De unde vin matematica

De unde provine matematica: Cum mintea situată aduce matematica în ființă este o carte a lingvistului cognitivist George Lakoff și a psihologului Rafael E. Núñez . Cartea își propune să întemeieze o știință cognitivă a matematicii sau o teorie a matematicii încorporate. Este remarcabil mai ales pentru dialogul pe care l-a dat naștere între matematicieni, lingviști și psihologi cu privire la fundamentarea dovezilor matematice.

Cartea propune și încearcă să întreprindă o analiză cognitivă a matematicii care analizează ideile matematice în termeni de experiențe umane, metafore, generalizări și alte mecanisme cognitive care dau naștere acestora. În cele din urmă, cartea susține, matematica este un rezultat al aparatului cognitiv uman și, prin urmare, trebuie înțeleasă în termeni cognitivi. Această analiză este distinctă de practica matematică în sine și nu poate fi întreprinsă de matematicieni care nu sunt instruiți în științele cognitive.

Platonismul în filozofia matematicii este respins: tot ce știm și vom putea ști vreodată este matematica umană , matematica care a izvorât din creierul nostru și întrebarea dacă există în mod obiectiv o „matematică transcendentă” este, prin urmare, irefutabilă și aproape fără sens. .

Matematica nu este o opinie. Ce îmi pasă de lingviști sau psihologi?

Dintre tehnicieni, există un consens că matematica este un punct de vedere neutru , de fapt, dacă logica în sine este un instrument de investigație valid, matematica trebuie să fie la fel. Matematica este într-un anumit sens „utilă” și, în măsura în care este la fel de utilă pentru două ființe umane, este „neutră”. Cu toate acestea, în primele decenii ale secolului al XX-lea , ontologia fundamentală a algebrei era pusă la îndoială: Alfred North Whitehead , Bertrand Russell și Kurt Gödel stabiliseră că logica și teoria mulțimilor erau într-un anumit sens înrădăcinate în altceva, ceva geometric și foarte „real”.

La sfârșitul secolului al XX-lea, a început să crească o literatură de matematică și fundamentele sale în domeniul științei cognitive : Amos Tversky , Daniel Kahneman și alții au testat perspectiva rigidă dualistă / occidentală a relațiilor subiect-obiect care dominaseră matematica încă de la Descartes , cu un consens din ce în ce mai mare că cunoașterea umană împărtășea multe condiționări.

În paralel, George Lakoff și Mark Johnson au dezvoltat o critică a metaforei și un model de subiect / relație / obiect mai generalizat bazat pe metafora conceptuală .

Între timp, postmoderniștii , în special Michel Foucault , au dezvoltat o critică profundă a eticii , teologiei și filozofiei occidentale, centrată pe absența oricărui model al corpului uman viu și acționant. De parcă „ cogito ergo sum ” al lui Descartes ar fi o perspectivă literală și divină a așa-numitei „lumi reale”, iar matematica însăși a fost obiectivă și imuabilă: întotdeauna descoperită, niciodată inventată. Acest lucru a fost contrar unui număr tot mai mare de dovezi în fizica cuantică , care a arătat că observatorii modifică de fapt ceea ce observă și că însuși procesul cognitiv uman schimbă „realitatea”.

O teorie situată?

Termenul „situat” a ajuns treptat să reflecte perspective asumate de un corp de observare și care a ținut cont de limitele impuse de fragilitatea sa și (în unele analize) de moralitatea sa. Gândirea postmodernă s-a abătut brusc de gândirea matematică, iar filozofii corpului, precum Marilyn Waring și John Zerzan, au început să pună sub semnul întrebării, în termeni incerti, însăși conceptul Numărului ca ghid al alegerilor umane.

O „ știință cognitivă a matematicii ” trebuia să unească aceste diverse critici și să depășească lacunele profesionale și culturale grave - nu numai în lumea occidentală, ci și în rândul popoarelor indigene și a altor persoane a căror viziune asupra lumii era ghidată de ceva foarte diferit de matematică. Unele dintre aceste societăți au persistat și au prosperat timp de milenii fără nicio idee sofisticată de algebră modernă, deși aveau de obicei o geometrie elementară. Aceasta a fost una dintre multele anomalii pe care presupunerile culturale occidentale nu le-au putut explica: de exemplu, cât de sofisticate au fost realizate proiecte de construcții fără majoritatea metodelor algebrice utilizate de inginerii moderni.

Corpul și simțurile creează matematică?

„ Știința cognitivă a matematicii ” definită de George Lakoff și Rafael E. Núñez este „o teorie situată a ideilor matematice derivate din și în concordanță cu științele cognitive contemporane”. El susține că „matematica este înrădăcinată în activitatea cognitivă zilnică a ființelor umane mai degrabă decât într-o viață de dincolo de viață transcendentă platonică”. Cu alte cuvinte, că corpul uman și simțurile sunt cele care creează matematica și că pot fi împărtășite cu alte ființe umane, doar pentru că sunt atât de asemănătoare cu noi. „Matematica poate exista sau nu în lume, dar nu există nicio modalitate de a o spune științific”, spune dr. Lakoff. Matematica are succes în știință, susțin doctorii Lakoff și Nunez în cartea lor, doar pentru că oamenii de știință o forțează să funcționeze. „Toată„ potrivirea ”dintre matematică și regularitățile lumii fizice se întâmplă în mintea fizicienilor care le înțeleg pe amândouă.”

Unii numesc acest lucru un refuz postmodern de a accepta un univers radical autonom de care nu ne pasă deloc. Dar astfel de obiecții par foarte modeste.

Creierele în natură

Unii critici, printre care și Tom Seigfried , susțin că susținătorii științei cognitive ale matematicii „ignoră faptul că creierele nu numai că observă natura, ci fac parte și din ea .... [și nu reușesc să explice cum matematica poate] vorbi despre fenomene niciodată suspectat înainte ". La fel ca alți susținători ai controversatei ontologii fundamentale a fizicii particulelor - pe care unii îl consideră cel mai bun mod de a înțelege „nivelul fundamental al realității” - Seigfried susține că puterea matematicii de a prezice ceea ce oamenii vor percepe este o demonstrație a obiectivității sale:

„Mulți oameni de știință suspectează că succesul matematicii comunică un adevăr profund despre univers prin dezvăluirea unei structuri matematice inerente care domină cosmosul sau cel puțin îl face ușor de înțeles”. ... oamenilor de știință. „Dacă matematica este o invenție umană, se pare că natura știa ce avea să fie inventat”.

Acest argument este bine cunoscut și a fost rezumat cel mai bine de către fizicianul Eugene Wigner în eficacitatea nerezonabilă a matematicii în științele naturii ("The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"), 1960 : "Enorma utilitate a matematicii în științe" natural este ceva care se învecinează cu misteriosul pentru care nu există nicio explicație rațională. "

Care este agenda?

Institutul Santa Fe îi acordă lui George Lakoff și lui Rafael E. Núñez credit pentru

Înrădăcinarea aritmeticii, teoria mulțimilor și logica formală în creier și corp.
Structura cognitivă a infinitului real ( infinitul ca „lucru”) pentru o mare varietate de cazuri: setul infinit de numere naturale , puncte la infinit , inducție matematică , zecimale și reali infiniti, limitele și minimele extreme superioare , infinitesimale și hiperreale , și numere transfinite .
Structura conceptuală care caracterizează sensul $e^{ix}$ ${\ displaystyle e ^ {ix}}$ $și ^ {{ix}}$ , ceea ce ne permite să caracterizăm cognitiv care este identitatea lui Euler $e^{i\pi }+1=0$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0}$ înseamnă cu adevărat și de ce este adevărat pe baza a ceea ce înseamnă.

Aceasta încearcă să răspundă la o întrebare care i-a afectat pe filosofii matematicii de când Bertrand Russell și Alfred North Whitehead nu au reușit să înrădăcineze aritmetica în teoria mulțimilor și logica formală în 1912. Pe ce se bazează matematica?

Programul ambițios al cognitivistilor este de a permite toate dovezile matematicii să fie urmărite înapoi la „cele patru procese distincte, dar conexe [care] structurează metaforic aritmetica de bază: colecția de obiecte, construcția de obiecte, utilizarea unui butoi metric și mișcă-l de-a lungul unei cărări. " Sau, pentru acele dovezi care nu pot fi urmărite până acum, pune-le deoparte ca numerologie .

Matematică și politică

Aceasta nu este prima încercare de a testa matematica și fizica ca arbitru principal al realității comune a ființelor umane. De la începutul anilor 1960, unii au susținut că științele militare secrete, fabricarea armelor nucleare și presupusa lor „utilitate” sunt dovezi că oamenii continuă să-și construiască și să-și extindă modelele chiar și după ce s-au dezvoltat. vieți, dacă nu pentru întreaga planetă. Unii critici postmoderni (inclusiv John Zerzan ) și feministe (inclusiv Marilyn Waring ) susțin că perspectiva radicală autonomă a Numărului manipulează lumea în mod eficient doar dintr-un anumit punct de vedere - cel al unei „culturi dominante”. Și că în ultima vreme această perspectivă a dovedit orice altceva decât „util”.

Desigur, aceasta este o problemă politică, dar știința nu este imună la politică. Nici la regrete. După ce revoluționara sa teorie a relativității a fost folosită pentru a construi prima armă nucleară, Albert Einstein s-a plâns:

„Dacă aș fi știut, aș fi fost ceasornicar”.

Matematica faptului, matematica sentimentului

Plângerea lui Einstein evidențiază problema alegerilor etice din experimente - o problemă de lungă durată care testează falsificabilitatea ca dovadă a adevărului - dacă nu îndrăznești să testezi o teorie, cum poți susține că este adevărată? Dacă o experimentați punând în pericol persoanele care vă interesează sau pe ceilalți, câștigați sprijin pentru teorie prin „experimentare” sau prin „frică”, adică depinde consimțământul de teroarea de a-l împinge pe om de știință într-un experiment? Dacă da, de unde știe omul de știință ce este real?

Când primii observatori ai unei explozii nucleare au văzut norul în formă de ciupercă și și-au dat seama că atmosfera nu se aprinsese (ceea ce nu ar fi putut fi prezis până atunci), probabil că s-au uitat unul la altul și au dat din cap. Fericiți că matematica a fost validată ? Sau, așa cum ar prefera filosofii corpului , au calculat impactul probabil al acțiunii lor asupra corpurilor, au empatizat-o și s-au retras în groază?

„Matematica poate exista sau nu în lume”, dar cu siguranță simțim impactul acesteia asupra corpului nostru, de exemplu ca gloanțe care ascultă f = ma sau ca frig din cauza unei evacuări de iarnă din lipsa unei anumite sume. De credit. Cel mai sigur lucru pe care îl putem spune despre matematică este că descrie ceva ce facem și că este legat de alte lucruri pe care le auzim. Dar este la fel de real pentru plante ca și pentru animale? Pentru ecologii și pentru infrastructuri?

Dacă noi, oamenii, nu am scrie-o, cât de mult ar fi matematica?

Matematica se aplică și altor forme de viață?

Unii pun la îndoială afirmația lui Lakoff conform căreia „nu există nicio modalitate de a afirma acest lucru științific” și subliniază că istoria științei cognitive găsește modalități de a experimenta teze bazate anterior doar pe autodescriere.

În notele de subsol ale analizei sale privind „eficacitatea nerezonabilă” a matematicii, Wigner schițează o perspectivă diferită asupra problemei, argumentând că „este util, în discuțiile epistemologice, să se renunțe la idealizarea că nivelul inteligenței umane are o poziție singulară asupra o scară absolută. În unele cazuri poate fi chiar util să se ia în considerare posibila realizare la nivelul inteligenței unor alte specii. " Acest subiect a rămas neexplorat timp de multe decenii, în timp ce psihologia cognitivă, antropologia, primatologia și alte științe au investigat „nivelul de inteligență al altor specii”.

Când cercetăm „rolul întruchipării și constrângerile sale biologice și cognitive”, o cercetare empirică importantă este în ce măsură fenomenele cognitive specifice pe care se bazează matematica sunt împărtășite cu alți hominizi , cu maimuțele mari , cu toți primatele și cu alte animale . Sau, dacă din acest motiv, cu roboți și alte entități pe care le-am putea accepta ca actori radical autonomi.

Oricare ar fi rezultatul unei astfel de „experimentări a primatelor”, pare sigur că vom constata că unele aspecte ale matematicii sunt limitate la oameni:

Oamenii forțează matematica asupra lumii?

Atunci, din punct de vedere etic, ne-am putea întreba și noi, dacă modelele noastre matematice se dovedesc „reale” doar dintr-un anumit punct de vedere uman instruit, care sunt limitele etice și rezonabile ale experimentării lor? Este corect să creăm ierni nucleare sau găuri negre sau acceleratori de particule din ce în ce mai mari pentru a determina dacă o teorie dată prezice corect rezultatul unor acte periculoase sau alocări uriașe de resurse prețioase? Și dacă unele concepte nu sunt testate pe scară largă, din motive de etică sau de costuri, în ce măsură pot fi apreciate modelele matematice corespunzătoare?

Astfel de argumente au dat naștere principiului precauției - progresele în știința cognitivă a matematicii se pot datora aderării largi la acest principiu.

Sau ar putea fi o comedie postmodernă pentru a transfera resursele de la științele naturii la o serie de proiecte favorizate de diverși lingviști și primatologi:

Se va dovedi vreodată această teorie?

Se pare că există unele controverse cu privire la posibila rigiditate a acestor demonstrații. Într-un răspuns lung și detaliat adresat recenzorului Bonnie Gold, Lakoff a susținut „o altă lucrare decât cea a matematicienilor profesioniști. Trebuie să răspundem la întrebări precum: Cum poate un număr să exprime un concept? Cum pot formulele și ecuațiile matematice să exprime idei generale? Idei precum recurența , schimbare, proporție, procese de autoreglare și așa mai departe se găsesc în afara matematicii? Cum diferă ideile din matematică de ideile similare (dar nu identice) din afara matematicii (de exemplu, ideea de „spațiu” sau „continuitate”) ? Cum putem înțelege matematica „abstractă”? Ce mecanisme cognitive sunt utilizate în înțelegerea matematică? "

Acest lucru este, desigur, incompatibil cu dorința matematicienilor de a dovedi matematica nouă în termeni de matematică mai veche, mai degrabă decât de a găsi metafore comune matematicii vechi și corpului uman.

„ Cogito ergo sum ” al lui Descartes pare a fi testat serios - o teorie situată ar începe neapărat de la spiro , audio , video ... Și aștept , cea mai fundamentală decizie cu privire la direcționarea atenției cuiva. Ce este important?

Cum ar schimba acest lucru știința?

Această linie de cercetare pare să rămână la matematică multe tendințe categorice considerate anterior domeniul științei politice , teologiei și altor domenii care se bazează mai degrabă pe ontologii complexe decât pe axiome clare.

Împreună cu acceptarea limitelor etice, o caracteristică importantă a științelor secolului al XX-lea a fost descoperirea limitelor abilităților perceptive și cognitive ale omului. Dacă și matematica ar avea astfel de limite, acest lucru nu ar fi surprinzător, dacă aceste limite se referă la fezabilitatea investigației în sens strict (de exemplu, principiul incertitudinii, teorema lui Gödel etc.) sau dacă sunt etic impuse de principiul precauției : religia , în De fapt, a susținut de multă vreme că principiile etice și morale sunt un ghid esențial pentru concepțiile umane. Credința și rațiunea , la fel ca teologia și filozofia , s-au alternat de milenii ca arbitru final al disputelor în științele naturii:

Papa Ioan Paul al II-lea a rezumat dezbaterea în enciclica sa Fides et ratio (1995), amintind că „rațiunea trebuie sprijinită și în cercetarea sa printr-un dialog de încredere și o prietenie sinceră. Clima suspiciunii și neîncrederii, care uneori înconjoară cercetarea speculativă , uită învățătura filozofilor antici, care au plasat prietenia drept unul dintre cele mai potrivite contexte pentru filosofarea corectă "(n. 33). În aceeași enciclică, i-a îndemnat pe filozofi și oameni de știință să-și direcționeze cu atenție cercetările: „Nu pot decât să îi încurajez pe filosofi, creștini sau nu, să aibă credință în capacitățile rațiunii umane și să nu-și stabilească obiective prea modeste în filosofarea lor. istoria acestui mileniu, pe care urmează să-l încheiem, mărturisește că acesta este calea de urmat: nu trebuie să pierdem pasiunea pentru adevărul suprem și anxietatea pentru cercetare, combinată cu îndrăzneala de a descoperi noi căi "(nr. 56 ).

Un argument similar poate fi găsit în articolul lui Wigner, care vede în analiza cunoașterii umane posibilitatea „stabilirii unei teorii a fenomenelor conștiinței, ... la fel de coerentă și completă ca teoriile noastre actuale despre lumea neînsuflețită”. O astfel de condiție ar fi capabilă să „ne încordeze credința în teoriile noastre și în concepția noastră asupra realității conceptelor pe care le-am format. Acest lucru ne-ar provoca un profund sentiment de frustrare în căutarea a ceea ce am numit„ adevărul suprem ” ... Motivul pentru care se poate concepe o astfel de situație este că, fundamental, nu știm de ce funcționează atât de bine teoriile noastre. Prin urmare, exactitatea lor poate să nu dovedească adevărul și consistența lor. "

Îndemnuri similare se găsesc în alte confesiuni religioase: tradiția budistă, de exemplu, încurajează investigarea imparțială a naturii, numită dhamma-vicaya , cu avertismentul că principalul obiect de studiu trebuie să fie conștiința de sine . Actualul Dalai Lama , Tenzin Gyatso , și-a exprimat, de asemenea, un mare interes în explorarea legăturii dintre budism, psihologie și alte științe.

Dacă alegerile etice ne-au influențat credințele esențiale despre știință prin modelarea experimentelor pe care le întreprindem și dacă acestea la rândul nostru au influențat modelele noastre matematice și acceptarea unor idei ca „reale”, atunci teoriile pe care le acceptăm ar fi de fapt ale noastre. alegeri.

Aceasta implică faptul că anumite științe sunt „finite”?

Acum am devenit Shiva, distrugătorul lumilor. Robert Oppenheimer

Luând în considerare alegerea emoțională dintre reacțiile „situate” la prima explozie nucleară ajută la evidențierea faptului că oamenii își definesc propriile experimente pentru ceea ce „funcționează” și, prin urmare, credința lor comună în matematică nu este neapărat o credință. cunoașterea și cultura. Dacă ar exista științe în care falsificabilitatea sau cazuistica nu ar putea fi înțelese sau finalizate într-o metodă rezonabilă pe care se poate spune că toate ființele umane o experimentează în mod similar, acest lucru ar sugera că unele investigații ar putea fi abandonate.

„Cele două posibilități ale lui Eugene Wigner , uniunea și conflictul, menționate mai sus, ambele concepute”, ușa deschisă către abandonarea unei teorii de câmp unificate care cuprinde relativitatea generală și mecanica cuantică , ar putea deschide și ușa abandonării aceleiași prognoze. Cel puțin, în măsura în care se aplică nouă și altor ființe cognitive. Acceptarea și extinderea unei științe cognitive a matematicii are implicații etice care par inevitabile: dacă inventăm matematica și știința și le forțăm pe alții care o inventează mai puțin, atunci știința însăși nu poate fi altceva decât o formă de colonialism mental:

Să modelezi sau să nu modelezi?

Așa cum au susținut demult popoarele indigene supuse colonialismului, dependența lumii occidentale de matematică și predicție, acolo unde este necesară alegerea etică, are consecințe - una dintre acestea ar putea fi acceptarea unei matematici care duce la distrugere, ca o alternativă la o metodă la fel de valabilă. matematica care duce în altă parte. Matematica ca punct de vedere neutru, simplă predicție sau dominație? Alegerea este a ta ...

Este pur și simplu o chestiune de alegere să vezi ceva deschis la diferite posibilități sau determinat de factori radical autonomi? Ce alegere avem despre structurile matematice pe care le concepem? Știința cognitivă a matematicii reduce certitudinea, inclusiv poate certitudinea conflictului.

Dacă matematica este subiectivă, toată știința este „cognitivă”?

Întruchiparea tuturor abstractizărilor matematice este un proiect grandios, care nu va fi niciodată finalizat. Printre alte probleme, există destul de multe interese care profită de prezumția că se poate construi certitudine matematică asupra matematicii, fără a acorda atenție corpurilor sau eticii lor dezordonate:

Simulările numerice, experimentele de fizică a particulelor sau alte activități umane care se bazează pe un concept relativ obiectiv de cunoaștere pot apărea în pericol de a fi sacrificate unui scop politic - matematica pe deplin situată ar impune o sarcină nerezonabilă a obiectivității asupra oricărui proces. analiza reală sau complexă. Simpla demonstrare a faptului că un model nu îi contrazice pe alții poate să nu mai fie suficientă pentru a convinge finanțatorii că fiecare pas al derivării a fost „localizat” - că se bazează pe axiome și dovezi care sunt ele însele complet înrădăcinate.

Dacă oamenii de știință vor accepta această subordonare radicală față de etică și alegere și o reclasificare a activității lor ca subset al științelor cognitive , este probabil mai mult politic decât științific.

Critici

Un răspuns la obiecția lui Lakoff față de platonism este perspectiva că orice lume care conține ființe cognitive capabile să elaboreze concepte matematice trebuie să funcționeze în conformitate cu principiile logicii formale.

Mai mult, dacă acceptăm logicismul în singura sa formă coerentă, trebuie să respingem negarea completă a lui Lakoff a unei matematici transcendentale, chiar dacă acceptăm rezultatele cercetării sale.

Bibliografie

G. Lakoff, R. Núñez: De unde vine matematica , cărți de bază, 2000 traducere în limba engleză De unde vine matematica. Cum mintea întruchipată dă naștere matematicii , Bollati Boringhieri, 2005

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Declarație a lui Lakoff și Nunez , pe unifr.ch (arhivată din adresa URL originală la 13 iunie 2002) .
( EN ) Recenzii de Lakoff, Nunez, 2000 , pe unifr.ch (arhivat din original la 14 iunie 2002) .
( EN ) Lakoff răspunde la Gold de la MAA , pe maa.org (arhivat din original la 24 noiembrie 2010) .
( EN ) Recenzie de către American Scientist , pe americanscientist.org (arhivat din original la 7 iulie 2006) .
( RO ) „Eficacitatea nerezonabilă a matematicii în științele naturii”, Eugene Wigner, în Comunicări în matematică pură și aplicată, vol. 13, nr. I (februarie 1960). New York: John Wiley & Sons, Inc. Copyright 1960 de John Wiley & Sons, Inc. , pe dartmouth.edu . Adus la 30 aprilie 2019 (Arhivat din original la 10 august 2018) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică