Rădăcină pătrată de 2 |
---|
Simbol | {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} |
---|
Valoare | 1, 414213562373095048801 ... (secvența A002193 a OEIS ) |
---|
Fracție continuă | [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] (secvența A040000 a OEIS) |
---|
Împreună | numere algebrice iraționale |
---|
Constantele corelate | Deliana constantă |
---|
Rădăcina pătrată a doi este egală cu ipotenuza unui triunghi dreptunghiular de o latură |
În matematică , rădăcina pătrată a două ( √2 ) - cunoscută și sub numele de constantă pitagorică - este numărul real obținut ca urmare a extragerii rădăcinii pătrate din numărul natural 2 sau, echivalent, numărul care înmulțit cu el însuși dă 2.
Este un număr irațional care joacă un rol foarte important în istoria matematicii , deoarece este asociat cu descoperirea incomensurabilității , demonstrată, în contextul matematicii grecești , cu o dovadă elegantă pentru absurd .
În termeni geometrici este egală cu lungimea hipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel ale cărui picioare sunt de lungime egală cu una sau, în mod echivalent, cu raportul dintre diagonală și latura unui pătrat.
Valoarea sa pentru a cincizecea zecimală este:
- 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 ...
Ca soluție a ecuației pătratice {\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0} , acest număr este rădăcina unui polinom cu coeficienți în câmpul numerelor raționale și este, prin urmare, un număr algebric .
Istorie
Babilonienii au dat prima aproximare a {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} , prin
- {\ displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} \ approx 1.41421 {\ subliniază {296}} ...}
O altă aproximare a acestui număr este cea dată de un vechi text matematic indian , Sulbasutras , care menționează:
„Măriți lungimea [laturii] celei de-a treia părți, apoi adăugați partea a douăsprezecea, scădeți în cele din urmă o treizeci și patra din partea a douăsprezecea” |
Adică
- {\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {12}} - {\ frac {1} {12 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408} } \ aproximativ 1.414215686}
Această aproximare indiană antică este a șaptea din seria de aproximări din ce în ce mai precise bazate pe numerele Pell , care pot fi derivate din fracția continuă a {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} .
Demonstrația irațională a rădăcinii lui 2 este deseori atribuită grecului Ippasos , filosof și matematician al școlii pitagoreice .
Algoritmi de calcul
Primele 10 000 de zecimale ale numărului.
Există un număr mare de algoritmi pentru a calcula cifrele {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} Cu toate acestea, cea mai folosită de computere este încă vechea metodă babiloniană de calculare a rădăcinilor: alegeți orice valoare inițială {\ displaystyle F_ {0}} ; apoi, folosind-o ca prima valoare, iterați următoarea funcție recursivă:
- {\ displaystyle F_ {n + 1} = {\ frac {F_ {n} + {\ frac {2} {F_ {n}}}} {2}}} ,
Cu cât numărul de iterații este mai mare, cu atât precizia rezultatului este mai bună. În februarie 2006, folosind această metodă, 200.000.000.000 cifre au fost calculate în 13 zile și 14 ore. Dintre constantele matematice iraționale neperiodice, doar π a fost calculat cu o precizie mai mare.
Dovezi ale iraționalității
Dovadă prin absurditate
Este absurd să presupunem că {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} este rațional, adică este posibil să-l exprimăm sub forma unei fracții {\ displaystyle m \ over n} , care se presupune a fi ireductibil :
- {\ displaystyle {m \ over n} = {\ sqrt {2}}}
de la care
- {\ displaystyle {m ^ {2} \ over n ^ {2}} = 2}
adică
- {\ displaystyle m ^ {2} = 2n ^ {2}}
Termenul {\ displaystyle 2n ^ {2}} este egal, deci și {\ displaystyle m ^ {2}} este egal și, în consecință {\ displaystyle m} în sine trebuie să fie par (pătratul unui număr impar este întotdeauna impar), deci există un oportun {\ displaystyle k} astfel încât {\ displaystyle m = 2k} . Înlocuind, obținem:
- {\ displaystyle (2k) ^ {2} = 2n ^ {2}}
care, dezvoltând pătratul, simplificând{\ displaystyle 4k ^ {2} = 2n ^ {2}} și împărțind la {\ displaystyle 2} devine
- {\ displaystyle 2k ^ {2} = n ^ {2}}
Cu raționament identic, fiind acum {\ displaystyle 2k ^ {2}} chiar se deduce că și {\ displaystyle n ^ {2}} , și apoi {\ displaystyle n} ei înșiși, sunt la rândul lor egali.
Este {\ displaystyle m} acea {\ displaystyle n} prin urmare se dovedesc a fi uniforme, ceea ce contrazice ipoteza inițială că {\ displaystyle {m \ over n}} este ireductibil: se concluzionează că {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} nu poate fi exprimat sub forma unei fracțiuni, adică este irațional.
Dovadă cu teorema fundamentală a aritmeticii
O dovadă alternativă se bazează pe teorema fundamentală a aritmeticii . În primul rând se presupune că {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} fii rațional. De aici rezultă că (a se vedea dovada anterioară)
- {\ displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}
Dar, din teorema fundamentală a aritmeticii, a și b au o factorizare diferită, astfel încât {\ displaystyle a = 2 ^ {x} m} Și {\ displaystyle b = 2 ^ {y} n} cu x și y întregi pozitivi și m și n întregi impare pozitive. De aici primim asta
- {\ displaystyle a ^ {2} = 2 ^ {2x} m ^ {2}}
Și
- {\ displaystyle b ^ {2} = 2 ^ {2y} n ^ {2}}
Înlocuind în prima formulă:
- {\ displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 \ cdot 2 ^ {2y} n ^ {2} \,}
din care, operând în dreapta:
- {\ displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 ^ {2y + 1} \ cdot n ^ {2}}
Aceasta implică faptul că o factorizare de 2 cu putere pare (2x este cu siguranță pară) este egală cu o factorizare de 2 cu putere impar (2y + 1). Acest lucru contrazice teorema fundamentală a aritmeticii și, prin urmare, în mod absurd, se dovedește că {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} este irațional.
Dovadă analitică
- Lema 1: lasă-o să fie {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {+}} Și {\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ dots, q_ {1}, q_ {2}, \ dots \ in \ mathbb {N}} astfel încât {\ displaystyle \ left | \ alpha q_ {n} -p_ {n} \ right | \ neq 0} pentru fiecare {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} Și
{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} p_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} q_ {n} = \ infty}
{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ alpha q_ {n} -p_ {n} \ right | = 0}
asa de {\ displaystyle \ alpha} este irațional.
Dovadă: să presupunem {\ displaystyle \ alpha = a / \ \! b} cu {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {N} ^ {+}} .
Pentru {\ displaystyle n} suficient de mare vom avea
{\ displaystyle 0 <\ left | \ alpha q_ {n} -p_ {n} \ right | <1 / \ \! b}
asa de
{\ displaystyle 0 <\ left | aq_ {n} / \ \! b-p_ {n} \ right | <1 / \ \! b}
{\ displaystyle 0 <\ left | aq_ {n} -bp_ {n} \ right | <1}
dar fiind{\ displaystyle aq_ {n} -bp_ {n}} un întreg este absurd, prin urmare {\ displaystyle \ alpha} este irațional.
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} este irațional.
Dovadă: să spunem{\ displaystyle p_ {1} = q_ {1} = 1} Și
{\ displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}}
{\ displaystyle q_ {n + 1} = 2p_ {n} q_ {n}}
pentru fiecare {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} .
Dovedim prin inducție că deține
{\ displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} q_ {n} -p_ {n} \ right | <1 / \ \! 2 ^ {2 ^ {n-1}}}
pentru fiecare {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} . Teza este valabilă {\ displaystyle n = 1} , intr-adevar
{\ displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} q_ {1} -p_ {1} \ right | <1 / \ \! 2}
și dacă este valabil pentru {\ displaystyle n} apoi merge pentru {\ displaystyle n = n + 1} atâta timp cât
{\ displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} q_ {n} -p_ {n} \ right | ^ {2} <1 / \ \! 2 ^ {2 ^ {n}}}
{\ displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} (2p_ {n} q_ {n}) - (p_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}) \ right | <1 / \ \! 2 ^ {2 ^ {n}}}
{\ displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} q_ {n + 1} -p_ {n + 1} \ right | <1 / \ \! 2 ^ {2 ^ {n}}}
În cele din urmă, aplicarea lemei 1 urmează iraționalitatea lui {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} .
Dovadă cu numere 2-adic
Să luăm în considerare ecuația {\ displaystyle x ^ {2} = 2} pe {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}} (câmpul numerelor 2-adic ), nu are nicio soluție, deoarece evaluarea p-adic a primului membru este egală, în timp ce cea a celui de-al doilea membru este impar. Pe de altă parte {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}} este o extensie a {\ displaystyle \ mathbb {Q}} , deci dacă ecuația nu are soluții în {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}} nici măcar nu are soluții în {\ displaystyle \ mathbb {Q}} Și {\ displaystyle \ pm {\ sqrt {2}}} este irațional.
Proprietate
Jumatate de {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} , egal cu aproximativ 0,70710 67811 , este un număr comun în geometrie și trigonometrie , deoarece coordonatele vectorului unitar care formează un unghi de 45º cu axele unui plan cartesian ortogonal sunt
- {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}
Acest număr este, de asemenea, comun, deoarece
- {\ displaystyle \ cos (45 ^ {\ circ}) = \ sin (45 ^ {\ circ}) = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
O altă proprietate este că:
- {\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1} .
În plus
- {\ displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}} \ cdots}}}} = 2}
{\ displaystyle {\ sqrt {2}}} poate fi în cele din urmă exprimată folosind unitatea imaginară folosind doar rădăcini:
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {{\ sqrt {i}} + i {\ sqrt {i}}} {i}} = {\ frac {{\ sqrt {-i}} - i {\ sqrt {-i}}} {- i}}}
Reprezentări pe serii și produse
Identitatea
- {\ displaystyle \ sin {\ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} = \ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \,}
împreună cu reprezentările prin produse infinite ale funcțiilor sinus și cosinus , ele ne permit să derivăm formule precum
- {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {(4k + 2) ^ { 2}}} \ right) = \ left (1 - {\ frac {1} {4}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {36}} \ right) \ left (1- { \ frac {1} {100}} \ right) \ cdots}
sau
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k + 2) ^ {2}} {(4k + 1) (4k + 3)} } = \ left ({\ frac {2 \ cdot 2} {1 \ cdot 3}} \ right) \ left ({\ frac {6 \ cdot 6} {5 \ cdot 7}} \ right) \ left ({ \ frac {10 \ cdot 10} {9 \ cdot 11}} \ right) \ left ({\ frac {14 \ cdot 14} {13 \ cdot 15}} \ right) \ cdots}
sau
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {4k + 1}} \ right) \ left (1- { \ frac {1} {4k + 3}} \ right) = \ left (1 + {\ frac {1} {1}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3}} \ right ) \ left (1 + {\ frac {1} {5}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {7}} \ right) \ cdots.}
Numărul poate fi exprimat și prin seria de funcții trigonometrice Taylor . De exemplu, seria pentru cos (π / 4) dă
- {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} \ left ({\ frac { \ pi} {4}} \ right) ^ {2k}} {(2k)!}} = 1 - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {2}} {2! }} + {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {4}} {4!}} - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ { 6}} {6!}} + \ Cdots.}
Reprezentare prin fracție continuă
Din proprietatea scrisă:
- {\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1} ,
substituind recursiv pentru fiecare {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} (în numitor), generează fracția continuă simplă:
- {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}} = ... = 1+ { \ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}}}}}} }
Reprezentarea lui {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} prin fracție continuă este în sfârșit
- {\ displaystyle \! \ {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} { \ ddots}}}}}}}}.}
Standardul ISO 216 (dimensiunea hârtiei)
{\ displaystyle {\ sqrt {2}}} este aproximativ raportul dintre cea mai scurtă și cea mai lungă față a unei foi de hârtie într-unul dintre formatele prevăzute în standardul ISO 216 , mai bine cunoscut sub numele de formate UNI . Acest raport asigură că tăierea unei coli în jumătate de-a lungul liniei care unește cele două puncte medii ale laturilor mai lungi are ca rezultat două foi mai mici care mențin același raport între laturi.
Mai mult, dacă foaia de pornire este în unul dintre formatele prevăzute de standard, cele două foi obținute prin tăierea acesteia în jumătate sunt, de asemenea, în format standard. Codul formatului celor două foi mai mici se obține prin adăugarea 1 la cifra codului foii mari de pornire. De exemplu, dacă tăiați o foaie de dimensiune A4 (210 × 297 mm, dimensiunea hârtiei obișnuite de scris) în jumătate, veți obține două foi de dimensiunea A5 (148 × 210 mm, dimensiunea unui pliant).
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe