obține succesul, o variabilă binomială negativă descrie eșecurile, deci numărul de încercări - 1, adică succesul. Acest lucru poate fi văzut luând în considerare cum $Y_{i}$ ${\ displaystyle Y_ {i}}$ $Y_ {i}$ variabila aleatorie care numără numărul de eșecuri între numărul de succes $i-1$ ${\ displaystyle i-1}$ $i-1$ și numărul succesului $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ : le $Y_{1},...,Y_{n}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, ..., Y_ {n}}$ $Y_ {1}, ..., Y_ {n}$ ele sunt apoi independente și au o distribuție geometrică a parametrului p scăzută cu una deoarece distribuția geometrică contează numărul de încercări pentru a obține un succes care corespunde numărului de eșecuri și dovezii finale de succes. În special, distribuția Pascal ${\mathcal {NB}}(p,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, 1)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, 1)$ coincide cu distribuția geometrică ${\mathcal {G}}(p)-1$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ , iar suma m variabile aleatoare independente cu distribuții Pascal având același parametru p urmează în continuare distribuția Pascal cu parametrul p (este întotdeauna suma variabilelor aleatoare independente cu aceeași distribuție geometrică).

Caracteristici

Unele caracteristici ale unei variabile aleatorii T _n după distribuția Pascal ${\mathcal {NB}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, n)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, n)$ poate fi derivat din caracteristicile unei variabile aleatorii T cu distribuție geometrică ${\mathcal {G}}(p)-1$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) -1}$ :

valoarea așteptată

$E[T_{n}]=nE[T]={\frac {n}{p}}$ ${\ displaystyle E [T_ {n}] = nE [T] = {\ frac {n} {p}}}$ ${\ displaystyle E [T_ {n}] = nE [T] = {\ frac {n} {p}}}$ ,

varianța

{\text{Var}}(T_{n})=n{\text{Var}}(T)=n{\frac {q}{p^{2}}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (T_ {n}) = n {\ text {Var}} (T) = n {\ frac {q} {p ^ {2}}}}

{\ text {Var}} (T_ {n}) = n {\ text {Var}} (T) = n {\ frac {q} {p ^ {2}}}

,

funcția generatoare de moment

g_{T_{n}}(t)=g_{T}(t)^{n}=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{n}

{\ displaystyle g_ {T_ {n}} (t) = g_ {T} (t) ^ {n} = \ left ({\ frac {p} {1-qe ^ {t}}} \ right) ^ { n}}

g _ {{T_ {n}}} (t) = g _ {{T}} (t) ^ {n} = \ left ({{\ frac {p} {1-qe ^ {t}}}} \ dreapta) ^ {n}

,

indici de simetrie și curtoză

\gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {n}}}{\frac {1+q}{\sqrt {q}}},\qquad \gamma _{2}={\frac {1}{n}}\left(6+{\frac {p^{2}}{q}}\right)

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} {\ frac {1 + q} {\ sqrt {q}}}, \ qquad \ gamma _ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left (6 + {\ frac {p ^ {2}} {q}} \ right)}

\ gamma _ {1} = {\ frac {1} {{\ sqrt {n}}}} {\ frac {1 + q} {{\ sqrt {q}}}}, \ qquad \ gamma _ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left (6 + {\ frac {p ^ {2}} {q}} \ right)

.

Funcția de distribuție poate fi definită prin funcția Beta incompletă regularizată :

P(T_{n}\leqslant k)=I_{p}(n,k+1)

{\ displaystyle P (T_ {n} \ leqslant k) = I_ {p} (n, k + 1)}

P (T_ {n} \ leqslant k) = I_ {p} (n, k + 1)

Toate formulele dețin încă înlocuirea numărului natural n cu numărul pozitiv real r .

Alte distribuții

Distribuția Pascal este un amestec dintre distribuția Gamma și distribuția Poisson : o variabilă aleatorie cu distribuția Poisson ${\mathcal {P}}(L)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (L)}$ ${\ mathcal {P}} (L)$ , al cărui parametru L urmează o distribuție Gamma, urmează distribuția Pascal.

Distribuția Pascal ${\mathcal {NB}}({\frac {r-\lambda }{r}},r)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} ({\ frac {r- \ lambda} {r}}, r)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} ({\ frac {r- \ lambda} {r}}, r)}$ de speranță $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , pentru $r\longrightarrow +\infty$ ${\ displaystyle r \ longrightarrow + \ infty}$ ${\ displaystyle r \ longrightarrow + \ infty}$ converge la distribuția Poisson ${\mathcal {P}}(\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda)}$ ${\ mathcal {P}} (\ lambda)$ .

Distribuția Pascal se găsește și ca un amestec al distribuției Poisson și distribuției logaritmice , adică descrie suma $X_{1}+...+X_{N}$ ${\ displaystyle X_ {1} + ... + X_ {N}}$ $X_ {1} + ... + X_ {N}$ a unui număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , care urmează distribuția Poisson, a variabilelor aleatoare independente care urmează aceeași distribuție logaritmică.

Luând în considerare variabilele aleatorii $S_{n}=X_{1}+...+X_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + ... + X_ {n}}$ $S_ {n} = X_ {1} + ... + X_ {n}$ distribuție binomială ${\mathcal {B}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p, n)}$ ${\ mathcal {B}} (p, n)$ și variabilele aleatorii $T_{n}=\min\{k\colon X_{1}+...+X_{k+n}=n\}=\min\{k\colon S_{k+n}=n\}$ ${\ displaystyle T_ {n} = \ min \ {k \ colon X_ {1} + ... + X_ {k + n} = n \} = \ min \ {k \ colon S_ {k + n} = n \}}$ $T_ {n} = \ min \ {k \ colon X_ {1} + ... + X _ {{k + n}} = n \} = \ min \ {k \ colon S _ {{k + n} } = n \}$ distribuția lui Pascal ${\mathcal {NB}}(p,n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {NB}} (p, n)}$ ${\ mathcal {NB}} (p, n)$ găsești formula

P(T_{n}\leqslant k)=P(T_{n}+n\leqslant n+k)=P(S_{n+k}\geqslant n)

{\ displaystyle P (T_ {n} \ leqslant k) = P (T_ {n} + n \ leqslant n + k) = P (S_ {n + k} \ geqslant n)}

P (T_ {n} \ leqslant k) = P (T_ {n} + n \ leqslant n + k) = P (S _ {{n + k}} \ geqslant n)

,

care exprimă pentru un proces Bernoulli echivalența evenimentelor „pentru a obține mai puțin de k eșecuri înainte de al n - lea succes” și „pentru a obține cel puțin n succese în primele n + k încercări”.

Distribuția Panjer , care definește valorile prin recursivitate , generalizează distribuția Pascal:

P(k)=\left(q+{\frac {q(n-1)}{k}}\right)P(k-1)

{\ displaystyle P (k) = \ left (q + {\ frac {q (n-1)} {k}} \ right) P (k-1)}

{\ displaystyle P (k) = \ left (q + {\ frac {q (n-1)} {k}} \ right) P (k-1)}

Statistici

Distribuția Pascal este uneori folosită ca alternativă la distribuția Poisson , la care converge în drept în condițiile respective $\lambda =r{\tfrac {q}{p}}$ ${\ displaystyle \ lambda = r {\ tfrac {q} {p}}}$ $\ lambda = r {\ tfrac {q} {p}}$ , în cazurile în care modelul empiric prezintă o varianță mai mare decât valoarea medie: distribuția Poisson are întotdeauna speranță egală cu valoarea medie, în timp ce distribuția Pascal este mai dispersată (are o varianță mai mare).

Așa cum se întâmplă adesea în inferența bayesiană , dacă parametrul p al unei distribuții Pascal urmează distribuția Beta a priori , atunci o urmează și a posteriori .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre distribuția lui Pascal

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică