derivat funcțional

În matematică și fizică , derivatul funcțional este o generalizare a derivatului direcțional . In timp ce derivative direcționale diferă în direcția unui vector , diferă funcționale derivate în direcția unei funcții . Ambele pot fi văzute ca extensii ale obicei derivate .

Atunci când se analizează spații local convexe , derivatul funcțional este desemnat ca un derivat al gateaux . În special, în cazul în care este vorba de spații Banach se spune derivat din Fréchet . În fizica teoretică un al treilea tip de derivat (Euler), conceptual similar cu cel mai utilizat este derivata parțială .

În calculul variatiilor , funcționale sunt exprimate frecvent de l ' integrală a funcțiilor. De exemplu, dacă luăm în considerare o integrandul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ unui funcțional $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ :

J[f]=\int _{a}^{b}L[\,x,f(x),f\,'(x)\,]\,dx

{\ Displaystyle J [f] = \ int _ {a} ^ {b} L [\, x, f (x), f \, „(x) \,] \, dx}

{\ Displaystyle J [f] = \ int _ {a} ^ {b} L [\, x, f (x), f \, „(x) \,] \, dx}

cu $f\,'(x)=\operatorname {d} \!f/\operatorname {d} \!x$ ${\ Displaystyle f \ „(x) = \ operatorname {d} \! F / \ operatorname {d} \! X}$ ${\ Displaystyle f \ „(x) = \ operatorname {d} \! F / \ operatorname {d} \! X}$ , Dacă variezi $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ adăugând o altă funcție pentru a-l $\delta f$ ${\ Displaystyle \ delta f}$ $\ Delta f$ arbitrar mici se extinde, iar integrantul $L[\,x,f+\delta f,f\,'+\delta f']$ ${\ L displaystyle [\, x, f + \ delta f, f \ '+ \ delta f']}$ ${\ L displaystyle [\, x, f + \ delta f, f \ '+ \ delta f']}$ în puteri de $\delta f$ ${\ Displaystyle \ delta f}$ $\ Delta f$ , Atunci modificarea valorii $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ la primul ordin de dezvoltare în $\delta f$ ${\ Displaystyle \ delta f}$ $\ Delta f$ poate fi exprimat ca:

\delta J=\int _{a}^{b}{\frac {\delta J}{\delta f(x)}}{\delta f(x)}dx

{\ Displaystyle \ delta J = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ delta J} {\ delta f (x)}} {\ delta f (x)} dx}

{\ Displaystyle \ delta J = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ delta J} {\ delta f (x)}} {\ delta f (x)} dx}

Coeficientul de $\delta f(x)$ ${\ Displaystyle \ delta f (x)}$ ${\ Displaystyle \ delta f (x)}$ , notat cu $\delta J/\delta f(x)$ ${\ Displaystyle \ delta J / \ delta f (x)}$ ${\ Displaystyle \ delta J / \ delta f (x)}$ , Este derivatul funcțional al $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ în comparație cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . În acest caz, derivatul funcțional este lăsat în termenul " ecuațiile Euler-Lagrange :

{\frac {\delta J}{\delta f(x)}}={\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta J} {\ delta f (x)}} = {\ frac {\ L parțială} {\ f parțială}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname { d} \! x}} {\ frac {\ L parțială} {\ f parțial „}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta J} {\ delta f (x)}} = {\ frac {\ L parțială} {\ f parțială}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname { d} \! x}} {\ frac {\ L parțială} {\ f parțial „}}}

Definiție

Având în vedere o varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o functie $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ (care este de obicei continuu , neted , sau este necesar , care îndeplinește anumite condiții la limită) și funcțional $F\colon M\to \mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle F \ colon M \ a \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle F \ colon M \ a \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$ definit pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Derivatul funcțional al $F[\rho ]$ ${\ Displaystyle F [\ rho]}$ ${\ Displaystyle F [\ rho]}$ este în general definită prin:

\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\ \phi (x)\ dx=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}

{\ Displaystyle \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} \ \ phi (x) \ dx = \ lim _ {\ varepsilon \ la 0} {\ frac {F [\ rho + \ varepsilon \ phi] -F [\ rho]} {\ varepsilon}} = \ stânga [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} F [\ rho + \ varepsilon \ phi] \ right] _ {\ varepsilon = 0}}

{\ Displaystyle \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} \ \ phi (x) \ dx = \ lim _ {\ varepsilon \ la 0} {\ frac {F [\ rho + \ varepsilon \ phi] -F [\ rho]} {\ varepsilon}} = \ stânga [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} F [\ rho + \ varepsilon \ phi] \ right] _ {\ varepsilon = 0}}

unde este $\varepsilon \phi$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ phi}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ phi}$ este variație spus $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o funcție arbitrară.

diferentiala funcțională

Pornind de la derivatul funcțional, diferențial funcțional este definită ca:

\delta F=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\ \delta \rho (x)\ dx

{\ Displaystyle \ delta F = \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} \ \ delta \ rho (x) \ dx}

{\ Displaystyle \ delta F = \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} \ \ delta \ rho (x) \ dx}

unde este $\delta \rho (x)=\varepsilon \phi (x)$ ${\ Displaystyle \ delta \ rho (x) = \ varepsilon \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle \ delta \ rho (x) = \ varepsilon \ phi (x)}$ este variația $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Este un obiect similar cu diferențial totală a unei funcții $F(\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\dots )$ ${\ Displaystyle F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ rho _ {3}, \ puncte)}$ ${\ Displaystyle F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ rho _ {3}, \ puncte)}$ :

dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}

{\ Displaystyle dF = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ F parțial} {\ parțial \ rho _ {i}}} \ d \ rho _ {i}}

{\ Displaystyle dF = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ F parțial} {\ parțial \ rho _ {i}}} \ d \ rho _ {i}}

unde este $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\dots$ ${\ Displaystyle \ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ rho _ {3}, \ dots}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ rho _ {3}, \ dots}$ acestea sunt variabile independente.

Comparând ultimele două ecuații, observăm că derivatul funcțional $\delta F/\delta \rho (x)$ ${\ Displaystyle \ delta F / \ delta \ rho (x)}$ ${\ Displaystyle \ delta F / \ delta \ rho (x)}$ joacă un rol similar cu cel al derivatului parțial $\partial F/\partial \rho _{i}$ ${\ Displaystyle \ parțială F / \ parțial \ rho _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ parțială F / \ parțial \ rho _ {i}}$ , În cazul în care variabila de integrare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi văzută ca o versiune continuă a indicelui de însumare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Derivați de gateaux și Fréchet

Definirea derivat funcțional poate fi prevăzut cu mai multă precizie ce caracterizează mai bine spațiul vectorial topologic caracteristicile utilizate. De exemplu, în cazul în care spațiul este un spațiu Banach derivatul funcțional este un derivat al Fréchet , în timp ce , în general , spații local convexe este menționată ca derivat al Gateaux (al cărui nume se datorează francez matematician René Gateaux ).

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ două spații vectoriale topologice local convexe . Date $F:X\to Y$ ${\ Displaystyle F: X \ Y}$ ${\ Displaystyle F: X \ Y}$ Și $f,g\in X$ ${\ F displaystyle, g \ în X}$ ${\ F displaystyle, g \ în X}$ , Derivatul de Gateaux $DF[f;g]$ ${\ Displaystyle DF [f; g]}$ ${\ Displaystyle DF [f; g]}$ este dată de faptul că operatorul astfel încât

DF[f;g]=\lim _{|h|\rightarrow 0}{\frac {F[f+hg]-F[f]}{|h|}}

{\ Displaystyle DF [f; g] = \ lim _ {| h | \ rightarrow 0} {\ frac {F [f + hg] -F [f]} {| h |}}}

{\ Displaystyle DF [f; g] = \ lim _ {| h | \ rightarrow 0} {\ frac {F [f + hg] -F [f]} {| h |}}}

Simbolul $|g|$ ${\ Displaystyle | g |}$ ${\ Displaystyle | g |}$ Acesta indică norma vectorului $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Dacă există limita pentru fiecare $g\in X$ ${\ Displaystyle g \ în X}$ ${\ Displaystyle g \ în X}$ , Funcțional $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se spune diferentiabila conform Gateaux în $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Date $f,g\in X$ ${\ F displaystyle, g \ în X}$ ${\ F displaystyle, g \ în X}$ , O funcțională $F:X\to Y$ ${\ Displaystyle F: X \ Y}$ ${\ Displaystyle F: X \ Y}$ este diferențiabilă conform Fréchet în cazul în care există un operator liniar limitat $A_{f}:X\to Y$ ${\ Displaystyle A_ {f}: X \ Y}$ ${\ Displaystyle A_ {f}: X \ Y}$ astfel încât:

\lim _{|g|\rightarrow 0}{\frac {F[f+g]-F[f]-A_{f}[g]}{|g|}}=0\qquad \forall g\in X

{\ Displaystyle \ lim _ {| g | \ rightarrow 0} {\ frac {F [f + g] -F [f] -A_ {f} [g]} {| g |}} = 0 \ prototipurilor \ forall g \ în X}

{\ Displaystyle \ lim _ {| g | \ rightarrow 0} {\ frac {F [f + g] -F [f] -A_ {f} [g]} {| g |}} = 0 \ prototipurilor \ forall g \ în X}

Noțiunea de diferențiabilității de Fréchet este mai puternică decât cea a Gateaux: orice funcție diferențiabilă în funcție de Fréchet este, de asemenea, atât în funcție de Gateaux, dar nu și invers.

derivat Euler

În fizică, în cazul în care este adesea utilizat în integralele funcționale, utilizând o altă definiție a unui derivat, de multe ori raportate în termeni de distribuție cunoscute sub denumirea de delta Dirac $\delta (x)$ ${\ displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ :

{\frac {\delta F[\phi (x)]}{\delta \phi (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\phi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\phi (x)]}{\varepsilon }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta F [\ phi (x)]} {\ delta \ phi (y)}} = \ lim _ {\ varepsilon \ la 0} {\ frac {F [\ phi (x) + \ varepsilon \ delta (xy)] - F [\ phi (x)]} {\ varepsilon}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta F [\ phi (x)]} {\ delta \ phi (y)}} = \ lim _ {\ varepsilon \ la 0} {\ frac {F [\ phi (x) + \ varepsilon \ delta (xy)] - F [\ phi (x)]} {\ varepsilon}}}

Având în vedere o funcțională integrală:

F[\phi (x)]=\int f[\phi (x)]{\text{d}}x

{\ Displaystyle F [\ phi (x)] = \ f int [\ phi (x)] {\ text {d}} x}

{\ Displaystyle F [\ phi (x)] = \ f int [\ phi (x)] {\ text {d}} x}

este posibil să se observe legătura dintre derivatul de Gateaux sau a Fréchet și derivatul Eulerian în această relație:

DF[f;g]=\int \left[{\frac {\partial \phi (f)}{\partial f}}\right]_{f=f(x)}{\frac {g(x)}{|g|}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {\delta F}{\delta f(x)}}{\frac {g(x)}{|g|}}\,{\text{d}}x

{\ Displaystyle DF [f; g] = \ int \ stânga [{\ frac {\ parțial \ phi (f)} {\ f parțială}} \ right] _ {f = f (x)} {\ frac {g (x)} {| g |}} \ {\ text {d}} x = \ int {\ frac {\ delta f} {\ delta f (x)}} {\ frac {g (x)} { | g |}} \ {\ text {d}} x}

{\ Displaystyle DF [f; g] = \ int \ stânga [{\ frac {\ parțial \ phi (f)} {\ f parțială}} \ right] _ {f = f (x)} {\ frac {g (x)} {| g |}} \ {\ text {d}} x = \ int {\ frac {\ delta f} {\ delta f (x)}} {\ frac {g (x)} { | g |}} \ {\ text {d}} x}

pentru a compara cu expresia pentru derivata funcțiilor definite pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ :

{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial {\hat {e}}}}={\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\hat {e}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}

{\ Displaystyle {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}})} {\ parțial {\ hat {e}}}} = {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}})} {\ parțial {\ vec {x}}}} \ cdot {\ hat} {e} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}}) } {\ X_ parțial {i}}} {\ hat {e}} _ {i}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}})} {\ parțial {\ hat {e}}}} = {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}})} {\ parțial {\ vec {x}}}} \ cdot {\ hat} {e} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ f parțială ({\ vec {x}}) } {\ X_ parțial {i}}} {\ hat {e}} _ {i}}

În acești termeni, derivatul Euleriene este nucleul unui operator integral liniar , care, atunci când se aplică o funcție de testare norma unitate $g/|g|$ ${\ Displaystyle g / | g |}$ ${\ Displaystyle g / | g |}$ , Dă în derivat funcțional $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ lung $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Derivatul Eulerian este analog cu gradientul în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ : Componentele acesteia din urmă, de fapt, sunt derivații direcționale de-a lungul direcției unui sistem de coordonate. Derivatul Eulerian este extras din derivatul Fréchet prin aplicarea distribuției delta Dirac operatorului liniar, care poate fi considerat ca fiind unul dintre elementele de bază ale spațiului căruia îi aparține $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (Chiar dacă în sine nu vă aparține).

Din definitiile este posibil să se deducă proprietățile obișnuite ale derivaților: linearitate , omogenitate , regula de lanț pentru compușii funcționali, și așa mai departe.

Proprietate

În ceea ce obișnuitul derivata unei funcții, funcționale derivate sunt îndeplinite de următoarele proprietăți, în cazul în care $F[\rho ]$ ${\ Displaystyle F [\ rho]}$ ${\ Displaystyle F [\ rho]}$ Și $G[\rho ]$ ${\ Displaystyle G [\ rho]}$ ${\ Displaystyle G [\ rho]}$ sunt funcționale:

Liniaritatea :

{\frac {\delta (\lambda F+\mu G)}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}}\qquad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\mathbb {C}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta (\ lambda F + \ mu G)} {\ delta \ rho (x)}} = \ lambda {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} + \ mu {\ frac {\ delta G} {\ delta \ rho (x)}} \ prototipurilor \ lambda, \ mu \ în \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta (\ lambda F + \ mu G)} {\ delta \ rho (x)}} = \ lambda {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} + \ mu {\ frac {\ delta G} {\ delta \ rho (x)}} \ prototipurilor \ lambda, \ mu \ în \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}

Regula produsului :

{\frac {\delta (FG)}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}G+F{\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta (FG)} {\ delta \ rho (x)}} = {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} G + F {\ frac {\ delta G} {\ delta \ rho (x)}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta (FG)} {\ delta \ rho (x)}} = {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho (x)}} G + F {\ frac {\ delta G} {\ delta \ rho (x)}}}

Regula lanțului :

\displaystyle {\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta f(\rho (x))}}\ {\frac {df(\rho (x))}{d\rho (x)}}\qquad {\frac {\delta f(F[\rho ])}{\delta \rho (x)}}={\frac {df(F[\rho ])}{dF[\rho ]}}\ {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}

{\ Displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ delta F [f (\ rho)]} {\ delta \ rho (x)}} = {\ frac {\ delta F [f (\ rho)]} {\ delta f (\ rho (x))}} \ {\ frac {df (\ rho (x))} {d \ rho (x)}} \ prototipurilor {\ frac {\ delta f (f [\ rho])} { \ delta \ rho (x)}} = {\ frac {df (F [\ rho])} {dF [\ rho]}} \ {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho ( X)}}}

{\ Displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ delta F [f (\ rho)]} {\ delta \ rho (x)}} = {\ frac {\ delta F [f (\ rho)]} {\ delta f (\ rho (x))}} \ {\ frac {df (\ rho (x))} {d \ rho (x)}} \ prototipurilor {\ frac {\ delta f (f [\ rho])} { \ delta \ rho (x)}} = {\ frac {df (F [\ rho])} {dF [\ rho]}} \ {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho ( X)}}}

cu

f

{\ displaystyle f}

f

o funcție diferențiabilă .

Exemple

Derivații funcționali dincolo de definiția lor matematice formale sunt în valoare pe scurt discuta. Derivații funcționali apar în mod regulat în probleme fizice pe care principii variaționale Obey, prin urmare, este util pentru a arăta modul în care derivații funcționali sunt realizate prin exemple relevante pentru fizica.

Având în vedere o funcțională de forma:

F[\rho ]=\int f(\mathbf {r} ,\rho ,\nabla \rho ,\nabla ^{2}\rho ,\cdots )d^{3}r

{\ Displaystyle F [\ rho] = \ int f (\ mathbf {r}, \ rho, \ nabla \ rho \ nabla ^ {2} \ rho \ cdots) d ^ {3} r}

{\ Displaystyle F [\ rho] = \ int f (\ mathbf {r}, \ rho, \ nabla \ rho \ nabla ^ {2} \ rho \ cdots) d ^ {3} r}

derivatul funcțional poate fi scrisă ca:

{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{2}{\frac {\partial f}{\partial (\nabla ^{2}\rho )}}-\cdots

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ f parțială} {\ parțial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ f parțială } {\ parțial (\ nabla \ rho)}} + \ nabla ^ {2} {\ frac {\ f parțială} {\ parțial (\ nabla ^ {2} \ rho)}} - \ cdots}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ f parțială} {\ parțial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ f parțială } {\ parțial (\ nabla \ rho)}} + \ nabla ^ {2} {\ frac {\ f parțială} {\ parțial (\ nabla ^ {2} \ rho)}} - \ cdots}

energie Coulomb

Luați în considerare energia Coulomb funcțională $J[\rho ]$ ${\ Displaystyle J [\ rho]}$ ${\ Displaystyle J [\ rho]}$ :

J[\rho ]=\int \left({\frac {1}{2}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}d^{3}r'\right)d^{3}r

{\ Displaystyle J [\ rho] = \ int \ stânga ({\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r}) \ rho (\ mathbf {r} „)} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} d ^ {3} r' \ dreapta) d ^ {3} r}

{\ Displaystyle J [\ rho] = \ int \ stânga ({\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r}) \ rho (\ mathbf {r} „)} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} d ^ {3} r' ​​\ dreapta) d ^ {3} r}

Energia $J[\rho ]$ ${\ Displaystyle J [\ rho]}$ ${\ Displaystyle J [\ rho]}$ depinde numai de densitatea de încărcare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , Și nu depinde de gradientul său, Laplace , sau derivați de ordin superior. Prin urmare:

{\frac {\delta J[\rho ]}{\delta \rho }}={\frac {\partial j}{\partial \rho }}=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}d^{3}r'

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta J [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ j parțială} {\ parțial \ rho}} = \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} d ^ {3} r „}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta J [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ j parțială} {\ parțial \ rho}} = \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} d ^ {3} r „}

unde este:

j={\frac {1}{2}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}d^{3}r'

{\ Displaystyle j = {\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r}) \ rho (\ mathbf {r} „)} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} d ^ {3} r'}

{\ Displaystyle j = {\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r}) \ rho (\ mathbf {r} „)} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} d ^ {3} r'}

Al doilea derivat funcțional al energiei Coulomb funcțională este:

{\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho ^{2}}}={\frac {\delta }{\delta \rho }}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}d^{3}r'={\frac {\partial }{\partial \rho }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}={\frac {1}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta ^ {2} J [\ rho]} {\ delta \ rho ^ {2}}} = {\ frac {\ delta} {\ delta \ rho}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} d ^ {3} r „= {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ rho}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} = {\ frac {} {\ vert \ mathbf 1 { r} - \ mathbf {r} „\ vert}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta ^ {2} J [\ rho]} {\ delta \ rho ^ {2}}} = {\ frac {\ delta} {\ delta \ rho}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} d ^ {3} r „= {\ frac {\ parțial} {\ parțial \ rho}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}} = {\ frac {} {\ vert \ mathbf 1 { r} - \ mathbf {r} „\ vert}}}

Weizsacker energie cinetică

În 1935 von Weizsäcker a propus pentru a adăuga un gradient de corecție la funcționale asociate cu energia Thomas-Fermi cinetic, în scopul de a îmbunătăți descrierea nor de electroni molecular:

T[\rho ]=\int {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r

{\ T displaystyle [\ rho] = \ int {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} d ^ {3} r}

{\ T displaystyle [\ rho] = \ int {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} d ^ {3} r}

Funcționalul $T[\rho ]$ ${\ T displaystyle [\ rho]}$ ${\ T displaystyle [\ rho]}$ depinde de densitatea de încărcare și gradientul acesteia, prin urmare:

{\frac {\delta T[\rho ]}{\delta \rho }}={\frac {\partial t}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t}{\partial (\nabla \rho )}}=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )^{2}}}-\nabla \cdot \left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}\right)

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta T [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ t parțial} {\ parțial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ t parțial } {\ parțial (\ nabla \ rho)}} = - {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r })} {\ rho (\ mathbf {r}) ^ {2}}} - \ nabla \ cdot \ stânga ({\ frac {1} {4}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r })} {\ rho (\ mathbf {r})}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta T [\ rho]} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ t parțial} {\ parțial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ t parțial } {\ parțial (\ nabla \ rho)}} = - {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r })} {\ rho (\ mathbf {r}) ^ {2}}} - \ nabla \ cdot \ stânga ({\ frac {1} {4}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r })} {\ rho (\ mathbf {r})}} \ dreapta)}

unde este:

t={\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}

{\ Displaystyle t = {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}}}

{\ Displaystyle t = {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}}}

În cele din urmă, observăm că orice funcție poate fi scrisă în termenii unui funcțional. De exemplu:

\rho (\mathbf {r} )=\int \rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')d^{3}r'

{\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = \ int \ rho (\ mathbf {r} ') \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}') d ^ {3} r „}

{\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = \ int \ rho (\ mathbf {r} ') \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}') d ^ {3} r „}

Prin urmare:

{\frac {\delta \rho (\mathbf {r} )}{\delta \rho }}={\frac {\delta \int \rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')d^{3}r'}{\delta \rho }}={\frac {\partial \left[\rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\right]}{\partial \rho }}=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta \ rho (\ mathbf {r})} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ delta \ int \ rho (\ mathbf {r} „) \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') d ^ {3} r'} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ parțial \ stânga [\ rho (\ mathbf {r} „) \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ right]} {\ parțial \ rho}} = \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}')}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta \ rho (\ mathbf {r})} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ delta \ int \ rho (\ mathbf {r} „) \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') d ^ {3} r'} {\ delta \ rho}} = {\ frac {\ parțial \ stânga [\ rho (\ mathbf {r} „) \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ right]} {\ parțial \ rho}} = \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}')}

Bibliografie

(RO) Richard Courant și David Hilbert , Capitolul IV. Calculul variatiilor, în Metode fizicii matematice, vol. I, First Romeno, New York, New York, Interscience Publishers, Inc., 1953, pp. 164-274, ISBN 978-0-471-50447-4 , MR 0065391 , Zbl 0,001.00501 .
(EN) RG Parr și W. Yang, Anexa A, în funcționalelor Theory densitate funcțională și Atomi Molecules , New York, Oxford University Press, 1989, pp. 246-254, ISBN 978-0-19-504279-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Springer - Anexa A: funcționalele și funcțională derivate (PDF) ^{[ Link Intrerupt ]} pe download.springer.com.
(RO) Béla A. Frigyik, Santosh Srivastava și Maya R. Gupta, Introducere în derivați funcționali (PDF), UWEE Tech Report, UWEETR-2,008-0,001, Seattle, WA, Departamentul de Inginerie Electrică de la Universitatea din Washington, ianuarie 2008 , p. 7. Accesat la data de 21 decembrie 2013 (depusă de „URL - ul original , 17 februarie 2017).
(RO) IM Gelfand și SV Fomin , Calculul variatiilor , traduse și editate de Richard A. Silverman, revizuit Rumeno, Mineola, NY, Dover Publications, 2000 [1963], ISBN 978-0-486-41448-5 , MR 0160139 , Zbl 0,127.05402 .
(RO) Mariano Giaquinta și Ștefan Hildebrandt, Calculul variatiilor 1. Lagrangiene Formalismul, Grundlehren der Wissenschaften stiinte matematice, vol. 310, 1, Berlin, Springer-Verlag , 1996, ISBN 3-540-50625-X , MR 1368401 , Zbl 0,853.49001 .
(RO) Walter Greiner și Joachim Reinhardt, Secțiunea 2.3 - Derivați funcționali , în Domeniul cuantizare , Cu o prefață de DA Bromley, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1996, pp. 36 -38, ISBN 3-540-59179-6 , MR 1383589 , Zbl 0,844.00006 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică