Stabilitate internă

O minge din fundul unei văi se află într-o poziție de echilibru stabilă, în timp ce o minge din vârful unui deal se află într-o poziție de echilibru instabilă.

În matematică , stabilitatea internă sau stabilitatea Lyapunov a unui sistem dinamic este o modalitate de a caracteriza stabilitatea de traiectorii efectuate de sistem în spațiul fazelor următoare perturbațiilor sale în apropierea unui punct de echilibru . Se spune că un punct de echilibru este stabil (conform lui Lyapunov) dacă fiecare orbită a sistemului care pornește suficient de aproape de punctul de echilibru rămâne în vecinătatea punctului de echilibru și se spune asimptotic stabilă dacă orbita converge la punctul ca timp crește infinit.

Descriere

Analiza stabilității interne a unui sistem dinamic are o mare importanță în studiul fenomenelor naturale, în care o condiție de echilibru stabil corespunde unui minim de energie deținută de sistem, ca o consecință a faptului că tinde spontan. pentru a-l minimiza. Teorema Lagrange-Dirichlet , care consideră sistemele holonomice supuse forțelor conservatoare și cu constrângeri perfecte (bilaterale) independente de timp, stabilește în special că energia potențială are un relativ relativ precis atunci când sistemul își asumă o configurație stabilă de echilibru mecanic (conform lui Lyapunov ).

Puncte de echilibru

Stabilitatea într - un sistem dinamic în apropierea punctului de echilibru

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

: De soluțiile care încep în termen

V.

{\ displaystyle V}

V.

rămân în

U

{\ displaystyle U}

U

de-a lungul evoluției sistemului.

Instabilitate într-un sistem dinamic.

Luați în considerare un sistem dinamic :

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) \ qquad \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

\ dot {\ mathbf x} = \ mathbf f (\ mathbf x) \ qquad \ mathbf x \ in \ R ^ n

unde este $\mathbf {f} :{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: {\ mathcal {D}} \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf f: \ mathcal {D} \ subset \ R ^ n \ rightarrow \ R ^ n$ este o funcție Lipschitz în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ și continuă în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Este $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ un punct de echilibru , adică $\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf f (\ mathbf x_0) = \ mathbf 0$ . Apoi: ^[1]

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune să fie stabil (conform Lyapunov) , în cazul în care pentru fiecare cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a punctului $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ există un cartier $V\subset U$ ${\ displaystyle V \ subset U}$ $V \ subset U$ astfel încât orbitele pornind de la punctele interne a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ rămân înăuntru $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru toate timpurile $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ .

În mod explicit, pentru fiecare

\epsilon >0

{\ displaystyle \ epsilon> 0}

\ epsilon> 0

există

\delta =\delta (\epsilon )>0

{\ displaystyle \ delta = \ delta (\ epsilon)> 0}

\ delta = \ delta (\ epsilon)> 0

astfel încât, dacă

\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}

\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta

, apoi pentru fiecare

t\geq 0

{\ displaystyle t \ geq 0}

t \ geq 0

da ai

\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|<\epsilon

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ epsilon}

\ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | <\ epsilon

.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este numit atractiv dacă există o vecinătate $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ astfel încât pentru fiecare orbită $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ mathbf x} (t)$ care începe de la un anunț punct intern $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ avem:

\lim _{t\to +\infty }\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} _ {0}}

\ lim_ {t \ to + \ infty} \ mathbf x (t) = \ mathbf x_0

Cel mai mare din jur

U

{\ displaystyle U}

U

pentru care se întâmplă acest lucru este numit bazinul punct de atracție

\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}

\ mathbf x_0

.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune să fie asimptotic stabil , în cazul în care este stabil și atractiv. Adică există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât dacă $\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}$ $\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta$ asa de $\lim _{t\rightarrow \infty }\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | = 0}$ $\ lim_ {t \ rightarrow \ infty} \ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | = 0$ .
Un punct de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune ca este exponențial stabil , în cazul în care este asimptotic stabil și ele există $\alpha ,\beta ,\delta >0$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ delta> 0}$ $\ alpha, \ beta, \ delta> 0$ astfel pentru care, dacă $\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}$ $\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta$ , avem:

\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|\leq \alpha \|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|e^{-\beta t}\qquad t\geq 0

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | \ leq \ alpha \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | e ^ {- \ beta t} \ qquad t \ geq 0}

\ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | \ leq \ alpha \ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | e ^ {- \ beta t} \ qquad t \ geq 0

Un punct de echilibru se spune ca este instabil în cazul în care nu este stabilă, adică, în cazul în care există o vecinătate $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ astfel încât, oricum alegeți un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ cuprins în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , puteți găsi întotdeauna o poziție de plecare $\mathbf {x} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în V}$ $\ mathbf x \ în V$ a cărei orbită se îndepărtează de $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ suficient pentru a ieși din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Dintr - un punct geometric de vedere, ( invariantă ) set de puncte se apropie $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ (a cărei orbită converge spre $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ ) Se numește soi stabilă , în timp ce „soi instabil“ se referă la setul celor care se îndepărtează.

Atractivitate și stabilitate

Sistem dinamic cu punct de echilibru atractiv și instabil

Un punct de echilibru stabil nu este, în general, atractiv, iar un punct de echilibru atractiv nu este neapărat stabil. Proprietatea de stabilitate este o proprietate locală, putând fi observată având în vedere vecinătățile arbitrare mici ale punctului de echilibru, în timp ce proprietatea de atractivitate nu este: chiar dacă bazinul de atracție este foarte mic sau conține vecinătăți arbitrare mici, pentru a verifica dacă un punct aparține pentru dvs. este necesar să urmați întreaga sa traiectorie din care ar putea pleca în mod arbitrar $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Un exemplu de sistem dinamic cu un punct de echilibru care este atractiv, dar nu stabil este cel definit pe circumferință prin:

{\dot {\theta }}=1-\cos(\theta )

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 1- \ cos (\ theta)}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 1- \ cos (\ theta)}

Aici $\theta =0$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ este un punct de echilibru și soluțiile care încep de la orice alt punct al circumferinței converg „de jos” prin rotire în sensul acelor de ceasornic. Punctul este atractiv și bazinul său de atracție este întreaga circumferință, dar punctul are un echilibru instabil, deoarece toate soluțiile care încep de la punctele „deasupra” acestuia (în mod arbitrar aproape) se îndepărtează de orice vecinătate predeterminată.

Criteriile lui Lyapunov

Criteriile lui Lyapunov oferă condiții suficiente pentru stabilitate în apropierea unui punct de echilibru și sunt extinse cu un număr mare de rezultate. Primul criteriu aduce analiza sistemului înapoi la cea a lui aproximare liniară într - un cartier al punctului de echilibru, a doua utilizează o anumită funcție scalară, funcția Lyapunov , să „limităm“ soluțiile la o regiune a spațiului de fază . In studiul sistemelor mecanice, această funcție este de obicei făcută să corespundă cu energia potențială a sistemului.

Primul criteriu al lui Lyapunov

Având în vedere sistemul dinamic:

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x})}

\ dot \ mathbf x = \ mathbf f (\ mathbf x)

cu $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ un punct de echilibru, adică:

\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf f (\ mathbf x_0) = \ mathbf 0

liniarizarea sistemului într - un cartier de $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se obține luând în considerare traiectoria perturbată:

\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}+\delta \mathbf {x} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} _ {0} + \ delta \ mathbf {x} (t)}

\ mathbf x (t) = \ mathbf x_0 + \ delta \ mathbf x (t)

și punându-l în ecuație:

{\dot {\mathbf {x} }}=\delta {\dot {\mathbf {x} }}=f(\mathbf {x} _{0}+\delta \mathbf {x} (t))=f(\mathbf {x} _{0})+{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} ^{T}}}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}}\delta \mathbf {x} +O(\|\delta \mathbf {x} \|^{2})

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = f (\ mathbf {x} _ {0} + \ delta \ mathbf {x} (t )) = f (\ mathbf {x} _ {0}) + {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {x} ^ {T}}} | _ {\ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0}} \ delta \ mathbf {x} + O (\ | \ delta \ mathbf {x} \ | ^ {2})}

\ dot \ mathbf x = \ delta \ dot \ mathbf x = f (\ mathbf x_0 + \ delta \ mathbf x (t)) = f (\ mathbf x_0) + \ frac {\ partial \ mathbf f} {\ partial \ mathbf x ^ T} | _ {\ mathbf x = \ mathbf x_0} \ delta \ mathbf x + O (\ | \ delta \ mathbf x \ | ^ 2)

unde, neglijând termenii de ordine superioară celor dintâi, avem:

\delta {\dot {\mathbf {x} }}=A\delta \mathbf {x} \qquad A={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} ^{T}}}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}}

{\ displaystyle \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = A \ delta \ mathbf {x} \ qquad A = {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {x} ^ {T}}} | _ {\ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0}}}

\ delta \ dot \ mathbf x = A \ delta \ mathbf x \ qquad A = \ frac {\ partial \ mathbf f} {\ partial \ mathbf x ^ T} | _ {\ mathbf x = \ mathbf x_0}

Criteriul lui Lyapunov prevede că: ^[2]

dacă punctul de echilibru $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ a sistemului liniarizat $\delta {\dot {\mathbf {x} }}=A\delta \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = A \ delta \ mathbf {x}}$ $\ delta \ dot \ mathbf x = A \ delta \ mathbf x$ atunci este asimptotic stabil $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este un punct de echilibru stabil asimptotic al sistemului neliniarizat
de sine $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ atunci este instabil $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este un punct de echilibru instabil al sistemului neliniarizat
de sine $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ este stabil nimic nu se poate spune despre sistemul neliniarizat.

Al doilea criteriu Lyapunov

Același subiect în detaliu: funcția Liapunov .

Este $a(t,\mathbf {x} ):\mathbb {R} \times B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x}): \ mathbb {R} \ times B \ to \ mathbb {R}}$ $a (t, \ mathbf x): \ R \ times B \ to \ R$ o funcție continuă astfel încât $a(t,\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $a (t, \ mathbf 0) = \ mathbf 0$ pentru fiecare $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ , cu $B\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle B \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $B \ subset \ R ^ n$ un cartier al $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ . Se spune că $a(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})}$ $a (t, \ mathbf x)$ este pozitiv definit în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă există o funcție continuă $b(\mathbf {x} ):B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}): B \ to \ mathbb {R}}$ $b (\ mathbf x): B \ to \ R$ pozitiv definită ( și anume $b(\mathbf {x} )>0$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x})> 0}$ $b (\ mathbf x)> 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \in B\setminus \{\mathbf {0} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în B \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}$ $\ mathbf x \ în B \ setminus \ {\ mathbf 0 \}$ ) astfel încât $b(\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $b (\ mathbf 0) = \ mathbf 0$ Și:

a(t,\mathbf {x} )>b(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in B

{\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})> b (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall \ mathbf {x} \ în B}

a (t, \ mathbf x)> b (\ mathbf x) \ qquad \ forall \ mathbf x \ în B

Definiția pentru o funcție de variabile $(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle (t, \ mathbf {x})}$ $(t, \ mathbf x)$ negativ definit se obține în mod analog, înlocuind $>$ ${\ displaystyle>}$ $>$ cu $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ .

Se spune că $a(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})}$ $a (t, \ mathbf x)$ este semidefinit pozitiv în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă există o funcție $b(\mathbf {x} ):B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}): B \ to \ mathbb {R}}$ $b (\ mathbf x): B \ to \ R$ semidefinit pozitiv (adică $b(\mathbf {x} )\geq 0$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}) \ geq 0}$ $b (\ mathbf x) \ ge 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \in B$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în B}$ $\ mathbf x \ în B$ ) astfel încât $b(\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $b (\ mathbf 0) = \ mathbf 0$ Și:

a(t,\mathbf {x} )\geq b(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in B

{\ displaystyle a (t, \ mathbf {x}) \ geq b (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall \ mathbf {x} \ în B}

a (t, \ mathbf x) \ ge b (\ mathbf x) \ qquad \ forall \ mathbf x \ în B

Prin inversarea direcției inegalității, o funcție semidefinită negativă este definită în mod similar.

Având în jur $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $D \ subset \ R ^ n$ a punctului de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ pentru sistem:

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x})}

\ dot \ mathbf x = \ mathbf f (t, \ mathbf x)

dacă există o funcție $V:\mathbb {R} \times D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} \ times D \ to \ mathbb {R}}$ $V: \ R \ times D \ to \ R$ elegant $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ pozitiv definit și cu derivat orbital:

{\dot {V}}(t,\mathbf {x} )={\frac {\partial }{\partial t}}V(t,\mathbf {x} )+{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{1}}}V(t,\mathbf {x} )f_{1}(\mathbf {x} )+\dots +{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{n}}}V(t,\mathbf {x} )f_{n}(\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {V}} (t, \ mathbf {x}) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} V (t, \ mathbf {x}) + {\ frac {\ partial } {\ partial \ mathbf {x} _ {1}}} V (t, \ mathbf {x}) f_ {1} (\ mathbf {x}) + \ dots + {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {x} _ {n}}} V (t, \ mathbf {x}) f_ {n} (\ mathbf {x})}

\ dot V (t, \ mathbf x) = \ frac {\ partial} {\ partial t} V (t, \ mathbf x) + \ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf x_1} V (t, \ mathbf x) f_1 (\ mathbf x) + \ dots + \ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf x_n} V (t, \ mathbf x) f_n (\ mathbf x)

semidefinita negativa, atunci $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este stabil în sensul lui Lyapunov.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este asimptotic stabil în sensul lui Lyapunov dacă există și o funcție $W:D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle W: D \ to \ mathbb {R}}$ $W: D \ to \ R$ pozitiv definită astfel încât: ^[3]

V(t,\mathbf {x} )<W(\mathbf {x} )\qquad \forall (t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} \times D

{\ displaystyle V (t, \ mathbf {x}) <W (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall (t, \ mathbf {x}) \ in \ mathbb {R} \ times D}

V (t, \ mathbf x) <W (\ mathbf x) \ qquad \ forall (t, \ mathbf x) \ in \ R \ times D

Stabilitatea astfel definită este o condiție suficientă, dar nu necesară, adică un punct de echilibru poate fi stabil chiar dacă nu există funcții Lyapunov definite în vecinătatea sa.

Sisteme liniare

Același subiect în detaliu: sistem dinamic liniar .

În științele aplicate, în special produse electronice și teoria controlului , este comun pentru a studia stabilitatea sistemelor dinamice liniare. Ele sunt adesea studiate în domeniul Laplace $s=\sigma +i\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ $s = \ sigma + i \ omega$ , Și anume lor de răspuns de frecvență este analizat, care pentru sistemele staționare este dată de funcția de transfer . Un sistem liniar de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ State $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf x \ in \ R ^ n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ intrare $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbf u \ in \ R ^ m$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ieșiri $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ $\ mathbf y \ in \ R ^ q$ este descris de o ecuație ca:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

\ dot \ mathbf x (t) = A \ mathbf x (t) + B \ mathbf u (t)

\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}

\ mathbf y (t) = C \ mathbf x (t) + D \ mathbf u (t)

și se spune că este stabil dacă toate valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ au o parte reală negativă. ^[4]

În special, este posibil să se arate că, dacă intrarea este un swing de tip $\mathbf {u} ={\bar {\mathbf {u} }}e^{st}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {st}}$ $\ mathbf u = \ bar \ mathbf u e ^ {st}$ , cu ${\bar {\mathbf {u} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ bar \ mathbf u \ in \ R ^ n$ un vector arbitrar, iar sistemul este stabil, atunci pentru un timp care tinde spre infinit ieșirea este o oscilație cu aceeași frecvență ca perturbarea de intrare:

\lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=[D+C(sI-A)^{-1}B]{\bar {\mathbf {u} }}e^{st}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ mathbf {y} (t) = [D + C (sI-A) ^ {- 1} B] {\ bar {\ mathbf {u}}} și ^ {st}}

\ lim_ {t \ to \ infty} \ mathbf y (t) = [D + C (sI-A) ^ {- 1} B] \ bar \ mathbf u e ^ {st}

unde câștigul $[D+C(sI-A)^{-1}B]$ ${\ displaystyle [D + C (sI-A) ^ {- 1} B]}$ $[D + C (sI-A) ^ {- 1} B]$ , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ matricea identității produce o schimbare de fază și o amplificare de intrare (fără a modifica frecvența).

Exemplu: oscilatorul armonic

Armonic Oscilatorul este un exemplu clasic folosit pentru a clarifica conceptele de stabilitate. Sistemul constă dintr-un arc care pe o parte este limitat la un plan și pe de altă parte este conectat la o masă. Dacă se presupune că nu există frecare în sistem, după ce ați comprimat (sau întins) arcul, masa va începe să oscileze la nesfârșit, fără a se opri vreodată. Dacă încercați să vă imaginați traiectoriile sistemului, acestea vor oscila în jurul punctului de echilibru: este un sistem stabil, iar traiectoriile nu se îndepărtează niciodată prea departe de punctul de echilibru. Dacă se presupune că fricțiunea este prezentă în sistem, oscilațiile vor fi amortizate și după un timp sistemul se va opri în poziția de repaus (echilibru). Prin urmare, traiectoriile vor oscila inițial în jurul punctului de echilibru și apoi se vor opri în poziția de echilibru. Este un sistem stabil asimptotic, traiectoriile nu se mișcă niciodată prea departe și după un anumit timp converg în punctul de echilibru, oprindu-se acolo.

Notă

^(EN) Clemson University - Cu privire la stabilitate Lyapunov: Sisteme autonome
^(RO) Christopher J. Damaren - Liapunov Stabilitate
^(RO) Christopher Grant - metoda directă Lyapunov a Filed la 05 martie 2016 Internet Arhiva .
^(RO)Andrew Packard - Frecventa de raspuns pentru sisteme liniare depuse 13 martie 2016 în Internet Archive .

Bibliografie

(RO) AM Lyapunov, Stabilitatea mișcării, Acad. Presă (1966)
(DE) O. Perron, uber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen Math. Z., 29 (1928) pp. 129-160
(RO) RE Bellman, teoria stabilității de ecuații diferențiale, Dover, retipărită (1969)
(RO) Jean-Jacques E. Slotine și Weiping Li, neliniara de control aplicate, Prentice Hall, NJ, 1991
(EN) Parks PC: "teoria stabilității AM Lyapunov lui - 100 de ani cu privire la ", IMA Journal of Mathematical de Control & informații 1992 9 275-303
(RO) G. Teschl, Ecuatii diferentiale ordinare si sisteme dinamice , Providence , american Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
(RO) S. Wiggins, Introducere în Aplicată neliniara și sisteme dinamice haos, 2nd ed., New York , Springer Verlag , 2003, ISBN 0-387-00177-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe stabilitatea internă

linkuri externe

(RO) VM Millionshchikov, stabilitate Lyapunov , în Enciclopedia de Matematică , Springer și Societatea Europeană matematică, 2002.
(RO) Yu.S. Bogdanov, soluție asimptotic-stabilă , în Enciclopedia de matematică , Springer și Societatea Europeană matematică, 2002.
R. Zakhama, ABB Hadj Brahim și NB Braiek, Generalizarea unei metode de estimare a domeniului de stabilitate pentru sisteme discrete neliniare , în computațională și Matematică Aplicată, vol. 37, octombrie 2016, pp. 1130-1141, DOI : 10.1007 / s40314-016-0388-7 .
(EN) asimptotic stabil , în planetmath .
(RO) Dan Zelazo - Liapunov teoria stabilității (PDF), pe tx.technion.ac.il. Arhivat din original la data de 5 octombrie 2013. Adus de 12 august 2015.

Controlul autorității	LCCN (RO) sh95003362 · GND (DE) 4167992-1 · BNF (FR) cb14457946x (data)

Portal de verificări automate

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] (EN) Clemson University - Cu privire la stabilitate Lyapunov: Sisteme autonome

[2] (RO) Christopher J. Damaren - Liapunov Stabilitate

[3] (RO) Christopher Grant - metoda directă Lyapunov a Filed la 05 martie 2016 Internet Arhiva .

[4] (RO)Andrew Packard - Frecventa de raspuns pentru sisteme liniare depuse 13 martie 2016 în Internet Archive .

[1]

[2]

[3]

[4]