Mecanici de contact

Tensiunile dintr-o zonă de contact încărcate simultan cu o forță normală și tangențială. Tensiunile au fost făcute vizibile folosind fotoelasticitatea .

Mecanica de contact este studiul deformării solidelor care ating în unul sau mai multe puncte. ^[1] ^[2] Formularea fizică și matematică a subiectului se bazează pe mecanica materialelor și mecanica continuum și se concentrează pe calcule care implică corpuri elastice , viscoelastice și plastice în contact static sau dinamic . Aspectele centrale în mecanica de contact sunt presiunile și aderența care acționează perpendicular pe suprafețele corpurilor în contact, direcția normală și solicitările de frecare care acționează tangențial între suprafețe. Acest articol se concentrează în principal pe direcția normală, adică mecanica contactului fără frecare. Mecanica contactului prin frecare este descrisă separat.

Istorie

Când o sferă este apăsată pe un material elastic, zona de contact crește.

Mecanica de contact clasică este asociată mai ales cu Heinrich Hertz. ^[3] În 1882, Hertz a rezolvat problema contactului a două corpuri elastice cu suprafețe curbate. Această soluție clasică, încă relevantă, oferă o bază pentru problemele moderne ale mecanicii de contact. De exemplu, în inginerie mecanică și tribologie , tensiunea de contact hertziană este o descriere a tensiunii din părțile împerecheate. Tensiunea de contact hertziană se referă de obicei la tensiunea din apropierea zonei de contact dintre două sfere cu raze diferite.

Abia după o sută de ani mai târziu, Johnson , Kendall și Roberts au venit cu o soluție similară cu carcasa de contact adezivă . ^[4] Această teorie a fost respinsă de Boris Derjagin și colaboratorii ^[5] care au propus o teorie diferită a aderenței ^[6] în anii 1970. Modelul Derjagin a devenit cunoscut sub numele de model DMT (de la Derjagin, Muller și Toporov), ^{[ 6]} și modelul lui Johnson și colab. a ajuns să fie cunoscut sub numele de modelul JKR (de Johnson, Kendall și Roberts) pentru contact elastic adeziv. Această respingere s-a dovedit instrumentală în dezvoltarea parametrilor Tabor ^[7] și mai târziu Maugis ^[5] ^[8] care cuantifică ce model de contact (al modelelor JKR și DMT) reprezintă cel mai bine contactul adeziv pentru materiale specifice.

Progrese suplimentare în mecanica contactelor la mijlocul secolului al XX-lea pot fi atribuite unor nume precum Bowden și Tabor . Bowden și Tabor au fost primii care au subliniat importanța rugozității suprafeței pentru corpurile în contact. ^[9] ^[10] Prin investigarea rugozității suprafețelor, se constată că zona de contact adevărată dintre elementele de frecare este mai mică decât zona de contact aparentă. Aceste cunoștințe au schimbat drastic direcția inițiativelor tribologice. Lucrările lui Bowden și Tabor au produs diverse teorii despre mecanica contactului cu suprafețe aspre.

În discuția lucrărilor de pionierat în acest domeniu, trebuie menționate și contribuțiile lui Archard (1957) ^[11] . Archard a concluzionat că, chiar și pentru suprafețele elastice aspre, zona de contact este aproximativ proporțională cu forța normală . Alte informații importante în acest sens au fost furnizate de Greenwood și Williamson (1966), ^[12] Bush (1975), ^[13] și Persson (2002). ^[14] Principalele descoperiri ale acestor lucrări au fost că suprafața reală de contact în materialele brute este, în general, proporțională cu forța normală, în timp ce parametrii microcontactelor individuale (adică presiunea, dimensiunea microcontactului) sunt doar slab dependente de sarcină.

Caracteristici

Mecanica de contact este fundamentală pentru domeniul ingineriei mecanice ; furnizează informațiile necesare pentru proiectarea sigură și eficientă din punct de vedere energetic a sistemelor tehnice și pentru studiul tribologiei și durității de indentare . Principiile mecanicii de contact pot fi aplicate în domenii precum contactul roții locomotive-șine, dispozitivele de frecare , sistemele de frânare , anvelopele , rulmenții , motoarele cu ardere , îmbinările mecanice, etanșările , prelucrarea metalelor , formarea metalelor , sudarea cu ultrasunete , contactele electrice și multe altele. Provocările actuale cu care se confruntă în acest domeniu pot include analiza tensiunilor elementelor în contact și împerechere și a influenței lubrifierii și a proiectării materialului asupra fricțiunii și uzurii . Aplicațiile mecanicii de contact se extind și în domeniul micro și nanotehnologiilor .

Lucrarea originală despre mecanica contactului datează din 1882 odată cu publicarea eseului Despre contactul solidelor rigide elastice ^[15] ( Über die Berührung fester elastischer Körper ^{[ link rupt ]} ) de Heinrich Hertz . Hertz încerca să înțeleagă modul în care proprietățile optice ale obiectivelor multiple, stivuite , se pot schimba cu forța care le ține împreună. Stresul de contact hertzian se referă la tensiunile localizate care se dezvoltă atunci când două suprafețe curbate intră în contact și se deformează ușor sub sarcinile impuse. Această cantitate de deformare depinde de modulul de elasticitate al materialului în contact. Oferă tensiunea de contact în funcție de forța normală de contact, razele de curbură și modulul de elasticitate al ambelor corpuri. Stresul de contact hertzian constituie baza ecuațiilor pentru capacitățile de transportare a sarcinii și rezistența la oboseală în rulmenți, roți dințate și orice alt corp în care două suprafețe sunt în contact.

Soluții clasice pentru contact elastic neadeziv

Teoria contactului elastic al corpului poate fi utilizată pentru a găsi zone de contact și adâncimi de indentare pentru geometrii simple. Unele soluții utilizate în mod obișnuit sunt enumerate mai jos. Teoria utilizată pentru calcularea acestor soluții este discutată mai târziu în articol.

Contactul dintre o sferă și o jumătate de spațiu elastic

Contactul dintre o sferă și o jumătate de spațiu elastic.

O sferă elastică de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ „indentări” (adică pătrunde) o jumătate de spațiu până la adâncime $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , și creează astfel o zonă de contact cu fasciculul

a={\sqrt {2Rd-d^{2}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {2Rd-d ^ {2}}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {2Rd-d ^ {2}}}}

a={\sqrt {2Rd}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {2Rd}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {2Rd}}}

, pentru

d<<R

{\ displaystyle d << R}

{\ displaystyle d << R}

.

Forța aplicată $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este legat de deplasare $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ din

F={\tfrac {4}{3}}E^{*}R^{1/2}d^{3/2}

{\ displaystyle F = {\ tfrac {4} {3}} E ^ {*} R ^ {1/2} d ^ {3/2}}

{\ displaystyle F = {\ tfrac {4} {3}} E ^ {*} R ^ {1/2} d ^ {3/2}}

unde este

{\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {E ^ {*}}} = {\ frac {1- \ nu _ {1} ^ {2}} {E_ {1}}} + {\ frac {1- \ nu _ {2} ^ {2}} {E_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {E ^ {*}}} = {\ frac {1- \ nu _ {1} ^ {2}} {E_ {1}}} + {\ frac {1- \ nu _ {2} ^ {2}} {E_ {2}}}}

Și $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ , $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ sunt modulul de elasticitate și $\nu _{1}$ ${\ displaystyle \ nu _ {1}}$ $\ nu _ {1}$ , $\nu _{2}$ ${\ displaystyle \ nu _ {2}}$ $\ nu _ {2}$ raportul Poisson asociat fiecărui corp.

Contact între două sfere

Contact între două sfere.

Contact între doi cilindri încrucișați cu rază egală.

Pentru contactul între două sfere de rază $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ Și $R_{2}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ , zona de contact este un cerc de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Distribuția tracțiunii normale în zona de contact în funcție de distanța de la centrul jantei este ^[1]

p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}

{\ displaystyle p (r) = p_ {0} \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}

{\ displaystyle p (r) = p_ {0} \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}

unde este $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ este presiunea maximă de contact dată de

p_{0}={\cfrac {3F}{2\pi a^{2}}}={\cfrac {1}{\pi }}\left({\cfrac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{1/3}

{\ displaystyle p_ {0} = {\ cfrac {3F} {2 \ pi a ^ {2}}} = {\ cfrac {1} {\ pi}} \ left ({\ cfrac {6F {E ^ {* }} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) ^ {1/3}}

{\ displaystyle p_ {0} = {\ cfrac {3F} {2 \ pi a ^ {2}}} = {\ cfrac {1} {\ pi}} \ left ({\ cfrac {6F {E ^ {* }} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) ^ {1/3}}

,

unde la rândul său raza efectivă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este definit ca

{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = {\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = {\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}}}

.

Raza cercului este legată de sarcina aplicată $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ din ecuație

a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}

{\ displaystyle a ^ {3} = {\ cfrac {3FR} {4E ^ {*}}}}

{\ displaystyle a ^ {3} = {\ cfrac {3FR} {4E ^ {*}}}}

.

Adâncimea indentării $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este legat de presiunea maximă de contact da

d={\cfrac {a^{2}}{2R}}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {9F^{2}}{16R{E^{*}}^{2}}}\right)^{1/3}

{\ displaystyle d = {\ cfrac {a ^ {2}} {2R}} = {\ cfrac {1} {2}} \ left ({\ cfrac {9F ^ {2}} {16R {E ^ {* }} ^ {2}}} \ right) ^ {1/3}}

{\ displaystyle d = {\ cfrac {a ^ {2}} {2R}} = {\ cfrac {1} {2}} \ left ({\ cfrac {9F ^ {2}} {16R {E ^ {* }} ^ {2}}} \ right) ^ {1/3}}

.

Stresul maxim de forfecare apare în interiorul unui $z\approx 0,49a$ ${\ displaystyle z \ approx 0.49a}$ ${\ displaystyle z \ approx 0.49a}$ pentru $\nu =0,33$ ${\ displaystyle \ nu = 0.33}$ ${\ displaystyle \ nu = 0.33}$ .

Contact între doi cilindri încrucișați cu rază egală $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$

Acest lucru este echivalent cu contactul dintre o sferă de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și un etaj (vezi mai sus).

Contactul dintre un cilindru rigid și o jumătate de spațiu elastic

Contactul dintre o indentare cilindrică rigidă și o jumătate de spațiu elastic.

Dacă un cilindru este presat într-o jumătate de spațiu elastic, acesta creează o distribuție a presiunii descrisă de ^[16]

p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}

{\ displaystyle p (r) = p_ {0} \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}} \ right) ^ {- 1/2}}

{\ displaystyle p (r) = p_ {0} \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}} \ right) ^ {- 1/2}}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este raza cilindrului e

p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{a}}

{\ displaystyle p_ {0} = {\ frac {1} {\ pi}} E ^ {*} {\ frac {d} {a}}}

{\ displaystyle p_ {0} = {\ frac {1} {\ pi}} E ^ {*} {\ frac {d} {a}}}

.

Relația dintre adâncimea de indentare și forța normală este dată de

F=2aE^{*}d\,

{\ displaystyle F = 2aE ^ {*} d \,}

{\ displaystyle F = 2aE ^ {*} d \,}

.

Contactul dintre o indentare conică rigidă și o jumătate de spațiu elastic

Contactul dintre o indentare conică rigidă și o jumătate de spațiu elastic.

În cazul indentării unui semi-spațiu elastic având modulul lui Young $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ care folosește o indentare conică rigidă, adâncimea regiunii de contact $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ și raza de contact $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt legate de ^[16]

\epsilon =a\tan \theta

{\ displaystyle \ epsilon = a \ tan \ theta}

{\ displaystyle \ epsilon = a \ tan \ theta}

cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ definit ca unghiul dintre plan și suprafața laterală a conului. Adâncimea totală a indentării $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este dat de

d={\frac {\pi }{2}}\epsilon

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {2}} \ epsilon}

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {2}} \ epsilon}

.

Puterea totală este

F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan \theta ={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan \theta }}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi E} {2 \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} a ^ {2} \ tan \ theta = {\ frac {2E} {\ pi \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} {\ frac {d ^ {2}} {\ tan \ theta}}}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi E} {2 \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} a ^ {2} \ tan \ theta = {\ frac {2E} {\ pi \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} {\ frac {d ^ {2}} {\ tan \ theta}}}

.

Distribuția presiunii este dată de

p{\left(r\right)}={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)

{\ displaystyle p {\ left (r \ right)} = {\ frac {Ed} {\ pi a \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} \ ln \ left ({\ frac {a } {r}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {a} {r}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) = {\ frac {Ed} {\ pi a \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} \ cosh ^ {- 1} \ left ({\ frac {a} {r}} \ right)}

{\ displaystyle p {\ left (r \ right)} = {\ frac {Ed} {\ pi a \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} \ ln \ left ({\ frac {a } {r}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {a} {r}} \ right) ^ {2} -1}} \ right) = {\ frac {Ed} {\ pi a \ left (1- \ nu ^ {2} \ right)}} \ cosh ^ {- 1} \ left ({\ frac {a} {r}} \ right)}

.

Tensiunea are o singularitate logaritmică la vârful conului.

Contact între doi cilindri cu axe paralele

Contact între doi cilindri cu axe paralele.

În contact între doi cilindri cu axe paralele, forța este liniar proporțională cu adâncimea de indentare:

F={\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld

{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi} {4}} E ^ {*} Ld}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ pi} {4}} E ^ {*} Ld}

.

Razele de curbură sunt complet absente din această relație. Intervalul de contact este descris prin relația obișnuită

a={\sqrt {Rd}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {Rd}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {Rd}}}

cu

{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = {\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = {\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}}}

ca în contactul dintre două sfere. Presiunea maximă este egală cu

p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{1/2}

{\ displaystyle p_ {0} = \ left ({\ frac {E ^ {*} F} {\ pi LR}} \ right) ^ {1/2}}

{\ displaystyle p_ {0} = \ left ({\ frac {E ^ {*} F} {\ pi LR}} \ right) ^ {1/2}}

.

Metoda reducerii dimensionalității

Contactul dintre o sferă și un semi-spațiu elastic și un model unidimensional substituit.

Multe probleme de contact pot fi rezolvate cu ușurință prin metoda de reducere a dimensionalității (MRD). În această metodă, spațiul tridimensional inițial este înlocuit cu contactul unui corp cu un substrat liniar elastic sau viscoelastic (a se vedea figura). Proprietățile sistemelor unidimensionale coincid astfel exact cu cele ale sistemului tridimensional original, dacă forma corpurilor este modificată și elementele substratului sunt definite conform regulilor MRD. ^[17] ^[18]

Teoria hertziană a contactului elastic neadeziv

Teoria elastică a contactului s-a axat în primul rând pe contactul neadeziv în care nu este permisă apariția forțelor de tensiune în zona de contact, adică corpurile în contact pot fi separate fără forțe de aderență. S-au folosit diverse abordări analitice și numerice pentru a rezolva problemele de contact care satisfac condiția de neaderență. Forțele și momentele complexe sunt transmise între corpuri unde se ating, astfel încât problemele din mecanica contactului pot deveni oarecum sofisticate. În plus, solicitările de contact sunt de obicei o funcție neliniară a tulpinii. Pentru a simplifica procedura de soluționare, se definește de obicei un sistem de referință în care obiectele (care se pot deplasa unele față de altele) sunt statice. Acestea interacționează prin tractiuni de suprafață (sau presiuni / tensiuni) la interfața lor.

De exemplu, luați în considerare două obiecte care se întâlnesc pe o anumită suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ in avion ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) cu axa $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ asumat normal la suprafață. Unul dintre corpuri va experimenta o distribuție a presiunii $p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)$ ${\ displaystyle p_ {z} = p (x, y) = q_ {z} (x, y)}$ ${\ displaystyle p_ {z} = p (x, y) = q_ {z} (x, y)}$ distribuții de tracțiune direcționate în mod normal și de suprafață în plan $q_{x}=q_{x}(x,y)$ ${\ displaystyle q_ {x} = q_ {x} (x, y)}$ ${\ displaystyle q_ {x} = q_ {x} (x, y)}$ Și $q_{y}=q_{y}(x,y)$ ${\ displaystyle q_ {y} = q_ {y} (x, y)}$ ${\ displaystyle q_ {y} = q_ {y} (x, y)}$ pe regiune $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În ceea ce privește un echilibru newtonian de forțe, forțele

P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A

{\ displaystyle P_ {z} = \ int _ {S} p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {x} = \ int _ {S} q_ {x} (x, y ) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {y} = \ int _ {S} q_ {y} (x, y) ~ \ mathrm {d} A}

{\ displaystyle P_ {z} = \ int _ {S} p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {x} = \ int _ {S} q_ {x} (x, y ) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {y} = \ int _ {S} q_ {y} (x, y) ~ \ mathrm {d} A}

ele trebuie să fie egale și opuse forțelor stabilite în celălalt corp. În momentele corespunzătoare acestor forțe:

M_{x}=\int _{S}y~p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}x~p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A

{\ displaystyle M_ {x} = \ int _ {S} y ~ p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ M_ {y} = \ int _ {S} x ~ p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ M_ {z} = \ int _ {S} [x ~ q_ {y} (x, y) -y ~ q_ {x} (x, y)] ~ \ mathrm {d} A}

{\ displaystyle M_ {x} = \ int _ {S} y ~ p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ M_ {y} = \ int _ {S} x ~ p (x, y) ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ M_ {z} = \ int _ {S} [x ~ q_ {y} (x, y) -y ~ q_ {x} (x, y)] ~ \ mathrm {d} A}

este, de asemenea, necesar să se anuleze forțele dintre corpuri, astfel încât acestea să fie cinematic imobile.

Ipoteze asupra teoriei hertziene

În determinarea problemelor de contact hertziene , se fac următoarele presupuneri:

deformările sunt mici și se încadrează în limita elastică,
fiecare corp poate fi considerat o jumătate de spațiu elastic, adică zona de contact este mult mai mică decât raza caracteristică a corpului,
suprafețele sunt continue și neconforme, e
suprafețele sunt fără frecare.

Complicații suplimentare apar atunci când unele sau toate aceste ipoteze sunt încălcate și astfel de probleme de contact sunt de obicei numite non-hertzieni .

Tehnici de soluție analitică

Contact între două sfere.

Metodele de soluție analitică pentru problema contactului neadeziv pot fi clasificate în două tipuri pe baza geometriei zonei de contact. ^[19] Contactul conform este unul în care cele două corpuri se ating în mai multe puncte înainte ca orice deformare să aibă loc (adică pur și simplu „se potrivesc împreună”). Contactul neconform este unul în care formele corpurilor sunt suficient de diferite pentru a atinge doar într-un punct (sau posibil de-a lungul unei linii) sub sarcină zero. În cazul neconform, zona de contact este mică în comparație cu dimensiunea obiectelor, iar solicitările sunt foarte concentrate în această zonă. Un astfel de contact se numește concentrat sau diversificat .

O abordare comună a elasticității liniare este de a suprapune o serie de soluții, fiecare dintre ele corespunzând unei sarcini punctuale care acționează asupra zonei de contact. De exemplu, în cazul încărcării unui semiplan , soluția Flamant este adesea utilizată ca punct de plecare și apoi generalizată la diferite forme ale zonei de contact. Echilibrele forțelor și momentelor dintre cele două corpuri în contact acționează ca constrângeri suplimentare la soluție.

Contact punctual pe un semiplan (bidimensional)

Același subiect în detaliu: soluția lui Flamant .

Schema de încărcare pe un plan de forța P într-un punct (0,0).

Un punct de plecare pentru rezolvarea problemelor de contact este înțelegerea efectului unei „sarcini punctuale” aplicată unui semiplan elastic izotrop, omogen și liniar, prezentat în figura din dreapta. Problema poate fi fie o tensiune plană, fie o deformare plană . Aceasta este o problemă cu condițiile limită de elasticitate liniară supuse condițiilor limită :

\sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)

{\ displaystyle \ sigma _ {xz} (x, 0) = 0 ~; ~~ \ sigma _ {z} (x, z) = - P \ delta (x, z)}

{\ displaystyle \ sigma _ {xz} (x, 0) = 0 ~; ~~ \ sigma _ {z} (x, z) = - P \ delta (x, z)}

unde este $\delta (x,z)$ ${\ displaystyle \ delta (x, z)}$ ${\ displaystyle \ delta (x, z)}$ este funcția delta Dirac . Condițiile limită indică faptul că nu există solicitări de forfecare pe suprafață și că se aplică o singură forță normală P în (0,0). Aplicarea acestor condiții ecuațiilor care guvernează elasticitatea produce rezultatul

{\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{(x^{2}+z^{2})^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{(x^{2}+z^{2})^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{(x^{2}+z^{2})^{2}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {x ^ {2} z} {(x ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2}}} \\\ sigma _ {zz} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {z ^ {3}} {(x ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {xz ^ {2}} {(x ^ {2 } + z ^ {2}) ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {x ^ {2} z} {(x ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2}}} \\\ sigma _ {zz} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {z ^ {3}} {(x ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2P} {\ pi}} {\ frac {xz ^ {2}} {(x ^ {2 } + z ^ {2}) ^ {2}}} \ end {align}}}

pentru un moment dat, $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ , în semi-plan. Cercul prezentat în figură indică o suprafață pe care solicitarea maximă de forfecare este constantă. Din acest câmp de solicitare, se pot determina componentele deformării și, prin urmare, deplasările tuturor punctelor materiale.

Contact liniar pe jumătate de plan (bidimensional)

Încărcare normală pe o regiune $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$

Să presupunem că, mai degrabă decât o încărcare punctuală $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în schimb, se aplică o suprafață distribuită $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ , pe interval $a<x<b$ ${\ displaystyle a <x <b}$ ${\ displaystyle a <x <b}$ . Principiul liniar de suprapunere poate fi aplicat pentru a determina câmpul de tensiune rezultat ca soluție la ecuațiile integrale :

{\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p(x')(x-x')^{2}\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{3}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p(x')\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p(x')(x-x')\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2z} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {p (x ') (x -x ') ^ {2} \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {zz} = - {\ frac {2z ^ {3}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {p (x ') \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2z ^ {2}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac { p (x ') (x-x') \, dx '} {[(x-x') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2z} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {p (x ') (x -x ') ^ {2} \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {zz} = - {\ frac {2z ^ {3}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {p (x ') \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2z ^ {2}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac { p (x ') (x-x') \, dx '} {[(x-x') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \ end {align}}}

.

Tăierea sarcinii pe o regiune $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$

Același principiu se aplică pentru încărcarea de suprafață în plan. Aceste tipuri de tractiuni ar tinde să apară ca urmare a fricțiunii. Soluția este similară cu cea de mai sus (ambele pentru sarcini individuale $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ decât pentru cei distribuiți $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ ), dar ușor modificată:

{\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q(x')(x-x')^{3}\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q(x')(x-x')\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q(x')(x-x')^{2}\,dx'}{[(x-x')^{2}+z^{2}]^{2}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x -x ') ^ {3} \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {zz} = - {\ frac {2z ^ {2}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x-x') \, dx '} {[(x- x' ) ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2z} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x-x') ^ {2} \, dx '} {[(x-x') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {xx} & = - {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x -x ') ^ {3} \, dx'} {[(xx ') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {zz} = - {\ frac {2z ^ {2}} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x-x') \, dx '} {[(x- x' ) ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \\\ sigma _ {xz} & = - {\ frac {2z} {\ pi}} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {q (x ') (x-x') ^ {2} \, dx '} {[(x-x') ^ {2} + z ^ {2}] ^ {2}}} \ sfârșit {aliniat}}}

.

Aceleași rezultate pot fi suprapuse cu cele date pentru încărcarea normală pentru a gestiona sarcini mai complexe.

Punct de contact pe un semi-spațiu tridimensional

În mod similar cu soluția Flamant pentru jumătatea spațială bidimensională, soluțiile fundamentale sunt cunoscute și pentru jumătatea spațială tridimensională liniar elastică. Astfel de soluții au fost găsite de Boussinesq pentru o sarcină normală concentrată și de Cerutti pentru o sarcină tangențială. Vezi secțiunea din Teoria elasticității despre aceasta.

Tehnici de soluție numerică

Nu trebuie făcută nicio distincție între contactul conform și cel neconform atunci când se utilizează scheme de soluții numerice pentru rezolvarea problemelor de contact. Aceste metode nu se bazează pe alte ipoteze în cadrul procesului de soluționare, deoarece se bazează exclusiv pe formularea generală a ecuațiilor subiacente ^[20] ^[21] ^[22] ^[23] ^[24] . În plus față de ecuațiile standard care descriu deformarea și mișcarea corpurilor, pot fi formulate două inegalități suplimentare. Primul restricționează pur și simplu mișcarea și deformarea corpurilor, presupunând că nu se poate produce penetrare. De aici decalajul $g_{N}$ ${\ displaystyle g_ {N}}$ $g_ {N}$ între cele două corpuri poate fi doar pozitivă sau egală cu zero

g_{N}\geq 0

{\ displaystyle g_ {N} \ geq 0}

{\ displaystyle g_ {N} \ geq 0}

unde este $g_{N}=0$ ${\ displaystyle g_ {N} = 0}$ ${\ displaystyle g_ {N} = 0}$ denotă contactul. A doua presupunere în mecanica contactului este legată de faptul că nicio forță de tensiune nu are posibilitatea să se manifeste în zona de contact (corpurile în contact pot fi ridicate fără forțe de aderență). Acest lucru duce la o inegalitate pe care tensiunile trebuie să o respecte în zona de contact. Este formulat pentru presiunea de contact $p_{N}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n}$ ${\ displaystyle p_ {N} = \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle p_ {N} = \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {n}}$

p_{N}\leq 0\,.

{\ displaystyle p_ {N} \ leq 0 \,.}

{\ displaystyle p_ {N} \ leq 0 \,.}

Deoarece pentru contact, $g_{N}=0$ ${\ displaystyle g_ {N} = 0}$ ${\ displaystyle g_ {N} = 0}$ , presiunea de contact este întotdeauna negativă, $p_{N}<0$ ${\ displaystyle p_ {N} <0}$ ${\ displaystyle p_ {N} <0}$ și, în plus, pentru non-contact, decalajul este deschis, $g_{N}>0$ ${\ displaystyle g_ {N}> 0}$ ${\ displaystyle g_ {N}> 0}$ , iar presiunea de contact este zero, $p_{N}=0$ ${\ displaystyle p_ {N} = 0}$ ${\ displaystyle p_ {N} = 0}$ , așa-numita formă de constrângeri de contact Kuhn-Tucker poate fi scrisă ca

g_{N}\geq 0\,,\quad p_{N}\leq 0\,,\quad p_{N}\,g_{N}=0\,.

{\ displaystyle g_ {N} \ geq 0 \ ,, \ quad p_ {N} \ leq 0 \ ,, \ quad p_ {N} \, g_ {N} = 0 \,.}

{\ displaystyle g_ {N} \ geq 0 \ ,, \ quad p_ {N} \ leq 0 \ ,, \ quad p_ {N} \, g_ {N} = 0 \,.}

Aceste condiții se aplică în general. Formularea matematică a decalajului depinde de cinematica teoriei solidului subiacent (de exemplu, solid liniar și neliniar în două sau trei dimensiuni, modelul fasciculului sau al carcasei ).

Contact neadeziv între suprafețe aspre

Când două corpuri cu suprafețe aspre sunt apăsate unul pe celălalt, adevărata suprafață de contact $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mult mai mică decât zona de contact aparentă $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ . În contactul dintre o suprafață „aleatoriu aspră” și o jumătate de spațiu elastic, zona de contact adevărată este legată de forța normală $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ din ^[1] ^[25] ^[26] ^[27]

A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F

{\ displaystyle A = {\ frac {\ kappa} {E ^ {*} h '}} F}

{\ displaystyle A = {\ frac {\ kappa} {E ^ {*} h '}} F}

cu $h^{'}$ ${\ displaystyle h '}$ ${\ displaystyle h '}$ egală cu rădăcina mediei pătratelor (cunoscută și sub numele de pătrată) a pantei suprafeței e $\kappa \approx 2$ ${\ displaystyle \ kappa \ approx 2}$ ${\ displaystyle \ kappa \ approx 2}$ . Presiunea mediană pe suprafața reală de contact

p_{\mathrm {av} }={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'

{\ displaystyle p _ {\ mathrm {av}} = {\ frac {F} {A}} \ approx {\ frac {1} {2}} E ^ {*} h '}

{\ displaystyle p _ {\ mathrm {av}} = {\ frac {F} {A}} \ approx {\ frac {1} {2}} E ^ {*} h '}

poate fi estimat în mod rezonabil ca jumătate din modulul elastic real $E^{*}$ ${\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ înmulțit cu media pătrată a pantei suprafeței $h^{'}$ ${\ displaystyle h '}$ ${\ displaystyle h '}$ .

Pentru situația în care asperitățile de pe cele două suprafețe au o distribuție gaussiană a înălțimilor și vârfurile pot fi presupuse a fi sferice, ^[25] presiunea medie de contact este suficientă pentru a provoca cedarea atunci când $p_{\mathrm {av} }=1,1\sigma _{y}\approx 0,39\sigma _{0}$ ${\ displaystyle p _ {\ mathrm {av}} = 1.1 \ sigma _ {y} \ approx 0.39 \ sigma _ {0}}$ ${\ displaystyle p _ {\ mathrm {av}} = 1.1 \ sigma _ {y} \ approx 0.39 \ sigma _ {0}}$ unde este $\sigma _{y}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ $\ sigma_y$ este stresul de producție uniaxial e $\sigma _{0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ este duritatea de indentare. ^[1] Greenwood și Williamson ^{[25] au} definit un parametru adimensional $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ numit indicele de plasticitate care ar putea fi utilizat pentru a determina dacă contactul a fost elastic sau plastic.

Modelul Greenwood-Williamson necesită cunoașterea a două mărimi dependente statistic: abaterea standard a rugozității suprafeței și curbura vârfurilor de asperitate. O definiție alternativă a indicelui de plasticitate a fost dată de Mikic. ^[26] Lo snervamento si presenta quando la pressione è maggiore della tensione di snervamento uniassiale. Poiché la tensione di snervamento è proporzionale alla durezza di indentazione $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ , Micic definì che l'indice di plasticità per il contatto elastico-plastico è

\Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\tfrac {2}{3}}~.

\Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\tfrac {2}{3}}~.

\Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\tfrac {2}{3}}~.

In questa definizione $\Psi$ $\Psi$ $\Psi$ rappresenta la micro-rugosità in uno stato di plasticità completa e solo una quantità statistica, la media quadratica della pendenza, è necessario che possa essere calcolata dalle misure delle superfici. Per $\Psi <{\tfrac {2}{3}}$ $\Psi <{\tfrac {2}{3}}$ $\Psi <{\tfrac {2}{3}}$ , la superficie si comporta elasticamente durante il contatto.

Sia nel modello di Greenwood-Williamson che in quello di Mikic si assume che il carico sia proporzionale all'area deformata. Quindi, che il sistema si comporti plasticamente o elasticamente è indipendente dalla forza normale applicata. ^[1]

Contatto adesivo tra corpi elastici

Quando due superfici solide sono portate in stretta prossimità, esse sperimentano le forze attrattive di van der Waals . Il modello di van der Waals di Bradley ^[28] fornisce un mezzo per calcolare la forza di trazione tra due sfere rigide con superfici perfettamente levigate. Il modello di contatto hertziano non considera possibile l'adesione. Tuttavia, alla fine degli anni 1960, furono osservate parecchie contraddizioni quando la teoria di Hertz fu confrontata con gli esperimenti che implicavano il contatto tra sfere di gomma e di vetro.

Si osservò ^[4] che, benché la teoria di Hertz si applicasse ai grandi carichi, ai bassi carichi

l'area di contatto era più grande di quella prevista dalla teoria di Hertz,
l'area di contatto aveva un valore diverso da zero anche quando il carico era rimosso, e
c'era adesione forte se le superfici a contatto erano pulite e asciutte.

Questo indicava che erano all'opera forze adesive. I modelli di Johnson-Kendall-Roberts (JKR) e di Derjagin-Muller-Toporov (DMT) furono i primi a incorporare l'adesione nel contatto hertziano.

Modello del contatto rigido di Bradley

Si assume comunemente che la forza superficiale tra due piani atomici a una distanza $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ l'uno dall'altro può essere derivata dal potenziale di Lennard-Jones . Con questa assunzione

F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]

F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]

F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]

dove $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ è la forza (positiva nella compressione), $2\gamma$ $2\gamma$ $2\gamma$ è l'energia superficiale totale di entrambe le superfici per area unitaria, e $z_{0}$ $z_{0}$ $z_0$ è la separazione di equilibrio di due piani atomici.

Il modello di Bradley si applicava al potenziale di Lennard-Jones per trovare la forza di adesione tra due sfere rigide. Si trova che la forza totale tra le due sfere è

F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}

F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}

F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}

dove $R_{1},R_{2}$ $R_{1},R_{2}$ $R_{1},R_{2}$ sono i raggi delle due sfere.

Le due sfere si separano completamente quando si raggiunge la forza di strappo a $z=z_{0}$ $z=z_{0}$ $z=z_{0}$ nel quale punto

F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.

F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.

F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.

Modello del contatto elastico di Johnson-Kendall-Roberts (JKR)

Schema dell'area di contatto per il modello JKR.

Prova JKR con una perla rigida su un materiale planare deformabile: ciclo completo.

Per incorporare l'effetto di adesione nel contatto hertziano, Johnson, Kendall e Roberts ^[4] formularono la teoria JKR del contatto adesivo usando un equilibrio tra l' energia elastica immagazzinata e la perdita di energia superficiale . Il modello JKR considera l'effetto della pressione di contatto e dell'adesione soltanto dentro l'area di contatto. La soluzione generale per la distribuzione della pressione nell'area di contatto nel modello JKR è

p(r)=p_{0}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}+p_{0}'\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}

p(r)=p_{0}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}+p_{0}'\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}

p(r)=p_{0}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}+p_{0}'\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}

.

Si noti che nella teoria originale di Hertz, il termine contenente $p_{0}'$ $p_{0}'$ $p_{0}'$ era trascurato per il motivo che la tensione non poteva essere sostenuta nella zona di contatto. Per il contatto tra due sfere

p_{0}={\cfrac {2aE^{*}}{\pi R}}~;~~p_{0}'=-\left({\cfrac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{1/2}

p_{0}={\cfrac {2aE^{*}}{\pi R}}~;~~p_{0}'=-\left({\cfrac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{1/2}

p_{0}={\cfrac {2aE^{*}}{\pi R}}~;~~p_{0}'=-\left({\cfrac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{1/2}

dove $a\,$ $a\,$ $a\,$ è il raggio dell'area di contatto, $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ è la forza applicata, $2\gamma$ $2\gamma$ $2\gamma$ è l'energia superficiale totale di entrambe le superfici per area unitaria di contatto, $R_{i},E_{i},\nu _{i},~~i=1,2$ $R_{i},E_{i},\nu _{i},~~i=1,2$ $R_{i},E_{i},\nu _{i},~~i=1,2$ sono i raggi, i moduli di Young ei rapporti di Poisson delle due sfere, e

{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}~;~~{\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}

{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}~;~~{\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}

{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}~;~~{\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}

.

La distanza di avvicinamento tra le due sfere è data da

d={\cfrac {\pi a}{2E^{*}}}(p_{0}+2p_{0}')={\cfrac {a^{2}}{R}}

d={\cfrac {\pi a}{2E^{*}}}(p_{0}+2p_{0}')={\cfrac {a^{2}}{R}}

d={\cfrac {\pi a}{2E^{*}}}(p_{0}+2p_{0}')={\cfrac {a^{2}}{R}}

.

L'equazione di Hertz per l'area di contatto tra due sfere, modificata per tenere conto dell'energia superficiale, ha la forma

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)

.

Quando l'energia superficiale è zero, $\gamma =0$ $\gamma =0$ $\gamma =0$ , si recupera l'equazione di Hertz per il contatto tra due sfere. Quando il carico applicato è zero, il raggio del contatto è

a^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}

a^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}

a^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}

.

Si prevede che il carico di trazione al quale le sfere sono separate, cioè $a=0$ ${\displaystyle a=0}$ $a=0$ , sia

F_{c}=-3\gamma \pi R\,

F_{c}=-3\gamma \pi R\,

F_{c}=-3\gamma \pi R\,

.

Questa forza è chiamata anche la forza di strappo . Si noti che questa forza è indipendente dai moduli delle due sfere. Tuttavia, c'è un'altra soluzione possibile per il valore di $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ a questo carico. Si tratta dell'area di contatto critica $a_{c}$ $a_{c}$ $a_c$ , data da

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}

.

Se definiamo il lavoro di adesione come

\Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}

\Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}

\Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}

dove $\gamma _{1},\gamma _{2}$ $\gamma _{1},\gamma _{2}$ $\gamma _{1},\gamma _{2}$ sono le energie adesive delle due superfici e $\gamma _{12}$ $\gamma _{12}$ $\gamma _{12}$ è un termine di interazione, possiamo scrivere il raggio del contatto JKR come

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)

.

Il carico di trazione alla separazione è

F=-{\cfrac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,

F=-{\cfrac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,

F=-{\cfrac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,

e il raggio del contatto critico è dato da

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}

a_{c}^{3}={\cfrac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}

.

La profondità critica di penetrazione è

d_{c}={\cfrac {a_{c}^{2}}{R}}=\left({\cfrac {9}{4}}\right)^{\tfrac {2}{3}}(\Delta \gamma )^{\tfrac {2}{3}}\left({\cfrac {\pi ^{\tfrac {2}{3}}~R^{\tfrac {1}{3}}}{{E^{*}}^{\tfrac {2}{3}}}}\right)

d_{c}={\cfrac {a_{c}^{2}}{R}}=\left({\cfrac {9}{4}}\right)^{\tfrac {2}{3}}(\Delta \gamma )^{\tfrac {2}{3}}\left({\cfrac {\pi ^{\tfrac {2}{3}}~R^{\tfrac {1}{3}}}{{E^{*}}^{\tfrac {2}{3}}}}\right)

d_{c}={\cfrac {a_{c}^{2}}{R}}=\left({\cfrac {9}{4}}\right)^{\tfrac {2}{3}}(\Delta \gamma )^{\tfrac {2}{3}}\left({\cfrac {\pi ^{\tfrac {2}{3}}~R^{\tfrac {1}{3}}}{{E^{*}}^{\tfrac {2}{3}}}}\right)

.

Modello del contatto elastico di Derjagin-Muller-Toporov (DMT)

Il modello di Derjagin-Muller-Toporov (DMT) ^[29] ^[30] è un modello alternativo per il contatto adesivo che assume che il profilo del contatto rimanga lo stesso come nel contatto hertziano, ma con interazioni attrattive aggiuntive al di fuori dell'area di contatto.

L'area di contatto tra due sfere dalla teoria DMT è

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)

e la forza di strappo è

F_{c}=-4\gamma \pi R\,

F_{c}=-4\gamma \pi R\,

F_{c}=-4\gamma \pi R\,

Quando si raggiunge la forza dello strappo l'area di contatto diventa zero e non c'è nessuna singolarità nelle tensioni di contatto al bordo dell'area di contatto.

In termini del lavoro di adesione $\Delta \gamma$ $\Delta \gamma$ $\Delta \gamma$

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)

a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)

e

F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,

F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,

F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,

Coefficiente di Tabor

Nel 1977, Tabor ^[31] mostrò che la contraddizione apparente tra le teorie JKR e DMT poteva essere risolta notando che le due teorie erano i limiti estremi di un'unica teoria parametrizzata dal coefficiente di Tabor ( $\mu$ $\mu$ $\mu$ ) definito come

\mu ={\cfrac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\cfrac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{1/3}

\mu ={\cfrac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\cfrac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{1/3}

\mu ={\cfrac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\cfrac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{1/3}

dove $z_{0}$ $z_{0}$ $z_0$ è la separazione di equilibrio tra le due superfici a contatto. La teoria JKR si applica a sfere grandi, conformi, per le quali $\mu$ $\mu$ $\mu$ è grande. La teoria DMT si applica a sfere piccole, rigide, con piccoli valori di $\mu$ $\mu$ $\mu$ .

Modello del contatto elastico di Maugis-Dugdale

Schema dell'area di contatto per il modello di Maugis-Dugdale.

Un ulteriore miglioramento all'idea di Tabor fu fornito da Maugis ^[32] che rappresentò la forza superficiale in termini di un'approssimazione della zona coesiva di Dugdale tale che il lavoro di adesione è dato da

\Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}

\Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}

\Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}

dove $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ è la forza massima prevista dal potenziale di Lennard-Jones e $h_{0}$ $h_{0}$ $h_0$ è la separazione massima ottenuta facendo combaciare le aree sotto le curve di Dugdale e Lennard-Jones (vedi figura adiacente). Questo significa che la forza attrattiva è costante per $z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}$ $z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}$ $z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}$ . Non c'è ulteriore penetrazione nella compressione. Il contatto avviene in un'area di raggio $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e le forze adesive di ampiezza $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ si estendono a un'area di raggio $c>a$ ${\displaystyle c>a}$ $c>a$ . Nella regione $a<r<c$ ${\displaystyle a<r<c}$ $a<r<c$ , le due superfici sono separate da una distanza $h(r)$ ${\displaystyle h(r)}$ $h(r)$ con $h(a)=0$ ${\displaystyle h(a)=0}$ $h(a)=0$ e $h(c)=h_{0}$ $h(c)=h_{0}$ $h(c)=h_{0}$ . Il rapporto $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ è definito come

m={\cfrac {c}{a}}

m={\cfrac {c}{a}}

m={\cfrac {c}{a}}

.

Nella teoria di Maugis-Dugdale, ^[33] la distribuzione della trazione superficiale è divisa in due parti - una dovuta alla pressione di contatto di Hertz e l'altra alla tensione adesiva di Dugdale. Si assume che il contatto di Hertz è nella regione $-a<r<a$ ${\displaystyle -a<r<a}$ $-a<r<a$ . Il contributo alla trazione superficiale della pressione di Hertz è dato da

p^{H}(r)=\left({\cfrac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}

p^{H}(r)=\left({\cfrac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}

p^{H}(r)=\left({\cfrac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}

dove la forza di contatto di Hertz $F^{H}$ $F^{H}$ $F^{H}$ è data da

F^{H}={\cfrac {4E^{*}a^{3}}{3R}}

F^{H}={\cfrac {4E^{*}a^{3}}{3R}}

F^{H}={\cfrac {4E^{*}a^{3}}{3R}}

.

La penetrazione dovuta alla compressione elastica è

d^{H}={\cfrac {a^{2}}{R}}

d^{H}={\cfrac {a^{2}}{R}}

d^{H}={\cfrac {a^{2}}{R}}

.

Lo spostamento verticale a $r=c$ ${\displaystyle r=c}$ $r=c$ è

u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}(2-m^{2})\sin ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}(2-m^{2})\sin ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}(2-m^{2})\sin ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

e la separazione tra le due superfici a $r=c$ ${\displaystyle r=c}$ $r=c$ è

h^{H}(c)={\cfrac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)

h^{H}(c)={\cfrac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)

h^{H}(c)={\cfrac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)

.

La distribuzione della trazione superficiale dovuta alla tensione adesiva di Dugdale è

p^{D}(r)={\begin{cases}-{\cfrac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\cfrac {2-m^{2}-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad \mathrm {per} \quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad \mathrm {per} \quad a\leq r\leq c\end{cases}}

p^{D}(r)={\begin{cases}-{\cfrac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\cfrac {2-m^{2}-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad \mathrm {per} \quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad \mathrm {per} \quad a\leq r\leq c\end{cases}}

p^{D}(r)={\begin{cases}-{\cfrac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\cfrac {2-m^{2}-{\cfrac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\cfrac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad \mathrm {per} \quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad \mathrm {per} \quad a\leq r\leq c\end{cases}}

.

La forza adesiva totale è data allora da

F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]

.

La compressione dovuta all'adesione di Dugdale è

d^{D}=-\left({\cfrac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}

d^{D}=-\left({\cfrac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}

d^{D}=-\left({\cfrac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}

e il divario a $r=c$ ${\displaystyle r=c}$ $r=c$ è

h^{D}(c)=\left({\cfrac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+1-m\right]

h^{D}(c)=\left({\cfrac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+1-m\right]

h^{D}(c)=\left({\cfrac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {1}{m}}\right)+1-m\right]

.

La trazione netta sull'area di contatto è data allora da $p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)$ $p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)$ $p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)$ e la forza di contatto netta è $F=F^{H}+F^{D}$ $F=F^{H}+F^{D}$ $F=F^{H}+F^{D}$ . Quando $h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}$ $h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}$ $h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}$ la trazione adesiva cade a zero.

A questo stadio sono introdotti valori non dimensionalizzati di $a, c, F, d$ ${\displaystyle a,c,F,d}$ $a,c,F,d$ che sono definiti come

{\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\cfrac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{1/3}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\cfrac {F}{\pi \Delta \gamma R}}

{\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\cfrac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{1/3}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\cfrac {F}{\pi \Delta \gamma R}}

{\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\cfrac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{1/3}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\cfrac {F}{\pi \Delta \gamma R}}

.

In aggiunta, Maugis propose un parametro $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ che è equivalente al coefficiente di Tabor. Questo parametro è definito come

\lambda =\sigma _{0}\left({\cfrac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{1/3}=1,16\mu

\lambda =\sigma _{0}\left({\cfrac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{1/3}=1,16\mu

\lambda =\sigma _{0}\left({\cfrac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{1/3}=1,16\mu

dove la tensione coesiva del gradino $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ $\sigma _{0}$ uguaglia la tensione teorica del potenziale Lennard-Jones

\sigma _{th}={\cfrac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}

\sigma _{th}={\cfrac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}

\sigma _{th}={\cfrac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}

.

Zheng e Yu ^[34] suggerirono un altro valore per la tensione coesiva del gradino

\sigma _{0}=\exp \left(-{\cfrac {223}{420}}\right)\cdot {\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0,588{\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}

\sigma _{0}=\exp \left(-{\cfrac {223}{420}}\right)\cdot {\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0,588{\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}

\sigma _{0}=\exp \left(-{\cfrac {223}{420}}\right)\cdot {\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0,588{\cfrac {\Delta \gamma }{z_{0}}}

per corrispondere al potenziale di Lennard-Jones, che conduce a

\lambda \approx 0.663\mu

\lambda \approx 0.663\mu

\lambda \approx 0.663\mu

.

Allora la forza di contarro netta può essere espressa come

{\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]

{\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]

{\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]

e la compressione elastica è

{\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}

{\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}

{\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\cfrac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}

.

L'equazione per il divario coesivo tra i due corpi prende la forma

{\cfrac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[(m^{2}-2)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\cfrac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1

{\cfrac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[(m^{2}-2)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\cfrac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1

{\cfrac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[(m^{2}-2)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\cfrac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1

.

Questa equazione può essere risolta per ottenere i valori di $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ per vari valori di $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ . Per grandi valori di $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ , $m\rightarrow 1$ $m\rightarrow 1$ $m\rightarrow 1$ e si ottiene il modello JKR. Per piccoli valori di $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ si ritrova il modello DMT.

Modello di Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

Il modello di Maugis-Dugdale può essere risolto solo iterativamente se il valore di $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ non è conosciuto a priori . La soluzione approssimata di Carpick-Ogletree-Salmeron ^[35] semplifica il processo usando la relazione seguente per determinare il raggio del contatto $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ :

a=a_{0}(\beta )\left({\cfrac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{2/3}

a=a_{0}(\beta )\left({\cfrac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{2/3}

a=a_{0}(\beta )\left({\cfrac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{2/3}

dove $a_{0}$ $a_{0}$ $a_{0}$ è l'area di contatto a carico zero, e $\beta$ $\beta$ $\beta$ è un parametro di transizione che è legato a $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ da

\lambda =-0,924\ln(1-1,02\beta )

\lambda =-0,924\ln(1-1,02\beta )

\lambda =-0,924\ln(1-1,02\beta )

Il caso $\beta =1$ $\beta =1$ $\beta =1$ corrisponde esattamente alla teoria JKR mentre $\beta =0$ $\beta =0$ $\beta =0$ corrisponde alla teoria DMT. Per i casi intermedi $0<\beta <1$ $0<\beta <1$ $0<\beta <1$ il modello COS corrisponde strettamente alla soluzione di Maugis-Dugdale per $0,1<\lambda <5$ $0,1<\lambda <5$ $0,1<\lambda <5$ .

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e KL Johnson, Contact mechanics , Cambridge University Press, 1985 (ristampa 1987). ISBN 978-0-521-34796-9 .
^ Valentin L. Popov, Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications , Springer-Verlag, 2010. ISBN 978-3-642-10802-0 .
^ HR Hertz, Über die Beruehrung elastischer Koerper ( Sul contatto tra corpi elastici ), 1882, in Gesammelte Werke ( Opere raccolte ), Vol. 1, Lipsia, Germania, 1895.
^ ^a ^b ^c Johnson, KL, Kendall, K. e Roberts, AD (1971). "Surface energy and the contact of elastic solids", Proc. R. Soc. London A 324 , pp. 301-313
^ ^a ^b D. Maugis, Contact, Adhesion and Rupture of Elastic Solids , Berlino, Springer-Verlag, Solid-State Sciences, 2000. ISBN 3-540-66113-1 .
^ ^a ^b Derjagin, BV, Muller, VM e Toporov, YP (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", J. Colloid Interface Sci. , 53, pp. 314-325.
^ Tabor, D. (1977). "The hardness of solids", J. Colloid Interface Sci. , 58, pp. 145-179.
^ Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: The JKR-DMT transition using a Dugdale model", J. Colloid Interface Sci. , 150, pp. 243-269.
^ Bowden, FP e Tabor, D. (1939). "The area of contact between stationary and between moving surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 169 (938), pp. 391-413.
^ FP Bowden e D. Tabor, The friction and lubrication of solids , Oxford University Press, 2001.
^ Archard, JF (1957). "Elastic deformation and the laws of friction", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 243(1233), pp.190-205.
^ Greenwood, JA e Williamson, JBP (1966). "Contact of nominally flat surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , pp. 300-319.
^ Bush, AW, Gibson, RD e Thomas, TR (1975). The elastic contact of a rough surface , Wear , 35 (1), pp. 87-111.
^ Persson, BNJ, Bucher, F. e Chiaia, B. (2002). "Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results", Physical Review B , 65 (18), p. 184106.
^ H. Hertz, Über die berührung fester elastischer Körper , in Jones e Schott (cur.), Miscellaneous Papers , J. reine und angewandte Mathematik , 92, Londra, Macmillan, 1896, p. 156. Traduzione inglese: H. Hertz.
^ ^a ^b Sneddon, IN (1965). "The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile", Int. J. Eng. Sci. , 3, pp. 47–57.
^ Popov, VL (2013). "Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales", Friction , 1 (1), pp. 41–62.
^ VL Popov e M. Heß, Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung , Springer, 2013.
^ JE Shigley e CR Mischke, Mechanical Engineering Design , 5ª edizione, capitolo 2, McGraw-Hill, Inc., 1989. ISBN 0-07-056899-5 .
^ JJ Kalker, Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990.
^ P. Wriggers, Computational Contact Mechanics , 2ª ed., Heidelberg, Springer Verlag, 2006.
^ TA Laursen, Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis , New York, Springer Verlag, 2002.
^ V. Acary e B. Brogliato, Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics , Heidelberg, Springer Verlag, LNACM 35, 2008.
^ Valentin L. Popov, Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation , Springer-Verlag, 2009, p. 328. ISBN 978-3-540-88836-9 .
^ ^a ^b ^c Greenwood, JA e Williamson, JBP (1966). "Contact of nominally flat surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , vol. 295, pp. 300-319.
^ ^a ^b Mikic, BB (1974). "Thermal contact conductance; theoretical considerations", International Journal of Heat and Mass Transfer , 17 (2), pp. 205-214.
^ Hyun, S. e Robbins, M .O. (2007), "Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths", Tribology International , v. 40, pp. 1413-1422.
^ Bradley, RS (1932). "The cohesive force between solid surfaces and the surface energy of solids", Philosophical Magazine Series 7 , 13 (86), pp. 853-862.
^ Derjagin, BV, Muller, VM e Toporov, YP (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", Journal of Colloid and Interface Science , 53 (2), pp. 314-326.
^ Muller, VM, Derjaguin, BV e Toporov, YP (1983). "On two methods of calculation of the force of sticking of an elastic sphere to a rigid plane", Colloids and Surfaces , 7 (3), pp. 251-259.
^ Tabor, D. (1977). "Surface forces and surface interactions", Journal of Colloid and Interface Science , 58 (1), pp. 2-13.
^ Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: the JKR-DMT transition using a Dugdale model", Journal of Colloid and Interface Science , 150 (1), pp. 243-269.
^ Johnson, KL e Greenwood, JA (1997). "An adhesion map for the contact of elastic spheres", Journal of Colloid and Interface Science , 192 (2), pp. 326-333.
^ Zheng, ZJ e Yu, JL (2007). "Using the Dugdale approximation to match a specific interaction in the adhesive contact of elastic objects", Journal of Colloid and Interface Science , 310 (1), pp. 27-34.
^ Carpick, RW, Ogletree, DF e Salmeron, M. (1999). "A general equation for fitting contact area and friction vs load measurements", Journal of colloid and interface science , 211 (2), pp. 395-400.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su meccanica del contatto

Collegamenti esterni

( EN ) A. Palmgren Revisited–A Basis for Bearing Life Prediction : altre informazioni sulle tensioni di contatto e sull'evoluzione delle equazioni delle tensioni di contatto possono essere trovate in questa pubblicazione di Erwin Zaretsky, capo del Lewis Research Center della NASA.

Portale Ingegneria

Portale Meccanica

[Johnson-1] KL Johnson, Contact mechanics , Cambridge University Press, 1985 (ristampa 1987). ISBN 978-0-521-34796-9 .

[Popov-2] Valentin L. Popov, Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications , Springer-Verlag, 2010. ISBN 978-3-642-10802-0 .

[Hertz-3] HR Hertz, Über die Beruehrung elastischer Koerper ( Sul contatto tra corpi elastici ), 1882, in Gesammelte Werke ( Opere raccolte ), Vol. 1, Lipsia, Germania, 1895.

[jkr-4] Johnson, KL, Kendall, K. e Roberts, AD (1971). "Surface energy and the contact of elastic solids", Proc. R. Soc. London A 324 , pp. 301-313

[Maugis-5] D. Maugis, Contact, Adhesion and Rupture of Elastic Solids , Berlino, Springer-Verlag, Solid-State Sciences, 2000. ISBN 3-540-66113-1 .

[dmt-6] Derjagin, BV, Muller, VM e Toporov, YP (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", J. Colloid Interface Sci. , 53, pp. 314-325.

[Tabor-7] Tabor, D. (1977). "The hardness of solids", J. Colloid Interface Sci. , 58, pp. 145-179.

[8] Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: The JKR-DMT transition using a Dugdale model", J. Colloid Interface Sci. , 150, pp. 243-269.

[bowden1939-9] Bowden, FP e Tabor, D. (1939). "The area of contact between stationary and between moving surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 169 (938), pp. 391-413.

[bowden2001-10] FP Bowden e D. Tabor, The friction and lubrication of solids , Oxford University Press, 2001.

[archard1957-11] Archard, JF (1957). "Elastic deformation and the laws of friction", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 243(1233), pp.190-205.

[12] Greenwood, JA e Williamson, JBP (1966). "Contact of nominally flat surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , pp. 300-319.

[13] Bush, AW, Gibson, RD e Thomas, TR (1975). The elastic contact of a rough surface , Wear , 35 (1), pp. 87-111.

[14] Persson, BNJ, Bucher, F. e Chiaia, B. (2002). "Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results", Physical Review B , 65 (18), p. 184106.

[15] H. Hertz, Über die berührung fester elastischer Körper , in Jones e Schott (cur.), Miscellaneous Papers , J. reine und angewandte Mathematik , 92, Londra, Macmillan, 1896, p. 156. Traduzione inglese: H. Hertz.

[Sneddon-16] Sneddon, IN (1965). "The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile", Int. J. Eng. Sci. , 3, pp. 47–57.

[Popov2-17] Popov, VL (2013). "Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales", Friction , 1 (1), pp. 41–62.

[Popov3-18] VL Popov e M. Heß, Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung , Springer, 2013.

[Shigley-19] JE Shigley e CR Mischke, Mechanical Engineering Design , 5ª edizione, capitolo 2, McGraw-Hill, Inc., 1989. ISBN 0-07-056899-5 .

[Kalker-20] JJ Kalker, Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990.

[Wriggers-21] P. Wriggers, Computational Contact Mechanics , 2ª ed., Heidelberg, Springer Verlag, 2006.

[Laursen-22] TA Laursen, Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis , New York, Springer Verlag, 2002.

[Acary-23] V. Acary e B. Brogliato, Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics , Heidelberg, Springer Verlag, LNACM 35, 2008.

[Popov1-24] Valentin L. Popov, Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation , Springer-Verlag, 2009, p. 328. ISBN 978-3-540-88836-9 .

[Greenwood-25] Greenwood, JA e Williamson, JBP (1966). "Contact of nominally flat surfaces", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , vol. 295, pp. 300-319.

[Mikic-26] Mikic, BB (1974). "Thermal contact conductance; theoretical considerations", International Journal of Heat and Mass Transfer , 17 (2), pp. 205-214.

[Hyun-27] Hyun, S. e Robbins, M .O. (2007), "Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths", Tribology International , v. 40, pp. 1413-1422.

[Bradley-28] Bradley, RS (1932). "The cohesive force between solid surfaces and the surface energy of solids", Philosophical Magazine Series 7 , 13 (86), pp. 853-862.

[DMT-29] Derjagin, BV, Muller, VM e Toporov, YP (1975). "Effect of contact deformations on the adhesion of particles", Journal of Colloid and Interface Science , 53 (2), pp. 314-326.

[30] Muller, VM, Derjaguin, BV e Toporov, YP (1983). "On two methods of calculation of the force of sticking of an elastic sphere to a rigid plane", Colloids and Surfaces , 7 (3), pp. 251-259.

[Tabor1-31] Tabor, D. (1977). "Surface forces and surface interactions", Journal of Colloid and Interface Science , 58 (1), pp. 2-13.

[32] Maugis, D. (1992). "Adhesion of spheres: the JKR-DMT transition using a Dugdale model", Journal of Colloid and Interface Science , 150 (1), pp. 243-269.

[33] Johnson, KL e Greenwood, JA (1997). "An adhesion map for the contact of elastic spheres", Journal of Colloid and Interface Science , 192 (2), pp. 326-333.

[Zheng-34] Zheng, ZJ e Yu, JL (2007). "Using the Dugdale approximation to match a specific interaction in the adhesive contact of elastic objects", Journal of Colloid and Interface Science , 310 (1), pp. 27-34.

[COS-35] Carpick, RW, Ogletree, DF e Salmeron, M. (1999). "A general equation for fitting contact area and friction vs load measurements", Journal of colloid and interface science , 211 (2), pp. 395-400.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]