Grup circular

În matematică , grupul circular , notat cu T (sau, cu tablă aldină, cu $\mathbb {T}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ ), este grupul multiplicativ al tuturor numerelor complexe cu valoare absolută egală cu 1, adică cercul unității în planul complex ,

\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},

{\ displaystyle \ mathbb {T} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | = 1 \},}

{\ displaystyle \ mathbb {T} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | = 1 \},}

înzestrat cu înmulțirea obișnuită a câmpului complex.

Grupul circular formează un subgrup de C ^× , grupul multiplicativ al tuturor numerelor complexe diferite de zero. Deoarece C ^× este Abelian , rezultă că T este și Abelian . Notarea T pentru grupul circular derivă din faptul că T ⁿ ( produsul direct al lui T cu sine însuși n ori) este geometric un n - tor . Prin urmare, grupul circular este un 1-tor.

Introducere elementară

Adăugare în cercul unității

O modalitate de a vă gândi la grupul circular este că descrie cum să adăugați unghiuri , atunci când sunt permise doar unghiuri între 0 ° și 360 °. De exemplu, diagrama arată cum se adaugă 150 ° la 270 °. Răspunsul ar trebui să fie de 150 ° + 270 ° = 420 °, dar când te gândești în funcție de cercul unității, trebuie să „uiți” faptul că te-ai plimbat în jurul cercului. Așadar, corectarea răspunsului cu 360 ° ne oferă 420 ° - 360 ° = 60 °.

O altă descriere este în termeni de adunare obișnuită, folosind doar numere între 0 și 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să uitați cifrele dinaintea punctului zecimal. De exemplu, dacă calculați 0.784 + 0.925 + 0.446, răspunsul ar putea fi 2.155, dar dacă scoateți 2, răspunsul (în cercul unității) este 0.155.

Structura topologică și analitică

Grupul circular nu este doar un grup algebric abstract. Are o topologie naturală atunci când este considerată ca un sub spațiu al planului complex. Deoarece multiplicarea și inversarea sunt funcții continue pe C ^× , grupul circular are structura unui grup topologic . Mai mult, deoarece cercul unitar este un subgrup închis și delimitat al planului complex, grupul de unități este un subgrup închis al lui C ^× (văzut ca un grup topologic). Din punct de vedere topologic, grupul circular este compact .

Se pot spune mai multe. Cercul este o varietate topologică unidimensională reală și multiplicarea și inversarea sunt hărți reale și analitice pe cerc. Acest lucru conferă grupului circular structura unui grup Lie unidimensional. De fapt, cu excepția unui izomorfism, este singurul grup Lie conectat , compact , 1-dimensional. Mai mult, fiecare n- dimensional, compact și conectat grup Lie este izomorf la T ⁿ .

Izomorfisme

Grupul circular ia diferite forme în matematică. Unele dintre cele mai frecvente sunt enumerate. În special, se poate demonstra că

\mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong {\mbox{SO}}(2)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ mathbb {T} \ cong {\ mbox {U}} (1) \ cong {\ mbox {SO}} (2) \ cong \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ mathbb {T} \ cong {\ mbox {U}} (1) \ cong {\ mbox {SO}} (2) \ cong \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}.}

Setul tuturor matricilor unitare 1 × 1 coincide în mod clar cu grupul circular; condiția unitarității este echivalentă cu condiția ca elementele să aibă valoarea absolută 1. Prin urmare, grupul circular este canomic izomorf la U (1), primul grup unitar .

Prin urmare, grupul circular este izomorf pentru grupul ortogonal special SO (2). Aceasta are interpretarea geometrică că multiplicarea cu un număr complex de unități este o rotație adecvată a planului complex și orice astfel de rotație are această formă.

Reprezentări

Reprezentările grupului circular sunt simple de descris. Din lema lui Schur rezultă că reprezentările complexe ireductibile ale unui grup abelian sunt unidimensionale. Deoarece grupul circular este compact, fiecare reprezentare ρ: T → GL (1, C ) ≅ C ^× , trebuie să ia valori în U (1) ≅ T. Prin urmare, reprezentările ireductibile ale grupului circular sunt omomorfismele dintre grupul circular și el însuși. Fiecare astfel de izomorfism este în formă

\phi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta },\qquad n\in \mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ phi _ {n} (e ^ {i \ theta}) = e ^ {în \ theta}, \ qquad n \ in \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (e ^ {i \ theta}) = e ^ {în \ theta}, \ qquad n \ in \ mathbb {Z}.}

Aceste reprezentări sunt toate inechivalente. Reprezentarea φ _-n este conjugatul lui φ _n ,

\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.

{\ displaystyle \ phi _ {- n} = {\ overline {\ phi _ {n}}}.}

{\ displaystyle \ phi _ {- n} = {\ overline {\ phi _ {n}}}.}

Aceste reprezentări sunt personajele grupului circular. Grupul de caractere al lui T este clar un grup ciclic infinit generat de φ ₁ :

\mathrm {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathbb {T}, \ mathbb {T}) \ cong \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathbb {T}, \ mathbb {T}) \ cong \ mathbb {Z}.}

Reprezentările reale ireductibile ale grupului circular sunt reprezentările unidimensionale și reprezentările

\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \\\end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}.

{\ displaystyle \ rho _ {n} (e ^ {i \ theta}) = {\ begin {bmatrix} \ cos n \ theta & - \ sin n \ theta \\\ sin n \ theta & \ cos n \ theta \\\ end {bmatrix}}, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}.}

{\ displaystyle \ rho _ {n} (e ^ {i \ theta}) = {\ begin {bmatrix} \ cos n \ theta & - \ sin n \ theta \\\ sin n \ theta & \ cos n \ theta \\\ end {bmatrix}}, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}.}

care iau valori în SO (2). Aici avem doar n numere întregi pozitive de la reprezentare $\rho _{-n}$ ${\ displaystyle \ rho _ {- n}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {- n}}$ este echivalent cu $\rho _{n}$ ${\ displaystyle \ rho _ {n}}$ $\ rho _ {n}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică