Zeta s-a transformat

În analiza funcțională , transformata zeta este o transformare integrală care permite transformarea unei funcții discrete într-o funcție mai simplă, utilizată în principal în teoria semnalului .

Istorie

Conceptul transformării zeta era deja cunoscut lui Laplace , dar a fost reintrodus în 1947 de W. Hurewicz ca un mijloc util de rezolvare a ecuațiilor de diferență liniară cu coeficienți constanți. ^[1] Termenul „transformare zeta” a fost inventat mai târziu, în 1952 , de Ragazzini și Zadeh , cercetători la Universitatea Columbia . ^[2] ^[3] Este posibil ca numele să fi venit din ideea că litera „z” seamănă cu o literă eșantionată / digitalizată „s”, unde „s” este litera utilizată adesea pentru a indica variabila independentă din transformata Laplace . O altă posibilă origine este prezența literei „Z” atât în numele Ragazzini, cât și în Zadeh. Această nomenclatură se abate de la obiceiul adoptat în domeniul științific, în care o metodă sau o teoremă sunt asociate cu numele dezvoltatorului principal. A treia origine probabilă se află în domeniul semnalelor discrete, care este de obicei $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {Z}}$ sau un subset al acestuia.

Definiție

Transformare unilaterală

Este $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ o succesiune de numere complexe, indexate cu $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ . Transformarea sa unilaterală este definită ca seria formală de puteri complexe

X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n},\qquad {\mbox{ per }}z\in \mathbb {C} .

{\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}, \ qquad {\ mbox {per}} z \ in \ mathbb {C}.}

{\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}, \ qquad {\ mbox {per}} z \ in \ mathbb {C}.}

În teoria semnalului această definiție este utilizată pentru a evalua transformarea răspunsului impulsului unitar al unui sistem cauzal în timp discret. De obicei, în acest context succesiunea $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ reprezintă eșantionarea regulată a unui semnal $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ cauzal (adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este nul pentru timpii negativi), corespunzător timpilor formei $t=n\,\tau$ ${\ displaystyle t = n \, \ tau}$ ${\ displaystyle t = n \, \ tau}$ . Pasul de eșantionare $\tau >0$ ${\ displaystyle \ tau> 0}$ $\ tau> 0$ Este fix. Cu alte cuvinte

$x[n]=f(n\,\tau ),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} .$ ${\ displaystyle x [n] = f (n \, \ tau), \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} n \ în \ mathbb {N}.}$ ${\ displaystyle x [n] = f (n \, \ tau), \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} n \ in \ mathbb {N}.}$

Regiunea de convergență

Regiunea de convergență este partea planului complex în care converge seria care definește transformarea funcției:

ROC=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\,z^{-n}\right|<\infty \right\}

{\ displaystyle ROC = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} \ ,: \, \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \, z ^ {- n} \ right | <\ infty \ right \}}

{\ displaystyle ROC = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} \ ,: \, \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \, z ^ {- n} \ right | <\ infty \ right \}}

Seria converge pentru valori de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în module mai mari decât raza de convergență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , definit de criteriul rădăcină ca:

R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|x[n]|}}

{\ displaystyle R = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| x [n] |}}}

{\ displaystyle R = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| x [n] |}}}

Criteriul relației are o aplicație mai puțin generală, deoarece necesită ca termenii să fie diferiți de zero începând de la a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arbitrar în continuare. Cu toate acestea, este adesea mai ușor să calculați limita după acest criteriu decât utilizând criteriul rădăcină. Dacă ambele limite există, ele coincid. Cu toate acestea, nu trebuie să luăm reciprocitatea limitei superioare, deoarece transformarea zeta unilaterală este o serie de puteri cu un exponent negativ.

Transformare bilaterală

Uneori, poate fi util să definiți transformarea unei secvențe $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ indexat pe $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ mathbb {Z}$ . În acest caz, transformarea sa bilaterală este definită ca seria formală de putere

X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}

{\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}}

X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \} = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x [n] z ^ {{- n }}

unde din nou $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este complex .

Formula de inversiune

Expresia transformării inverse, care poate fi obținută folosind teorema integrală a lui Cauchy , este următoarea:

x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .

{\ displaystyle x [n] = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi j}} \ oint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} dz, \ qquad n \ in \ mathbb {N}.}

{\ displaystyle x [n] = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi j}} \ oint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} dz, \ qquad n \ in \ mathbb {N}.}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o cale închisă în sens invers acelor de ceasornic care se află în regiunea de convergență a $X(z)$ ${\ displaystyle X (z)}$ $X (z)$ și înconjoară originea avionului. Formula de mai sus devine utilă mai ales atunci când $X(z)$ ${\ displaystyle X (z)}$ $X (z)$ admite o extindere a întregului plan complex, cu excepția cel mult a unui număr finit de singularități izolate $z_{1},\dots ,z_{\ell }$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}}$ . Într-adevăr, în acest caz se poate apela la teorema reziduală și se poate obține

$x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle x [n] = \ sum _ {j = 1} ^ {\ ell} \ mathrm {Res} (X (z) \, z ^ {n-1}, z_ {j}), \ qquad { \ mbox {pentru fiecare}} n \ în \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle x [n] = \ sum _ {j = 1} ^ {\ ell} \ mathrm {Res} (X (z) \, z ^ {n-1}, z_ {j}), \ qquad { \ mbox {pentru fiecare}} n \ în \ mathbb {N}}$

De asemenea, în cazul izolării singularităților $z_{1},\dots ,z_{\ell }$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ ell}}$ sunt poli , calculul reziduurilor din formula anterioară este deosebit de ușor, folosind formula

$\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j})={\frac {1}{(m_{j}-1)!}}\,\lim _{z\to z_{j}}{\frac {d^{m_{j}-1}}{dz^{m_{j}-1}}}{\Big (}X(z)\,z^{n-1}(z-z_{j})^{m_{j}}{\Big )}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Res} (X (z) \, z ^ {n-1}, z_ {j}) = {\ frac {1} {(m_ {j} -1)!}} \, \ lim _ {z \ to z_ {j}} {\ frac {d ^ {m_ {j} -1}} {dz ^ {m_ {j} -1}}} {\ Big (} X (z) \, z ^ {n-1} (z-z_ {j}) ^ {m_ {j}} {\ Big)}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Res} (X (z) \, z ^ {n-1}, z_ {j}) = {\ frac {1} {(m_ {j} -1)!}} \, \ lim _ {z \ to z_ {j}} {\ frac {d ^ {m_ {j} -1}} {dz ^ {m_ {j} -1}}} {\ Big (} X (z) \, z ^ {n-1} (z-z_ {j}) ^ {m_ {j}} {\ Big)}}$

Unde $m_{j}$ ${\ displaystyle m_ {j}}$ $m_ {j}$ este ordinea stâlpului $z_{j}$ ${\ displaystyle z_ {j}}$ $z_ {j}$ .

Un caz deosebit de important apare atunci când $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este circumferința unității. În acest caz, transforma inversă zeta ia forma transformatei Fourier discrete inverse:

x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\

{\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega. \}

x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi}} ^ {{+ \ pi}} X (e ^ {{j \ omega}}) e ^ { {j \ omega n}} d \ omega. \

Proprietate

	Domeniul timpului	Domeniul Z	Demonstrație	ROC
Notaţie	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$ ${\ displaystyle x [n] = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \}}$ $x [n] = {\ mathcal {Z}} ^ {{- 1}} \ {X (z) \}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$ ${\ displaystyle X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \}}$ $X (z) = {\ mathcal {Z}} \ {x [n] \}$		ROC: $r_{2}<\|z\|<r_{1}\$ ${\ displaystyle r_ {2} <\| z \| <r_ {1} \}$ $r_ {2} <\| z \| <r_ {1} \$
Linearitatea	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\$ ${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} [n] + a_ {2} x_ {2} [n] \}$ $a_ {1} x_ {1} [n] + a_ {2} x_ {2} [n] \$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\$ ${\ displaystyle a_ {1} X_ {1} (z) + a_ {2} X_ {2} (z) \}$ $a_ {1} X_ {1} (z) + a_ {2} X_ {2} (z) \$	${\begin{array}{ll}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}\,x_{1}[n]+a_{2}\,x_{2}[n])\,z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}\\&+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}\,X_{1}(z)+a_{2}\,X_{2}(z)\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} X (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (a_ {1} \, x_ {1} [n] + a_ { 2} \, x_ {2} [n]) \, z ^ {- n} \\ & = a_ {1} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} [n] \, z ^ {- n} \\ & + a_ {2} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} [n] \, z ^ {- n} \\ & = a_ {1} \, X_ {1} (z) + a_ {2} \, X_ {2} (z) \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} X (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (a_ {1} \, x_ {1} [n] + a_ { 2} \, x_ {2} [n]) \, z ^ {- n} \\ & = a_ {1} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} [n] \, z ^ {- n} \\ & + a_ {2} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} [n] \, z ^ {- n} \\ & = a_ {1} \, X_ {1} (z) + a_ {2} \, X_ {2} (z) \ end {array}}}$	Cel puțin regiunea de intersecție a ROC ₁ și ROC ₂
Extinderea timpului	$x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}$ ${\ displaystyle x _ {(k)} [n] = {\ begin {cases} x [r], & n = rk \\ 0, & n \ not = rk \ end {cases}}}$ $x _ {{(k)}} [n] = {\ begin {cases} x [r], & n = rk \\ 0, & n \ not = rk \ end {cases}}$ $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ întreg	$X(z^{k})\$ ${\ displaystyle X (z ^ {k}) \}$ $X (z ^ {k}) \$	${\begin{array}{ll}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}[n]\,z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,z^{-r\,k}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} X_ {k} (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {k} [n] \, z ^ {- n } \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, z ^ {- r \, k} \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, (z ^ {k}) ^ {- r} \\ & = X (z ^ {k}) \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} X_ {k} (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {k} [n] \, z ^ {- n } \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, z ^ {- r \, k} \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x [r] \, (z ^ {k}) ^ {- r} \\ & = X (z ^ {k}) \ end {array}}}$	$r^{1/k}$ ${\ displaystyle r ^ {1 / k}}$ $r ^ {{1 / k}}$
Traducerea timpului	$x[n-k]$ ${\ displaystyle x [nk]}$ $x [n-k]$	$z^{-k}X(z)$ ${\ displaystyle z ^ {- k} X (z)}$ $z ^ {{- k}} X (z)$	$Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}$ ${\ displaystyle Z \ {x [nk] \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [nk] z ^ {- n}}$ $Z \ {x [n-k] \} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x [n-k] z ^ {{- n}}$ Loc $j=n-k$ ${\ displaystyle j = nk}$ $j = n-k$ avem: $\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [nk] z ^ {- n} = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- ( j + k)} = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} z ^ {- k}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x [nk] z ^ {{- n}} = \ sum _ {{j = -k}} ^ {{\ infty}} x [ j] z ^ {{- (j + k)}} = \ sum _ {{j = -k}} ^ {{\ infty}} x [j] z ^ {{- j}} z ^ {{- k}}$ $=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}$ ${\ displaystyle = z ^ {- k} \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j}}$ $= z ^ {{- k}} \ sum _ {{j = -k}} ^ {{\ infty}} x [j] z ^ {{- j}}$ $=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}$ ${\ displaystyle = z ^ {- k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j}}$ $= z ^ {{- k}} \ sum _ {{j = 0}} ^ {{\ infty}} x [j] z ^ {{- j}}$ fiind $x[\beta ]=0$ ${\ displaystyle x [\ beta] = 0}$ $x [\ beta] = 0$ de sine $\beta <0$ ${\ displaystyle \ beta <0}$ $\ beta <0$ . De la care: $z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)$ ${\ displaystyle z ^ {- k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} = z ^ {- k} X (z)}$ $z ^ {{- k}} \ sum _ {{j = 0}} ^ {{\ infty}} x [j] z ^ {{- j}} = z ^ {{- k}} X (z)$	ROC, cu excepția $z=0\$ ${\ displaystyle z = 0 \}$ $z = 0 \$ de sine $k>0\,$ ${\ displaystyle k> 0 \,}$ $k> 0 \,$ Și $z=\infty$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ $z = \ infty$ de sine $k<0\$ ${\ displaystyle k <0 \}$ $k <0 \$
Semnalele periodice	$x[n+m]=x[n]$ ${\ displaystyle x [n + m] = x [n]}$ ${\ displaystyle x [n + m] = x [n]}$	$X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}$ ${\ displaystyle X (z) = {\ frac {z ^ {m}} {z ^ {m} -1}} \, \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ frac {x [ k]} {z ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle X (z) = {\ frac {z ^ {m}} {z ^ {m} -1}} \, \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ frac {x [ k]} {z ^ {k}}}}$
Scalare în domeniul z	$a^{n}x[n]\$ ${\ displaystyle a ^ {n} x [n] \}$ $a ^ {n} x [n] \$	$X(a^{-1}z)\$ ${\ displaystyle X (a ^ {- 1} z) \}$ $X (a ^ {{- 1}} z) \$	${\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} Z \ {a ^ {n} x [n] \} = & \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {n} x (n) z ^ {- n} & \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (a ^ {- 1} z) ^ {- n} & \\ = X (a ^ {- 1} z) & \\\ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} Z \ {a ^ {n} x [n] \} = & \\\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} a ^ {{ n}} x (n) z ^ {{- n}} & \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (n) (a ^ {{- 1} } z) ^ {{- n}} & \\ = X (a ^ {{- 1}} z) & \\\ end {array}}$	$\|a\|r_{2}<\|z\|<\|a\|r_{1}\$ ${\ displaystyle \| a \| r_ {2} <\| z \| <\| a \| r_ {1} \}$ $\| a \| r_ {2} <\| z \| <\| a \| r_ {1} \$
Inversarea timpului	$x[-n]\$ ${\ displaystyle x [-n] \}$ $x [-n] \$	$X(z^{-1})\$ ${\ displaystyle X (z ^ {- 1}) \}$ $X (z ^ {{- 1}}) \$	${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ &\\=X(z^{-1})&\\\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {Z}} \ {x (-n) \} = & \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (- n) z ^ {- n} \ & \\ = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) z ^ {m} \ & \\ = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) {(z ^ {- 1})} ^ {- m} \ & \\ = X (z ^ {- 1}) & \\\ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {Z}} \ {x (-n) \} = & \\\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x ( -n) z ^ {{- n}} \ & \\ = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (m) z ^ {{m}} \ & \\ = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (m) {(z ^ {{- 1}})} ^ {{- m}} \ & \\ = X ( z ^ {{- 1}}) și \\\ end {array}}$	${\frac {1}{r_{1}}}<\|z\|<{\frac {1}{r_{2}}}\$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {1}}} <\| z \| <{\ frac {1} {r_ {2}}} \}$ ${\ frac {1} {r_ {1}}} <\| z \| <{\ frac {1} {r_ {2}}} \$
Conjugare complexă	$x^{}[n]\$ ${\ displaystyle x ^ {} [n] \}$ $x ^ {*} [n] \$	$X^{}(z^{})\$ ${\ displaystyle X ^ {} (z ^ {}) \}$ $X ^ {} (z ^ {}) \$	${\begin{array}{lcl}Z\{x^{}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{})^{-n}]^{}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{})^{-n}\ ]^{}&\\=X^{}(z^{})&\\\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} Z \ {x ^ {} (n) \} = & \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {} ( n) z ^ {- n} \ & \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} [x (n) (z ^ {}) ^ {- n}] ^ {} \ & \\ = [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (z ^ {}) ^ {- n} \] ^ {} & \\ = X ^ { } (z ^ {}) & \\\ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} Z \ {x ^ {} (n) \} = & \\\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x ^ {} (n) z ^ {{- n}} \ & \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} [x (n) (z ^ {}) ^ {{ -n}}] ^ {} \ & \\ = [\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (n) (z ^ {}) ^ {{- n }} \] ^ {} & \\ = X ^ {} (z ^ {}) & \\\ end {array}}$	ROC
Partea reală	$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ {x [n] \} \}$ $\ operatorname {Re} \ {x [n] \} \$	${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{}(z^{})\right]$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left [X (z) + X ^ {} (z ^ {}) \ right]}$ ${\ frac {1} {2}} \ left [X (z) + X ^ {} (z ^ {}) \ right]$		ROC
Partea imaginară	$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ {x [n] \} \}$ $\ operatorname {Im} \ {x [n] \} \$	${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{}(z^{})\right]$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2j}} \ left [X (z) -X ^ {} (z ^ {}) \ right]}$ ${\ frac {1} {2j}} \ left [X (z) -X ^ {} (z ^ {}) \ right]$		ROC
Diferenţiere	$nx[n]\$ ${\ displaystyle nx [n] \}$ $nx [n] \$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$ ${\ displaystyle -z {\ frac {dX (z)} {dz}}}$ $-z {\ frac {dX (z)} {dz}}$	${\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ &\\=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ &\\=-z{\frac {dX(z)}{dz}}&\\\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} Z \ {nx (n) \} = & \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} nx (n) z ^ {- n} \ & \\ = z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} nx (n) z ^ {- n-1} \ & \\ = - z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (- nz ^ {- n-1}) \ & \\ = - z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ frac { d} {dz}} (z ^ {- n}) \ & \\ = - z {\ frac {dX (z)} {dz}} & \\\ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} Z \ {nx (n) \} = & \\\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} nx (n) z ^ {{- n}} \ & \\ = z \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} nx (n) z ^ {{- n-1}} \ & \\ = - z \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (n) (- nz ^ {{- n-1}}) \ & \\ = - z \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x (n) {\ frac {d} {dz}} (z ^ {{- n}}) \ & \\ = - z {\ frac {dX (z) } {dz}} & \\\ end {array}}$	ROC
Convoluţie	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$ ${\ displaystyle x_ {1} [n] x_ {2} [n] \}$ $x_ {1} [n] * x_ {2} [n] \$	$X_{1}(z)X_{2}(z)\$ ${\ displaystyle X_ {1} (z) X_ {2} (z) \}$ $X_ {1} (z) X_ {2} (z) \$	${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) x_ {2} (n) \} = & \\ {\ mathcal {Z}} \ {\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) \} \ & \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} [\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl)] z ^ {- n} \ & \\ = \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (nl) z ^ {- n}] \ & \\ = [\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) z ^ {- l}] [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (n) z ^ {- n}] \ & \\ = X_ {1} (z) X_ {2} (z) & \\\ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) * x_ {2} (n) \} = & \\ {\ mathcal {Z}} \ {\ sum _ {{l = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) \} \ & \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} [\ sum _ {{l = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {1} (l) x_ {2} (nl)] z ^ {{- n}} \ & \\ = \ sum _ {{l = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {1} (l) \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {2} (nl) z ^ {{- n}}] \ & \\ = [\ sum _ {{l = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {1} (l) z ^ {{-l}}] [\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {2} (n) z ^ {{- n}}] \ & \\ = X_ { 1} (z) X_ {2} (z) & \\\ end {array}}$	Cel puțin regiunea de intersecție a ROC ₁ și ROC ₂
Corelarea încrucișată	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{}[-n]x_{2}[n]\$ ${\ displaystyle r_ {x_ {1}, x_ {2}} = x_ {1} ^ {} [- n] x_ {2} [n] \}$ $r _ {{x_ {1}, x_ {2}}} = x_ {1} ^ {} [- n] x_ {2} [n] \$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{}(1/z^{})X_{2}(z)\$ ${\ displaystyle R_ {x_ {1}, x_ {2}} (z) = X_ {1} ^ {} (1 / z ^ {}) X_ {2} (z) \}$ $R _ {{x_ {1}, x_ {2}}} (z) = X_ {1} ^ {} (1 / z ^ {}) X_ {2} (z) \$		Cel puțin regiunea de intersecție a ROC din $X_{1}(1/z^{})$ ${\ displaystyle X_ {1} (1 / z ^ {})}$ $X_ {1} (1 / z ^ {*})$ Și $X_{2}(z)$ ${\ displaystyle X_ {2} (z)}$ $X_ {2} (z)$
Prima diferență	$x[n]-x[n-1]\$ ${\ displaystyle x [n] -x [n-1] \}$ $x [n] -x [n-1] \$	$(1-z^{-1})X(z)\$ ${\ displaystyle (1-z ^ {- 1}) X (z) \}$ $(1-z ^ {{- 1}}) X (z) \$		Cel puțin regiunea de intersecție a ROC a lui X ₁ (z) e $\|z\|>0$ ${\ displaystyle \| z \|> 0}$ $\| z \|> 0$
Acumulare	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n} x [k] \}$ $\ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{n}} x [k] \$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}} X (z)}$ ${\ frac {1} {1-z ^ {{- 1}}}} X (z)$	${\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n} x [k] \ cdot z ^ { -n} \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (x [n] + x [n-1] + \\ x [n-2] \ cdots x [- \ infty] ) z ^ {- n} \\ = X [z] (1 + z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + z ^ {- 3} \ cdots) \\ = X [z] \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} z ^ {- j} \\ = X [z] {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}} \ end {array}}}$ ${\ begin {array} {lcl} \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{n}} x [k] \ cdot z ^ {{- n}} \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} (x [n] + x [n-1] + \\ x [n -2] \ cdots x [- \ infty]) z ^ {{- n}} \\ = X [z] (1 + z ^ {{- 1}} + z ^ {{- 2}} + z ^ {{-3}} \ cdots) \\ = X [z] \ sum _ {{j = 0}} ^ {{\ infty}} z ^ {{- j}} \\ = X [z] {\ frac {1} {1-z ^ {{- 1}}}} \ end {array}}$
Multiplicare	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$ ${\ displaystyle x_ {1} [n] x_ {2} [n] \}$ $x_ {1} [n] x_ {2} [n] \$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ({\ frac {z} {v}}) v ^ {- 1} \ mathrm {d} v \}$ ${\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ({\ frac {z} {v}}) v ^ {{- 1}} { \ mathrm {d}} v \$		-
Teorema lui Parseval	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{}[n]\$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} [n] x_ {2} ^ {} [n] \}$ $\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x_ {1} [n] x_ {2} ^ {*} [n] \$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{}({\frac {1}{v^{}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ^ {} ({\ frac {1} {v ^ {}} }) v ^ {- 1} \ mathrm {d} v \}$ ${\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ^ {} ({\ frac {1} {v ^ {}}}) v ^ {{- 1}} {\ mathrm {d}} v \$

Valoarea inițială și teorema valorii finale

În mod similar cu transformata Laplace , de asemenea, pentru transformarea zeta este posibilă afirmarea a două teoreme care permit să se cunoască valoarea inițială și valoarea finală a eșantionării începând de la transformarea sa.

Teorema valorii inițiale afirmă că:

x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\

{\ displaystyle x [0] = \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} X (z) \}

x [0] = \ lim _ {{z \ rightarrow \ infty}} X (z) \

de sine $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ este cauzal (adică nimic pentru n negative).

Dacă succesiunea $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ admite limita finită, atunci $X(z)$ ${\ displaystyle X (z)}$ $X (z)$ este o funcție analitică în afara discului de rază $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ centrată la originea și teorema valorii finale afirmă că:

$x[\infty ]=\lim _{\mathbb {R} \ni z\rightarrow 1^{+}}(z-1)\,X(z)\$ ${\ displaystyle x [\ infty] = \ lim _ {\ mathbb {R} \ ni z \ rightarrow 1 ^ {+}} (z-1) \, X (z) \}$ ${\ displaystyle x [\ infty] = \ lim _ {\ mathbb {R} \ ni z \ rightarrow 1 ^ {+}} (z-1) \, X (z) \}$

Rezultatul este fals fără presupunerea că $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ admiteți limita, așa cum se vede ușor luând secvența $x[n]=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle x [n] = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle x [n] = (- 1) ^ {n}}$ , a cărui transformare zeta este dată de

X(z)={\frac {z}{z+1}}

{\ displaystyle X (z) = {\ frac {z} {z + 1}}}

{\ displaystyle X (z) = {\ frac {z} {z + 1}}}

Am transformat câteva funcții notabile

Sunt:

$u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$ ${\ displaystyle u [n] = {\ begin {cases} 1, & n \ geq 0 \\ 0, & n <0 \ end {cases}}}$ $u [n] = {\ begin {cases} 1, & n \ geq 0 \\ 0, & n <0 \ end {cases}}$
$\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$ ${\ displaystyle \ delta [n] = {\ begin {cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ neq 0 \ end {cases}}}$ $\ delta [n] = {\ begin {cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ neq 0 \ end {cases}}$

Funcţie, $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$	Transformă Z, $X(z)$ ${\ displaystyle X (z)}$ $X (z)$	ROC
$\delta [n]\,$ ${\ displaystyle \ delta [n] \,}$ $\ delta [n] \,$	$1\,$ ${\ displaystyle 1 \,}$ $1 \,$	${\mbox{ogni }}z\,$ ${\ displaystyle {\ mbox {each}} z \,}$ ${\ mbox {fiecare}} z \,$
$\delta [n-n_{0}]\,$ ${\ displaystyle \ delta [n-n_ {0}] \,}$ $\ delta [n-n_ {0}] \,$	$z^{-n_{0}}\,$ ${\ displaystyle z ^ {- n_ {0}} \,}$ $z ^ {{- n_ {0}}} \,$	$z\neq 0\,$ ${\ displaystyle z \ neq 0 \,}$ $z \ neq 0 \,$
$u[n]\,$ ${\ displaystyle u [n] \,}$ $A]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}$ ${\ frac {1} {1-z ^ {{- 1}}}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$\,e^{-\alpha n}u[n]$ ${\ displaystyle \, e ^ {- \ alpha n} u [n]}$ $\, e ^ {{- \ alpha n}} u [n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$ ${\ displaystyle 1 \ over 1-e ^ {- \ alpha} z ^ {- 1}}$ ${1 \ over 1-e ^ {{- \ alpha}} z ^ {{- 1}}}$	$\|z\|>\|e^{-\alpha }\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| e ^ {- \ alpha} \| \,}$ $\| z \|> \| e ^ {{- \ alpha}} \| \,$
$-u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -u [-n-1] \,}$ $-u [-n-1] \,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}$ ${\ frac {1} {1-z ^ {{- 1}}}}$	$\|z\|<1\,$ ${\ displaystyle \| z \| <1 \,}$ $\| z \| <1 \,$
$nu[n]\,$ ${\ displaystyle nu [n] \,}$ $nu [n] \,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}}} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {2}}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$-nu[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -nu [-n-1] \,}$ $-nu [-n-1] \,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}}} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {2}}}$	$\|z\|<1\,$ ${\ displaystyle \| z \| <1 \,}$ $\| z \| <1 \,$
$n^{2}u[n]\,$ ${\ displaystyle n ^ {2} u [n] \,}$ $n ^ {2} u [n] \,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {3}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}} (1 + z ^ {{- 1}})} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {3}}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$-n^{2}u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -n ^ {2} u [-n-1] \,}$ $-n ^ {2} u [-n-1] \,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {3}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}} (1 + z ^ {{- 1}})} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {3}}}$	$\|z\|<1\,$ ${\ displaystyle \| z \| <1 \,}$ $\| z \| <1 \,$
$n^{3}u[n]\,$ ${\ displaystyle n ^ {3} u [n] \,}$ $n ^ {3} u [n] \,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + 4z ^ {- 1} + z ^ {- 2})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {4}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}} (1 + 4z ^ {{- 1}} + z ^ {{- 2}})} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {4 }}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$-n^{3}u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -n ^ {3} u [-n-1] \,}$ $-n ^ {3} u [-n-1] \,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + 4z ^ {- 1} + z ^ {- 2})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {4}}}}$ ${\ frac {z ^ {{- 1}} (1 + 4z ^ {{- 1}} + z ^ {{- 2}})} {(1-z ^ {{- 1}}) ^ {4 }}}$	$\|z\|<1\,$ ${\ displaystyle \| z \| <1 \,}$ $\| z \| <1 \,$
$a^{n}u[n]\,$ ${\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}$ $a ^ {n} u [n] \,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}$ ${\ frac {1} {1-az ^ {{- 1}}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| a \| \,}$ $\| z \|> \| a \| \,$
$-a^{n}u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}$ $-a ^ {n} u [-n-1] \,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}$ ${\ frac {1} {1-az ^ {{- 1}}}}$	$\|z\|<\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \| <\| a \| \,}$ $\| z \| <\| a \| \,$
$na^{n}u[n]\,$ ${\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}$ $na ^ {n} u [n] \,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}$ ${\ frac {az ^ {{- 1}}} {(1-az ^ {{- 1}}) ^ {2}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| a \| \,}$ $\| z \|> \| a \| \,$
$-na^{n}u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}$ $-na ^ {n} u [-n-1] \,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}$ ${\ frac {az ^ {{- 1}}} {(1-az ^ {{- 1}}) ^ {2}}}$	$\|z\|<\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \| <\| a \| \,}$ $\| z \| <\| a \| \,$
$n^{2}a^{n}u[n]\,$ ${\ displaystyle n ^ {2} a ^ {n} u [n] \,}$ $n ^ {2} a ^ {n} u [n] \,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} (1 + az ^ {- 1})} {(1-az ^ {- 1}) ^ {3}}}}$ ${\ frac {az ^ {{- 1}} (1 + az ^ {{- 1}})} {(1-az ^ {{- 1}}) ^ {3}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| a \| \,}$ $\| z \|> \| a \| \,$
$-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$ ${\ displaystyle -n ^ {2} a ^ {n} u [-n-1] \,}$ $-n ^ {2} a ^ {n} u [-n-1] \,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} (1 + az ^ {- 1})} {(1-az ^ {- 1}) ^ {3}}}}$ ${\ frac {az ^ {{- 1}} (1 + az ^ {{- 1}})} {(1-az ^ {{- 1}}) ^ {3}}}$	$\|z\|<\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \| <\| a \| \,}$ $\| z \| <\| a \| \,$
$\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$ ${\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}$ $\ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,$	${\frac {z^{2}-z\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -z \ cos (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega _ {0}) + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -z \ cos (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega _ {0}) + 1}}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$ ${\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}$ $\ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,$	${\frac {z\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z \ sin (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega _ {0}) + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z \ sin (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2z \ cos (\ omega _ {0}) + 1}}}$	$\|z\|>1\,$ ${\ displaystyle \| z \|> 1 \,}$ $\| z \|> 1 \,$
$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$ ${\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}$ $a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,$	${\frac {z^{2}-az\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -az \ cos (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2az \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2}} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -az \ cos (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2az \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2}} }}$	$\|z\|>\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| a \| \,}$ $\| z \|> \| a \| \,$
$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$ ${\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}$ $a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,$	${\frac {az\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az \ sin (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2az \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {az \ sin (\ omega _ {0})} {z ^ {2} -2az \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2}}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$ ${\ displaystyle \| z \|> \| a \| \,}$ $\| z \|> \| a \| \,$

Relația cu transformata Laplace

Același subiect în detaliu: transformarea Laplace .

Transformarea zeta unilaterală este transformata Laplace a unui semnal eșantionat ideal cu substituția:

z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\

{\ displaystyle z \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {sT} \}

z \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ e ^ {{sT}} \

unde este $T=1/f_{s}\$ ${\ displaystyle T = 1 / f_ {s} \}$ $T = 1 / f_ {s} \$ este perioada de eșantionare, cu $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_ {s}$ rata de eșantionare (măsurată în eșantioane pe secundă sau în hertz ).

Este:

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)

{\ displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta (t-nT)}

\ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ delta (t-nT )

un tren de impulsuri și fie:

{\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {q} (t) & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ x (t) \ Delta _ {T} (t) = x (t) \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x (nT) \ delta (t-nT) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ delta (t-nT) \ end {align}}}

{\ begin {align} x_ {q} (t) & {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ x (t) \ Delta _ {T} (t) = x (t) \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ delta (t-nT) \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x (nT) \ delta (t-nT) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x [n] \ delta (t-nT) \ end {align}}

reprezentarea în timp continuă a semnalului $x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)$ ${\ displaystyle x [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ x (nT)}$ $x [n] \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ x (nT)$ obținute prin eșantionare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ . Transformarea Laplace a $x_{q}(t)$ ${\ displaystyle x_ {q} (t)}$ $x_ {q} (t)$ este dat de:

{\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {q} (s) & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) e ^ {- st} \, dt \ \ & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ delta (t-nT) și ^ {- st} \, dt \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) e ^ {- st} \, dt \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- nsT} \ end {align}}}

{\ begin {align} X_ {q} (s) & = \ int _ {{0 ^ {-}}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) e ^ {{- st}} \, dt \\ & = \ int _ {{0 ^ {-}}} ^ {\ infty} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} x [n] \ delta (t-nT) e ^ { {-st}} \, dt \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} x [n] \ int _ {{0 ^ {-}}} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) e ^ {{- st}} \, dt \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} x [n] e ^ {{- nsT}} \ end { aliniat}}

Aceasta este definiția transformării zeta unilaterale a funcției timp discret $x[n]\$ ${\ displaystyle x [n] \}$ $x [n] \$ , adică:

X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}

{\ displaystyle X (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n}}

X (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x [n] z ^ {{- n}}

cu înlocuire $z\leftarrow e^{sT}$ ${\ displaystyle z \ leftarrow e ^ {sT}}$ $z \ leftarrow e ^ {{sT}}$ . Prin compararea ultimelor două relații, se obține relația dintre transformata zeta unilaterală și transformata Laplace a semnalului eșantionat:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}

{\ displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {z = e ^ {sT}}}

X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {{z = e ^ {{sT}}}}

Relația dintre planul s și planul z

Pentru ceea ce sa spus, variabila s poate fi rescrisă folosind reprezentarea dreptunghiulară ca:

z=e^{sT}=e^{T\sigma }e^{jT\omega }=e^{T\sigma }e^{jT(\omega +{\frac {2k\pi }{T}})}\qquad k\in \mathbb {R}

{\ displaystyle z = e ^ {sT} = e ^ {T \ sigma} e ^ {jT \ omega} = e ^ {T \ sigma} e ^ {jT (\ omega + {\ frac {2k \ pi} { T}})} \ qquad k \ in \ mathbb {R}}

z = e ^ {{sT}} = e ^ {{T \ sigma}} e ^ {{jT \ omega}} = e ^ {{T \ sigma}} e ^ {{jT (\ omega + {\ frac {2k \ pi} {T}})}} \ qquad k \ in \ mathbb {R}

Ultima identitate derivă din faptul că exponențialul complex este o funcție periodică a perioadei i2π.

Din acest raport se pot face câteva considerații importante

fiecare punct al planului s a cărui parte imaginară diferă de un multiplu întreg al impulsului de eșantionare este transformat în același punct al planului z
fiecare punct din planul s aparținând semiplanului negativ se transformă într-un punct din interiorul circumferinței razei 1 întrucât $|z|=e^{T\sigma }$ ${\ displaystyle | z | = e ^ {T \ sigma}}$ $| z | = e ^ {{T \ sigma}}$
fiecare punct din planul s aparținând semiplanului pozitiv este transformat într-un punct în afara circumferinței razei unitare
fiecare punct aparținând axei imaginare este transformat într-un punct de pe circumferință cu o rază unitară

În virtutea acestor considerații este logic să se definească, de asemenea, o bandă primară și mai multe benzi complementare în planul s. Banda primară include toate numerele complexe cu o parte imaginară între $\pm j\omega _{s}/2$ ${\ displaystyle \ pm j \ omega _ {s} / 2}$ $\ pm j \ omega _ {s} / 2$ , benzile complementare se obțin, începând de la cea primară, prin translația verticală a unui multiplu întreg al pulsației de eșantionare. Pentru ceea ce sa spus, este posibil ca fiecare punct al planului z să corespundă unui punct al benzii primare.

La fel ca ceea ce se întâmplă în planul s, este posibil, de asemenea, în planul z, să urmărim locurile a $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ constant.

Prelevarea de probe

Luați în considerare un semnal continuu $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ , a cărui transformare este:

L\{x(t)\}\equiv X(s)\equiv \int _{0}^{\infty }{x(t)e^{-st}dt}

{\ displaystyle L \ {x (t) \} \ equiv X (s) \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} {x (t) e ^ {- st} dt}}

L \ {x (t) \} \ equiv X (s) \ equiv \ int _ {0} ^ {{\ infty}} {x (t) e ^ {{- st}} dt}

De sine $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este eșantionat uniform cu un tren de impulsuri pentru a obține un semnal discret $x^{*}[k]=x(kT)$ ${\ displaystyle x ^ {*} [k] = x (kT)}$ $x ^ {{*}} [k] = x (kT)$ (presupunând procesul ideal), atunci acesta poate fi reprezentat ca:

x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\infty }{x(t)\delta (t-kT)}

{\ displaystyle x ^ {*} [k] = x (kT) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x (t) \ delta (t-kT)}}

x ^ {{*}} [k] = x (kT) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} {x (t) \ delta (t-kT)}

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intervalul de eșantionare. În acest context, transformata Laplace este dată de:

{\begin{array}{l l l l l l}L\{x(kT)\}&=&X^{*}(s)&=&\int _{0}^{\infty }{\sum _{k=0}^{\infty }{x(t).\delta (t-kT)}e^{-st}dt}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }{x^{*}(k).z^{-k}},z=e^{sT}\\\left.L\{x(kT)\}\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&\left.X^{*}(s)\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&Z\{x^{*}(k)\}\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {llllll} L \ {x (kT) \} & = & X ^ {*} (s) & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x (t). \ delta (t-kT)} e ^ {- st} dt} \\ & = & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {x ^ {*} (k) .z ^ {- k}}, z = e ^ {sT} \\\ left.L \ {x (kT) \} \ right | _ {s = {\ frac { \ ln {(z)}} {T}}} & = & \ left.X ^ {*} (s) \ right | _ {s = {\ frac {\ ln {(z)}} {T}} } & = & Z \ {x ^ {*} (k) \} \ end {array}}}

{\begin{array}{llllll}L\{x(kT)\}&=&X^{{*}}(s)&=&\int _{0}^{{\infty }}{\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{x(t).\delta (t-kT)}e^{{-st}}dt}\\&=&\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{x^{{*}}(k).z^{{-k}}},z=e^{{sT}}\\\left.L\{x(kT)\}\right|_{{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}}&=&\left.X^{{*}}(s)\right|_{{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}}&=&Z\{x^{{*}}(k)\}\end{array}}

Trasformata di Fourier a tempo discreto

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Fourier a tempo discreto .

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}

X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}

X(z)=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]\,z^{{-n}}

che si ottiene ponendo $z=e^{i\omega }\,$ $z=e^{i\omega }\,$ $z=e^{{i\omega }}\,$ . Dal momento che $|e^{i\omega }|=1\,$ $|e^{i\omega }|=1\,$ $|e^{{i\omega }}|=1\,$ , la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso .

Modello autoregressivo a media mobile

Lo stesso argomento in dettaglio: Modello autoregressivo a media mobile .

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\

\sum _{p=0}^{N}y[np]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}\

\sum _{{p=0}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}\

dove entrambi i membri possono essere divisi per $\alpha _{0}\$ $\alpha _{0}\$ $\alpha _{0}\$ , se è diversa da zero, normalizzando $\alpha _{0}=1\$ $\alpha _{0}=1\$ $\alpha _{0}=1\$ . In questo modo l'equazione assume la forma:

y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}

y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[np]\alpha _{p}

y[n]=\sum _{{q=0}}^{{M}}x[n-q]\beta _{{q}}-\sum _{{p=1}}^{{N}}y[n-p]\alpha _{{p}}

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale $y[{n}]$ ${\displaystyle y[{n}]}$ $y[{n}]$ è funzione del valore dell'uscita $y[{n-p}]$ ${\displaystyle y[{np}]}$ $y[{n-p}]$ a un tempo precedente, dell'ingresso attuale $x[{n}]$ ${\displaystyle x[{n}]}$ $x[{n}]$ e dei precedenti valori $x[{n-q}]\$ $x[{nq}]\$ $x[{n-q}]\$ . Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\

Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\

Y(z)\sum _{{p=0}}^{{N}}z^{{-p}}\alpha _{{p}}=X(z)\sum _{{q=0}}^{{M}}z^{{-q}}\beta _{{q}}\

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento :

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{q=0}}^{{M}}z^{{-q}}\beta _{{q}}}{\sum _{{p=0}}^{{N}}z^{{-p}}\alpha _{{p}}}}={\frac {\beta _{0}+z^{{-1}}\beta _{1}+z^{{-2}}\beta _{2}+\cdots +z^{{-M}}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{{-1}}\alpha _{1}+z^{{-2}}\alpha _{2}+\cdots +z^{{-N}}\alpha _{N}}}

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di $H$ ${\displaystyle H}$ $H$ , e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di $H$ ${\displaystyle H}$ $H$ . Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\

H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\

H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{{-1}})(1-q_{2}z^{{-1}})\cdots (1-q_{M}z^{{-1}})}{(1-p_{1}z^{{-1}})(1-p_{2}z^{{-1}})\cdots (1-p_{N}z^{{-1}})}}\

dove $q_{k}\$ $q_{k}\$ $q_{k}\$ è il k-esimo zero e $p_{k}\$ $p_{k}\$ $p_{k}\$ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da $H(z)\$ $H(z)\$ $H(z)\$ è pilotato dal segnale $X(z)\$ $X(z)\$ $X(z)\$ allora l'uscita è data da $Y(z)=H(z)X(z)$ ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}$ $Y(z)=H(z)X(z)$ .

Note

^ ER Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics , 3rd, University of Alberta, 1981, pp. 185–186, ISBN 978-0-88864-074-1 .
^ JR Ragazzini and LA Zadeh, The analysis of sampled-data systems , in Trans. Am. Inst. Elec. Eng. , vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.
^ Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques , Academic Press, 1996, p. 123, ISBN 978-0-12-012779-5 .

Bibliografia

El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5 , 445–457 (1999). PDF

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Eric W. Weisstein, Trasformata zeta , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Eric W. Weisstein, Unilateral Z-Transform , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Eric W. Weisstein, Bilateral Z-Transform , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) JH Matthews e RW Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
( EN ) Springer Encyclopedia of Mathematics: Z-Transform , su eom.springer.de .

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85149533

Portale Controlli automatici

Portale Ingegneria

Portale Matematica

[1] ER Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics , 3rd, University of Alberta, 1981, pp. 185–186, ISBN 978-0-88864-074-1 .

[2] JR Ragazzini and LA Zadeh, The analysis of sampled-data systems , in Trans. Am. Inst. Elec. Eng. , vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.

[3] Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques , Academic Press, 1996, p. 123, ISBN 978-0-12-012779-5 .

[1]

[2]

[3]