produs cartezian

În matematică produsul cartezian din două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este ansamblul de perechi ordonate $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Oficial:

A\times B:=\{(a,b):a\in A\;\land \;b\in B\}.

{\ displaystyle A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A \; \ land \; b \ in B \}.}

{\ displaystyle A \ times B: = \ {(a, b): a \ in A \; \ land \; b \ in B \}.}

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt seturi distincte, produsele $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ Și $B\times A$ ${\ displaystyle B \ times A}$ ${\ displaystyle B \ times A}$ sunt formal distincte, chiar dacă se află în corespondență naturală unu la unu.

Produsul cartezian poate fi extins la compoziția $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ seturi luând în considerare setul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii comandate:

A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}:=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}):a_{i}\in A_{i}\;\forall i=1,\ldots ,n\}.

{\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n}: = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}): a_ {i } \ în A_ {i} \; \ forall i = 1, \ ldots, n \}.}

{\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n}: = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}): a_ {i } \ în A_ {i} \; \ forall i = 1, \ ldots, n \}.}

^[1]

Ne putem identifica într-un mod canonic $A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n}}$ cu $A_{1}\times (A_{2}\times \cdots \times A_{n})$ ${\ displaystyle A_ {1} \ times (A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n})}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ times (A_ {2} \ times \ cdots \ times A_ {n})}$ ; în acest fel produsul cartezian este asociativ în mod natural.

Produsul cartezian al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ copii ale unui set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este indicat cu $A^{n}$ ${\ displaystyle A ^ {n}}$ $A ^ n$ și poate fi numită putere carteziană . Se observă că acest set poate fi identificat cu setul de funcții din set $\{1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$ $\ {1,2, \ ldots, n \}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietățile produsului cartezian

Numărul de elemente (sau cardinalitate ) al produsului cartezian din două seturi este produsul numărului de elemente ale celor două seturi. Generalizând, numărul de elemente ale produsului cartezian al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ seturi este produsul numărului de elemente din fiecare set.

Elementele acestor produse carteziene se mai numesc secvențe finite ; când seturile de factori coincid și sunt finite, se folosește și termenul dispoziții cu repetiție . De asemenea, ne amintim că elementele puterii carteziene se numesc șiruri sau cuvinte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth dintr-un alfabet , un set finit de obiecte simple care pot fi numite caractere, litere sau simboluri.

Fiecare subset al produsului cartezian din două seturi constituie o relație binară . Matricele sunt funcții care au un produs cartezian ca lor de domeniu .

Produsul cartezian este o construcție formală utilizată pe scară largă în matematică pentru a construi seturi complexe pornind de la seturi simple; dacă seturile de pornire au o structură suplimentară (de exemplu o topologie sau o structură de grup ), este adesea posibil să se construiască o structură analogă pe produsul lor cartezian.

Produs cartezian generalizat

Produsul cartezian este, de asemenea, definit pe o cantitate infinită de seturi. Lasa-i sa fie $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ , cu $i\in I$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ , a seturilor parametrizate de un set de indici $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Le definim produsul astfel:

\prod _{i\in I}X_{i}:=\{f\colon I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ f(i)\in X_{i}\;\forall i\},

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}: = \ {f \ colon I \ to \ bigcup _ {i \ in I} X_ {i} \ | \ f (i) \ in X_ { i} \; \ forall i \},}

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}: = \ {f \ colon I \ to \ bigcup _ {i \ in I} X_ {i} \ | \ f (i) \ in X_ { i} \; \ forall i \},}

adică ca set de funcții definite pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ care trimit fiecare element $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ într-un element de $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ . De sine $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un set finit $\{1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$ $\ {1,2, \ ldots, n \}$ această definiție a produsului cartezian coincide cu cea dată mai sus.

Relația cu axioma alegerii

Axioma de alegere poate fi reformulată în funcție de proprietățile produsului cartezian generalizat; mai precis se poate demonstra că este echivalent cu următoarea afirmație:

Produsul cartezian generalizat al unei familii

{\mathcal {F}}=\{A_{i}:i\in I\}

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {A_ {i}: i \ in I \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {A_ {i}: i \ in I \}}$ ne- gol de seturi ne-goale este ne-gol

care se numește uneori axioma multiplicativă .

Exemple de interes geometric

Carteziană planul este construit ca un produs cartezian $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ a două exemplare ale liniei reale . Această construcție a fost introdusă de Descartes și este baza geometriei analitice ; din aceasta derivă numele produsului pe care îl prezentăm. În mod similar, spațiul tridimensional este produsul cartezian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ a trei copii ale liniei reale și spațiul tuplurilor numerelor reale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este generalizarea sa $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Construcții similare pot fi obținute cu produse carteziene de seturi precum numere întregi (vezi planul combinatorial ), numere raționale (vezi planul rațional ) sau seturi de clase de resturi.

Un alt exemplu de obiect geometric construit prin produsul cartezian este torul , dat de produsul cartezian din două cercuri ; generalizarea acestuia $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional este definit ca produsul cartezian al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ circumferințe.

Dacă realizăm produsul dintr-o cantitate numărabilă de copii ale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , parametrizat cu un număr natural 1,2, ... (de aici setul de indici $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este mulțimea numerelor naturale ), obținem mulțimea secvențelor numerelor reale. În mod similar, putem defini de exemplu setul de secvențe de numere întregi sau raționale .

Structurile produsului

Produsul cartezian este utilizat pentru acel tip de construcție care, pornind de la două sau mai multe structuri de orice fel, duce la structura produsului corespunzător sau la o variantă a acestuia. În special, se poate face trimitere la următoarele articole și termeni:

Din punct de vedere al teoriei categoriilor, produsul cartezian este un produs direct din categoria seturilor .

Produs cartezian al funcțiilor

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ o funcție din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , este definit ca produsul lor cartezian și este notat cu $f\times g$ ${\ displaystyle f \ times g}$ ${\ displaystyle f \ times g}$ funcția din $A\times C$ ${\ displaystyle A \ times C}$ ${\ displaystyle A \ times C}$ în $B\times D$ ${\ displaystyle B \ times D}$ ${\ displaystyle B \ times D}$ dat de

(f\times g)(a,c):=\langle f(a),g(c)\rangle .

{\ displaystyle (f \ times g) (a, c): = \ langle f (a), g (c) \ rangle.}

{\ displaystyle (f \ times g) (a, c): = \ langle f (a), g (c) \ rangle.}

(Observăm că aceasta este o formulă în care este convenabil să distingem parantezele care delimitează argumentele funcționale de parantezele care delimitează perechile ordonate)

Unirea puterilor carteziene

Unirea tuturor puterilor carteziene pozitive și uniunea ușor diferită a tuturor puterilor carteziene naturale ale unor mulțimi constituie medii în care anumite entități sunt plasate în mod avantajos. Să luăm în considerare în special

\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R} ^ {n}}

;

este ansamblul de secvențe de lungime pozitivă arbitrară a numerelor reale . Scrierea este folosită și pentru acest set $R^{+}$ ${\ displaystyle R ^ {+}}$ ${\ displaystyle R ^ {+}}$ și se numește închidere încrucișată a setului $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Elementele acestui set pot fi identificate cu polinoame de grad pozitiv cu coeficienții din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

O construcție puțin diferită este cea care duce la așa-numita închidere stelară a unui întreg. Să luăm în considerare în special puterile mulțimii numerelor complexe și ale uniunii

\mathbb {C} ^{\star }:=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {C} ^{n}

{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ star}: = \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ star}: = \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {C} ^ {n}}

.

este ansamblul secvențelor de lungime arbitrară a numerelor complexe și elementele acestui set pot fi identificate cu polinoame de orice grad (pozitiv sau nul) cu coeficienți complecși. Această construcție se află la baza considerațiilor spațiului vectorial constituit de polinoamele dintr-o variabilă.

Alte construcții formale interesante de acest fel sunt cele ale semigrupului liber și monoidului liber pe un alfabet dat.

Notă

^ M. Manetti , p. 21.

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

linkuri externe

( EN ) Produs cartezian , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] M. Manetti , p. 21.

[1]