Phonone

În fizică , fononul este o cvasiparticulă care descrie o cuantă de vibrație într-o rețea cristalină rigidă.

Moduri normale de vibrație într-un cristal. Amplitudinea mișcării a fost exagerată pentru o înțelegere mai simplă; într-un cristal adevărat, este de obicei mult mai mic decât dimensiunea rețelei.

Studiul fononilor este important în fizica statelor solide , deoarece aceștia joacă un rol important în înțelegerea multor proprietăți ale solidelor, cum ar fi căldura specifică , conducerea termică , conducta electrică și propagarea sunetului . Numele phonone derivă din greaca φωνή (phoné: sunet).

Fononii sunt contrapartida cuantică a ceea ce în mecanica clasică este cunoscut sub numele de dezvoltare a modului normal sau descompunerea vibrațiilor în „vibrații elementare”, numite moduri normale. Din acest punct de vedere, toate vibrațiile pot fi văzute formal și descrise ca o suprapunere a modurilor normale. Vibrațiile elementare, descrise mai jos în cazul unidimensional, din punct de vedere clasic sunt unde.

Din punct de vedere al mecanicii cuantice , așa - numitul dualism undă-particulă poate fi observat și în fononi, adică prezența simultană a proprietăților undelor și particulelor. Cea mai evidentă manifestare a comportamentului particulelor este dată de împrăștierea Brillouin și Raman , în care interacțiunea dintre fotoni și fononi este descrisă matematic ca un simplu proces de coliziune .

Istorie

Fononii au fost introduși la începutul secolului al XX-lea de Debye și Einstein , în cadrul modelelor lor respective pentru căldura specifică a solidelor, când au văzut că calculul funcției de partiție (și, prin urmare, al cantităților caracteristice ale mecanicii statistice, cum ar fi energia numere medii și medii de ocupație ) referitoare la oscilațiile rețelei de cristal au condus la rezultate similare cu cele obținute în teoria statistică a particulelor identice ale spinului întreg : bosoni . Tocmai această analogie de bază cu bosonii a condus la identificarea modurilor normale ale rețelei de cristal cu fononi. Așa cum fotonii sunt cante de unde electromagnetice , în modelul lui Debye, fononii sunt cante de unde sonore , care se propagă în interiorul solidului.

Explicația microscopică a supraconductivității se bazează pe schimbul între electronii fononilor, care dau naștere așa-numitelor perechi Cooper .

Modelul clasic al vibrațiilor elementare este descris mai jos.

Lanțul monatomic

Cel mai simplu model în care apar fononii este lanțul monatomic. Observăm că ecuația în această formă este pur clasică. Sa luam in considerare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ masele $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dispuse liniar, la distanță de repaus $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , care interacționează elastic cu primii vecini cu o constantă de rechemare elastică $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Poziția masei a n-a va fi:

x_{n}=na+q_{n}

{\ displaystyle x_ {n} = na + q_ {n}}

{\ displaystyle x_ {n} = na + q_ {n}}

spus $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ îndepărtarea de poziția de echilibru a masei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -Da, dar. Având în vedere a doua lege a dinamicii, ecuația mișcării lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a masa (de coordonate $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ $q_ {n}$ ) poate fi scris ca:

m{\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\alpha {\bigl [}\left(q_{n+1}-q_{n}-a\right)+\left(q_{n-1}-q_{n}+a\right){\bigr ]}

{\ displaystyle m {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n}} {\ partial t ^ {2}}} = \ alpha {\ bigl [} \ left (q_ {n + 1} -q_ {n } -a \ right) + \ left (q_ {n-1} -q_ {n} + a \ right) {\ bigr]}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n}} {\ partial t ^ {2}}} = \ alpha {\ bigl [} \ left (q_ {n + 1} -q_ {n } -a \ right) + \ left (q_ {n-1} -q_ {n} + a \ right) {\ bigr]}}

Definind cu $\omega _{0}^{2}={\frac {\alpha }{m}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m}}}$ avem asta:

{\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\omega _{0}^{2}\left[q_{n+1}-2q_{n}+q_{n-1}\right]

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {0} ^ {2} \ left [q_ {n + 1} -2q_ {n} + q_ {n-1} \ dreapta]}

{\ frac {\ partial ^ {2} q _ {{n}}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {0} ^ {2} \ left [q _ {{n + 1} } - 2q_ {n} + q _ {{n-1}} \ dreapta]

Relația de dispersie pentru un fonon dintr-un lanț monatomic.

Acestea sunt $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ ecuații diferențiale cuplate și sunt, în practică, imposibil de rezolvat imediat $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este mai mare decât $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ sau $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ . Prin urmare, este necesar să decuplăm ecuațiile printr-o schimbare a cadrului de referință , adică să aplicăm o transformare variabilelor $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ astfel încât să treacă în reprezentarea modurilor normale, făcând astfel înlocuirea

q_{n}=Ae^{i(k_{j}an-\omega _{j}t)}+Be^{-i(k_{j}an+\omega _{j}t)}

{\ displaystyle q_ {n} = Ae ^ {i (k_ {j} an- \ omega _ {j} t)} + Be ^ {- i (k_ {j} an + \ omega _ {j} t)} }

{\ displaystyle q_ {n} = Ae ^ {i (k_ {j} an- \ omega _ {j} t)} + Be ^ {- i (k_ {j} an + \ omega _ {j} t)} }

unde am introdus variabilele fictive $q_{0}$ ${\ displaystyle q_ {0}}$ $q_0$ Și $q_{N+1}$ ${\ displaystyle q_ {N + 1}}$ ${\ displaystyle q_ {N + 1}}$ , corespunzător pozițiilor pereților, pe care ulterior le vom impune a fi nule.

Să vedem acum cum $k_{j}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ nu este o variabilă continuă, dar poate presupune doar valori discrete; pentru aceasta este dat indicele $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , care merge de la $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ (se arată că, grație periodicității soluțiilor, toate celelalte valori pe care le poate presupune sunt reduse la soluții neindependente ale sistemului) și se numește indicele modului normal. De fapt, din starea undei staționare (adică impunând că variabilele fictive se anulează reciproc, deoarece pereții sunt staționari) rezultă că:

k_{j}={\frac {2\pi }{(N+1)a}}j\

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {(N + 1) a}} j \}

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {(N + 1) a}} j \}

Asa ca $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ $k_{j}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ sunt noile variabile, care înlocuiesc $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ variabile. Cu această substituție a variabilelor avem că sistemul de ecuații este diagonalizat și obținem acest lucru, pentru fiecare mod normal $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ următoarea relație de dispersie se menține între $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

\omega _{j}^{2}=4\omega _{0}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {ak_{j}}{2}}\right)}

{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {2} = 4 \ omega _ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} {\ left ({\ frac {ak_ {j}} {2}} \ right )}}

{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {2} = 4 \ omega _ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} {\ left ({\ frac {ak_ {j}} {2}} \ right )}}

Rețineți existența unei pulsații de oscilație a vibrațiilor maxime egală cu $2\omega _{0}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 \ omega _ {0}}$ . De asemenea pentru $j\ll N$ ${\ displaystyle j \ ll N}$ ${\ displaystyle j \ ll N}$ deci pentru lungimi de undă ( $\lambda _{j}=2\pi /k_{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = 2 \ pi / k_ {j}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = 2 \ pi / k_ {j}}$ ) mult mai mică decât dimensiunea lanțului de atomi ( $Nu. la$ ${\ displaystyle Na}$ ${\ displaystyle Na}$ ) relația de dispersie este liniară:

\omega _{j}\approx \omega _{0}ak_{j}=v_{s}k_{j}

{\ displaystyle \ omega _ {j} \ approx \ omega _ {0} ak_ {j} = v_ {s} k_ {j}}

{\ displaystyle \ omega _ {j} \ approx \ omega _ {0} ak_ {j} = v_ {s} k_ {j}}

cu $v_{s}=\omega _{0}a$ ${\ displaystyle v_ {s} = \ omega _ {0} a}$ ${\ displaystyle v_ {s} = \ omega _ {0} a}$ , constantă de proporționalitate între $k_{j}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ și $\omega _{j}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j}}$ , care se numește de obicei viteza sunetului .

Pentru $\kappa ={\frac {\pi }{a}}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ pi} {a}}}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ pi} {a}}}$ avem asta ${\frac {d\omega }{d\kappa }}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ omega} {d \ kappa}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ omega} {d \ kappa}} = 0}$ , prin urmare, unda rezultată este o undă staționară , adică a cărei viteză de grup este zero.

Lanțul diatomic

Să ne imaginăm că avem un lanț de $2N$ ${\ displaystyle 2N}$ $2N$ atomi de masă $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ alternează regulat. Definire $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un număr întreg între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $2N$ ${\ displaystyle 2N}$ $2N$ , vom avea ca atomii să fie aranjați în pozițiile:

x_{n}=na+q_{n}

{\ displaystyle x_ {n} = na + q_ {n}}

{\ displaystyle x_ {n} = na + q_ {n}}

având definit $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ îndepărtarea de poziția de echilibru a masei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea.

Prin urmare, procedând ca în cazul monoatomic, legile dinamicii pentru cele două mase devin:

{\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\omega _{1}^{2}\left[q_{n+1/2}-2q_{n}+q_{n-1/2}\right]\qquad n{\text{ pari}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {1} ^ {2} \ left [q_ {n + 1/2} -2q_ {n} + q_ {n-1/2} \ right] \ qquad n {\ text {even}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {1} ^ {2} \ left [q_ {n + 1/2} -2q_ {n} + q_ {n-1/2} \ right] \ qquad n {\ text {even}}}

{\frac {\partial ^{2}q_{n+1/2}}{\partial t^{2}}}=\omega _{2}^{2}\left[q_{n+1}-2q_{n+1/2}+q_{n}\right]\qquad n{\text{ dispari}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n + 1/2}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {2} ^ {2} \ left [q_ {n + 1} -2q_ {n + 1/2} + q_ {n} \ right] \ qquad n {\ text {odd}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {n + 1/2}} {\ partial t ^ {2}}} = \ omega _ {2} ^ {2} \ left [q_ {n + 1} -2q_ {n + 1/2} + q_ {n} \ right] \ qquad n {\ text {odd}}}

având definit cu $\omega _{1}^{2}={\frac {\alpha }{m_{1}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m_ {1}}}}$ Și $\omega _{2}^{2}={\frac {\alpha }{m_{2}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m_ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {2} = {\ frac {\ alpha} {m_ {2}}}}$ . Ecuațiile reprezintă sintetic $2N$ ${\ displaystyle 2N}$ $2N$ ecuații cuplate care pot fi diagonalizate prin modificarea variabilei:

q_{n}=Ae^{i(k_{j}na+\omega _{j}t)}\qquad n{\text{ pari}}

{\ displaystyle q_ {n} = Ae ^ {i (k_ {j} na + \ omega _ {j} t)} \ qquad n {\ text {even}}}

{\ displaystyle q_ {n} = Ae ^ {i (k_ {j} na + \ omega _ {j} t)} \ qquad n {\ text {even}}}

q_{n}=Be^{i(k_{j}na+\omega _{j}t)}\qquad n{\text{ dispari}}

{\ displaystyle q_ {n} = Be ^ {i (k_ {j} na + \ omega _ {j} t)} \ qquad n {\ text {odd}}}

{\ displaystyle q_ {n} = Be ^ {i (k_ {j} na + \ omega _ {j} t)} \ qquad n {\ text {odd}}}

Desene schematice ale relației de dispersie a unei rețele diatomice, pe axa orizontală există

k

{\ displaystyle k}

k

în timp ce pe cea verticală există

\omega

{\ displaystyle \ omega}

\omega

cu $k_{j}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ ${\ displaystyle k_ {j}}$ parametru nou definit de indexul modului $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ care preia valorile:

k_{j}={\frac {2\pi }{2Na}}j\qquad j{\text{ pari}}

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {2Na}} j \ qquad j {\ text {even}}}

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {2Na}} j \ qquad j {\ text {even}}}

k_{j}={\frac {2\pi }{(2N-1)a}}j\qquad j{\text{ dispari}}

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {(2N-1) a}} j \ qquad j {\ text {odd}}}

{\ displaystyle k_ {j} = {\ frac {2 \ pi} {(2N-1) a}} j \ qquad j {\ text {odd}}}

Prin urmare, cu pași matematici simpli avem:

\omega _{j}^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm {\sqrt {(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2})^{2}-4\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}\sin ^{2}(k_{j}a/2)}}

{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {2} = \ omega _ {1} ^ {2} + \ omega _ {2} ^ {2} \ pm {\ sqrt {(\ omega _ {1} ^ { 2} + \ omega _ {2} ^ {2}) ^ {2} -4 \ omega _ {1} ^ {2} \ omega _ {2} ^ {2} \ sin ^ {2} (k_ {j } a / 2)}}}

{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {2} = \ omega _ {1} ^ {2} + \ omega _ {2} ^ {2} \ pm {\ sqrt {(\ omega _ {1} ^ { 2} + \ omega _ {2} ^ {2}) ^ {2} -4 \ omega _ {1} ^ {2} \ omega _ {2} ^ {2} \ sin ^ {2} (k_ {j } a / 2)}}}

{\frac {B}{A}}={\frac {1-\omega _{j}^{2}/(2\omega _{1}^{2})}{\cos(k_{j}a/2)}}

{\ displaystyle {\ frac {B} {A}} = {\ frac {1- \ omega _ {j} ^ {2} / (2 \ omega _ {1} ^ {2})} {\ cos (k_ {j} a / 2)}}}

{\ displaystyle {\ frac {B} {A}} = {\ frac {1- \ omega _ {j} ^ {2} / (2 \ omega _ {1} ^ {2})} {\ cos (k_ {j} a / 2)}}}

Cele două soluții posibile sunt schematizate în figura laterală și indicate respectiv ca o bandă acustică, similară cu cea a rețelei monoatomice cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ întotdeauna mai puțin de $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ .

Fononi optici și acustici

După cum se obține din derivațiile anterioare, 1D, în cazul atomilor din aceeași specie, se obține o relație de dispersie cu o singură bandă fononică, cea acustică, în timp ce atunci când atomii sunt diferiți, benzile fononice sunt două, cea acustică și cea una optică. În realitate, nu specia atomică însăși determină prezența sau absența ambelor benzi, ci caracteristicile rețelei cristaline , adică posibilitatea sau nu de a face unele oscilații . În special, distingem oscilațiile în fază și, respectiv, în contrafază, atribuibile fononilor acustici și optici. Diferitele configurații care duc la coexistența celor două tipuri de fononi sunt: cristalul cu celulă primitivă cu bază (ca în cazul siliciului) și cristalul format din diferite specii atomice.

În cazul siliciului, dispersia obținută este deosebită; benzile acustice și optice „ating”. În urma derivării, motivația este imediată, gradele suplimentare de libertate nu sunt afectate de nicio diferență de masă între cei doi atomi ai lanțului diatomic. În general, însă, tocmai diferența dintre masele celor două specii atomice implicate determină separarea dintre benzi.

Originea numelui benzilor constă în unele implicații experimentale care au fost observate. Fononii acustici, în aproximarea undelor lungi și, prin urmare, în zona de regim liniar în jurul punctului Γ , se caracterizează printr-un coeficient unghiular care coincide cu viteza sunetului din mediu.

Fononii optici sunt implicați în interacțiunea cu radiația electromagnetică și, prin urmare, în cuplarea fonon-foton. Prezența asimetriei în structura cristalină face posibilă stabilirea dipolilor electrici, care, prin urmare, interacționează cu câmpul incident. Tratamentul fizico-matematic urmează cele ale oscilatorului armonic în prezența unei forțări externe și a unei cuplări puternice. ^[1] Fenomenul cuplării dipol - foton și, prin urmare, al formării unui polariton fononic , este foarte evident în cristalele ionice, unde diferența de electronegativitate a speciei face cuplarea deosebit de puternică.

În 3D tratamentul este generalizat în mod natural, există 3 benzi acustice și 3 benzi optice, împărțite într-una longitudinală și două transversale. În cazul benzilor optice există o relație Lyddane-Sachs-Teller, care asociază raportul pătratelor frecvențelor LO (fononi optici longitudinali) și TO (fononi optici transversali) la raportul dintre static și dinamic. constante dielectrice :

${\omega _{LO}^{2} \over \omega _{TO}^{2}}={\epsilon _{s} \over \epsilon _{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {LO} ^ {2} \ over \ omega _ {TO} ^ {2}} = {\ epsilon _ {s} \ over \ epsilon _ {\ infty}}}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {LO} ^ {2} \ over \ omega _ {TO} ^ {2}} = {\ epsilon _ {s} \ over \ epsilon _ {\ infty}}}$ .

Prin relația LST, se identifică o conexiune între dinamica ionică (mai lentă) și dinamica electronică (mai rapidă) în fenomenele de polarizare și interacțiune electro-optică, bază pentru definirea și detectarea polaritonilor fononici, subiecte în prezent de mare interes. experimental. ^[2]

Aplicații

În noiembrie 2013, primele diode acustice și termice au fost prezentate în revista Nature pe baza studiului și manipulării fononilor ^[3] .

Notă

^ Lukas Novotny, Cuplare puternică, împărțirea energiei și treceri la nivel: O perspectivă clasică , în American Journal of Physics , vol. 78, nr. 11, 2010-11, pp. 1199-1202, DOI : 10.1119 / 1.3471177 . Adus la 22 iunie 2021 .
^ GIUSEPPE GROSSO și GIUSEPPE PASTORI PARRAVICINI, Solid State Physics , Elsevier, 2000, pp. 663-721, ISBN 978-0-12-304460-0 . Adus la 22 iunie 2021 .
^ Sunete și căldură, revoluția tehnologică rulează pe fononi

Bibliografie

LD Landau , Phys. Sovietic. JETP. 3 , 920 (1957)
LD Landau, Phys. Sovietic. JETP. 5 , 101 (1957)
AA Abrikosov , LP Gorkov și IE Dzyaloshinski, Metode ale teoriei câmpului cuantic în fizica statistică . (Prentice-Hall, New Jersey, 1963); (Publicații Dover, New York, 1975)
D. Pines și P. Nozières, Teoria lichidelor cuantice, volumul I: lichide Fermi normale . (WA Benjamin, New York, 1966); (Westview Press, Boulder, 1999)
JW Negele și H. Orland, Quantum Many-Particle Systems , Boulder, Westview Press, 1998.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « phonone »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe fonone

linkuri externe

( RO ) IUPAC Gold Book, „ phonon ” , pe goldbook.iupac.org .

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85101066 · GND (DE) 4129373-3 · NDL (EN, JA) 00.568.885

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Lukas Novotny, Cuplare puternică, împărțirea energiei și treceri la nivel: O perspectivă clasică , în American Journal of Physics , vol. 78, nr. 11, 2010-11, pp. 1199-1202, DOI : 10.1119 / 1.3471177 . Adus la 22 iunie 2021 .

[2] GIUSEPPE GROSSO și GIUSEPPE PASTORI PARRAVICINI, Solid State Physics , Elsevier, 2000, pp. 663-721, ISBN 978-0-12-304460-0 . Adus la 22 iunie 2021 .

[3] Sunete și căldură, revoluția tehnologică rulează pe fononi

[1]

[2]

[3]