În matematică , în special în analiza funcțională , o măsură cu valoare de proiector este o funcție definită pe un anumit subset al unui set fix ale cărui valori returnate sunt proiectoare autoadjuncte pe un spațiu Hilbert .
Este {\ displaystyle \ Omega} un subgrup închis de {\ displaystyle \ mathbb {R}} . Măsurarea evaluată de proiector este definită ca un set de proiecții ortogonale{\ displaystyle \ {P _ {\ Omega} \}} care satisface proprietățile: [1]
{\ displaystyle P _ {\ emptyset} = 0} Și {\ displaystyle P _ {(- a, a)} = I} pentru unii {\ displaystyle a} .
Este {\ displaystyle \ Omega} o familie de seturi astfel încât:
{\ displaystyle P _ {\ Omega} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} P _ {\ Omega _ {i}}}
unde limita este într-un sens puternic.
Aceasta este o măsură limitată și din definiție rezultă proprietatea suplimentară:
{\ displaystyle P _ {\ Omega _ {1}} P _ {\ Omega _ {2}} = P _ {\ Omega _ {1} \ cap \ Omega _ {2}} \}
Dacă avem în vedere un spațiu topologic {\ displaystyle X} pe care este definită o algebră sigma borel{\ displaystyle M} , o măsură evaluată de proiector este o funcție {\ displaystyle P _ {\ Omega}} definit pe {\ displaystyle M} și la valorile din spațiul proiectoarelor ortogonale definite pe un spațiu Hilbert de dimensiune finită {\ displaystyle H} . În acest caz, seturile {\ displaystyle \ {\ Omega _ {i} \}} utilizate în definiție sunt elementele algebrei borel sigma {\ displaystyle M} , si tu ai {\ displaystyle P_ {X} = I} .
De exemplu, luați în considerare spațiul Hilbert {\ displaystyle H = L ^ {2} (X, \ mu)} , unde este {\ displaystyle \ mu} este o măsură a lui Borel. O măsurătoare cu valori ale proiectorului poate fi definită după cum urmează:
{\ displaystyle (P_ {E} \ psi) (x) = \ chi _ {E} (x) \ psi (x) \ qquad \ forall \ psi \ în L ^ {2} (X, \ mu) \ quad \ forall E \ în M}
Integrare în ceea ce privește o măsurătoare cu valori ale proiectorului
Având în vedere o familie de seturi măsurabile disjuncte reciproc {\ displaystyle E_ {i}} și o funcție simplă :
{\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ chi _ {E_ {i}} \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {C}}
unde este{\ displaystyle \ chi _ {E_ {i}}} este funcția indicator în raport cu setul {\ displaystyle E_ {i}} pentru fiecare i și numere {\ displaystyle a_ {i}} sunt disjuncte.
Putem defini integralul{\ displaystyle s} comparativ cu o măsurare la valorile proiectorului {\ displaystyle P} În felul următor:
{\ displaystyle \ int _ {X} sdP: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} P (E_ {i})}
Se arată că extinderea acestui operator integral de la spațiul funcțiilor simple la spațiul funcțiilor Banach{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}} limitat și măsurabil în raport cu algebra sigma a lui Borel {\ displaystyle M} este unic. Operatorul integral pozitiv este definit în acest fel:
{\ displaystyle \ int _ {E} f (x) dP (x): = \ int _ {X} \ chi _ {E} f (x) dP (x) \ quad E \ în M}
comparativ cu măsurarea la valorile proiectorului {\ displaystyle P} :
{\ displaystyle P_ {E} = \ int _ {X} \ chi _ {E} dP (x) \}
A mai spus {\ displaystyle {\ mbox {supp}} (P)}sprijinul{\ displaystyle P} , se arată că:
{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x) = \ int _ {{\ mbox {supp}} (P)} f (x) dP (x) \}
Măsură asociată cu un operator
Este {\ displaystyle X} un spațiu topologic pe care este definită o algebră sigma borel{\ displaystyle M} , este {\ displaystyle H} un spațiu Hilbert e {\ displaystyle P} o măsurare la valorile proiectorului. Pentru fiecare {\ displaystyle \ phi, \ psi \ în H}produsul intern :
{\ displaystyle \ mu _ {\ phi, \ psi} (E): = (\ phi, P_ {E} \ psi) = \ left (\ phi, \ int _ {X} \ chi _ {E} dP ( x) \ psi \ right) \ quad E \ in M}
reprezintă o măsură Borel complexă . În special, măsura {\ displaystyle \ mu _ {\ phi}: = \ mu _ {\ phi, \ phi}} se numește măsura spectrală asociată cu{\ displaystyle \ phi} .
Printr-o măsură a tipului de {\ displaystyle \ mu _ {\ phi}} este posibil să se definească operatorul de integrare cu privire la o măsurare cu valori ale proiectorului și în cazul în care {\ displaystyle f} nu este limitat, atâta timp cât este folosit setul:
{\ displaystyle \ Delta _ {f}: = \ {\ phi \ în H: \ int _ {X} | f (x) | ^ {2} d \ mu _ {\ phi} (x) <+ \ infty \}}
ca domeniu de aplicație:
{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x): \ phi \ to \ int _ {X} f (x) dP (x) \ phi = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} (x) dP (x) \ phi}
care definește în acest fel un operator liniar închis și delimitat , care este integralul lui {\ displaystyle f} în comparație cu {\ displaystyle P} . Întregul {\ displaystyle \ Delta _ {f}} este un subspatiu dens in {\ displaystyle H} , iar al doilea membru se caracterizează prin faptul că funcția {\ displaystyle f} poate fi văzută ca limita unei succesiuni{\ displaystyle f_ {n}} a funcțiilor măsurabile și mărginite care converg în norma de {\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mu _ {\ phi})} .
{\ displaystyle B: = \ int f (\ lambda) dP _ {\ lambda} \}
care satisface relația:
{\ displaystyle (\ phi, B \ phi) = \ int f (\ lambda) d \ mu _ {\ phi} = \ int f (\ lambda) d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi) \ quad \ forall \ phi \ în H}
unde este {\ displaystyle d \ mu _ {\ phi} = d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi)} denotă integrarea față de măsură {\ displaystyle \ mu _ {\ phi} = (\ phi, P \ phi)} .
Descompunerea spectrală a operatorilor normali și autoadjuncti
Este {\ displaystyle A} un operator normal mărginit definit pe un spațiu Hilbert {\ displaystyle H} . Teorema descompunerii spectrale pentru operatorii normali afirmă că există o singură măsură la valorile proiectorului {\ displaystyle P ^ {A}} astfel încât:
{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} zdP ^ {A} (x, y) \ qquad z: = (x, y) \ to x + iy \ in \ mathbb {C} \ quad ( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}
unde este {\ displaystyle \ sigma (A) = {\ mbox {supp}} (P ^ {A})} este spectrul{\ displaystyle A} . Se spune că {\ displaystyle P ^ {A}} este măsura evaluată de proiector asociată cu {\ displaystyle A} .
În special, dacă {\ displaystyle A} este un operator autoadjunct, se poate defini o măsură cu valori limitate ale proiectorului:
{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A) \}
definite pe spectru {\ displaystyle \ sigma (A)} din {\ displaystyle A} . Această măsură poate fi asociată în mod unic cu {\ displaystyle A} În felul următor:
{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H}
pentru fiecare funcție limitată măsurabilă {\ displaystyle f} și, în acest caz, avem:
{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A}}
Formula din stânga se numește diagonalizarea lui {\ displaystyle A} . [2]
Deși este posibil să se definească în mod unic un operator autoadjunct (sau, mai general, un operator normal) {\ displaystyle A} pornind de la o măsurare cu valori ale proiectorului și de la cealaltă dacă este posibilă diagonalizarea {\ displaystyle A} prin intermediul unei măsurători limitate a valorii proiectorului {\ displaystyle P ^ {A}} asa de {\ displaystyle P ^ {A}} este măsura cu valorile proiectorului asociate în mod unic cu {\ displaystyle A} . Fiecare operator autoadjunct limitat {\ displaystyle A} prin urmare, poate fi pus într-o corespondență unu-la-unu cu o măsurătoare cu valori limitate ale proiectorului {\ displaystyle P ^ {A}} .
Luați în considerare un operator autoadjunct {\ displaystyle A} nu este limitat. Prin transformarea Cayley {\ displaystyle U (A)} asociat cu {\ displaystyle A} :
{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A)) (IU (A)) ^ {- 1}}
este posibil să se definească, pornind de la {\ displaystyle A} , o măsurare la valorile proiectorului {\ displaystyle P ^ {U (A)}} în felul următor:
{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)) \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A)}
Întregul {\ displaystyle \ Omega} este un Borellian cuprins în spectrul (real) {\ displaystyle \ sigma (A)} din {\ displaystyle A} , Și {\ displaystyle U (\ Omega)} este rezultatul obținut prin aplicarea transformării Cayley pe {\ displaystyle \ mathbb {C}} .
Se arată că dacă funcția de identitate , definită pe {\ displaystyle \ sigma (A)} , este elegant {\ displaystyle L ^ {2}} cu privire la măsură {\ displaystyle (x, P ^ {A} (\ Omega) x)} , asa de {\ displaystyle P ^ {U (A)}} definește o măsură la valorile proiectorului {\ displaystyle \ sigma (A)} .
În special, este posibil să scrieți:
{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda)}
Chiar și în cazul {\ displaystyle A} corespondența nu limitată între {\ displaystyle A} iar o măsurare cu valori ale proiectorului este biunivocă.
Proiecțiile spectrale sunt un instrument care vă permite să caracterizați proprietățile spectrului {\ displaystyle \ sigma (A)} a unui operator autoadjunct {\ displaystyle A} . Mai întâi demonstrează că un număr {\ displaystyle \ lambda} aparține lui {\ displaystyle \ sigma (A)} dacă și numai dacă pentru fiecare {\ displaystyle \ varepsilon> 0} se îndeplinește următoarea condiție: [3]
Această abordare face posibilă și împărțirea spectrului în două subseturi:
Spectrul esențial al {\ displaystyle A} este setul {\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)} numere {\ displaystyle \ lambda} astfel încât pentru fiecare {\ displaystyle \ varepsilon> 0} rangul de {\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)} are dimensiune infinită. Se arată că acest set este închis. Echivalent, {\ displaystyle \ lambda} aparține lui {\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)} dacă și numai dacă este o valoare proprie care are multiplicitate infinită.
Este definit ca un spectru discret de {\ displaystyle A} întregul {\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)} numere {\ displaystyle \ lambda} astfel încât pentru fiecare {\ displaystyle \ varepsilon> 0} rangul de {\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)} are dimensiuni finite. Echivalent, {\ displaystyle \ lambda} aparține lui {\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)} dacă și numai dacă este un punct izolat al {\ displaystyle \ sigma (A)} și este o valoare proprie care are multiplicitate finită.
Extensii ale măsurătorilor la valorile proiectorului
De sine {\ displaystyle \ pi} este o măsură a valorilor proiectorului în sus {\ displaystyle (X, M)} , apoi harta:
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN0-12-585050-6 .
( EN ) GW Mackey, Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976
( EN ) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators , [1] , American Mathematical Society, 2009.
( EN ) VS Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.