Geometria busolei

Geometria busolei
Frontispiciul primei ediții
Autor	Lorenzo Mascheroni
Prima ed. original	1797
Tip	tratat
Subgen	geometrie
Limba originală	Italiană
Editați datele pe Wikidata · Manual

Geometria busolei este un tratat de Lorenzo Mascheroni , publicat la Pavia în 1797 . Se ocupă de construcții geometrice care urmează să fie create cu singura utilizare a busolei , excluzând celălalt instrument de geometrie clasică , adică rigla . Setul de dovezi cuprinse în această lucrare demonstrează următoarea teoremă :

„Orice problemă care poate fi rezolvată cu rigla și busola poate fi rezolvată doar cu busola”

Rezultatele lui Mascheroni fuseseră precedate de danezul Jørgen Mohr , care le expusese în cartea Euclides Danicus din 1672 . Această lucrare, publicată doar în daneză și olandeză, a rămas în mare parte necunoscută. Redescoperit întâmplător într-o librărie din Copenhaga în 1928, a fost reeditat imediat în facsimil și apoi tradus în alte limbi. Declarația de mai sus este așadar numită astăzi cu numele teoremei lui Mohr-Mascheroni .

Scopul lucrării

În scrierea acestei lucrări, Mascheroni este ghidat de considerații teoretice: este bine conștient de faptul că timpurile geometriei clasice , descrise în Elementele lui Euclid , au fost adăugate de matematicieni multe subiecte, cum ar fi conica, curbele de grad superior pe secundă etc. În schimb, în prefața cărții sale, el întreabă:

- Nu te-ai putea retrage din Elements, ca dintr-o linie de despărțire și să cauți ceva lăsat în urmă în masca neglijenței? Este adevărat că problemele elementare ale lui Euclid sunt de cea mai simplă construcție? Sau nu s-ar putea rezolva elementul matematic în elementele sale fundamentale rigla și busola, în maniera cuiva care a separat apa în două arii ^[1] și un aer, considerat și simplu, în două substanțe? În acest moment am devenit conștient că linia singură nu poate fi utilizată decât pentru a conduce o linie dreaptă; totuși, poate s-ar putea folosi doar busola nu numai pentru a descrie doar un cerc sau un arc al acestuia; dar descriind mai multe dintre ele cu mai multe centre și cu deschideri diferite, pentru a găsi prin secțiunile lor reciproce mai multe puncte, care au fost utile și tocmai cele căutate pentru poziția unei probleme. "

Al doilea scop pe care Mascheroni și-l propune să publice Geometria busolei este de a face mai ușoară și mai precisă construcția echipamentelor de precizie, precum cadranele instrumentelor astronomice. După cum explică el însuși, întotdeauna în prefața cărții sale:

„Pentru a menționa avantajele pe care le are busola asupra riglei, în cazul unei descrieri precise a liniilor, care nu trebuie să se teamă de examinarea microscopului, este suficient să avertizăm că mai ales că este o riglă destul de lungă, este aproape imposibil să fie atât de drept, încât să-și garanteze poziția în locul punctelor care se află în el pe toată lungimea sa. Și să fie foarte corect. Practicanții știu că a fi nevoit să se târască de-a lungul acestuia cu punctul care marchează, aduce cu sine o incertitudine a paralelismului în mișcarea axei acestui punct sau a unei adaptări perfecte la margine, care de multe ori îi face inutilă precizia maximă. Busola nu este supusă acestor două dificultăți. Dacă este ferm în deschidere și foarte fin în vârfuri; centrând una nemișcată, ceea ce nu este dificil, cealaltă prin derulare de la sine marchează un arc atât de precis și exact, încât nimic mai mult. "

Prin urmare, în toate construcțiile sale geometrice, Mascheroni alege să determine punctele necesare folosind, între riglă și busolă, doar instrumentul care garantează cea mai mare precizie posibilă: punctele vor fi obținute întotdeauna ca intersecții între arcurile cercurilor desenate cu busola. Liniile drepte necesare pentru a finaliza desenul trebuie evident trasate cu o linie; dar deoarece aceste segmente nu au nici un rol în determinarea punctelor, o lipsă de precizie în proiectarea lor nu va afecta întreaga construcție.

Busola lui Euclid

Fig. 1: Aplicarea lungimii AB la punctul C

În Elementele sale, Euclid nu vorbește niciodată despre un conducător sau o busolă. El se referă doar la linii drepte și circumferințe ideale, pe care le trasează în conformitate cu următoarele postulate:

Este posibil să trasăm un segment drept între orice pereche de puncte ^[2]
Un segment drept poate fi extins la infinit în linie dreaptă ^[3]
Este posibil să se descrie un cerc cu orice centru și orice rază ^[4]

În practică, este evident să asociați un conducător (care nu este absolvent) cu primele două postulate, iar busola cu al treilea. Cu toate acestea, trebuie să fim atenți la faptul că nu tot ceea ce se poate face cu busola este „autorizat” de cel de-al treilea postulat. Potrivit acestuia din urmă, busola ar trebui folosită doar pentru a urmări un cerc dat cu centrul și un punct de circumferință; în schimb, nu ar trebui să fie folosit pentru a transporta o distanță de la o parte a avionului la cealaltă, pur și simplu deschizându-l și deplasându-l păstrând deschiderea acestuia.

În Elementele lui Euclid transportul distanțelor este o necesitate indispensabilă, de fapt primele două propuneri ale cărții I ^[5] ^[6] sunt dedicate acestei probleme (vezi animația din figura 1). Euclid demonstrează că distanța AB poate fi aplicată punctului C:

unirea punctelor de date cu segmente drepte (primul postulat, linii albastre);
extinderea acelorași segmente (postulat secundar, linii colorate cyan);
desenarea arcurilor de cercuri având în centru și un punct al circumferinței (al treilea postulat, linii verzi).

La sfârșitul animației, toate punctele aparținând cercului roșu vor fi la fel de îndepărtate de C pe cât B este de A.

Utilizarea obișnuită, de a transporta distanțele menținând în același timp deschiderea busolei neschimbată pe deplasarea sa, este, prin urmare, o scurtătură permisă în geometrie, dar numai pentru că se știe că această procedură este simplificarea unei metode mai riguroase: tocmai cea descrisă de Euclid.

Busolele cu deschidere fixă de Mascheroni

Fig. 2: Busole cu deschidere fixă

Spre deosebire de Euclid, Mascheroni nu are un scop teoretic, ci unul practic. Pentru a transporta distanțe, el nu aplică metoda descrisă de Euclid, din două motive:

necesită folosirea conducătorului, lucru pe care Mascheroni vrea să-l evite;
cantitatea de pași necesari este de natură să multiplice erorile în loc să le minimizeze.

Prin urmare, Mascheroni se simte liber să folosească busola pentru a transporta distanțe, dar nu numai: încurajează crearea diferitelor busole cu deschidere fixă ^[7] . De exemplu, trebuie să înscrie un poligon regulat într-o circumferință, el sugerează construirea a patru cu următoarele deschideri prestabilite:

o primă busolă cu o deschidere egală cu raza circumferinței (care coincide cu latura hexagonului regulat înscris în ea);
o deschidere a busolei proporțională cu prima, în funcție de factor ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ (latura pătratului înscris în circumferință);
o deschidere a busolei proporțională cu prima, în funcție de factor ${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ (latura triunghiului echilateral înscris în circumferință);
o deschidere a busolei proporțională cu prima, în funcție de factor ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ (latura decagonului regulat înscris în circumferință).

Diviziunile circumferinței

Primele construcții abordate de Mascheroni în Geometria busolei prevăd împărțirea cercului în 240 de părți egale (în paragrafele următoare vor fi afișate doar construcțiile principale), folosind cel mai mic număr posibil de deschideri ale busolei și cel mai mic număr de puncte care nu aparțin circumferinței date.

Construcțiile folosesc de mai multe ori Propozițiile lui Euclid ^[8] ^[9] conform cărora, în cercuri egale, arcuri egale insistă pe acorduri egale și invers. Împărțirea circumferinței în părți egale coincide, prin urmare, cu problema înscrierii poligoanelor regulate cu același număr de laturi.

Dacă doriți să construiți busolele cu diafragme fixe sugerate de Mascheroni, primul trebuie să aibă o lățime egală cu raza cercului care urmează să fie împărțit, adică cea în care să înscrieți diferiții poligoane regulate.

Împărțirea în 6 părți

Fig. 3: construcția hexagonului regulat și a triunghiului echilateral

Având în vedere un cerc cu centrul O și raza OA (a se vedea figura 3), pentru a înscrie un hexagon regulat în același cerc, urmând metoda lui Euclid ^{[10], este} necesar:

urmăriți arcul BOF cu centrul în A și raza AO, care intersectează circumferința în punctele B și F (aceste puncte, împreună cu A, sunt primele trei vârfuri ale hexagonului);
extindeți segmentele BO, AO și FO până când atingeți circumferința respectiv în E, D, C: vârfurile hexagonului regulat înscrise în circumferință sunt ABCDEF.

Mascheroni nu poate folosi linia, așa că descrie o metodă alternativă:

urmăriți arcul BOF cu centrul la A și raza AO, așa cum este indicat de Euclid;
desenați încă trei arce de rază AO: prima cu un centru în B și astfel încât să intersecteze circumferința în C; a doua centrată în C pentru a determina D; al treilea în D pentru a determina E.

Intr-adevar:

toate triunghiurile care au un vârf în centrul O al cercului sunt echilaterale ;
unghiurile lor în 0 subtend arcuri de lungime egale cu o șesime din circumferință.

(Amintiți-vă că scopul lui Mascheroni este de a determina vârfurile hexagonului, nu de a-i urmări laturile. De fapt, în desen sunt segmentate toate segmentele rectilinii, în afară de raza OA; și punctul S, care cu utilizarea busola singură nu a fost de fapt determinată, este indicată numai în scopul facilitării înțelegerii următoarelor).

Cu această construcție obțineți câteva rezultate suplimentare, care vor fi exploatate în multe dintre următoarele construcții:

punctul D este aliniat cu segmentul OA, deci DA este dublu față de OA: acesta este sistemul folosit de Mascheroni pentru a dubla lungimea unui segment fără a utiliza linia (prin iterarea aceluiași sistem, un segment poate fi de asemenea triplat, cvadruplat etc. .);
punctul D este al doilea capăt al diametrului DA al cercului centrat în O și cu raza OA;
triplele punctelor ACE și BDF definesc vârfurile a două triunghiuri echilaterale înscrise în același cerc;
segmentul BF este dublu comparativ cu înălțimea BS a triunghiului echilateral OBA, deci proporția deține: ${\overline {BF}}:{\overline {OA}}={\sqrt {3}}:1$ ${\ displaystyle {\ overline {BF}}: {\ overline {OA}} = {\ sqrt {3}}: 1}$ ${\ displaystyle {\ overline {BF}}: {\ overline {OA}} = {\ sqrt {3}}: 1}$

Dorind să construiască busolele cu deschidere fixă sugerate de Mascheroni, cea având o lățime egală cu ${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ori lungimea razei trebuie calibrată pe distanța dintre punctele B și F sau A și C sau orice altă diagonală a hexagonului care nu trece prin centrul cercului.

Împărțirea în 4 părți

Fig. 4: construcția Pieței

Pentru a construi pătratul înscris într-un cerc dat, Euclid ^[11] sugerează pur și simplu desenarea a două diametre ortogonale. Acest sistem este modificat de Mascheroni (a se vedea figura 4) după cum urmează:

determinați punctele A, B, C și D așa cum este descris în paragraful anterior: A și D sunt primele două vârfuri ale pătratului;
cu raza AC și centrul în A și D urmează cele două arcuri CG și BG care se intersectează în G (segmentul AC, așa cum se vede în paragraful anterior, este ${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ori raza circumferinței);
cu raza OG și centrul în A trasați un arc care intersectează circumferința dată la punctele H și J: punctele AHDJ sunt vârfurile pătratului înscris în circumferința dată.

Intr-adevar:

prin construcție, triunghiul DGA este isoscel , iar segmentul GO este medianul său față de bază; dar într-un triunghi isoscel, mediana și „ înălțimea relativă la bază coincid, atunci unghiul este Goa rectum , iar triunghiul GOA este dreptunghi în O;
admite, fără a pierde din generalitate, ca raza cercului este unitar, pitagoreana teorema poate fi aplicată ipotenuza AG și la catete OA, obținând lungimea celei de a doua cateta:

{\overline {GO}}={\sqrt {{\overline {AG}}\,^{2}-{\overline {OA}}\,^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}

{\ displaystyle {\ overline {GO}} = {\ sqrt {{\ overline {AG}} \, ^ {2} - {\ overline {OA}} \, ^ {2}}} = {\ sqrt {3 -1}} = {\ sqrt {2}}}

{\ displaystyle {\ overline {GO}} = {\ sqrt {{\ overline {AG}} \, ^ {2} - {\ overline {OA}} \, ^ {2}}} = {\ sqrt {3 -1}} = {\ sqrt {2}}}

segmentul OG este deci lung ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza cercului, doar lungimea laturii pătratului care trebuie înscris în circumferință. Determinarea celor două puncte lipsă ale pătratului necesită deci doar raportarea acestei lungimi pe circumferință, începând de la A (sau de la D).

Dorind să construiască busolele cu deschidere fixă sugerate de Mascheroni, cea având o lățime egală cu ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori lungimea fasciculului va trebui calibrată pe distanța dintre punctele O și G.

Împărțirea în 8 părți

Fig. 5: construcția Octagonului

Construcția octogonului regulat necesită determinarea a patru puncte intermediare la arcade care insistă pe un pătrat deja desenat. Figura 5 prezintă (a se vedea construcțiile anterioare):

punctele A și D, aparținând diametrului circumferinței;
punctele G, H, O și J aparținând liniei drepte ortogonale cu diametrul menționat anterior, trecând prin centrul O al circumferinței;
punctele A, H, D și J, vârfurile pătratului trasat anterior.

Pentru a determina punctele lipsă în construcția octogonului regulat înscris în aceeași circumferință, conform lui Mascheroni este necesar să:

cu centrul în G și raza OA (aceeași cu circumferința), urmăriți arcul care intersectează circumferința în punctele L și K;
cu centrul în K și L și raza LK, urmăriți arcele care intersectează circumferința la punctele N și respectiv M: AKHLDMJN vor fi vârfurile octogonului obișnuit căutat.

Intr-adevar:

segmentele GK și KO au lungime egală cu raza circumferinței, prin urmare triunghiul GKO este isoscel;
segmentul GO este lung ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza, deci este hipotenuză a aceluiași triunghi GKO, care este un dreptunghi în K ^[12] ;
întrucât triunghiul GKO este unghi drept și isoscel, unghiurile sale în G și în O sunt semidrepte;
segmentul OK împarte cadranul HÔA în două jumătăți, prin urmare punctul K este vârful octogonului regulat (același raționament se aplică punctului L).

Punctele M și N necesare pentru a completa octogonul pot fi determinate în diferite moduri:

desenarea a două arce cu raza AK și centrate în A și D (acest sistem nu este utilizat de Mascheroni, deoarece necesită o busolă de deschidere nestandardă , adică diferită de cele utilizate până acum);
construirea unui punct specular G 'de G în raport cu diametrul AD (nici măcar acest sistem nu este utilizat de Mascheroni, deoarece necesită un punct suplimentar G', care nu aparține circumferinței);
segmentul LK este latura pătratului LKMN înscris în circumferință: este suficient să se raporteze această distanță pe circumferința începând de la punctele L și K pentru a determina ultimele două puncte M și N ale octogonului regulat. Acesta este sistemul sugerat de Mascheroni, care are de fapt avantajele de a nu necesita un punct suplimentar în afara circumferinței și de a necesita o busolă de deschidere standard egală cu ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza circumferinței.

Împărțirea în 12 părți

Fig. 6: construcția Dodecagonului și a 24-gono

Figura 6 prezintă toate punctele identificate în construcțiile anterioare:

ABCDEF, vârfurile hexagonului regulat inscripționate în circumferința cu centrul în O și raza OA;
AKHLDMJN, vârfurile octogonului regulat înscrise în același cerc.

A douăsprezecea parte a unghiului rotund poate fi obținută prin diferența dintre un unghi drept (un sfert de unghi rotund) și unghiul din centrul care subtinde o parte a hexagonului regulat (o șesime): de fapt

{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {12}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {12}}}

În figura 6 se poate observa că cadranul DÔH este compus din unghiurile DÔC (care subtinde latura hexagonului regulat) plus CÔH: acesta din urmă subtinde, așadar, un arc de lungime egal cu a douăsprezecea circumferință; în consecință H este un vârf al dodecagonului regulat, intermediar la vârfurile C și B (același raționament ne permite să dovedim că J este și un vârf al dodecagonului, intermediar între E și F).

Cele patru puncte P, Q, R și S lipsesc pentru a fi determinate. Pentru a determina Q am putea urmări un arc cu centrul în C și raza CH, astfel încât să intersectăm circumferința în punctul Q (ar trebui utilizat un sistem similar pentru determinare din celelalte trei puncte). Cu toate acestea, această procedură are două dezavantaje:

ar fi necesar să se deseneze 4 arce distincte;
busola necesară pentru a urmări aceste arce ar avea o deschidere diferită de cea a celor trei busole fixe de deschidere deja indicate, dintre care Mascheroni preferă să le folosească.

Din aceste motive, Mascheroni sugerează:

desenați un arc cu centrul în H și raza HO (raza cercului), care intersectează cercul în punctele Q și P;
urmăriți un arc cu centrul în J și rază egală pentru a determina punctele R și S: în cele din urmă APBHCQDREJFS vor fi vârfurile dodecagonului înscrise în circumferință.

Cu aceste arcuri, de fapt, un unghi egal cu o șesime dintr-un unghi rotund este scăzut din fiecare cadran, determinând arcele al căror unghi central este o doisprezecime din același.

Împărțirea în 24 de părți

Construcția icositetragonului (poligon regulat pe 24 de fețe) este continuarea procedurii descrise pentru dodecagon (vezi figura 6): este vorba de determinarea punctelor de intersecție între circumferință și arcurile magenta.

Unghiul central care subtinde arcul BK este diferența dintre unghiul BÔA (o șesime dintr-un unghi rotund) și KÔA (o optime):

{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}={\frac {4-3}{24}}={\frac {1}{24}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} = {\ frac {4-3} {24}} = {\ frac {1} {24}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} = {\ frac {4-3} {24}} = {\ frac {1} {24}}}

Prin urmare, am putea:

cu centrul în B și raza BK desenați un arc care intersectează circumferința în punctul T (vârful icositetragonului);
cu arce analoge determină cele șapte vârfuri lipsă.

În ceea ce privește construcția dodecagonului, și în acest caz Mascheroni sugerează o metodă pentru care este necesară utilizarea unuia dintre compasurile sale standard de deschidere :

urmăriți patru arce cu centrul în punctele K, L, M și N și raza egală cu cea a circumferinței;
intersecțiile dintre aceste arce și circumferința determină cele 8 vârfuri lipsă ale icositetragonului.

De fapt, să luăm în considerare punctul T. Unghiul TÔH, diferența dintre unghiurile TÔL (care prin construcție este o șesime dintr-un unghi rotund) și HÔL (o optime) este, pentru același calcul prezentat mai sus, doar un douăzeci -al patrulea unghi rotund; prin urmare, T (precum și fiecare dintre celelalte 7 vârfuri lipsă) este vârful icositetragonului înscris în circumferință.

Împărțirea în 5 părți

Fig. 7: construcția Pentagonului obișnuit

Înainte de a analiza metoda sugerată de Mascheroni pentru construirea pentagonului regulat înscris într-un cerc, este bine să trecem în revistă metodele clasice, dintre care cea mai cunoscută este cea a lui Ptolemeu ^[13] . Figura 7 prezintă pașii principali cu linii roșii:

este dată circumferința cu centrul O și raza OA, în care sunt reprezentate diametrul DA și raza ortogonală OH;
cu raza OA și centrul în A urmărește arcul BOF care intersectează circumferința în punctele B și F;
intersecția segmentului BF cu raza OA determină punctul S;
cu centrul în S și raza SH urmărește arcul care intersectează diametrul DA în punctul T;
latura Pentagonului are o lungime egală cu segmentul HT;
cu deschiderea HT, pornind de la H, raportați distanțele HV, VW, WX, XU în ordine pe circumferință: punctele HVWXU sunt vârfurile pentagonului regulat înscrise în circumferință.

Construcția descrisă recent necesită două intersecții care implică segmente drepte (determinarea punctelor S și T), pe care Mascheroni nu le poate obține nedorind să folosească linia. Construcția sa alternativă este întotdeauna prezentată în figura 7:

punctele A, B, D, F (vârfurile hexagonului regulat inscripționate pe circumferință) și H (extremitatea razei ortogonale cu diametrul DA) sunt deja trasate;
cu o rază egală cu AH (adică cu busola de deschidere ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza circumferinței), arătând spre B și F, desenați două arce care se intersectează în punctul T;
punctul T găsit de Mascheroni este același determinat de Ptolemeu, deci proiectarea pentagonului regulat continuă în același mod.

Dovada că punctul T din cele două construcții se află în aceeași poziție este următoarea:

punctul S este median în raport cu raza OA (este determinat expres în Ptolemeu, în timp ce este omis în construcția lui Mascheroni, deoarece nu este necesar);
în construcția lui Ptolemeu punctul T aparține diametrului DA al cercului. Acest lucru se întâmplă și în construcția lui Mascheroni: prin construcție, triunghiul BTF este isoscel, iar segmentul TS este medianul său față de baza BF. Dar într-un triunghi isoscel mediana și axa în raport cu baza coincid; și întrucât diametrul AD este axa bazei BF, punctul T aparține diametrului DA;
rămâne de arătat că distanța dintre punctele S și T este aceeași. În Ptolemeu, segmentul ST = SH coincide cu hipotenuza triunghiului dreptunghiular HOS, a cărui lungime este (consideră, fără pierderea generalității, o circumferință cu o unitate de rază):

{\overline {ST}}={\overline {SH}}={\sqrt {{\overline {HO}}\,^{2}+{\overline {OS}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}

{\ displaystyle {\ overline {ST}} = {\ overline {SH}} = {\ sqrt {{\ overline {HO}} \, ^ {2} + {\ overline {OS}} \, ^ {2} }} = {\ sqrt {1 ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} }

{\ displaystyle {\ overline {ST}} = {\ overline {SH}} = {\ sqrt {{\ overline {HO}} \, ^ {2} + {\ overline {OS}} \, ^ {2} }} = {\ sqrt {1 ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} }

Pe de altă parte, la Mascheroni, segmentul ST este catetul triunghiului TBS unghiular în S, a cărui hipotenuză este lungă ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ în timp ce cealaltă parte este înălțimea triunghiului echilateral OBA; asa de:

{\overline {ST}}={\sqrt {{\overline {BT}}\,^{2}-{\overline {BS}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}

{\ displaystyle {\ overline {ST}} = {\ sqrt {{\ overline {BT}} \, ^ {2} - {\ overline {BS}} \, ^ {2}}} = {\ sqrt {\ left ({\ sqrt {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}}}

{\ displaystyle {\ overline {ST}} = {\ sqrt {{\ overline {BT}} \, ^ {2} - {\ overline {BS}} \, ^ {2}}} = {\ sqrt {\ left ({\ sqrt {2}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}}}

Se demonstrează astfel echivalența dintre metodele lui Ptolemeu și Mascheroni.

Împărțirea în 10 părți

Consultați din nou figura 7, privind triunghiul HOT. Este un dreptunghi în O și este format din următoarele laturi:

catetul HO este raza circumferinței, de aceea este și partea hexagonului regulat înscris;
hipotenuza HT este latura pentagonului regulat înscris în aceeași circumferință;
Euclid ^[14] arată că cealaltă parte TO a acestui triunghi dreptunghi este lungă cât latura decagonului regulat înscris în circumferință.

Cu raza TO și îndreptând busola spre vârfurile pentagonului, este posibil să se deseneze arcele ale căror intersecții cu circumferința definesc vârfurile decagonului regulat (pentru a nu-l face prea greu, în figură doar arcul YZ centrat în V este prezentat: primele patru laturi ale decagonului HY, YV, VZ și ZW).

Dorind să construiască busolele cu deschidere fixă sugerate de Mascheroni, cea având o lățime egală cu ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ori lungimea fasciculului va trebui calibrată pe distanța dintre punctele O și T.

Împărțirea în 120 de părți

Fig. 8: construcția 120-gono (schiță)

Mascheroni propune două moduri diferite de a împărți circumferința în 120 de părți egale. Primul, mai evident, necesită utilizarea diferenței dintre unghiurile din centru care subtend 5 laturi consecutive ale celei de-a 24-a și laturile pentagonului. Intr-adevar:

{\frac {5}{24}}-{\frac {1}{5}}={\frac {25-24}{120}}={\frac {1}{120}}

{\ displaystyle {\ frac {5} {24}} - {\ frac {1} {5}} = {\ frac {25-24} {120}} = {\ frac {1} {120}}}

{\ displaystyle {\ frac {5} {24}} - {\ frac {1} {5}} = {\ frac {25-24} {120}} = {\ frac {1} {120}}}

După ce ați găsit lungimea arcului subtins de partea 120 a circumferinței, este suficient să raportați această distanță pe circumferință de mai multe ori începând de la vârfurile 24-gono.

Mascheroni propune a doua construcție a 120-gono pentru a demonstra eficacitatea metodelor sale și utilitatea busolelor cu deschidere fixă:

«Oricine dorește doar cu patru busole [...] și cu doar două puncte luate în afara circumferinței [...] poate împărți circumferința cercului în o sută douăzeci de părți egale. "

Rezumând (a se vedea figura 8) toți pașii necesari pentru construirea unui 24-gono obișnuit înscris în circumferință:

cu prima busolă (cu o deschidere egală cu raza circumferinței) se determină cele șase vârfuri ale hexagonului regulat inscripționat ABCDEF;
arătând spre punctele B și D a doua busolă (deschidere ${\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ori raza, egală cu distanța dintre punctele A și C) urmărește două arce care se intersectează în punctul G;
îndreptarea primei busole în punctul G urmărește arcul care intersectează circumferința în punctele L și K (două vârfuri ale octogonului regulat înscris);
arătând spre a treia busolă (deschizându-se ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza, egală cu distanța dintre punctele O și G) din punctul A, se trasează un arc care intersectează circumferința în punctele H și J, care definesc diametrul ortogonal față de DA;
cu aceeași busolă, îndreptată spre K și L, se determină ultimele vârfuri M și N ale octogonului regulat AKHLDMJN;
cu prima busolă , îndreptată spre H, J, K, L, M și N, se determină toate vârfurile lipsă ale 24-gon-ului regulat (în figură sunt indicate doar P, Q și R).

Rămâne să găsim vârfurile intermediare ale 120-gono, adică cele care nu coincid cu cele ale celor 24-gono. Pentru a face acest lucru, Mascheroni folosește a patra sa busolă , a cărei deschidere este definită după cum urmează:

arătând spre a treia busolă (deschidere ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ori raza) în B și F, două arce care se intersectează sunt trasate în T;
segmentul TO, latura decagonului regulat înscris în circumferință (cu lungimea egală cu ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ori raza circumferinței) determină deschiderea acestei a patra busole .

Cele patru vârfuri ale 120-gono, intermediare arcului AQ, sunt determinate mai jos:

cu a patra busolă îndreptată în R urmărește arcul care intersectează circumferința în punctul z; apoi îndreptându-l spre z determinați punctul u. Unghiul uÔA poate fi calculat ca diferența dintre RÔA (care subtinde 5 laturi ale 24-gon) și RÔu (care subtinde două laturi ale decagonului):

${\frac {5}{24}}-{\frac {2}{10}}={\frac {25-24}{120}}={\frac {1}{120}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {24}} - {\ frac {2} {10}} = {\ frac {25-24} {120}} = {\ frac {1} {120}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {24}} - {\ frac {2} {10}} = {\ frac {25-24} {120}} = {\ frac {1} {120}}}$

cu aceeași busolă, dar arătând spre P, urmăriți arcul care intersectează circumferința, determinând punctul v. Unghiul vÔA poate fi calculat ca diferența dintre unghiul vÔP (care subtinde o parte a decagonului) și AÔP (care subtinde două laturi ale 24-gon):

${\frac {1}{10}}-{\frac {2}{24}}={\frac {12-10}{120}}={\frac {2}{120}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} - {\ frac {2} {24}} = {\ frac {12-10} {120}} = {\ frac {2} {120}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} - {\ frac {2} {24}} = {\ frac {12-10} {120}} = {\ frac {2} {120}}}$

apoi îndreaptă aceeași busolă spre K pentru a determina w. Deoarece unghiul KÔA subtinde 3 laturi ale 24-gono, unghiul wÔA este:

${\frac {3}{24}}-{\frac {1}{10}}={\frac {15-12}{120}}={\frac {3}{120}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {24}} - {\ frac {1} {10}} = {\ frac {15-12} {120}} = {\ frac {3} {120}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {24}} - {\ frac {1} {10}} = {\ frac {15-12} {120}} = {\ frac {3} {120}}}$

îndreaptă în cele din urmă busola spre F pentru a determina y; apoi în y pentru a determina x. Unghiul xÔA poate fi calculat ca diferența dintre unghiul xÔF (care subtinde două laturi ale decagonului) și AÔF (care subtinde 4 laturi ale 24-gon):

${\frac {2}{10}}-{\frac {2}{24}}={\frac {24-20}{120}}={\frac {4}{120}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {10}} - {\ frac {2} {24}} = {\ frac {24-20} {120}} = {\ frac {4} {120}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {10}} - {\ frac {2} {24}} = {\ frac {24-20} {120}} = {\ frac {4} {120}}}$

Pentru a subdiviza toate celelalte arce ale 24-gono, în teorie ar fi necesar să procedăm în același mod. Conviene piuttosto, con il solo uso del quarto compasso , tracciare 12 decagoni a partire da altrettanti vertici consecutivi del 24-gono.

Problemi di bisezione

Fig. 9: Bisezione di un segmento e di un arco con riga e compasso

Nelle geometria della riga e del compasso, la bisezione di un segmento ^[15] o di un arco ^[16] delimitati dai punti A e B (vedi figura 9) si ottiene:

tracciando due archi di raggio AB con centri in A e B, i cui punti di intersezione determinando i punti C e D;
unendo i punti C e D con un segmento rettilineo;
i punti E ed F, di intersezione fra il segmento CD e il segmento o l'arco dati, ne rappresentano le rispettive bisezioni.

Volendo evitare l'uso della riga per tracciare il segmento CD, Mascheroni propone i metodi che vengono descritti di seguito.

Bisezione di un arco

Fig. 10: Bisezione di un arco

Per determinare il punto mediano dell'arco AB con centro in O (vedi figura 10), Mascheroni suggerisce di:

tracciare i due archi OC e OD, centrati in A e B, di raggio AO = BO;
con raggio AB tracciare l'arco centrato on O, la cui intersezione con i due archi già tracciati determina i punti C e D;
con raggio AD = BC, e con centri in C e D, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto G;
con raggio OG, e con centro di nuovo nei punti C e D, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto F: esso è il punto mediano cercato dell'arco AB.

Come in tutte le costruzioni precedenti di questa pagina, nella figura sono mostrati gli archi (in questo caso: quello da bisecare, più i 7 necessari al procedimento di bisezione) come linee continue, mentre i segmenti rettilinei sono tratteggiati. Questi ultimi non sono infatti necessari alla costruzione, ma facilitano la comprensione della dimostrazione:

i quadrilateri ABOC e ABDO sono per costruzione dei parallelogrammi, quindi hanno i lati CO e OD paralleli ad AB ^[17] ; avendo un estremo in comune, CO e OD giacciono quindi sulla stessa retta (parallela ad AB);
i triangoli CFD e CGD sono per costruzione entrambi isosceli, ei segmenti FO e GO ne sono le mediane rispetto alla base comune CD. Nei triangoli isosceli, mediane e altezze rispetto alla base coincidono, quindi i punti F e G appartengono entrambi alla retta GFO perpendicolare a CD;
ABO è un triangolo isoscele la cui base AB è parallela a CD, e la retta OF, perpendicolare ad AB, ne è l'altezza. Ma in un triangolo isoscele, l'altezza rispetto alla base e la bisettrice dell'angolo al vertice coincidono: di conseguenza gli angoli (al centro) AÔF e FÔB sono uguali, e sottendono le due metà in cui si vuole dividere l'arco dato.

È dimostrato quindi che il segmento GFO divide in due parti uguali l'arco dato. Rimane da dimostrare che il punto F si trova sull'arco AB, ovvero che la distanza OF è uguale ad OA (raggio dell'arco da dividere). Questo richiede i seguenti passaggi:

sia H la proiezione di A su CO; essendo il triangolo CAO isoscele, il segmento OH è metà di OC = OD;
in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato più lungo è pari alla somma dei quadrati costruiti sui lati che costituiscono l'angolo ottuso più due volte il rettangolo compreso fra uno di questi lati e la proiezione dell'altro sul prolungamento del primo ^[18] . Nel caso del triangolo AOD (l'angolo ottuso è in O) si ha:

{\overline {AD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\cdot {\overline {OH}}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}

{\overline {AD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\cdot {\overline {OH}}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}

{\overline {AD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\cdot {\overline {OH}}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}

Il segmento DG = DA è l'ipotenusa del triangolo GOD, rettangolo in O; si può quindi applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OG:

{\overline {OG}}\,^{2}={\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}

{\overline {OG}}\,^{2}={\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}

{\overline {OG}}\,^{2}={\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}

Il segmento DF = OG è ipotenusa del triangolo FOD rettangolo in O; si può nuovamente applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OF:

{\overline {OF}}\,^{2}={\overline {DF}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}

{\overline {OF}}\,^{2}={\overline {DF}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}

{\overline {OF}}\,^{2}={\overline {DF}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}

Il punto F è sul segmento GO che divide in due l'arco AB di centro O; in più si ha che OF = OA, quindi il punto F appartiene all'arco AB di centro O: F è quindi proprio il punto cercato, che divide l'arco AB in due parti uguali.

Avvertenze

Mascheroni raccomanda di lavorare sempre su archi di lunghezza appropriata:

se l'arco da bisecare è troppo piccolo, è bene aggiungere alle sue estremità due archi dello stesso raggio, e di lunghezza uguale fra loro (ovvero, archi che abbiano corde della stessa lunghezza);
se l'arco è troppo lungo, è bene decurtarlo di quantità eguali alle due estremità.

In entrambi i casi la bisezione dell'arco modificato, ingrandito o accorciato che sia, dà luogo anche alla bisezione dell'arco originale.

Bisezione di un segmento

Fig. 11: Bisezione di un segmento

Il metodo suggerito da Mascheroni per determinare il punto mediano E del segmento OA (vedi figura 11) senza fare uso della riga è il seguente:

tracciare l'arco FOG di raggio OA, centrato in A;
tracciare l'arco ABCD di pari raggio, centrato in O: esso interseca l'arco precedente nel punto B;
determinare il punto D, opposto ad A rispetto ad O, riportando due volte la distanza OA sull'arco ABCD, da B a C e da C a D;
tracciare l'arco FAGH con centro in D e raggio DA (in realtà è sufficiente tracciare l'arco FAG - nel disegno l'arco è prolungato fino ad H per semplificare la comprensione della dimostrazione che segue);
con centri in F e G, e apertura FA = GA, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto E: è questo il punto cercato, mediano del segmento OA.

Si ammetta infatti di avere tracciato il punto H (non necessario nella costruzione già descritta) in modo che il segmento HA sia il diametro della circonferenza centrata in D, di raggio DA doppio rispetto ad OA: la distanza HA è quindi quadrupla di OA. Si ammetta anche di avere tracciato il punto L, proiezione di G sul segmento OA (neanche questo è necessario alla costruzione). Con questi elementi aggiunti alla costruzione di Mascheroni, si può verificare che:

i triangoli HGA (rettangolo in G poiché è inscritto in una semicirconferenza ^[19] ) e GLA (rettangolo in L per costruzione) sono simili ^[20] in quanto, oltre appunto ad essere rettangoli, hanno in comune l'angolo in A;
per costruzione, GA è uguale ad OA, e HA è quattro volte OA; quindi OA : HA = 1 : 4;
la stessa proporzione 1 : 4 si presenta fra i segmenti LA e GA = OA, quindi LA è la quarta parte del segmento dato OA;
i triangoli GLA e GLE sono congruenti e rettangoli in L; quindi la distanza EA è doppia di LA;
il punto E cade quindi sul segmento OA, ed è equidistante da O e da A.

Operazioni su segmenti

Applicare una distanza data ad un segmento

Fig. 12: applicare distanze ad un segmento

Il metodo più semplice per riportare la distanza CD sul segmento AB (vedi figura 12) è:

tracciare la circonferenza di raggio AR = CD puntando il compasso in A;
l'intersezione di tale circonferenza con il segmento AB in E rappresenta il punto cercato.

È stato già sottolineato che per Euclide il trasporto delle distanze con il compasso non è ammesso (per svolgere il compito appena descritto infatti Euclide suggerisce il metodo mostrato alla figura 1). Per Mascheroni il trasporto delle distanze con il compasso è non solo ammesso, ma incoraggiato; tuttavia la sua Geometria del Compasso porta un problema diverso: a motivo dell'impossibilità di utilizzare la riga, del segmento AB sono noti gli solo estremi, non i punti intermedi. La circonferenza tracciata quindi non è di per sé sufficiente a definire il punto E, per cui bisogna completare il procedimento come segue:

tracciare un arco GH con centro in B e raggio arbitrario (il raggio va scelto in modo da agevolare l'operazione che segue);
dividere in due l'arco GEH con il metodo di bisezione descritto più sopra in questa stessa pagina: si determina così il punto E cercato.

È evidente infatti che il punto E è distante da A quanto lo è D da C; rimane da dimostrare che il punto E appartenga anche al segmento AB:

gli angoli EÂG ed EÂH sono, per costruzione, uguali alla metà dell'angolo al centro GÂH che sottende l'arco GEH;
i triangoli AGB e AHB sono congruenti, quindi sono uguali i loro angoli in A ^[21] ;
gli angoli GÂB e HÂB presi insieme formato lo stesso angolo al centro che sottende l'arco GEH;
gli angoli GÂE e GÂB sono coincidenti, quindi il punto E si trova effettivamente sulla congiungente fra A e B.

Accorciare un segmento di una distanza data

Quando si debba togliere la lunghezza CD dal segmento AB dal lato dell'estremità A (il segmento differenza è EB, vedi figura 12) si usa lo stesso metodo appena descritto.

Prolungare un segmento di una distanza data

Dovendo aggiungere la lunghezza CD al segmento AB si potrebbe usare ancora lo stesso procedimento (vedi figura 12), bisecando però l'arco GFH invece del GEH. Questo arco è però poco adatto ad essere bisecato con il metodo di Mascheroni, quindi in questo caso conviene tracciare un diverso arco JK, sempre con centro in B, ma con raggio appropriato all'ottenimento appunto di un arco JFK più adatto allo scopo.

Proiezione di un punto su un segmento

Fig. 13: proiettare un punto su un segmento

La costruzione di Euclide ^[22] per proiettare il punto C sul segmento AB è la seguente (vedi figura 13):

tracciare un arco con centro in C e raggio arbitrario, che tagli il segmento AB nei punti G ed H;
determinare il punto O intermedio fra G ed H: la congiungente fra C ed O è perpendicolare ad AB.

Questo sistema non può essere adottato da Mascheroni, in quanto del segmento AB sono noti solo gli estremi. Egli suggerisce infatti di:

tracciare l'arco CFD con centro in A e raggio AC;
tracciare l'arco CED con centro in B e raggio BC, la cui intersezione con l'arco precedente determina il punto D;
bisecare il segmento CD in O con metodo descritto in precedenza.

Per costruzione il quadrilatero ACBD è un aquilone , le cui diagonali si incrociano ortogonalmente e la AB divide in parti uguali la CD. Di conseguenza:

il punto di intersezione fra le due diagonali coincide con il punto O trovato con il metodo di Mascheroni (mediano del segmento CD);
i segmenti CO e AB son ortogonali: O è quindi il punto cercato.

Determinare un segmento parallelo ad uno dato

Fig. 14: tracciare un segmento parallelo

Dato un segmento AB ed un punto C esterno ad esso, per trovare un punto D tale che il segmento CD sia parallelo ad AB è sufficiente costruire il parallelogramma mostrato in figura 14:

con centro in C e raggio AB, e con centro in A e raggio BC, tracciare due archi che si intersecano nel punto D;
D è il punto cercato.

Infatti:

i triangoli ABC e DCA sono congruenti, quindi hanno uguali ^[21] gli angoli BÂC e AĈD;
il segmento CD è quindi parallelo ad AB ^[23]

Intersezioni

La geometria della riga e del compasso consente la determinazione dei punti secondo tre metodi:

Intersezione fra una circonferenza e un'altra circonferenza;
Intersezione fra una circonferenza e una retta;
Intersezione fra due rette.

La geometria del (solo) compasso rende disponibile il solo primo caso fra quelli elencati: gli altri richiedono costruzioni alternative, che vengono descritte di seguito.

Intersezione fra una circonferenza e una retta passante per il suo centro e un altro punto dato

Fig. 15: trovare il diametro di una circonferenza passante per un punto

Data una circonferenza di centro O e raggio OR (vedi figura 15) e un punto E non coincidente con il centro, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza e la retta passate per il centro e il punto dato occorre:

con centro in E ed apertura appropriata tracciare l'arco GH;
bisecando l'arco GAH si trova il primo punto cercato A;
riportando tre volte il raggio della circonferenza sulla stessa (da A a B, da B a C e da C a D) si trova il secondo punto D cercato (il punto D potrebbe essere trovato bisecando l'arco GDH, ma la soluzione proposta è sicuramente più semplice).

Questa costruzione ripropone il metodo già descritto per applicare una distanza a un segmento (vedi figura 12): di fatto, per determinare il punto A è come se si applicasse la distanza OR (raggio della circonferenza) al segmento OE. Nota: il sistema sarebbe valido anche se il punto E fosse interno al cerchio (purché, come detto, non coincidente con il suo centro), dato che sarebbe sempre possibile tracciare un arco GH intersecante la circonferenza data in due punti.

Intersezione fra una circonferenza e una retta non passante per il centro

Fig. 16: trovare le intersezioni fra un segmento e una circonferenza

Nella geometria della riga e del compasso, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza centrata in O e di raggio OA e un segmento i cui estremi si trovino in B e C (vedi figura 16) sarebbe sufficiente unire i punti C e B con un segmento, prolungandolo fino ad F. Nella Geometria del Compasso di Mascheroni occorre invece:

con centro in B e raggio BO, e con centro in C e raggio CO, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto D;
con centro in D e raggio DE = OA tracciare la circonferenza EFG;
i punti F e G di intersezione fra le due circonferenze sono i punti cercati.

Nota: se le due circonferenze non si intersecano fra loro significa che la retta BC non taglia la circonferenza originale; se si toccano in un solo punto, la retta BC ne è tangente.

È evidente che i punti F e G appartengono alla circonferenza originale. Occorre dimostrare che essi appartengono anche alla retta BC:

per costruzione il quadrilatero BOCD è un aquilone , le cui diagonali si incrociano ortogonalmente e la BC divide in parti uguali la OD in H;
il quadrilatero OGDF è un rombo (caso particolare di aquilone), le cui diagonali si incrociano ortogonalmente dividendosi in parti uguali in H;
i punti B e C, ed F e G, appartengono a due segmenti entrambi ortogonali ad OD e passanti per il suo punto mediano H;
i punti F e G appartengono quindi alla stessa retta del segmento dato BC.

Intersezione fra due rette

Fig. 17: trovare l'intersezione fra due segmenti

Dati due segmenti definiti dai punti A e B, C e D (vedi figura 17), la determinazione del punto H della loro intersezione con il solo uso del compasso richiede i seguenti passaggi:

con centro in A e raggio AC, e con centro in B e raggio BC, tracciare due archi che si intersecano nel punto E;
con centro in A e raggio AD, e con centro in B e raggio BD, tracciare due archi che si intersecano nel punto F;
tracciare due archi con centro in E e raggio CD, e con centro in D e raggio CE, che si intersecano nel punto G;
per determinare il punto H occorre trovare il punto di intersezione fra due archi centrati in E ed C, con raggio EH = CH di lunghezza tale da rispettare la proporzione GF : FE = CE : EH (la ricerca di tale lunghezza è descritta nel prossimo paragrafo).

È semplice provare (quindi ometteremo i relativi dettagli) che:

il segmento EF è simmetrico di CD rispetto al segmento AB;
i segmenti CE e DF sono entrambi perpendicolari ad AB, quindi sono paralleli fra loro;
il punto H cercato (intersezione fra AB e DC) è anche il punto di intersezione fra i segmenti CD ed EF.

Di conseguenza:

avendo l'angolo H in comune, e le basi EC ed FD parallele, i triangoli EHC e FHD hanno gli angoli uguali, dunque sono simili ^[20] ;
essendo per costruzione i segmenti CE = DG, e CD = EG, il quadrilatero CEGD è un parallelogramma ^[17] , i segmenti HD ed EG sono paralleli;
tagliati i due segmenti suddetti dalla trasversale HF, gli angoli FÊG e FĤD sono uguali ^[23] ;
avendo gli angoli suddetti uguali, e l'angolo in F in comune, anche i triangoli FEG e FHD sono simili;
essendo, per la proprietà transitiva, simili fra loro i triangoli FEG ed EHC, vale appunto la proporzione GF : FE = CE : EH

Trovare la quarta proporzionale a tre distanze date

Fig. 18: trovare la quarta proporzionale a tre distanze date

Dati 3 segmenti AB, CD ed EF (vedi figura 18), per trovare un quarto segmento RS tale che AB : CD = EF : RS (procedimento necessario al completamento della determinazione del punto di intersezione di due segmenti, vedi punto precedente) occorre:

con un centro arbitrario, tracciare due circonferenze di raggio OP = AB e OR = CD;
scelto un punto arbitrario P sulla prima circonferenza, puntare il compasso con apertura EF in modo da determinare il punto Q sulla stessa;
con apertura arbitraria tracciare due archi puntando il compasso in P e Q, in modo da determinare i punti R ed S sulla seconda circonferenza;
il segmento RS avrà la lunghezza cercata.

Infatti:

per costruzione, i triangoli OPR e OQS sono congruenti; quindi i loro angoli in O sono uguali ^[21] ;
se a tali angoli in O si aggiunge l'angolo PÔS, si trovano due angoli RÔS e PÔQ, anch'essi uguali fra loro;
i triangoli ROS e POQ, essendo entrambi isosceli e avendo uguale l'angolo compreso fra i loro lati uguali, sono simili ^[24] ;
è verificata quindi la proporzione OP : OR = PQ : RS
sostituendo AB ad OP, CD ad OR, e EF ad PQ, si ottiene la proporzione cercata AB : CD = EF : RS

Nota: se il segmento EF fosse maggiore del doppio di AB, il segmento PQ = EF non potrebbe essere tracciato come corda sulla circonferenza di raggio OP = AB. In questo caso sarebbe necessario prima raddoppiare (o triplicare, quadruplicare...) e segmenti AB e CD per ottenere il risultato desiderato.

Ricerca del centro di una circonferenza

Per trovare il centro di una circonferenza, Euclide ^[25] suggerisce di:

tracciare una corda qualsiasi;
tracciare l'asse della corda;
bisecare il segmento ottenuto dall'intersezione fra l'asse e la circonferenza.

Un metodo alternativo consiste nel tracciare due corde e trovare l'intersezione dei loro assi; se le corde hanno un punto in comune, il problema si riduce alla determinazione del centro del cerchio circoscritto a un triangolo ^[26] :

tracciare due corde;
tracciarne gli assi;
determinare il punto d'intersezione degli assi, che coincide con il centro cercato della circonferenza.

Questo metodo alternativo può essere trasformato in modo da utilizzare i metodi già visti di Mascheroni:

individuare i punti che definiscono due corde;
trovare due coppie di punti che definiscono gli assi delle corde;
determinare il punto di intersezione fra i due assi.

In effetti questo sistema viene utilizzato da Mascheroni proprio per determinare il centro di un cerchio che passi per tre punti dati. La presenza del cerchio già disegnato consente però di conoscere il luogo di tutti i punti che appartengono alla sua circonferenza, il che consente di adottare sistemi più semplici di quello appena descritto.

Metodo di Mascheroni

Fig. 19: trovare il centro di una circonferenza

Dato un cerchio ABM (vedi figura 19), il metodo proposto da Mascheroni per determinarne il centro è il seguente:

fatto centro in qualche punto A della circonferenza del cerchio dato, con un raggio arbitrario ^[27] AB, tracciare l'arco BCDE che interseca la circonferenza data nel punto M;
riportare sullo stesso arco, per tre volte, la distanza AB da B a C, da C a D e da D a E: BAE è quindi il diametro dell'arco tracciato;
con centri in E ed A, e con raggio EM, tracciare due archi che si intersecano in L;
con centro in L e raggio LA = LE tracciare l'arco EAQ che interseca l'arco BME in Q;
BQ è il raggio cercato della circonferenza: tracciare quindi due archi con tale raggio puntando il compasso in A e B per trovare O, che è il centro del cerchio dato.

Vista l'esistenza di un metodo più semplice per trovare il centro della circonferenza (vedi paragrafo successivo), qui riportiamo solo i punti essenziali della dimostrazione:

i triangoli LEA e LAQ sono congruenti;
i triangoli LAQ e ABQ sono simili;
i triangoli MAE e AOB sono simili;
i triangoli AOB e OAM sono congruenti;
i segmenti OM e AO = BO (uguali fra loro per costruzione) sono tutti uguali, quindi O è il centro cercato della circonferenza ^[28] .

Metodo alternativo

Fig. 20: metodo alternativo per trovare il centro di una circonferenza

Esiste un metodo alternativo, un po' più semplice sia nella costruzione che nella dimostrazione, per trovare il centro della circonferenza ^[29] .

Sia data (vedi figura 20) la circonferenza ACBD di cui si vuole trovare il centro. Bisogna:

tracciare un primo arco FCDG con centro in A e raggio arbitrario, che tagli la circonferenza nei punti C e D;
con centro in C e D tracciare due archi di raggio CA = DA, che si intersecano nel punto E;
con raggio EA e centro in E tracciare la circonferenza AFHG, che interseca il primo arco nei punti F e G;
con centro nei punti F e G e raggio FA = GA tracciare due archi che si intersecano nel punto O: è questo il centro cercato.

Per seguire la dimostrazione occorre immaginare tracciati (anche se non necessari alla costruzione) i punti:

K, proiezione di C sul segmento AB;
J, proiezione di F sul segmento AO;
H, secondo estremo del diametro della circonferenza centrata in E e di raggio EA.

Nella spiegazione che segue omettiamo, per brevità, di dimostrare che i punti A, J, K, O, E, B ed H appartengono tutti al diametro suddetto:

il triangolo ACB è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo ^[19] in C. Vale la proporzione ^[30] :

{\overline {AK}}:{\overline {AC}}={\overline {AC}}:{\overline {AB}}

{\overline {AK}}:{\overline {AC}}={\overline {AC}}:{\overline {AB}}

{\overline {AK}}:{\overline {AC}}={\overline {AC}}:{\overline {AB}}

da cui si ricava

{\overline {AC}}\,^{2}={\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}

{\overline {AC}}\,^{2}={\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}

{\overline {AC}}\,^{2}={\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}

anche il triangolo AFH è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo in F. Applicando lo stesso metodo si ottiene:

{\overline {AF}}\,^{2}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

{\overline {AF}}\,^{2}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

{\overline {AF}}\,^{2}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

essendo AC ed AF uguali per costruzione, si possono eguagliare i membri destri delle due proporzioni:

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}

per costruzione, il punto K è medio fra A ed E; ed E è il centro della circonferenza con diametro AH: AH è quindi il doppio di AE e il quadruplo di AK

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}\cdot {\overline {AK}}

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}\cdot {\overline {AK}}

{\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}\cdot {\overline {AK}}

dividendo entrambi i membri per AK si ottiene:

{\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}

{\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}

{\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}

dunque AB è il diametro della circonferenza di cui si cerca il centro, e AJ la sua quarta parte, ovvero metà del raggio. I due archi AO determinano il segmento AO, doppio di AJ: ecco che AO è il raggio della circonferenza, e O il suo centro.

Determinazione delle radici quadrate

Dato un segmento di lunghezza unitaria AO, per determinare segmenti di lunghezza proporzionale alle radici quadrate da 2 a 10 Mascheroni propone una costruzione (vedi figura 21) che richiede l'uso di solo tre compassi ad apertura fissa (o di un compasso regolabile, da usare con tre sole aperture):

apertura pari al raggio unitario (circonferenza ed archi indicati in colore rosso);
apertura proporzionale a ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ volte il raggio unitario (arco in colore ciano);
apertura proporzionale a ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ volte il raggio unitario (archi in colore verde).

Fig. 21: determinazione delle radici quadrate da 2 a 10

Dato quindi un segmento AO di lunghezza unitaria, occorre:

con centro in O e raggio OA tracciare la circonferenza ABCDEF;
con la stessa apertura, partendo da A, determinare i rimanenti vertici dell'esagono inscritto BCDEF;
con raggio AC = BD e centri in A e D tracciare due archi che si intersecano nei punti G e J;
con lo stesso raggio, e con centri in C ed E, tracciare due archi che si intersecano in K;
con raggio OG e centro in D tracciare l'arco che interseca la circonferenza nei punti H ed I;
con apertura pari al raggio OA della circonferenza e centri in A e H tracciare due archi che si intersecano in L.

In questo schema sono riportati alcuni punti già identificati precedentemente, nelle costruzioni relative divisione della circonferenza:

ABCDEF sono i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza;
ACE e DFB sono i vertici di due triangoli equilateri inscritti;
AHDI sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza.

Inoltre:

ALHO sono i vertici del quadrato costruito sul raggio AO;
G e J si trovano sulla retta perpendicolare al diametro AD, passante per O, a distanza ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ da O;
K è, per costruzione, simmetrico di A rispetto alla congiungente di C ed E; quindi il segmento AK è tre volte AO;
P (non necessario alla costruzione, è indicato solo per rendere più comprensibile la spiegazione che segue) è il piede dell'altezza dei triangolo equilatero AOF costruito sul raggio AO.

La tabella che segue illustra le lunghezze così determinate:

Radicando	Segmento	Lunghezza
$1$ ${\displaystyle 1}$ $1$	${\overline {AO}}$ ${\overline {AO}}$ ${\overline {AO}}$	$1$ ${\displaystyle 1}$ $1$
$2$ ${\displaystyle 2}$ $2$	${\overline {OG}},{\overline {OL}}$ ${\overline {OG}},{\overline {OL}}$ ${\overline {OG}},{\overline {OL}}$	${\sqrt {{\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {DO}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-1^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$ ${\sqrt {{\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {DO}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-1^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$ ${\sqrt {{\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {DO}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-1^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$
$3$ ${\displaystyle 3}$ $3$	${\overline {DF}},{\overline {DG}}$ ${\overline {DF}},{\overline {DG}}$ ${\overline {DF}},{\overline {DG}}$	${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PD}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{4}}}}={\sqrt {\frac {12}{4}}}={\sqrt {3}}$ ${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PD}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{4}}}}={\sqrt {\frac {12}{4}}}={\sqrt {3}}$ ${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PD}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{4}}}}={\sqrt {\frac {12}{4}}}={\sqrt {3}}$
$4$ ${\displaystyle 4}$ $4$	${\overline {AD}}$ ${\overline {AD}}$ $\overline {AD}$	${\overline {AO}}+{\overline {OD}}=1+1=2$ ${\overline {AO}}+{\overline {OD}}=1+1=2$ ${\overline {AO}}+{\overline {OD}}=1+1=2$
$5$ ${\displaystyle 5}$ $5$	${\overline {LD}}$ ${\overline {LD}}$ ${\overline {LD}}$	${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AD}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {1+4}}={\sqrt {5}}$ ${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AD}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {1+4}}={\sqrt {5}}$ ${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AD}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {1+4}}={\sqrt {5}}$
$6$ ${\displaystyle 6}$ $6$	${\overline {GK}}$ ${\overline {GK}}$ ${\overline {GK}}$	${\sqrt {{\overline {GO}}\,^{2}+{\overline {OK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {2+4}}={\sqrt {6}}$ ${\sqrt {{\overline {GO}}\,^{2}+{\overline {OK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {2+4}}={\sqrt {6}}$ ${\sqrt {{\overline {GO}}\,^{2}+{\overline {OK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {2+4}}={\sqrt {6}}$
$7$ ${\displaystyle 7}$ $7$	${\overline {FK}}$ ${\overline {FK}}$ ${\overline {FK}}$	${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {25}{4}}}}={\sqrt {\frac {28}{4}}}={\sqrt {7}}$ ${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {25}{4}}}}={\sqrt {\frac {28}{4}}}={\sqrt {7}}$ ${\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {25}{4}}}}={\sqrt {\frac {28}{4}}}={\sqrt {7}}$
$8$ ${\displaystyle 8}$ $8$	${\overline {GJ}}$ ${\overline {GJ}}$ ${\overline {GJ}}$	${\overline {GO}}+{\overline {OJ}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}={\sqrt {4\cdot 2}}={\sqrt {8}}$ ${\overline {GO}}+{\overline {OJ}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}={\sqrt {4\cdot 2}}={\sqrt {8}}$ ${\overline {GO}}+{\overline {OJ}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}={\sqrt {4\cdot 2}}={\sqrt {8}}$
$9$ ${\displaystyle 9}$ $9$	${\overline {AK}}$ ${\overline {AK}}$ ${\overline {AK}}$	${\overline {AO}}+{\overline {OD}}+{\overline {DK}}=1+1+1=3$ ${\overline {AO}}+{\overline {OD}}+{\overline {DK}}=1+1+1=3$ ${\overline {AO}}+{\overline {OD}}+{\overline {DK}}=1+1+1=3$
$10$ ${\displaystyle 10}$ $10$	${\overline {LK}}$ ${\overline {LK}}$ ${\overline {LK}}$	${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AK}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+9}}={\sqrt {10}}$ ${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AK}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+9}}={\sqrt {10}}$ ${\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AK}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+9}}={\sqrt {10}}$

Fig. 22: determinazione delle radici quadrate da 11 a 15

Le radici quadrate di numeri superiori a 10 richiedono un passaggio in più. Per determinare segmenti di lunghezza compresa fra ${\sqrt {11}}$ ${\sqrt {11}}$ ${\sqrt {11}}$ e ${\sqrt {15}}$ ${\sqrt {15}}$ ${\sqrt {15}}$ il metodo proposto da Mascheroni è indicato in figura 22:

si tracci una semicirconferenza AB di diametro pari a quattro volte il raggio AO usato nella costruzione precedente: tale segmento sarà l'ipotenusa di qualsiasi triangolo rettangolo venga inscritto nella circonferenza;
si riportino sulla circonferenza, a partire da A, lunghezze pari a quelle già trovate con la costruzione precedente: i segmenti trovati (indicati in rosso) rappresentato il primo cateto di ciascun triangolo rettagonolo;
il secondo cateto di ciascun triangolo (indicato in blu) ha una lunghezza che può essere calcolata grazie al teorema di pitagora. Ad esempio:

{\sqrt {14}}={\sqrt {4^{2}-\left({\sqrt {2}}\right)^{2}}}={\sqrt {16-2}}

{\sqrt {14}}={\sqrt {4^{2}-\left({\sqrt {2}}\right)^{2}}}={\sqrt {16-2}}

{\sqrt {14}}={\sqrt {4^{2}-\left({\sqrt {2}}\right)^{2}}}={\sqrt {16-2}}

Con lo stesso metodo si pssono trovare:

le radici dei numeri compresi fra 17 e 24 (triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 5, e cateti compresi fra ${\sqrt {8}}$ ${\sqrt {8}}$ ${\sqrt {8}}$ e ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {1}}$ );
le radici dei numeri compresi fra 26 e 35 (triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 6, e cateti compresi fra ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ e ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {1}}$ );

Radici quadrate di numeri maggiori richiedono ulteriori passaggi per cui, in semicirconferenze di diametri di lunghezza superiore a 6, si inscrivano i triangoli rettangoli dei il quali un cateto abbia lunghezza pari a una delle radici precedentemente determinate.

Costruzioni approssimate

L'ultimo capitolo de La Geometria del compasso è dedicato a costruzioni approssimate: si tratta di quelle costruzioni, come l'estrazione della radice cubica di 2, che non possono essere realizzate in modo esatto con l'uso solo della riga e del compasso (o meglio, del solo compasso). Mascheroni cerca di ottenere la massima precisione possibile per ottenere, fra gli altri, i seguenti risultati:

Valore cercato	Errore
Angolo di 0,25° (15 primi)	< 0,000005°
Radiante	< 0,0006°
Lato di un quadrato di area pari a un cerchio dato ( quadratura del cerchio )	~ 0,02%
Spigolo di un cubo di volume pari a una sfera data	~ 0,03%
Raggio di una sfera di volume pari a un cubo dato	~ 0,08%
Radice cubica di 2 ( duplicazione del cubo )	~ 0,07%

Conclusione

Le costruzioni di Mascheroni presentate nei paragrafi precedenti sono solo una piccola parte della sua opera. Ricordiamo che il suo libro non è stato scritto solo per scopi teorici, ma voleva anche rappresentare un manuale di disegno rivolto a coloro che avevano bisogno di ottenere risultati pratici di alta precisione. Scrive infatti, a conclusione del suo libro:

« E qui sia fine ormai a questa Geometria del Compasso , che se non dispiacerà ai Geometri, e se potrà in qualche modo servire agli Artisti, ai Disegnatori, e specialmente ai Divisori de' cerchi per gli usi Geografici ed Astronomici; io mi troverò della lunga noia divorata nel comporla abbastanza ricompensato. »

Note

^ Mascheroni fa riferimento all' elettrolisi dell'acqua , scoperta pochi anni prima della stesura del suo libro
^ Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 1, letteralmente: « Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto »
^ Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 2, letteralmente: « E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta »
^ Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 3, letteralmente: « E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza »
^ Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 1: « Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero »
^ Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 2: « Applicare ad una retta data una retta uguale ad una retta data »
^ « ... sapendo la molestia e il pericolo d'errare, che nasce dall'allargare e stringere il compasso a varie aperture precise; noi procureremo di sciogliere i problemi col minimo numero possibile di aperture di compasso. Sarà anche meglio avere in pronto tali compassi fedeli , come li chiamano, ossia tali, che uno si possa assicurare, che conservino appunto l'apertura data; quante sono le aperture, che richiede la soluzione del problema. poiché accadrà spesso, che dovremo adoperar più volte la stessa apertura dopo averne adoperata una o più altre; così senza allargare o stringere un sol compasso, ripiglieremo quell'altro compasso messo da parte, che la conserva. »
^ Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 26: « In cerchi uguali angoli uguali insistono su archi uguali, sia che essi siano angoli al centro o alla circonferenza »
^ Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 27: « In cerchi uguali angoli che insistano su archi uguali sono uguali fra loro, sia che essi siano al centro od alla circonferenza »
^ Euclide, Elementi , Libro IV, Proposizione 15: « Inscrivere in un cerchio dato un esagono equilatero ed equiangolo »
^ Euclide, Elementi , Libro V, Proposizione 6: « Inscrivere un quadrato in un cerchio dato »
^ Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 48: « Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti lati del triangolo, l'angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto »
^ Il metodo di Euclide è descritto qui
^ Euclide, Elementi , Libro XIII, Proposizione 10: « Se si inscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono equilateri che siano inscritti nello stesso cerchio ». Questa proposizione non viene usata da Euclide per risolvere problemi di geometria piana, bensì nella costruzione dell'Icosaedro ( Elementi , Libro XIII, Proposizione 16)
^ Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 10: « Dividere per metà una retta terminata data »
^ Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 30: « Dividere per metà un arco dato »
^ ^a ^b Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 34: « I parallelogrammi hanno lati ed angoli opposti uguali fra loro [...] »
^ Euclide, Elementi , Libro II, Proposizione 12: « Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo ottuso e della proiezione dell'altro su esso »
^ ^a ^b Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 31: « In un cerchio, l'angolo alla circonferenza inscritto nel semicerchio è retto [...] »
^ ^a ^b Euclide, Elementi , Libri VI, Proposizione 4: « Nei triangoli aventi angoli rispettivamente uguali i lati che comprendono gli angoli uguali sono proporzionali »
^ ^a ^b ^c Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 8: « Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno anche la base uguale alla base, avranno uguali anche gli angoli compresi dai lati uguali » . Questo enunciato è oggi conosciuto come terzo criterio di uguaglianza dei triangoli
^ Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 12: « Ad una data retta illimitata, da un punto dato ad essa esterno, condurre una linea retta perpendicolare »
^ ^a ^b Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 29: « Una retta che cada su rette parallele forma angoli alterni uguali fra loro, l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto [...] »
^ Euclide, Elementi , Libro VI, Proposizione 6: « Se due triangoli hanno un angolo uguale ad un angolo, e proporzionali i lati comprendenti i due angoli uguali, i triangoli saranno fra loro equiangoli »
^ Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 1: « Trovare il centro di un cerchio dato »
^ Euclide, Elementi , Libro IV, Proposizione 5: « Circoscrivere un cerchio ad un triangolo dato »
^ il raggio scelto deve essere minore del diametro del cerchio e maggiore del suo quarto
^ Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 9: « Se si prende un punto internamente ad un cerchio, e dal punto possono condursi alla circonferenza più di due segmenti uguali, il punto preso è il centro del cerchio »
^ Vedi ad es. in Piergiorgio Odifreddi , Riga o compasso? Le Scienze n. 521 (gennaio 2012), p. 18
^ Euclide, Elementi , Libro VI, Proposizione 8: « Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili a tutto quanto il triangolo e fra loro »

Bibliografia

Lorenzo Mascheroni, La geometria del compasso , Palermo, Prem. Casa Ed. «Era Nova», 1901.
Euclide, Gli elementi , Torino, UTET, 1996.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Lorenzo Mascheroni , La geometria del compasso , pdf scaricabile
Piergiorgio Odifreddi , Riga o compasso? su Le Scienze n. 521 (gennaio 2012), p. 18

[1] Mascheroni fa riferimento all' elettrolisi dell'acqua , scoperta pochi anni prima della stesura del suo libro

[2] Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 1, letteralmente: « Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto »

[3] Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 2, letteralmente: « E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta »

[4] Euclide, Elementi , Libro I, Postulato 3, letteralmente: « E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza »

[Euclide_1_1-5] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 1: « Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero »

[Euclide_1_2-6] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 2: « Applicare ad una retta data una retta uguale ad una retta data »

[7] « ... sapendo la molestia e il pericolo d'errare, che nasce dall'allargare e stringere il compasso a varie aperture precise; noi procureremo di sciogliere i problemi col minimo numero possibile di aperture di compasso. Sarà anche meglio avere in pronto tali compassi fedeli , come li chiamano, ossia tali, che uno si possa assicurare, che conservino appunto l'apertura data; quante sono le aperture, che richiede la soluzione del problema. poiché accadrà spesso, che dovremo adoperar più volte la stessa apertura dopo averne adoperata una o più altre; così senza allargare o stringere un sol compasso, ripiglieremo quell'altro compasso messo da parte, che la conserva. »

[Euclide_3_26-8] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 26: « In cerchi uguali angoli uguali insistono su archi uguali, sia che essi siano angoli al centro o alla circonferenza »

[Euclide_3_27-9] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 27: « In cerchi uguali angoli che insistano su archi uguali sono uguali fra loro, sia che essi siano al centro od alla circonferenza »

[Euclide_4_15-10] Euclide, Elementi , Libro IV, Proposizione 15: « Inscrivere in un cerchio dato un esagono equilatero ed equiangolo »

[Euclide_5_6-11] Euclide, Elementi , Libro V, Proposizione 6: « Inscrivere un quadrato in un cerchio dato »

[Euclide_1_48-12] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 48: « Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti lati del triangolo, l'angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto »

[13] Il metodo di Euclide è descritto qui

[Euclide_13_10-14] Euclide, Elementi , Libro XIII, Proposizione 10: « Se si inscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono equilateri che siano inscritti nello stesso cerchio ». Questa proposizione non viene usata da Euclide per risolvere problemi di geometria piana, bensì nella costruzione dell'Icosaedro ( Elementi , Libro XIII, Proposizione 16)

[Euclide_1_10-15] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 10: « Dividere per metà una retta terminata data »

[Euclide_3_30-16] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 30: « Dividere per metà un arco dato »

[Euclide_1_34-17] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 34: « I parallelogrammi hanno lati ed angoli opposti uguali fra loro [...] »

[Euclide_2_12-18] Euclide, Elementi , Libro II, Proposizione 12: « Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo ottuso e della proiezione dell'altro su esso »

[Euclide_3_31-19] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 31: « In un cerchio, l'angolo alla circonferenza inscritto nel semicerchio è retto [...] »

[Euclide_6_4-20] Euclide, Elementi , Libri VI, Proposizione 4: « Nei triangoli aventi angoli rispettivamente uguali i lati che comprendono gli angoli uguali sono proporzionali »

[Euclide_1_8-21] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 8: « Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno anche la base uguale alla base, avranno uguali anche gli angoli compresi dai lati uguali » . Questo enunciato è oggi conosciuto come terzo criterio di uguaglianza dei triangoli

[Euclide_1_12-22] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 12: « Ad una data retta illimitata, da un punto dato ad essa esterno, condurre una linea retta perpendicolare »

[Euclide_1_29-23] Euclide, Elementi , Libro I, Proposizione 29: « Una retta che cada su rette parallele forma angoli alterni uguali fra loro, l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto [...] »

[Euclide_6_6-24] Euclide, Elementi , Libro VI, Proposizione 6: « Se due triangoli hanno un angolo uguale ad un angolo, e proporzionali i lati comprendenti i due angoli uguali, i triangoli saranno fra loro equiangoli »

[Euclide_3_1-25] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 1: « Trovare il centro di un cerchio dato »

[Euclide_4_5-26] Euclide, Elementi , Libro IV, Proposizione 5: « Circoscrivere un cerchio ad un triangolo dato »

[27] raggio scelto deve essere minore del diametro del cerchio e maggiore del suo quarto

[Euclide_3_9-28] Euclide, Elementi , Libro III, Proposizione 9: « Se si prende un punto internamente ad un cerchio, e dal punto possono condursi alla circonferenza più di due segmenti uguali, il punto preso è il centro del cerchio »

[29] Vedi ad es. in Piergiorgio Odifreddi , Riga o compasso? Le Scienze n. 521 (gennaio 2012), p. 18

[Euclide_6_8-30] Euclide, Elementi , Libro VI, Proposizione 8: « Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili a tutto quanto il triangolo e fra loro »

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10], este

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

Geometria busolei

Scopul lucrării

Busola lui Euclid

Busolele cu deschidere fixă ​​de Mascheroni

Diviziunile circumferinței

Împărțirea în 6 părți

Împărțirea în 4 părți

Împărțirea în 8 părți

Împărțirea în 12 părți

Împărțirea în 24 de părți

Împărțirea în 5 părți

Împărțirea în 10 părți

Împărțirea în 120 de părți

Problemi di bisezione

Bisezione di un arco

Avvertenze

Bisezione di un segmento

Operazioni su segmenti

Applicare una distanza data ad un segmento

Accorciare un segmento di una distanza data

Prolungare un segmento di una distanza data

Proiezione di un punto su un segmento

Determinare un segmento parallelo ad uno dato

Intersezioni

Intersezione fra una circonferenza e una retta passante per il suo centro e un altro punto dato

Intersezione fra una circonferenza e una retta non passante per il centro

Intersezione fra due rette

Trovare la quarta proporzionale a tre distanze date

Ricerca del centro di una circonferenza

Metodo di Mascheroni

Metodo alternativo

Determinazione delle radici quadrate

Costruzioni approssimate

Conclusione

Note

Bibliografia

Voci correlate

Collegamenti esterni

Busolele cu deschidere fixă de Mascheroni