Dezvoltare multipolă

În matematică și fizică , în special în electrostatică , dezvoltarea multipolului sau dezvoltarea seriei multipolilor este o serie care reprezintă o funcție care depinde de variabilele unghiulare . Seria este de obicei trunchiată la o anumită ordine n : în acest caz sunt luați în considerare doar primii n termeni ai expansiunii, care aproximează funcția din ce în ce mai fidel pe măsură ce n crește.

În electromagnetism această dezvoltare permite aproximarea, la distanțe mari, a potențialului electric generat de un sistem de sarcini electrice . Cu toate acestea, această procedură este imposibilă atunci când distribuția se extinde la infinit, ca în cazul unui plan de încărcare infinit extins. Particularitatea acestei dezvoltări este că termenii care apar sunt identici în mod formal cu cei ai configurațiilor spațiale simple alese în mod corespunzător și, prin urmare, poate fi considerat descompus în suma potențialelor datorate, în ordine, unei singure sarcini ( monopol ) , un dipol , cvadrupol și așa mai departe.

Definiție

Dezvoltarea multipolă se realizează de obicei atât în coordonate carteziene, prin dezvoltarea în seria Taylor , cât și în coordonate polare sau sferice, unde se utilizează armonice sferice .

Dezvoltarea în armonici sferice

Dezvoltarea multipolă poate fi definită ca o combinație liniară de armonici sferice . Cu această descriere, o funcție $f(\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle f (\ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle f (\ theta, \ phi)}$ este dat de:

f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\,\sum _{m=-l}^{l}\,C_{l}^{m}\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )

{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, C_ {l} ^ {m} \, Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}

{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, C_ {l} ^ {m} \, Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}

unde este $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$ sunt armonicele sferice și $C_{l}^{m}$ ${\ displaystyle C_ {l} ^ {m}}$ ${\ displaystyle C_ {l} ^ {m}}$ coeficienți constanți. Termenul $C_{0}^{0}$ ${\ displaystyle C_ {0} ^ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {0} ^ {0}}$ reprezintă monopolul, triplul $C_{1}^{-1}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {- 1}}$ , $C_{1}^{0}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {0}}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {0}}$ Și $C_{1}^{1}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {1} ^ {1}}$ dipolul și așa mai departe.

În mod echivalent, seria poate fi scrisă ca: ^[1]

f(\theta ,\phi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijkl}n^{i}n^{j}n^{k}n^{l}+\cdots

{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = C + C_ {i} n ^ {i} + C_ {ij} n ^ {i} n ^ {j} + C_ {ijk} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} + C_ {ijkl} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} n ^ {l} + \ cdots}

{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = C + C_ {i} n ^ {i} + C_ {ij} n ^ {i} n ^ {j} + C_ {ijk} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} + C_ {ijkl} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} n ^ {l} + \ cdots}

unde fiecare $n^{i}$ ${\ displaystyle n ^ {i}}$ ${\ displaystyle n ^ {i}}$ este un versor în direcția dată de unghiuri $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , în timp ce indicii sunt însumați conform convenției lui Einstein . Termenul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este monopolul, $C_{i}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$ $Acolo}$ este un set de trei numere care descriu dipolul și așa mai departe.

Dacă luăm în considerare funcțiile în trei dimensiuni într-o regiune îndepărtată de originea axelor, coeficienții expansiunii în multipoli pot fi scrise ca o funcție a distanței $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ de la origine, de obicei prin seria de puteri a lui Laurent $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . De exemplu, potențialul electromagnetic $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ generată de o sursă situată în apropierea originii și calculată într-un punct suficient de îndepărtat de aceasta se exprimă după cum urmează:

V(r,\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\,\sum _{m=-l}^{l}\,C_{l}^{m}(r)\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{l=0}^{\infty }\,\sum _{m=-l}^{l}\,{\frac {D_{l,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )

{\ displaystyle V (r, \ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, C_ {l} ^ { m} (r) \, Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \, \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty } \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, {\ frac {D_ {l, j} ^ {m}} {r ^ {j}}} \, Y_ {l} ^ {m } (\ theta, \ phi)}

{\ displaystyle V (r, \ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, C_ {l} ^ { m} (r) \, Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \, \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty } \, \ sum _ {m = -l} ^ {l} \, {\ frac {D_ {l, j} ^ {m}} {r ^ {j}}} \, Y_ {l} ^ {m } (\ theta, \ phi)}

Dezvoltare în coordonate carteziene

Seria Taylor pentru o funcție $v(\mathbf {R} -\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})}$ în jurul originii $\mathbf {r} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = 0}$ este următorul:

v(\mathbf {R} -\mathbf {r} )=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots

{\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r}) = v (\ mathbf {R}) - \ sum _ {\ alpha = x, y, z} r _ {\ alpha} v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r_ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) - \ cdots + \ cdots}

{\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r}) = v (\ mathbf {R}) - \ sum _ {\ alpha = x, y, z} r _ {\ alpha} v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r_ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) - \ cdots + \ cdots}

unde este:

v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\qquad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }

{\ displaystyle v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha }}} \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} \ qquad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial ^ { 2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha} \ partial r _ {\ beta}}} \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf { 0}}}

{\ displaystyle v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha }}} \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} \ qquad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial ^ { 2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha} \ partial r _ {\ beta}}} \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf { 0}}}

De sine $v(\mathbf {R} -\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})}$ satisface ecuația Laplace :

\left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} = \ sum _ {\ alpha = x, y, z} v _ {\ alpha \ alpha} (\ mathbf {R}) = 0}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} = \ sum _ {\ alpha = x, y, z} v _ {\ alpha \ alpha} (\ mathbf {R}) = 0}

atunci expansiunea poate fi scrisă prin componentele unui tensor de ordine secundă de urmă zero:

\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2})v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r _ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} ( \ mathbf {R}) = {\ frac {1} {3}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} (3r _ {\ alpha} r _ {\ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} r ^ {2}) v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R})}

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r _ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} ( \ mathbf {R}) = {\ frac {1} {3}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} (3r _ {\ alpha} r _ {\ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} r ^ {2}) v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R})}

unde este $\delta _{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$ este delta Kronecker în timp ce $r^{2}$ ${\ displaystyle r ^ {2}}$ $r ^ {2}$ este pătratul modulului.

În electromagnetism , expresia specială este frecvent considerată:

v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}

{\ displaystyle v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ equiv {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {R} |}}}

{\ displaystyle v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ equiv {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {R} |}}}

Diferențierea obținem:

v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}}\qquad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}}\qquad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}

{\ displaystyle v (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {R}} \ qquad v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) = - {\ frac {R _ {\ alpha}} {R ^ {3}}} \ qquad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) = {\ frac {3R _ {\ alpha} R _ {\ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} R ^ {2}} {R ^ {5}}}}

{\ displaystyle v (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {R}} \ qquad v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) = - {\ frac {R _ {\ alpha}} {R ^ {3}}} \ qquad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) = {\ frac {3R _ {\ alpha} R _ {\ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} R ^ {2}} {R ^ {5}}}}

Prin urmare, definim termenii respectiv monopol electric, dipol electric și cvadrupol electric (care are zero urmă ):

q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\qquad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha }\qquad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2})

{\ displaystyle q _ {\ mathrm {tot}} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \ qquad P _ {\ alpha} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ { N} q_ {i} r_ {i \ alpha} \ qquad Q _ {\ alpha \ beta} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} (3r_ {i \ alpha} r_ {i \ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} r_ {i} ^ {2})}

{\ displaystyle q _ {\ mathrm {tot}} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \ qquad P _ {\ alpha} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ { N} q_ {i} r_ {i \ alpha} \ qquad Q _ {\ alpha \ beta} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} (3r_ {i \ alpha} r_ {i \ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} r_ {i} ^ {2})}

obținerea expansiunii în multipoli în coordonate carteziene ale potențialului electric, care este suma potențialelor unice Coulomb generate de sarcini:

4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots

{\ displaystyle 4 \ pi \ varepsilon _ {0} V (\ mathbf {R}) \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} v (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) = {\ frac {q _ {\ mathrm {tot}}} {R}} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ sum _ {\ alpha = x, y , z} P _ {\ alpha} R _ {\ alpha} + {\ frac {1} {2R ^ {5}}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = x, y, z} Q _ {\ alfa \ beta} R _ {\ alpha} R _ {\ beta} + \ cdots}

{\ displaystyle 4 \ pi \ varepsilon _ {0} V (\ mathbf {R}) \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} v (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) = {\ frac {q _ {\ mathrm {tot}}} {R}} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ sum _ {\ alpha = x, y , z} P _ {\ alpha} R _ {\ alpha} + {\ frac {1} {2R ^ {5}}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = x, y, z} Q _ {\ alfa \ beta} R _ {\ alpha} R _ {\ beta} + \ cdots}

Potențial generat de o distribuție staționară a sarcinii electrice

Luați în considerare o distribuție discretă a sarcinii , compusă din N sarcini $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ care au locația $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ , și presupunem că taxele sunt grupate lângă originea sistemului de referință în așa fel încât să poată fi scris $r_{ij}<r_{M}$ ${\ displaystyle r_ {ij} <r_ {M}}$ ${\ displaystyle r_ {ij} <r_ {M}}$ pentru fiecare componentă j a poziției, unde $r_{M}$ ${\ displaystyle r_ {M}}$ ${\ displaystyle r_ {M}}$ are o valoare finită.

Potențialul electric $V(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle V (\ mathbf {r})}$ $V ({\ mathbf r})$ în sens $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ generat de distribuirea taxelor în afara regiunii în care sunt plasate taxele, adică pentru $|\mathbf {r} |>r_{M}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} |> r_ {M}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r} |> r_ {M}}$ , poate fi exprimat în puteri de $1 \over {|\mathbf {r} |}$ ${\ displaystyle 1 \ over {| \ mathbf {r} |}}$ ${\ displaystyle 1 \ over {| \ mathbf {r} |}}$ . Prin urmare, ne putem gândi la potențialul general descompus în suma potențialelor datorită distribuțiilor simple de sarcină simetrice, ale căror contribuții devin din ce în ce mai puțin importante: ^[2]

V(\mathbf {r} )=\sum _{h=0}^{\infty }V^{(h)}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{(1)}}{|\mathbf {r} |}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{(2)}}{|\mathbf {r} |^{2}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{2}}{\frac {Q^{(4)}}{|\mathbf {r} |^{3}}}+...

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} V ^ {(h)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}} } {\ frac {Q ^ {(1)}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {( 2)}} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {2}} {\ frac {Q ^ {(4)}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + ...}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} V ^ {(h)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}} } {\ frac {Q ^ {(1)}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {( 2)}} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {2}} {\ frac {Q ^ {(4)}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + ...}

unde este $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ este vectorul care identifică poziția în care se calculează potențialul e $Q^{(1)},Q^{(2)},\dots ,Q^{(k)}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(2)}, \ dots, Q ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(2)}, \ dots, Q ^ {(k)}}$ sunt coeficienți care depind de geometria sistemului de încărcare și de vectorul unitar ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /|\mathbf {r} |$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {r} / | \ mathbf {r} |}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {r} / | \ mathbf {r} |}$ . De asemenea, cu excepția termenului de monopol $Q^{(1)}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}}$ care este determinată exclusiv de taxa totală a sistemului, ele depind și de sistemul de coordonate și, prin urmare, nu sunt unice. Folosind armonicele sferice avem: ^[3]

V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2l+1}}q_{lm}{\frac {Y_{lm}(\theta ,\phi )}{r^{l+1}}}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} q_ {lm} {\ frac {Y_ {lm} (\ theta, \ phi)} {r ^ {l + 1 }}}}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} q_ {lm} {\ frac {Y_ {lm} (\ theta, \ phi)} {r ^ {l + 1 }}}}

În coordonatele carteziene, potențialul generat de sistemul de încărcare este:

V(\mathbf {r} )=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{k}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}|}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {q_{k}}{\sqrt {(x-x_{k})^{2}+(y-y_{k})^{2}+(z-z_{k})^{2}}}}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {q_ {k} } {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {k} |}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ { n} {\ frac {q_ {k}} {\ sqrt {(x-x_ {k}) ^ {2} + (y-y_ {k}) ^ {2} + (z-z_ {k}) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {q_ {k} } {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {k} |}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ { n} {\ frac {q_ {k}} {\ sqrt {(x-x_ {k}) ^ {2} + (y-y_ {k}) ^ {2} + (z-z_ {k}) ^ {2}}}}}

Din moment ce vectorii $\mathbf {r} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ sunt mici comparativ cu $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , diferiții termeni ai potențialului din jur $\mathbf {r} _{k}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {0}}$ . Dezvoltarea în bloc oprită la a doua comandă oferă:

{\frac {1}{\sqrt {(x-x_{k})^{2}+(y-y_{k})^{2}+(z-z_{k})^{2}}}}={\frac {1}{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{k}}{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{k})^{2}-|\mathbf {r} |^{2}|\mathbf {r} _{k}|^{2}}{|\mathbf {r} |^{5}}}+{\mathcal {O}}(|\mathbf {r} |^{3})

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {(x-x_ {k}) ^ {2} + (y-y_ {k}) ^ {2} + (z-z_ {k}) ^ {2 }}}} = {\ frac {1} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {3 (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf { r} | ^ {2} | \ mathbf {r} _ {k} | ^ {2}} {| \ mathbf {r} | ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} (| \ mathbf { r} | ^ {3})}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {(x-x_ {k}) ^ {2} + (y-y_ {k}) ^ {2} + (z-z_ {k}) ^ {2 }}}} = {\ frac {1} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {3 (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf { r} | ^ {2} | \ mathbf {r} _ {k} | ^ {2}} {| \ mathbf {r} | ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} (| \ mathbf { r} | ^ {3})}

Termen monopol

Având în vedere fiecare termen separat, potențialul generat de termenul de ordine 0 este dat pur și simplu de:

V^{(0)}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\sum _{k=1}^{n}q_{k}}{|\mathbf {r} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{(1)}}{|\mathbf {r} |}}

{\ displaystyle V ^ {(0)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ { n} q_ {k}} {| \ mathbf {r} |}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(1)}} {| \ mathbf {r} |}}}

{\ displaystyle V ^ {(0)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ { n} q_ {k}} {| \ mathbf {r} |}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(1)}} {| \ mathbf {r} |}}}

unde cu $Q^{(1)}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle Q ^ {(1)}}$ indicăm suma (algebrică) a sarcinilor $q_{k}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ , și este uneori numit momentul monopolului . Observăm că termenul scade ca invers al distanței.

Termen dipol

Același subiect în detaliu: dipol electric .

Potențialul generat de al doilea termen (ordinul 1) este:

V^{(1)}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\sum _{k=1}^{n}q_{k}\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{k}}{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\left(\sum _{k=1}^{n}q_{k}\mathbf {r} _{k}\right)\cdot \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}

{\ displaystyle V ^ {(1)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ { n} q_ {k} \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ mathbf {r}} { | \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} { | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

{\ displaystyle V ^ {(1)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ { n} q_ {k} \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ mathbf {r}} { | \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} { | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

Definire:

\mathbf {p} ={\begin{matrix}\left(\sum _{k=1}^{n}q_{k}\mathbf {r} _{k}\right)\end{matrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ begin {matrix} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ end {matrix }}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ begin {matrix} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ end {matrix }}}

se obține un potențial similar cu cel al unui dipol electric. Vectorul $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ prin urmare reprezintă momentul dipolar al distribuției sarcinii, iar primul termen de ordine scade odată cu distanța ca inversul pătratului razei. Se observă că prin setarea:

Q^{(2)}=\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle Q ^ {(2)} = \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle Q ^ {(2)} = \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}}}

poti sa scrii:

{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\mathbf {r} }}{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{(2)}}{|\mathbf {r} |^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot {\ mathbf {r}}} {| \ mathbf {r} | ^ { 3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(2)}} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot {\ mathbf {r}}} {| \ mathbf {r} | ^ { 3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(2)}} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}}}

Termen quadrupolar

Potențial generat de un cvadrupol electric.

Al doilea termen este:

V^{(2)}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{k=1}^{n}q_{k}{\frac {3(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{k})^{2}-|\mathbf {r} |^{2}|\mathbf {r} _{k}|^{2}}{2|\mathbf {r} |^{5}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{k=1}^{n}q_{k}{\frac {3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} _{k})^{2}-|\mathbf {r} _{k}|^{2}}{2|\mathbf {r} |^{3}}}

{\ displaystyle V ^ {(2)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ { k} {\ frac {3 (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf {r} | ^ {2} | \ mathbf {r} _ {k } | ^ {2}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {5}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} {\ frac {3 ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf {r} _ {k } | ^ {2}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

{\ displaystyle V ^ {(2)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ { k} {\ frac {3 (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf {r} | ^ {2} | \ mathbf {r} _ {k } | ^ {2}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {5}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} q_ {k} {\ frac {3 ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}) ^ {2} - | \ mathbf {r} _ {k } | ^ {2}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

Este formal identic cu potențialul generat de o distribuție de patru sarcini echidistante, echipate două câte două cu sarcini opuse. Această distribuție se numește cvadrupol fundamental . Tensorul momentului cvadrupolar $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ are componente $Q_{ij}$ ${\ displaystyle Q_ {ij}}$ ${\ displaystyle Q_ {ij}}$ date de la:

Q_{ij}=\sum _{A=1}^{N}q_{A}(3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta _{ij})

{\ displaystyle Q_ {ij} = \ sum _ {A = 1} ^ {N} q_ {A} (3x_ {i} x_ {j} -r ^ {2} \ delta _ {ij})}

{\ displaystyle Q_ {ij} = \ sum _ {A = 1} ^ {N} q_ {A} (3x_ {i} x_ {j} -r ^ {2} \ delta _ {ij})}

și este o formă pătratică definită pozitivă. Momentul cvadrupolar al distribuției sarcinii este dat de:

Q^{(4)}={\hat {\mathbf {r} }}^{T}\mathbf {Q} {\hat {\mathbf {r} }}=\sum _{ij}Q_{ij}n^{i}n^{j}

{\ displaystyle Q ^ {(4)} = {\ hat {\ mathbf {r}}} ^ {T} \ mathbf {Q} {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ sum _ {ij} Q_ {ij} n ^ {i} n ^ {j}}

{\ displaystyle Q ^ {(4)} = {\ hat {\ mathbf {r}}} ^ {T} \ mathbf {Q} {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ sum _ {ij} Q_ {ij} n ^ {i} n ^ {j}}

unde este $n^{i}$ ${\ displaystyle n ^ {i}}$ ${\ displaystyle n ^ {i}}$ Și $n^{j}$ ${\ displaystyle n ^ {j}}$ ${\ displaystyle n ^ {j}}$ sunt componentele vectorului unitar ${\hat {\mathbf {r} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ . Folosind acest tensor, potențialul cvadripol ia forma:

V^{(2)}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\sum _{ij}Q_{ij}n^{i}n^{j}}{2|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{(4)}}{2|\mathbf {r} |^{3}}}

{\ displaystyle V ^ {(2)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {ij} Q_ {ij} n ^ {i} n ^ {j}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(4)}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

{\ displaystyle V ^ {(2)} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ sum _ {ij} Q_ {ij} n ^ {i} n ^ {j}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q ^ {(4)}} {2 | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

Potențialul cvadrupolar scade pe măsură ce a treia putere a inversului lui $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Distribuții continue

În cazul distribuțiilor de sarcini continue sumele sunt convertite în integrale și termeni $Q^{k}$ ${\ displaystyle Q ^ {k}}$ ${\ displaystyle Q ^ {k}}$ luați formularul în prima ordine:

Q^{(1)}=\int \rho (x',y',z'){\mbox{d}}V'

{\ displaystyle Q ^ {(1)} = \ int \ rho (x ', y', z ') {\ mbox {d}} V'}

{\ displaystyle Q ^ {(1)} = \ int \ rho (x ', y', z ') {\ mbox {d}} V'}

în ordinea a doua au expresia:

Q^{(2)}=\int \rho (x',y',z')\mathbf {r} '\cdot {\hat {\mathbf {r} }}{\mbox{d}}V'=\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle Q ^ {(2)} = \ int \ rho (x ', y', z ') \ mathbf {r}' \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ mbox {d} } V '= \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle Q ^ {(2)} = \ int \ rho (x ', y', z ') \ mathbf {r}' \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}} {\ mbox {d} } V '= \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}}}

în timp ce cvadrupolul se caracterizează prin:

Q^{(4)}=\int \rho (x',y',z')\left[3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\mathbf {r} }')^{2}-|\mathbf {r} '|^{2}\right]\operatorname {d} V'

{\ displaystyle Q ^ {(4)} = \ int \ rho (x ', y', z ') \ left [3 ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot {\ mathbf {r}} ') ^ {2} - | \ mathbf {r}' | ^ {2} \ right] \ operatorname {d} V '}

{\ displaystyle Q ^ {(4)} = \ int \ rho (x ', y', z ') \ left [3 ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot {\ mathbf {r}} ') ^ {2} - | \ mathbf {r}' | ^ {2} \ right] \ operatorname {d} V '}

Potențial generat de un curent oscilant și o distribuție a sarcinii

Același subiect în detaliu: potențialele întârziate și potențialul Liénard-Wiechert .

Având în vedere o sursă constând dintr-o distribuție a sarcinii și curentului care variază în timp și luați în considerare cazul în care câmpul este măsurat suficient de departe de surse: se presupune în special că distanța de la surse este mai mare decât dimensiunea surselor ei înșiși și a lungimii de undă a radiației emise. În această regiune, numită și zona undei de radiații, câmpul poate fi aproximat prin propagarea undelor plane . ^[4] Dacă sursele câmpului electromagnetic sunt funcții periodice, expresiile pentru densitatea sarcinii și curentul au forma generală:

\rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}\qquad \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t) = \ rho (\ mathbf {x}) și ^ {- i \ omega t} \ qquad \ mathbf {J} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {J} (\ mathbf {x}) și ^ {- i \ omega t}}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t) = \ rho (\ mathbf {x}) și ^ {- i \ omega t} \ qquad \ mathbf {J} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {J} (\ mathbf {x}) și ^ {- i \ omega t}}

unde mărimile fizice corespunzătoare sunt descrise de partea reală a expresiilor. Forma potențialelor $\mathbf {A} (\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x})}$ ia în considerare principiul cauzalității :

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}x'\int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} ',t')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\delta \left(t-t'-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{c}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {3} x '\ int dt' {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ', t')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} \ delta \ left (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} {c}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int d ^ {3} x '\ int dt' {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ', t')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} \ delta \ left (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} {c}} \ right)}

iar câmpurile sunt:

\mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \mathbf {A} \qquad \mathbf {E} ={\frac {iZ_{0}}{k}}\nabla \times \mathbf {H}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ qquad \ mathbf {E} = {\ frac {iZ_ {0}} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {H}}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ qquad \ mathbf {E} = {\ frac {iZ_ {0}} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {H}}

unde este $Z_{0}={\sqrt {\mu _{0} \over \varepsilon _{0}}}$ ${\ displaystyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {0} \ over \ varepsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {0} \ over \ varepsilon _ {0}}}}$ este impedanța vidului. Presupunând că câmpurile au aceeași dependență temporală ca sursele, expresia potențialului devine:

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} ')e^{-ik|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}d^{3}x'\qquad k={\frac {\omega }{c}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') e ^ {- ik | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' |}} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} d ^ {3} x' \ qquad k = {\ frac {\ omega} {c}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') e ^ {- ik | \ mathbf {x} - \ mathbf {x}' |}} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} d ^ {3} x' \ qquad k = {\ frac {\ omega} {c}}}

Într-o regiune suficient de îndepărtată de izvoare, unde $k r$ ${\ displaystyle kr}$ ${\ displaystyle kr}$ mult mai mare decât unitatea, se poate aproxima $|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}$ cu $r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} '$ ${\ displaystyle r- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle r- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} '}$ obținerea:

\lim _{kr\to \infty }\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{-ikr}}{r}}\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')e^{-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} '}d^{3}x'

{\ displaystyle \ lim _ {kr \ to \ infty} \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ { -ikr}} {r}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') și ^ {- ik \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x}'} d ^ {3} x '}

{\ displaystyle \ lim _ {kr \ to \ infty} \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ { -ikr}} {r}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') și ^ {- ik \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x}'} d ^ {3} x '}

și extinderea exponențialei în integrare:

e^{-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} '}=\sum _{n}{\frac {(-ik)^{n}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')^{n}}{n!}}

{\ displaystyle e ^ {- ik \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} '} = \ sum _ {n} {\ frac {(-ik) ^ {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} ') ^ {n}} {n!}}}

{\ displaystyle e ^ {- ik \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} '} = \ sum _ {n} {\ frac {(-ik) ^ {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} ') ^ {n}} {n!}}}

obținem expansiunea în multipoli în cazul surselor oscilante într-un punct de spațiu departe de acestea: ^[5]

\lim _{kr\to \infty }\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{-ikr}}{r}}\sum _{n}{\frac {(-ik)^{n}}{n!}}\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')^{n}d^{3}x'

{\ displaystyle \ lim _ {kr \ to \ infty} \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ { -ikr}} {r}} \ sum _ {n} {\ frac {(-ik) ^ {n}} {n!}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} ') ^ {n} d ^ {3} x'}

{\ displaystyle \ lim _ {kr \ to \ infty} \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ { -ikr}} {r}} \ sum _ {n} {\ frac {(-ik) ^ {n}} {n!}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {x} ') ^ {n} d ^ {3} x'}

Termen monopol

Expresia potențialului electric în cazul surselor care variază în timp este analogă cu cea a potențialului vector:

\Psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int d^{3}x'\int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x} ',t')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\delta \left(t-t'-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{c}}\right)

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int d ^ {3} x '\ int dt' {\ frac { \ rho (\ mathbf {x} ', t')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} \ delta \ left (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} {c}} \ right)}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int d ^ {3} x '\ int dt' {\ frac { \ rho (\ mathbf {x} ', t')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}} \ delta \ left (tt' - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} {c}} \ right)}

Înlocuind în integral $|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|}$ cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , și denotând cu $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ sarcina totală a sursei, termenul de monopol electric se obține:

\Psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {q(t-{\frac {r}{c}})}{4\pi \varepsilon _{0}r}}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {q (t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {q (t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}

care este static deoarece sarcina totală nu depinde de timp. Acest lucru se datorează faptului că sursa este considerată localizată și, prin urmare, câmpurile oscilante nu au un termen monopol.

Termen dipol

Același subiect în detaliu: Radiația dipol electrică .

Primul termen al dezvoltării dă: ^[6]

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{-ikr}}{r}}\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')d^{3}x'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') d ^ {3} x'}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} \ int \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ') d ^ {3} x'}

Această expresie este valabilă în tot spațiul, spre deosebire de următorii termeni care oferă o descriere corectă doar în afara surselor. Prin integrarea pe părți și exploatarea ecuației de continuitate pentru încărcare:

i\omega \rho =\nabla \cdot \mathbf {J}

{\ displaystyle i \ omega \ rho = \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}

{\ displaystyle i \ omega \ rho = \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}

primesti:

\int \mathbf {J} d^{3}x'=-\int \mathbf {x} '(\nabla '\cdot \mathbf {J} )d^{3}x'=-i\omega \int \mathbf {x} '\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'

{\ displaystyle \ int \ mathbf {J} d ^ {3} x '= - \ int \ mathbf {x}' (\ nabla '\ cdot \ mathbf {J}) d ^ {3} x' = - i \ omega \ int \ mathbf {x} '\ rho (\ mathbf {x}') d ^ {3} x '}

{\ displaystyle \ int \ mathbf {J} d ^ {3} x '= - \ int \ mathbf {x}' (\ nabla '\ cdot \ mathbf {J}) d ^ {3} x' = - i \ omega \ int \ mathbf {x} '\ rho (\ mathbf {x}') d ^ {3} x '}

de la care:

\mathbf {A} (\mathbf {x} )=-{\frac {i\mu _{0}\omega }{4\pi }}\mathbf {p} {\frac {e^{-ikr}}{r}}\qquad \mathbf {p} =\int \mathbf {x} '\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = - {\ frac {i \ mu _ {0} \ omega} {4 \ pi}} \ mathbf {p} {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} \ qquad \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {x} '\ rho (\ mathbf {x}') d ^ {3} x '}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = - {\ frac {i \ mu _ {0} \ omega} {4 \ pi}} \ mathbf {p} {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} \ qquad \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {x} '\ rho (\ mathbf {x}') d ^ {3} x '}

Câmpurile departe de sursă sunt în acest caz: ^[7]

\mathbf {H} ={\frac {ck^{2}}{\mu _{0}}}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr}}{r}}\qquad \mathbf {E} =Z_{0}\mathbf {H} \times \mathbf {n}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {ck ^ {2}} {\ mu _ {0}}} (\ mathbf {n} \ times \ mathbf {p}) {\ frac {e ^ {ikr }} {r}} \ qquad \ mathbf {E} = Z_ {0} \ mathbf {H} \ times \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {ck ^ {2}} {\ mu _ {0}}} (\ mathbf {n} \ times \ mathbf {p}) {\ frac {e ^ {ikr }} {r}} \ qquad \ mathbf {E} = Z_ {0} \ mathbf {H} \ times \ mathbf {n}}

Intensitatea radiației dipol este dată și de:

dI={\frac {1}{4\pi c^{3}}}\left[{\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}\times \mathbf {n} \right]^{2}d\Omega ={\frac {d^{2}\mathbf {p} ^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\sin \theta }{4\pi c^{3}}}d\Omega \qquad I={\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} ^{2}

{\ displaystyle dI = {\ frac {1} {4 \ pi c ^ {3}}} \ left [{\ frac {d ^ {2} \ mathbf {p}} {dt ^ {2}}} \ times \ mathbf {n} \ right] ^ {2} d \ Omega = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {p} ^ {2}} {dt ^ {2}}} {\ frac {\ sin \ theta} {4 \ pi c ^ {3}}} d \ Omega \ qquad I = {\ frac {2} {3c ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2} }} \ mathbf {p} ^ {2}}

{\ displaystyle dI = {\ frac {1} {4 \ pi c ^ {3}}} \ left [{\ frac {d ^ {2} \ mathbf {p}} {dt ^ {2}}} \ times \ mathbf {n} \ right] ^ {2} d \ Omega = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {p} ^ {2}} {dt ^ {2}}} {\ frac {\ sin \ theta} {4 \ pi c ^ {3}}} d \ Omega \ qquad I = {\ frac {2} {3c ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2} }} \ mathbf {p} ^ {2}}

dove $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$ l'angolo solido e si sono utilizzate le unità CGS . Nel caso vi sia una sola carica allora $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ si ha in particolare: ^[8]

\mathbf {p} =e\mathbf {r} \qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} =e\mathbf {a}

\mathbf {p} =e\mathbf {r} \qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} =e\mathbf {a}

\mathbf {p} =e\mathbf {r} \qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} =e\mathbf {a}

dove $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\mathbf a$ è la sua accelerazione .

Termine di quadrupolo

Lo stesso argomento in dettaglio: Momento magnetico .

Il successivo termine dello sviluppo fornisce, lontano dalla sorgente:

\lim _{kr\to \infty }\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')d^{3}x'

\lim _{kr\to \infty }\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')d^{3}x'

\lim _{kr\to \infty }\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)\int \mathbf {J} (\mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')d^{3}x'

ed il potenziale ha la forma: ^[9]

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {ik\mu _{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr}}{r}}

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {ik\mu _{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr}}{r}}

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {ik\mu _{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr}}{r}}

dove $\mathbf {m}$ $\mathbf {m}$ ${\mathbf m}$ è il vettore momento di dipolo magnetico :

\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int (\mathbf {x} \times \mathbf {J} )d^{3}x

\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int (\mathbf {x} \times \mathbf {J} )d^{3}x

\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int (\mathbf {x} \times \mathbf {J} )d^{3}x

Il potenziale $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ è proporzionale al campo elettrico ottenuto nel precedente ordine dello sviluppo, e pertanto l'espressione dei campi si ottiene effettuando le sostituzioni: ^[10]

\mathbf {E} \to Z_{0}\mathbf {H} \qquad Z_{0}\mathbf {H} \to -\mathbf {E} \qquad \mathbf {p} \to {\frac {1}{c}}\mathbf {m}

\mathbf {E} \to Z_{0}\mathbf {H} \qquad Z_{0}\mathbf {H} \to -\mathbf {E} \qquad \mathbf {p} \to {\frac {1}{c}}\mathbf {m}

\mathbf {E} \to Z_{0}\mathbf {H} \qquad Z_{0}\mathbf {H} \to -\mathbf {E} \qquad \mathbf {p} \to {\frac {1}{c}}\mathbf {m}

Si dimostra che l'integrale di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ può essere riscritto nel seguente modo:

\mathbf {A} (\mathbf {x} )=-{\frac {\mu _{0}ck^{2}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int \mathbf {x} '(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'

\mathbf {A} (\mathbf {x} )=-{\frac {\mu _{0}ck^{2}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int \mathbf {x} '(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'

\mathbf {A} (\mathbf {x} )=-{\frac {\mu _{0}ck^{2}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int \mathbf {x} '(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'

ed il campo magnetico assume pertanto la forma:

\mathbf {H} ={\frac {ik}{\mu _{0}}}(\mathbf {n} \times \mathbf {A} )=-{\frac {ick^{3}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int (\mathbf {n} \times \mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'=-{\frac {ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q} (\mathbf {n} )

\mathbf {H} ={\frac {ik}{\mu _{0}}}(\mathbf {n} \times \mathbf {A} )=-{\frac {ick^{3}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int (\mathbf {n} \times \mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'=-{\frac {ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q} (\mathbf {n} )

\mathbf {H} ={\frac {ik}{\mu _{0}}}(\mathbf {n} \times \mathbf {A} )=-{\frac {ick^{3}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int (\mathbf {n} \times \mathbf {x} ')(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x} ')\rho (\mathbf {x} ')d^{3}x'=-{\frac {ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q} (\mathbf {n} )

in cui le componenti di $\mathbf {Q} (\mathbf {n} )$ $\mathbf {Q} (\mathbf {n} )$ $\mathbf {Q} (\mathbf {n} )$ sono:

Q_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }\qquad Q_{\alpha \beta }=\int (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x} )d^{3}x

Q_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }\qquad Q_{\alpha \beta }=\int (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x} )d^{3}x

Q_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }\qquad Q_{\alpha \beta }=\int (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x} )d^{3}x

dove $Q_{\alpha \beta }$ $Q_{\alpha \beta }$ $Q_{\alpha \beta }$ è il tensore momento di quadrupolo.

Radiazione totale emessa

L'intensità totale della radiazione emessa è la somma di quella relativa al dipolo, al quadrupolo ed al dipolo magnetico:

I={\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} ^{2}+{\frac {1}{180c^{5}}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\mathbf {Q} _{\alpha \beta }^{2}+{\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {m} ^{2}

I={\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} ^{2}+{\frac {1}{180c^{5}}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\mathbf {Q} _{\alpha \beta }^{2}+{\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {m} ^{2}

I={\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {p} ^{2}+{\frac {1}{180c^{5}}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}\mathbf {Q} _{\alpha \beta }^{2}+{\frac {2}{3c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {m} ^{2}

Talvolta non tutti i termini della somma si misurano effettivamente: ad esempio, nel caso in cui i rapporti fra la massa e la carica relativi alle cariche in moto che compongono il sistema sono tutti uguali i termini di dipolo elettrico e magnetico non si manifestano. ^[11]

Onde gravitazionali

In relatività generale è teorizzata l'esistenza di onde gravitazionali , cioè di onde nello spazio-tempo che, spostandosi alla velocità della luce , modifichino le proprietà metriche (cioè la distanza ) dello spazio stesso. Dato che (anche classicamente, nell'ambito della teoria Newtoniana) è possibile eseguire uno sviluppo in multipoli anche per sistemi di masse , è ragionevole chiedersi se ogni termine dello sviluppo contribuisca alla generazione di un'onda gravitazionale. Il risultato che si trova è che il momento di monopolo non contribuisce alla formazione di onde gravitazionali (per il Teorema di Birkhoff (relatività) ), mentre le onde vengono generate da distribuzioni di massa con momento di quadrupolo non nullo con derivata terza diversa da zero. Il momento di dipolo è identicamente nullo se calcolato nel centro di massa del sistema, come si verifica facilmente:

\mathbf {p} =\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} {\mbox{d}}V

\mathbf {p} =\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} {\mbox{d}}V

\mathbf {p} =\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} {\mbox{d}}V

mentre le coordinate del centro di massa sono:

\mathbf {r} _{CM}={\frac {1}{M_{tot}}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,{\mbox{d}}V\quad {\text{con}}\quad M_{tot}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ){\mbox{d}}V

\mathbf {r} _{CM}={\frac {1}{M_{tot}}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,{\mbox{d}}V\quad {\text{con}}\quad M_{tot}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ){\mbox{d}}V

\mathbf {r} _{CM}={\frac {1}{M_{tot}}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,{\mbox{d}}V\quad {\text{con}}\quad M_{tot}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ){\mbox{d}}V

quindi il momento di dipolo in funzione del centro di massa è dato da:

\mathbf {p} =M_{tot}\mathbf {r} _{CM}

\mathbf {p} =M_{tot}\mathbf {r} _{CM}

\mathbf {p} =M_{tot}\mathbf {r} _{CM}

Note

^ William J. Thompson, Angular Momentum , John Wiley & Sons, Inc..
^ Jackson , pag. 146 .
^ Jackson , pag. 145 .
^ Landau, Lifshits , pag. 232 .
^ Jackson , pag. 409 .
^ Jackson , pag. 410 .
^ Jackson , pag. 411 .
^ Landau, Lifshits , pag. 233 .
^ Jackson , pag. 413 .
^ Jackson , pag. 414 .
^ Landau, Lifshits , pag. 251 .

Bibliografia

Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D. Jackson, Classical Electrodynamics , 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Voci correlate

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] William J. Thompson, Angular Momentum , John Wiley & Sons, Inc..

[2] Jackson , pag. 146 .

[3] Jackson , pag. 145 .

[4] Landau, Lifshits , pag. 232 .

[5] Jackson , pag. 409 .

[6] Jackson , pag. 410 .

[7] Jackson , pag. 411 .

[8] Landau, Lifshits , pag. 233 .

[9] Jackson , pag. 413 .

[10] Jackson , pag. 414 .

[11] Landau, Lifshits , pag. 251 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]