Constanta de miscare

În teoria sistemelor dinamice , o constantă a mișcării este o cantitate care rămâne neschimbată pe parcursul evoluției sistemului. Din punct de vedere matematic, este prima integrală a ecuației mișcării care descrie un sistem dinamic , adică o funcție care rămâne constantă de-a lungul soluțiilor unei probleme diferențiale . ^[1]

În contextul mecanicii hamiltoniene , o constantă a mișcării este o funcție $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care face naveta cu hamiltonianul ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ a sistemului:

[K,{\mathcal {H}}]=0

{\ displaystyle [K, {\ mathcal {H}}] = 0}

{\ displaystyle [K, {\ mathcal {H}}] = 0}

unde în context clasic comutatorul trebuie înlocuit cu parantezul Poisson :

\{K,{\mathcal {H}}\}=0

{\ displaystyle \ {K, {\ mathcal {H}} \} = 0}

{\ displaystyle \ {K, {\ mathcal {H}} \} = 0}

Definiție

Același subiect în detaliu: Prima integrală .

Pentru un sistem de ecuații diferențiale de primul ordin:

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ frac {d {\ mathbf r}} {dt}} = {\ mathbf f} ({\ mathbf r}, t)

o funcție scalară ${\mathcal {H}}(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {r})}$ este o constantă de mișcare sau o cantitate conservată dacă pentru toate condițiile inițiale avem:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=0\qquad \forall t

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = 0 \ qquad \ forall t}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = 0 \ qquad \ forall t}

Soluția sistemului este tangentă la câmpul vectorial $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ , care poate fi de exemplu un câmp de viteză , și este intersecția a două suprafețe: ele sunt integralele primare ale sistemului de ecuații diferențiale.

Folosind regula lanțului avem:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\nabla {\mathcal {H}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla {\mathcal {H}}\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

deci definiția poate fi scrisă ca produsul punct al $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ iar gradientul $\nabla {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}}}$ din ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ :

\nabla {\mathcal {H}}\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0

{\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}

{\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}

Câmpul vector $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ este deci ortogonală cu gradientul mărimii conservate ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ .

Mecanica clasică

Același subiect în detaliu: Ecuația mișcării .

Mecanica lagrangiană

Același subiect în detaliu: ecuațiile Euler-Lagrange .

Dacă un sistem este descris de un lagrangian ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ care nu depinde în mod explicit de timp, adică $\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial t = 0}$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial t = 0}$ , energie:

E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-{\mathcal {L}}

{\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right] - {\ mathcal {L}}}

{\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right] - {\ mathcal {L}}}

se păstrează.

De asemenea, dacă $\partial {\mathcal {L}}/\partial \mathbf {q} =0$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ mathbf {q} = 0}$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ mathbf {q} = 0}$ asa de $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ este o coordonată și un impuls ciclic :

\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

se păstrează. Acest rezultat poate fi obținut din ecuațiile Euler-Lagrange.

Mecanica hamiltoniană

Același subiect în detaliu: ecuațiile Hamilton .

Spațiul de fază reprezintă, generat de poziția variabilelor generalizate $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ și impulsul $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ , ansamblul tuturor stărilor posibile asumate de sistem. Pentru un sistem definit de hamiltonian ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ , o functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a coordonatelor generalizate $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ și impulsul $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ evoluează temporar ca:

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t }}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t }}}

și, prin urmare, se păstrează dacă și numai dacă:

\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0

{\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}

unde este $\{f,{\mathcal {H}}\}$ ${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$ ${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$ este paranteze Poisson .

Soluțiile ecuației mișcării sunt legile orare, care sunt reprezentate prin orbite în spațiul de fază. Acestea sunt traiectoriile care pot fi parcurse de sistem în fiecare moment al unei stări. O constantă de mișcare este o funcție constantă de-a lungul fiecărei orbite a sistemului.

Existența unei constante de mișcare non-banale, adică nu constantă pe tot spațiul, îndepărtează de sistem un grad de libertate, deoarece forțează orbitele să se așeze pe suprafețele de nivel ale constantei de mișcare. De exemplu, pentru un oscilator unidimensional Hamiltonianul în coordonate hamiltoniene este:

{\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}+\mathbf {q} ^{2}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbf {p} ^ {2} + \ mathbf {q} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbf {p} ^ {2} + \ mathbf {q} ^ {2}}

Deoarece navighează cu sine, este o constantă de mișcare, iar curbele sale de nivel sunt circumferințele centrate în originea razei egale cu rădăcina energiei. Aceste curbe reprezintă evoluția temporală a sistemului.

Mecanica cuantică

În câmpul cuantic, conceptul de traiectorie își pierde cumva sensul, deoarece principiul incertitudinii lui Heisenberg împiedică măsurarea exactă și simultană a poziției și vitezei. Cu toate acestea, constantele mișcării continuă să joace un rol fundamental datorită conexiunii lor profunde cu simetriile sistemului.

Dacă un observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ comută cu operatorul hamiltonian ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ asa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o constantă a mișcării deoarece este invariantă față de evoluția temporală generată de ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ . De asemenea, ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ este invariant în ceea ce privește transformările generate de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Aceste informații vă permit să căutați soluții de sistem printre funcțiile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică funcțiile invariante cu privire la acele transformări. Acest lucru duce adesea la separarea unei ecuații diferențiale complicate în ecuații mai simple. Un exemplu al acestui tratament se găsește în studiul atomului de hidrogen , în care sunt utilizate două constante de mișcare: impulsul total pentru separarea centrului sistemului de masă de cel relativ ( problema cu doi corpuri ) și impulsul unghiular pentru separarea problemei unghiulare de cea radială. ^[2]

Energia unui sistem poate fi degenerată , adică o valoare fixă a acestuia corespunde mai multor stări fizice diferite. Pentru a le distinge putem folosi măsura unui alt observabil, dar din moment ce este necesar să o diagonalizăm pe baza ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ , acest observabil va trebui să comute cu ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ .

Notă

^ Enciclopedia Treccani - Integral întâi , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2013 .
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.11

Bibliografie

( EN ) Blanchard, Devaney, Hall, Differential Equations , Brooks / Cole Publishing Co, 2005, p. 486, ISBN 0-495-01265-3 .
( EN ) VI Arnold , Mathematical Methods of Classical Mechanics , 2nd, New York, Springer , 1989, ISBN 978-0-387-96890-2 .
( EN ) LD Landau și EM Lifshitz , Mecanică , Curs de fizică teoretică , Vol. 1, 3, Butterworth-Heinemann, 1982, ISBN 978-0-7506-2896-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

Forțe de mișcare conservatoare și constante , pe unife.it .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Enciclopedia Treccani - Integral întâi , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2013 .

[2] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.11

[1]

[2]