Suprafața minimă
În geometria diferențială , o suprafață minimă (sau, mai puțin frecvent utilizată, suprafață minimă , din suprafața minimă engleză ) este definită ca o suprafață care are o curbură medie egală cu zero în fiecare punct.
În natură, exemple de suprafețe minime pot fi obținute prin scufundarea unui cadru de fier de orice formă închisă în apă cu săpun: atunci când cadrul este extras, foaia de săpun care rămâne atașată la acesta reprezintă o suprafață care nu are nicio curbură medie nicăieri.
Teoria suprafețelor minime este strâns legată de problemele ariei minime: dată fiind una sau mai multe curbe închise în spațiu , găsiți, printre toate suprafețele având curbele date ca muchii, cea care are aria minimă. Suprafața de rezolvare a problemelor, pe lângă reducerea zonei, va avea, de asemenea, o curbură medie zero peste tot, deci va fi o suprafață minimă.
Conversa nu este adevărată, adică nu toate suprafețele minime care au dat curbe închise în spațiu ca margine sunt suprafețe care reduc la minimum zona pentru marginea atribuită.
Problemele matematice care sunt inspirate de situații observabile în viața de zi cu zi sunt printre cele mai vechi din istoria matematicii . Unele surse raportează că Arhimede a introdus conceptele de lungime și suprafață minimă în geometrie . El a înțeles că cea mai scurtă linie care unește două puncte în spațiu este linia dreaptă și că, având în vedere orice curbă plană închisă, suprafața ariei minime având curba dată ca margine este tocmai partea planului delimitată de curba însăși.
Problemele de suprafață minimă în cazurile în care sunt date mai multe curbe închise în spațiu sau o singură curbă non-plană sunt mai greu de rezolvat decât în cazul particular tratat de Arhimede și reprezintă probleme tipice ale acelei ramuri a matematicii numită calculul variațiilor .
Evoluția istorică
Primul care a abordat problema suprafeței minime a fost Euler în 1744 . În lucrarea sa de calcul al variațiilor Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimalive proprietate gaudentes el se confruntă cu problema găsirii suprafeței ariei minime care are ca margine două circumferințe în spațiu plasate pe planuri paralele și aliniate astfel încât segmentul care unește centrele celor două cercurile este perpendiculară pe ambele planuri pe care se află cele două cercuri. Având în vedere geometria particulară a problemei, Euler caută suprafața soluției problemei printre suprafețele de rotație , în special el resetează problema în așa fel încât să caute funcția al cărei grafic , rotit pentru a descrie cele două cercuri atribuite, generează suprafața căutată.
Euler demonstrează că curba dorită trebuie să fie un arc catenar . Suprafața obținută din rotația catenarului se numește catenoid .
Tocmai din acest tip de problemă de suprafață minimă se naște teoria suprafețelor minime . Data oficială de naștere este 1762 , anul publicării memoriei lui Lagrange Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies . În acest sens, Lagrange determină ecuația diferențială care trebuie neapărat să fie satisfăcută de toate punctele suprafeței care minimizează aria pentru orice limită din spațiu.
Ecuația găsită se numește ecuația Euler-Lagrange și, tocmai cu referire la problema ariei minime, Lagrange numește o suprafață minimă fiecare suprafață care satisface ecuația Euler-Lagrange, deci numită și ecuația suprafeței minime .
În 1776 Meusnier realizează semnificația geometrică a ecuației Euler-Lagrange: dacă la un moment dat o suprafață satisface ecuația Euler-Lagrange, atunci în acel moment curbura medie a suprafeței este egală cu zero. Deci suprafețele minime sunt acele suprafețe care au curbura medie egală cu zero peste tot, iar suprafețele care rezolvă problema ariei minime sunt suprafețe minime.
În plus, Meusnier descoperă, între suprafețele stăpânite , o nouă zonă minimă: helicoidul rectal .
Mult timp avionul, catenoidul și helicoidul drept au rămas singurele suprafețe minime cunoscute.
Suprafețe minime și grafice ale funcțiilor
O altă piesă importantă a teoriei suprafețelor minime este plasată de Monge în 1783 care, în lucrarea Sur une méthode d'intégrer les équations aux différences ordinaires descoperă o relație importantă între suprafețele minime și suprafețele zonei minime: dată o curbă închisă a spațiu care nu se intersectează (adică o curbă simplă închisă ), dacă o suprafață a cărei margine este curba dată este și graficul unei funcții diferențiate , atunci pentru această suprafață a fi o suprafață minimă este o condiție necesară și, de asemenea, suficientă pentru a garanta că aria sa este mai mică decât aria oricărei alte suprafețe având curba dată ca margine. Adică, în cazul suprafețelor care sunt grafice ale funcțiilor diferențiate, ceea ce nu este valabil în general este valabil: a fi o suprafață minimă este suficientă pentru a garanta că este o suprafață care rezolvă problema ariei minime pentru o curbă simplă și închisă a spațiul.
În anii 1831 pentru a anul 1835 Scherk descoperă noi exemple de suprafete minime. Dintre acestea, două faimoase suprafețe pe care le cunoaștem astăzi ca suprafață Scherk și a doua suprafață Scherk .
Problema Platoului
Problema Plateau este o problemă clasică de instabilitate dinamică fluidă .
În jurul mijlocului secolului al XIX-lea, fizicianul belgian Plateau a început să studieze formele asumate de foile cu săpun. Platoul profită de proprietățile fizice ale apei cu săpun și ale forțelor de tensiune superficială pentru a construi numeroase modele geometrice de suprafețe minime.
Cea mai simplă suprafață minimă pe care o putem obține din apa cu săpun este partea superioară, care se obține prin scufundarea unui fir de fier închis pentru a forma o circumferință.
Una dintre primele forme pe care Plateau le obține este cea a catenoidului care se obține prin scufundarea în apa cu săpun a unui cadru format din două inele metalice așezate în așa fel încât să fie suficient de paralele și apropiate, adică echivalentul problemei Euler. a suprafeței zonei minime a cărei margine constă din circumferințele celor două inele. Filmul care este creat atunci când cadrul este extras din apa cu săpun are forma unui catenoid datorită echilibrului forțelor hidrodinamice, confirmând (experimental) validitatea soluției găsite de Euler.
Explicația fizică se regăsește în faptul că, fiind presiunea internă egală cu cea externă, în fiecare punct trebuie să fie, pentru echilibrul hidrodinamic, că forța de tensiune superficială externă o echilibrează pe cea internă (atât egală, cât și opusă) ; întrucât tensiunea superficială este proporțională cu curbura suprafeței, rezultatul este deci o suprafață care are o curbură medie egală cu zero în fiecare punct.
Platoul realizează, de asemenea, un fapt destul de interesant cu privire la catenoizi: date fiind cele două circumferințe ale problemei Euler, atunci când planurile pe care se află acestea sunt suficient de apropiate, catenoizii care trec prin cele două circumferințe sunt două, una mai curbată decât cealaltă. Ambele catenoide sunt suprafețe minime, dar evident doar una dintre cele două rezolvă problema zonei minime.
Acest caz oferă un exemplu de suprafață minimă care nu este suprafața minimă pentru o margine atribuită. Dintre cele două catenoide care trec pe lângă circumferințele date, cea mai curbată are o suprafață mai mare și nu poate fi niciodată obținută sub formă de lamă cu săpun.
Suprafețele minime ale căror modele pot fi găsite cu benzi de săpun sunt numite stabile .
Helicoidul drept este o suprafață stabilă minimă. Plateau realizează acest lucru folosind un cadru de sârmă în formă de helix .
În timpul experimentelor sale, Plateau reușește întotdeauna să obțină o folie cu săpun, indiferent de forma cadrului folosit. Prin urmare, aceste experimente au demonstrat, experimental, că suprafețele minime cunoscute până acum erau doar o parte foarte mică a suprafețelor minime existente, din care totuși era necesar să se găsească expresiile matematice.
Având în vedere succesul experimentelor Plateau, de atunci problema găsirii suprafeței ariei minime având ca margine orice număr de curbe închise în spațiu se numește problema Platoului .
„Prima epocă de aur” a teoriei suprafețelor minime
În anii de la 1850 la 1880 , se concentreaza pe cercetare problema podiș și soluțiile sunt căutate mai ales pentru contururi , care au forma de patrulatere în spațiu .
În 1865 Schwarz a găsit soluția în cazul în care conturul constă din patru margini ale unui tetraedru . Mai mult, el identifică câteva reguli de simetrie care guvernează forma suprafețelor minime. Aceste reguli sunt acum cunoscute sub numele de principiul reflecției Schwarz , datorită căruia Schwarz este capabil să construiască noi suprafețe minime nelimitate și periodice .
Pe lângă Schwarz, alți matematicieni, inclusiv Riemann și Weierstrass , rezolvă problema Platoului pentru diferite contururi poligonale.
Noi exemple de suprafețe minime
Planul, catenoidul și helicoidul drept sunt suprafețe minime regulate (adică netede , fără puncte sau margini), nelimitate și fără auto-intersecții. Suprafețele minime de acest tip se numesc scufundate nelimitate (unde termenul scufundat indică exact lipsa de intersecții de sine). În plus, vârful și lanțul au, de asemenea, o curbură totală finită.
Până în 1984 nu se cunoșteau alte suprafețe imersate minim nelimitate cu o curbură totală terminată în afară de plan și lanț. Multă vreme matematicienii s-au întrebat dacă există alte suprafețe minime de acest tip și o serie de rezultate ale inexistenței, obținute în anii anteriori 1984 și care au arătat că astfel de suprafețe nu ar putea exista în multe cazuri particulare, au sugerat că acest lucru nu a fost posibil.
În noiembrie 1983, matematicianul american David Hoffman a devenit conștient de o nouă suprafață minimă prezentată în teza de doctorat a unui student brazilian, Celso Costa. Costa arătase că ceea ce a găsit a fost o suprafață minimă nelimitată de curbură totală finită, dar ecuațiile care o defineau erau atât de complicate încât nimeni nu știa ce formă ar putea avea și dacă era sau nu o suprafață scufundată.
Cu ajutorul lui William Meeks III și utilizarea unui program grafic pe computer dezvoltat de James Hoffman, Hoffman a reușit să demonstreze că suprafața lui Costa era liberă de auto-intersecții.
Câteva luni mai târziu, Hoffman și Meeks au dovedit existența unei întregi familii de suprafețe minime scufundate. Niciuna dintre aceste suprafețe, inclusiv suprafața Costa, nu este realizabilă cu foile de săpun.
De la matematică la alte domenii
Exemple de suprafețe minime pot fi întâlnite în alte domenii decât matematica:
- în fizică , de exemplu foile de săpun menționate mai sus;
- în arhitectură , de exemplu structurile reticulare ale lui Frei Otto .
Bibliografie
- Manfredo Perdigao do Carmo, Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor , New Jersey, Prentice Hall, Inc., 1976.
- Anatoly T. Fomenko, The Plateau Problem , Amsterdam, Gordon și Breach Science Publishers, 1990.
- David Hoffman, The Computer-Aided Discovery of New Embedded Minimal Surfaces (The Mathematical Intelligencer, Vol. 9, No. 3, 8-21) , New York, Springer-Verlag, 1987.
- Morris Kline, Istoria gândirii matematice, volumul I , Torino, Einaudi, 1996.
- Johannes CC Nitsche, Lectures on Minimal Surfaces, Vol. I , Cambridge University Press, 1989.
- Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces , Van Nostrand Reinhold Company, 1969.
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe o suprafață minimă
linkuri externe
- Suprafețe minime , pe beltrami.sc.unica.it . Adus la 19 mai 2007 (arhivat din original la 27 septembrie 2007) .
- De la bule de săpun la suprafețe minime , pe beltrami.sc.unica.it . Adus la 17 mai 2007 (arhivat din original la 22 februarie 2007) .
- Suprafețe minime: câteva desene , pe web.math.unifi.it . Adus la 17 mai 2007 (arhivat din original la 11 mai 2006) .
- Helicoid și catenoid , pe mat.unimi.it .
- Model interactiv Catenoid Princeton University , la princeton.edu .
| Controlul autorității | GND ( DE ) 4127814-8 |
|---|
