Arccosine

În matematică , în special în trigonometrie , arccosina este definită ca o funcție inversă a cosinusului unui unghi . Funcția cosinusului nu este bijectivă , deci nu este inversabilă. Cu toate acestea, este posibil să se aplice o restricție a domeniului și a intervalului pentru a-l face atât injectiv, cât și surjectiv . Prin convenție, se preferă restricționarea domeniului funcției cosinusului în interval $\left[0,\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right]}$ $\ left [0, \ pi \ right]$ . ^[1]

Notaţie

Notarea matematică a arccosinei este $\arccos$ ${\ displaystyle \ arccos}$ $\ arccos$ ; scrisul este, de asemenea, obișnuit $\cos ^{-1}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {- 1}}$ $\ cos ^ {{- 1}}$ . În diferite limbaje de programare și pe unele tastaturi de calculator, ACS formularele ACOS și ACS .

Proprietate

Graficul funcțional

y=\arccos(x)

{\ displaystyle y = \ arccos (x)}

{\ displaystyle y = \ arccos (x)}

Arccosine este o funcție continuă și strict descrescătoare, definită pentru toate valorile din interval $\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$ : ^[2]

\arccos \colon \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right].

{\ displaystyle \ arccos \ colon \ left [-1,1 \ right] \ to \ left [0, \ pi \ right].}

\ arccos \ colon \ left [-1,1 \ right] \ to \ left [0, \ pi \ right].

Graficul său este simetric în raport cu punctul $\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (0, {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}$ $\ left (0, {\ frac \ pi 2} \ right)$ , fiind $\arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)$ ${\ displaystyle \ arccos x = \ pi - \ arccos \ left (-x \ right)}$ $\ arccos x = \ pi - \ arccos \ left (-x \ right)$ .

Derivatul funcției arccosine este: ^[3] ^[4]

{\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ arccos x = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

{\ frac {d} {dx}} \ arccos x = - {\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Seria Taylor corespunzătoare este: ^[5]

\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots .

{\ displaystyle \ arccos x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {- {\ frac {1} {2}} \ choose k} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {1} {6}} x ^ {3} - {\ frac {3} {40}} x ^ {5} - {\ frac {5} {112}} x ^ {7} - \ cdots.}

\ arccos x = {\ frac \ pi 2} - \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {- {\ frac 12} \ choose k} (- 1) ^ {k} {\ frac { x ^ {{2k + 1}}} {2k + 1}} = {\ frac \ pi 2} -x - {\ frac 16} x ^ {3} - {\ frac 3 {40}} x ^ {5 } - {\ frac 5 {112}} x ^ {7} - \ cdots.

Datorită simetriei deja descrise, relația pentru argumentele negative deține:

\arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x

{\ displaystyle \ arccos \ left (-x \ right) = \ pi - \ arccos x}

\ arccos \ left (-x \ right) = \ pi - \ arccos x

.

Mai mult, este posibil să combinați suma sau diferența a două arcoșene într-o expresie în care arcozina apare o singură dată:

\arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}

{\ displaystyle \ arccos x_ {1} + \ arccos x_ {2} = {\ begin {cases} \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} - {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2 }}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} + x_ {2} \ geq 0 \\ 2 \ pi - \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} - {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} + x_ {2} <0 \ end {cases}}}

\ arccos x_ {1} + \ arccos x_ {2} = {\ begin {cases} \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} - {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} + x_ {2} \ geq 0 \\ 2 \ pi - \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2 } - {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} + x_ {2} <0 \ sfârșit {cazuri}}

\arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}

{\ displaystyle \ arccos x_ {1} - \ arccos x_ {2} = {\ begin {cases} - \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} + {\ sqrt {1-x_ {1} ^ { 2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} \ geq x_ {2} \\\ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} + {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} <x_ {2} \ end {cases} }}

\ arccos x_ {1} - \ arccos x_ {2} = {\ begin {cases} - \ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} + {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}} } {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} \ geq x_ {2} \\\ arccos \ left (x_ {1} x_ {2} + {\ sqrt {1-x_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {2} ^ {2}}} \ right) & x_ {1} <x_ {2} \ end {cases}}

.

Aplicații

Într - un drept triunghi, amplitudinea în radiani unui unghi ascuțit este egal cu arccosinusului raportul dintre ei adiacente catete și ipotenuza . ^[6]

Notă

^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 186
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 460
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 218
^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p. 295
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 239
^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 376

Bibliografie

Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe arccosine

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 186

[2] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 460

[3] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 218

[4] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p. 295

[5] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p. 239

[6] Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p. 376

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Teorema frânghiei · Teorema sânilor · teorema cosinusului · legea tangențelor · Teorema cotangenților · Pitagora · Formulele de prostafareză · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice