Operator de densitate

Operatorul de densitate , în mecanica cuantică , este un operator autoadjunct care poate fi folosit pentru a descrie un sistem fizic, indiferent dacă este în stare pură sau într-un amestec statistic ^[1] . Conceptul a fost introdus de John von Neumann ^[2] în 1927 și independent de Lev Landau ^[3] și Felix Bloch ^[4] , respectiv în 1927 și 46. Poate fi considerat analogul cuantic al distribuției probabilității în spațiul de fază în clasic mecanica .

Definiție

Să presupunem că sistemul se află într-un amestec statistic, adică poate fi într-una dintre stări $|\psi _{i}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ cu probabilitate p _i astfel încât ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\ textstyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$ ${\ textstyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$ . Operatorul de densitate este definit ca

{\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ sum _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |.}

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ sum _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |.}

Prin urmare, este suma, ponderată cu probabilitățile, a operatorilor de proiecție asupra stărilor $|\psi _{i}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ .

Dacă, pe de altă parte, sistemul este în stare pură $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ , suma se reduce la proiector $|\psi \rangle \langle \psi |.$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ psi |.}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ psi |.}$

Matricea densității

Matricea densității este matricea care reprezintă operatorul densității într-o anumită bază ortonormală $|u_{n}\rangle$ ${\ displaystyle | u_ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle | u_ {n} \ rangle}$ . Elementele matrice sunt date de expresie

\rho _{mn}=\sum _{i}p_{i}\langle u_{m}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|u_{n}\rangle .

{\ displaystyle \ rho _ {mn} = \ sum _ {i} p_ {i} \ langle u_ {m} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | u_ {n} \ rangle .}

{\ displaystyle \ rho _ {mn} = \ sum _ {i} p_ {i} \ langle u_ {m} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | u_ {n} \ rangle .}

Prin urmare, strict vorbind, matricea de densitate este o reprezentare a operatorului de densitate în funcție de baza aleasă. Cu toate acestea, în practică, cele două concepte sunt adesea folosite interschimbabil. Să fie acum ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ un operator care reprezintă o cantitate observabilă a sistemului. Dacă sistemul se află într-un amestec statistic, măsurarea A observabilă poate da rezultate diferite, în funcție de stare $|\psi _{i}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ unde este amplasat sistemul. Cu toate acestea, se arată că valoarea medie a multor măsuri $\langle A\rangle$ ${\ displaystyle \ langle A \ rangle}$ $\ langle A \ rangle$ este dat de urmele produsului dintre ${\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}}}$ ${\ hat {\ rho}}$ Și ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ . De fapt: ^[1] ^[5]

\langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{i}\rangle =\sum _{n}\langle u_{n}|{\hat {\rho }}{\hat {A}}|u_{n}\rangle =\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}{\hat {A}}).

{\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {A}} | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {n } \ langle u_ {n} | {\ hat {\ rho}} {\ hat {A}} | u_ {n} \ rangle = \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} {\ hat {A }}).}

{\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {A}} | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {n } \ langle u_ {n} | {\ hat {\ rho}} {\ hat {A}} | u_ {n} \ rangle = \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} {\ hat {A }}).}

Cu alte cuvinte, valoarea medie a lui A pentru amestecul statistic este suma valorilor de așteptare ale lui A pentru fiecare stare pură $|\psi _{i}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ , ponderat cu probabilitățile p _i . De asemenea, se poate arăta că:

$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }})=1$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}}) = 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}}) = 1}$ , atâta timp cât ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\ textstyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$ ${\ textstyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$
valorile proprii ale $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ sunt non-negative
$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}^{2})\leq 1$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} ^ {2}) \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} ^ {2}) \ leq 1}$
operatorul de densitate pentru o stare pură este idempotent , adică ${\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ^ {2} = {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ^ {2} = {\ hat {\ rho}}}$
de sine $\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}^{2})=1$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} ^ {2}) = 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ hat {\ rho}} ^ {2}) = 1}$ , da ${\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ^ {2} = {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ^ {2} = {\ hat {\ rho}}}$ și deci o stare pură.

Exemplu: polarizarea luminii

Becul (1) emite lumină ne polarizată (2) descrisă de un amestec statistic de fotoni. După trecerea printr-un polarizator plan (3), lumina devine polarizată (4), care este descrisă de un set de fotoni în stare pură.

Polarizarea fotonilor permite ilustrarea unor exemple de matrice de densitate. Fotonii pot avea două stări de helicitate distincte, corespunzătoare a două stări cuantice ortogonale: $|D\rangle$ ${\ displaystyle | D \ rangle}$ ${\ displaystyle | D \ rangle}$ (polarizare circulară dreaptă) e $|S\rangle$ ${\ displaystyle | S \ rangle}$ ${\ displaystyle | S \ rangle}$ (polarizarea circulară stângă). Aceste două stări formează o bază ortogonală, dar pot fi utilizate și două stări de polarizare liniară: $|V\rangle$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ (polarizarea verticală în raport cu o axă fixă) e $|O\rangle$ ${\ displaystyle | O \ rangle}$ ${\ displaystyle | O \ rangle}$ (polarizare orizontală).

O sursă de lumină obișnuită, cum ar fi un bec, emite lumină nepolarizată, care poate fi descrisă de amestecul statistic $\{1/2,|V\rangle \,;\,1/2,|O\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {1/2, | V \ rangle \ ,; \, 1/2, | O \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {1/2, | V \ rangle \ ,; \, 1/2, | O \ rangle \}}$ . Dacă lăsați lumina să treacă printr-un polarizator , aceasta blochează jumătate din fotoni: cei cu polarizare orizontală față de axa polarizatorului. Cealaltă jumătate a fotonilor, cei polarizați vertical, pot trece, înjumătățind intensitatea fasciculului inițial. Matricea de densitate a luminii nepolarizată este

\rho _{np}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/2\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ rho _ {np} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ rho _ {np} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

în timp ce după trecerea de la polarizator, toți fotonii sunt în stare $|V\rangle$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ . Matricea densității devine

\rho _{v}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ rho _ {v} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ rho _ {v} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

și descrie o stare pură. Este ușor de verificat, de exemplu, că $\rho _{v}^{2}=\rho _{v}$ ${\ displaystyle \ rho _ {v} ^ {2} = \ rho _ {v}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {v} ^ {2} = \ rho _ {v}}$ in timp ce $\rho _{np}^{2}\neq \rho _{np}$ ${\ displaystyle \ rho _ {np} ^ {2} \ neq \ rho _ {np}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {np} ^ {2} \ neq \ rho _ {np}}$ .

Fotonii pot fi, de asemenea, pregătiți într-o suprapunere a celor două stări $|V\rangle$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ ${\ displaystyle | V \ rangle}$ Și $|O\rangle$ ${\ displaystyle | O \ rangle}$ ${\ displaystyle | O \ rangle}$ , de exemplu $(|V\rangle +|O\rangle )/{\sqrt {2}}\equiv |D\rangle$ ${\ displaystyle (| V \ rangle + | O \ rangle) / {\ sqrt {2}} \ equiv | D \ rangle}$ ${\ displaystyle (| V \ rangle + | O \ rangle) / {\ sqrt {2}} \ equiv | D \ rangle}$ (polarizarea circulară dreaptă de mai sus). În baza pe care o folosim, matricea densității este

\rho _{d}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ rho _ {d} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ rho _ {d} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

care corespunde unei stări pure.

Ecuația lui Von Neumann

Ecuația Von Neumann descrie evoluția în timp a operatorului de densitate, similar cu ecuația Schrödinger pentru stări pure. De fapt, cele două ecuații sunt echivalente, deoarece fiecare poate fi derivată din cealaltă. Ecuația lui Von Neumann este ^[6] ^[7]

i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=[H,\rho ]~,

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = [H, \ rho] ~,}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = [H, \ rho] ~,}

unde H este hamiltonianul sistemului și parantezele pătrate denotă un comutator .

Ecuația este valabilă în reprezentarea lui Schrödinger , chiar dacă la prima vedere poate aminti ecuația care descrie evoluția timpului în reprezentarea lui Heisenberg , în care operatorii (și nu stările) depind de timp:

i\hbar {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-[H,A^{(H)}]~,

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {dA ^ {(H)}} {dt}} = - [H, A ^ {(H)}] ~,}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {dA ^ {(H)}} {dt}} = - [H, A ^ {(H)}] ~,}

Cu toate acestea, în reprezentarea lui Heisenberg, matricea densității nu este dependentă de timp, fiind definită în termeni de stări $|\psi _{i}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ .

Dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, ecuația Von Neumann este ușor de rezolvat:

\rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.

{\ displaystyle \ rho (t) = e ^ {- iHt / \ hbar} \ rho (0) e ^ {iHt / \ hbar}.}

{\ displaystyle \ rho (t) = e ^ {- iHt / \ hbar} \ rho (0) e ^ {iHt / \ hbar}.}

Sisteme compuse: matricea cu densitate redusă

Este $\rho _{AB}$ ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$ matricea de densitate a unui sistem compus din două subsisteme A, B. Fiecare dintre cele două subsisteme este descrisă de o matrice de densitate redusă , concept introdus de Paul Dirac în 1930 ^[8] . De exemplu, dacă ${\hat {\rho }}_{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {AB} = | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi |}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {AB} = | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi |}$ :

\rho _{A}=\sum _{n}\langle b_{n}|\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)|b_{n}\rangle =\operatorname {tr} _{B}\rho _{AB}

{\ displaystyle \ rho _ {A} = \ sum _ {n} \ langle b_ {n} | \ left (| \ Psi \ rangle \ langle \ Psi | \ right) | b_ {n} \ rangle = \ operatorname { tr} _ {B} \ rho _ {AB}}

{\ displaystyle \ rho _ {A} = \ sum _ {n} \ langle b_ {n} | \ left (| \ Psi \ rangle \ langle \ Psi | \ right) | b_ {n} \ rangle = \ operatorname { tr} _ {B} \ rho _ {AB}}

unde este $|b_{n}\rangle$ ${\ displaystyle | b_ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle | b_ {n} \ rangle}$ este o bază ortonormală a lui B. $\operatorname {tr} _{B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {B}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {B}}$ este pista parțială de pe B.

Să luăm de exemplu un sistem compus din două particule A și B, care se află într-o stare încurcată . Ne putem gândi la cazul descris în paradoxul EPR , adică la doi electroni emiși cu rotire opusă de la o sursă. Rotirea nu este definită de fapt pentru electroni individuali: mai degrabă, sistemul este descris de starea pur încurcată

|\psi \rangle _{AB}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle _{A}|-\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|+\rangle _{B}\right)

{\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (| + \ rangle _ {A} | - \ rangle _ {B} + | - \ rangle _ {A} | + \ rangle _ {B} \ right)}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (| + \ rangle _ {A} | - \ rangle _ {B} + | - \ rangle _ {A} | + \ rangle _ {B} \ right)}

.

Matricea densității este

\rho _{AB}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\\\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle \ rho _ {AB} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ rho _ {AB} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}.}

Dacă vrem să descriem doar electronul A, trebuie să scriem matricea sa de densitate redusă. Este ușor să calculăm asta

{\hat {\rho }}_{A}={\frac {1}{2}}\left(|+\rangle _{A}\langle +|_{A}+|-\rangle _{A}\langle -|_{A}\right)

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (| + \ rangle _ {A} \ langle + | _ {A} + | - \ rangle _ {A} \ langle - | _ {A} \ right)}

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (| + \ rangle _ {A} \ langle + | _ {A} + | - \ rangle _ {A} \ langle - | _ {A} \ right)}

care corespunde unui amestec statistic. Cu alte cuvinte, măsurând spinul electronului A de multe ori, ambele valori vor fi obținute cu o probabilitate de 50%. Matricea reală este pur și simplu

\rho _{A}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/2\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ rho _ {A} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ rho _ {A} = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\ end {bmatrix}}}

și nu conține termeni în afara diagonalei, care apar doar în cazul stării pure. Acest rezultat este destul de general: matricea de densitate redusă pentru o stare pur încurcată corespunde unui amestec statistic. Prin urmare, atunci când analizăm un sistem compus din mai multe particule încurcate, trebuie avut în vedere faptul că particulele individuale nu se află într-o suprapunere de stări distincte (care este un fenomen pur mecanic cuantic), ci într-un amestec statistic (care reflectă o incertitudine „clasic” pe măsură). Un exemplu în acest sens este paradoxul pisicii lui Schrödinger , binecunoscutul experiment de gândire în care o pisică este încurcată cu un atom instabil . În acest caz, pisica, ca subsistem, nu este „atât vie, cât și moartă în același timp”, deoarece se află într-un amestec statistic.

Notă

^ ^a ^b Jun John Sakurai , Mecanica cuantică modernă , ISBN 978-0-321-50336-7 .
^ John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik , în Göttinger Nachrichten , voi. 1, 1927, p. 245-272.
^ Schlüter, Michael - Lu Jeu Sham, Teoria funcțională a densității , în Physics Today , vol. 35, nr. 2, 1982, p. 36, Bibcode : 1982PhT .... 35b..36S , DOI : 10.1063 / 1.2914933 (arhivat din original la 15 aprilie 2013) .
^ Ugo Fano , Matrici de densitate ca vectori de polarizare , în Rendiconti Lincei , vol. 6, nr. 2, 1995, p. 123-130, DOI : 10.1007 / BF03001661 .
^ Picasso, D'Emilio: Problems of Quantum Mechanics , ETS 2011, isbn = 9788846731487.
^ Heinz Breuer, The theory of open quantum systems , on books.google.com , 2002, ISBN 978-0-19-852063-4 .
^ Franz Schwabl, Mecanica statistică , 2002, p. 16, ISBN 978-3-540-43163-3 .
^ PAM Dirac, Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 26, 2008, Bibcode : 1930PCPS ... 26..376D , DOI : 10.1017 / S0305004100016108 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre densitatea operatorului

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[sakurai-1] Jun John Sakurai , Mecanica cuantică modernă , ISBN 978-0-321-50336-7 .

[2] John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik , în Göttinger Nachrichten , voi. 1, 1927, p. 245-272.

[PT-3] Schlüter, Michael - Lu Jeu Sham, Teoria funcțională a densității , în Physics Today , vol. 35, nr. 2, 1982, p. 36, Bibcode : 1982PhT .... 35b..36S , DOI : 10.1063 / 1.2914933 (arhivat din original la 15 aprilie 2013) .

[Ugo-4] Ugo Fano , Matrici de densitate ca vectori de polarizare , în Rendiconti Lincei , vol. 6, nr. 2, 1995, p. 123-130, DOI : 10.1007 / BF03001661 .

[picasso-5] Picasso, D'Emilio: Problems of Quantum Mechanics , ETS 2011, isbn = 9788846731487.

[6] Heinz Breuer, The theory of open quantum systems , on books.google.com , 2002, ISBN 978-0-19-852063-4 .

[7] Franz Schwabl, Mecanica statistică , 2002, p. 16, ISBN 978-3-540-43163-3 .

[8] PAM Dirac, Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 26, 2008, Bibcode : 1930PCPS ... 26..376D , DOI : 10.1017 / S0305004100016108 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notare Bra-ket · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · Interferență (fizică)
Fundamente și principii	Principiul incertitudinii Heisenberg · Principiul complementarității · Funcția de undă · prăbușirea funcției de undă · Interpretarea de la Copenhaga · Spin · Vechea teorie cuantică · Interpretarea lui Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica undelor · Mecanica matricilor · Integrală pe căi
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Pisica lui Schrödinger · Paradoxul EPR · Cuanticul sinuciderii