Harta conformă

O grilă și imaginea acesteia de-a lungul unei hărți conforme: curbele sunt distorsionate, dar rămân ortogonale (unghiurile sunt păstrate).

În matematică , în special în geometria conformă , o hartă conformă (sau izogonică) este o funcție care păstrează unghiurile . Mai formal, o hartă

w=f(z)

{\ displaystyle w = f (z)}

{\ displaystyle w = f (z)}

se numește conformare (sau păstrarea unghiurilor) în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ dacă păstrează unghiurile orientate între curbele care trec prin $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ , precum și orientarea lor, adică unghiul dintre tangențele curbelor care trec prin ele rămâne neschimbat $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ . Hărțile conforme păstrează atât unghiurile, cât și forma figurilor infinit de mici, dar nu neapărat dimensiunea lor.

Proprietatea conformării poate fi descrisă în termeni de Jacobian . Dacă matricea iacobiană a transformării este pretutindeni un scalar înmulțit cu o matrice de rotație , atunci transformarea este conformă (adică, dacă iacobianul reprezintă o comparație ). Este imposibil ca o proiecție să fie atât conformă, cât și echivalentă (adică să mențină relațiile dintre suprafețe). Exemple sunt proiecția Mercator și proiecțiile stereografice și centrografice .

Analiza complexă

O familie importantă de hărți conforme vine din analiza complexă . De sine $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un subset deschis al planului complex , apoi o funcție

f\colon U\to \mathbb {C}

{\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}

{\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}

este conform pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ dacă și numai dacă este o funcție holomorfă și dacă derivata sa este peste tot altul decât zero pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Dacă derivata este zero $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ funcția nu este conformă numai în acel moment. Uneori este de preferat să luați în considerare o hartă conformă din una deschisă $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ într-un deschis $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a planului complex orice funcție holomorfă pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și bijectiv din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , legând astfel indisolubil conceptele de hartă conformală și echivalența conformă între două deschise.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție anti- holomorfă (adică funcția complexă conjugată este holomorfă), apoi păstrează unghiurile, dar nu și orientarea lor, deci nu este conformă.

Teorema hărții Riemann afirmă că fiecare set deschis este conectat pur și simplu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ admite o conformă unu la unu funcție care se transformă în cercul unitar în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Utilizări

Dacă o funcție armonică (adică satisfacerea ecuației Laplace $\nabla ^{2}f=0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}$ $\ nabla ^ {2} f = 0$ ) definit într-un anumit spațiu este transformat cu o hartă conformă într-un alt spațiu, atunci această transformare este armonică. Din acest motiv, orice funcție definită ca potențial poate suferi o transformare conformală și rămâne legată de un potențial . Exemple, în fizică , de ecuații definite de un potențial se găsesc în studiul câmpului electromagnetic , al câmpului gravitațional și în dinamica fluidelor . Importanța transformărilor conformale pentru electromagnetism a fost evidențiată de Harry Bateman în 1910.

Hărțile conforme sunt utile pentru rezolvarea problemelor de fizică și inginerie care sunt exprimate în termeni de funcții variabile complexe, dar cu geometrii incomode. Alegând o hartă conformă adecvată, puteți transforma geometria incomodă într-una mai simplă. De exemplu, dacă doriți să calculați câmpul electric $E(z)$ ${\ displaystyle E (z)}$ $E (z)$ a unei sarcini punctiforme poziționate lângă colțul a două planuri conductoare separate printr-un anumit unghi (unde $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este coordonata complexă a punctului într-un spațiu bidimensional). Această problemă este, în sine, dificil de rezolvat. Cu toate acestea, folosind o hartă conformală simplă, se poate obține o configurație mai convenabilă prin maparea unghiului dintre planuri la altul, de exemplu un unghi plat: în acest fel, unghiul dintre cele două planuri este transformat într-o linie dreaptă. În acest domeniu nou, problema - calcularea câmpului electric al sarcinii punctuale poziționate lângă o placă conductivă - este mult mai ușor de rezolvat. Soluția obținută în acest domeniu, $E(w)$ ${\ displaystyle E (w)}$ $E (w)$ , este apoi mapat la domeniul original. Rețineți că această aplicație nu contrazice faptul că hărțile conformale păstrează unghiuri, deoarece fac acest lucru numai în punctele din domeniu și nu la margine.

Vizualizarea efectelor unei transformări conforme

Reprezentarea funcției complexe:

f(z)={\frac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{(z^{2}+2+2i)}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {(z ^ {2} -1) (z-2-i) ^ {2}} {(z ^ {2} + 2 + 2i)}}}

f (z) = {\ frac {(z ^ {2} -1) (z-2-i) ^ {2}} {(z ^ {2} + 2 + 2i)}}

cu metoda de colorare a domeniului : nuanța reprezintă argumentul ; intensitatea , modulul

Vizualizarea efectelor unei hărți conformale (de exemplu, pe un subset al planului complex) este dificil de înțeles, deoarece implică vizualizare mentală contra-intuitivă într-un spațiu cu patru dimensiuni, care scapă de intuiția spațială tridimensională normală. Tehnicile utilizate prevăd observarea efectelor care sunt produse prin aplicarea transformării pe imagini prestabilite.

Colorarea domeniului

Același subiect în detaliu: Colorarea domeniului .

Metoda de colorare a domeniului prevede, de exemplu, supunerea unui cerc cromatic predeterminat, format din culori infinite, transformării conformale.

Dat fiind un număr complex exprimat în notație polară $z=re^{i\theta }$ ${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}$ $z = re ^ {{i \ theta}}$ , este ușor să se stabilească o corespondență între subiectul (sau faza) acestuia și o tonalitate, deoarece și aceasta din urmă, în cercul cromatic, este reprezentată sub un unghi: argumentul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este reprezentată de o anumită tonalitate care este deci aceeași pentru toate complexele cu aceeași fază.

Modulul $r=|z|$ ${\ displaystyle r = | z |}$ $r = | z |$ este reprezentată de intensitatea culorii (sau de variația intensității acesteia).

Imagini conforme

Același subiect în detaliu: imagini conforme .

Efectele unui polinom de gradul 4 asupra unei teselări regulate

O altă tehnică, care poate fi considerată o generalizare a celei anterioare, permite vizualizarea efectului transformării nu pe un cerc cromatic, ci pe o teselare a planului realizată cu iterația unei imagini finite predeterminate.

Interesul pedagogic al acestei metode este de a putea să o aplicați unui flux de imagini provenind de la o cameră web pentru a permite o interactivitate mai mare și o buclă de feedback mai bogată ^[1] .

Notă

^ ( FR ) Christian Mercat, Applications conformes, Images des mathématiques , pe images.math.cnrs.fr , Lyon, CNRS , Université Claude Bernard, 2009.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Harta conformă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Modul de cartografiere conformă de John H. Mathews , de la math.fullerton.edu. Adus la 21 martie 2007 (arhivat din original la 29 septembrie 2013) .

Controlul autorității	Tesauro BNCF 38746 · LCCN (EN) sh85031060 · GND (DE) 4164968-0 · BNF (FR) cb122859693 (dată) · BNE (ES) XX549664 (dată) · NDL (EN, JA) 00.573.166

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( FR ) Christian Mercat, Applications conformes, Images des mathématiques , pe images.math.cnrs.fr , Lyon, CNRS , Université Claude Bernard, 2009.

[1]