Izomorfism

În matematică , în special în algebra abstractă , un izomorfism (din grecescul ἴσος , isos, care înseamnă egal, și μορφή , morphé, care înseamnă formă) este o „ bijectivă de aplicare între obiecte matematice astfel încât aplicația și inversul acesteia să fie omomorfisme .

Intuitiv, un izomorfism poate fi definit în cuvintele matematicianului Douglas Hofstadter :

«Vorbim de izomorfism atunci când două structuri complexe pot fi aplicate unele pe altele, adică să se corespundă reciproc, în așa fel încât pentru fiecare parte a uneia dintre structuri să existe o parte corespunzătoare în cealaltă structură; în acest context spunem că două părți corespund dacă au un rol similar în structurile lor respective. "

( Douglas Hofstadter , Gödel, Escher, Bach: o ghirlandă strălucitoare eternă , p. 54 )

Definiție

Izomorfismul este definit ca o hartă bijectivă f între două seturi cu structuri ale aceleiași specii, astfel încât atât f cât și inversul lui f ⁻¹ sunt omomorfisme , adică aplicații care păstrează structurile caracteristice.

Mai general, în teoria categoriilor un izomorfism este un morfism $f:X\rightarrow Y$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ $f: X \ rightarrow Y$ într-o categorie pentru care există un invers $f^{-1}:Y\rightarrow X$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: Y \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: Y \ rightarrow X}$ astfel încât:

f^{-1}f=Id_{X}\

{\ displaystyle f ^ {- 1} f = Id_ {X} \}

{\ displaystyle f ^ {- 1} f = Id_ {X} \}

Și

ff^{-1}=Id_{Y}\

{\ displaystyle ff ^ {- 1} = Id_ {Y} \}

{\ displaystyle ff ^ {- 1} = Id_ {Y} \}

Această noțiune are un domeniu de aplicare foarte larg, deoarece multe specii de structuri și multe structuri specifice pot fi luate în considerare. De asemenea, este posibil să se ia în considerare izomorfisme între obiecte care nu sunt construite pe un set de suport, de exemplu pe două procese.

Dacă există un izomorfism între două structuri, se spune că structurile sunt izomorfe . Două structuri izomorfe pot fi considerate în esență egale . Ignorând identitățile specifice ale elementelor ansamblurilor care stau la baza lor și concentrându-se doar asupra aspectelor relevante ale structurilor în sine, cele două structuri pot fi identificate.

Mai mult, pentru fiecare structură atribuită unui set, există o definiție formală "naturală" a izomorfismului.

Seturi comandate

Dacă un obiect este format dintr-un set X cu un sort ≤ și un alt obiect este format dintr-un set Y cu un sort $\sqsubseteq$ ${\ displaystyle \ sqsubseteq}$ $\ sqsubseteq$ , atunci un izomorfism de la X la Y este o funcție bijectivă f : X → Y astfel încât

f(u)\sqsubseteq f(v)

{\ displaystyle f (u) \ sqsubseteq f (v)}

{\ displaystyle f (u) \ sqsubseteq f (v)}

dacă u ≤ v .

Acest izomorfism se numește izomorfism de ordine sau izotonie.

Operații binare

Dacă operațiile binare arbitrare sunt definite pe două seturi X și Y $\star$ ${\ displaystyle \ star}$ $\ stea$ Și $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ respectiv, atunci un izomorfism de la X la Y este o funcție bijectivă f : X → Y astfel încât

f(u)\Diamond f(v)=f(u\star v)

{\ displaystyle f (u) \ Diamond f (v) = f (u \ stea v)}

{\ displaystyle f (u) \ Diamond f (v) = f (u \ stea v)}

pentru tot u , v în X. Când obiectele în cauză sunt grupuri , acest izomorfism se numește izomorfism de grup. În mod similar, dacă obiectele sunt câmpuri , deci fiecare are două operații și funcția bijectivă se comportă ca mai sus pentru ambele, se numește izomorfism de câmpuri .

În algebra universală se poate da o definiție generală a izomorfismului care acoperă aceste și multe alte cazuri. Definiția izomorfismului dată în teoria categoriilor este și mai generală.

Grafice

În teoria graficelor , un izomorfism între două grafuri G și H este o aplicație bijectivă f de la vârfurile lui G la vârfurile lui H care păstrează „structura relațională” în sensul că există o margine sau un arc de la vârful u la vârful v dacă și numai dacă există o conexiune analogă de la vârful f ( u ) la vârful f ( v ) în H.

Spații vectoriale

În algebra liniară, un izomorfism între două spații vectoriale este o transformare bijectivă care este, de asemenea, liniară .

Spații topologice

În topologie, un izomorfism între spațiile topologice este o hartă bijectivă care păstrează topologiile (trimite deschis spre deschis), adică continuă în ambele direcții; o astfel de funcție se numește homeomorfism .

Exemple

Iată câteva exemple de structuri izomorfe:

Un cub compact din lemn și un cub compact din plumb sunt ambele cuburi compacte; chiar dacă materialul lor este diferit, structurile lor geometrice sunt izomorfe.
Un pachet normal de 52 de cărți de joc cu spatele verde și un pachet normal de cărți cu spatele maro; chiar dacă culoarea spatelui este diferită, punțile sunt izomorfe din punct de vedere structural: regulile unui joc cu 52 de cărți sau cursul unui joc al unui astfel de joc sunt indiferente, indiferent de pachetul pe care îl alegem.
Turnul cu ceas din Londra (care conține Big Ben ) și un ceas de mână; chiar dacă ceasurile variază foarte mult în mărime, mecanismele lor de stabilire a timpului sunt izomorfe.
O matriță cu șase fețe și o pungă din care se alege un număr de la 1 la 6; chiar dacă metoda utilizată pentru a obține un număr este diferită, abilitățile lor de a genera secvențe de numere pseudorandom sunt izomorfe. Acesta este un exemplu de izomorfism funcțional, fără presupunerea unui izomorfism geometric.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Isomorfism , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85068654

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică