grupa generală Linear

În matematică , mai precis , în algebra liniară , gruparea liniară generală este gruparea tuturor matrici inversabile n × n valori într - un domeniu K, unde n este un număr întreg pozitiv. Gruparea liniară generală este indicată de GL (n, K) sau cu GL _n (K), și este , de asemenea , un grup de matrici menționat.

Grupul liniar special este subgrupul de matrici având determinantul egal cu +1. Gruparea liniară specială este notat cu SL (n, K) sau cu SL _n (K).

Definiție de bază și proprietăți

L ' împreună GL (n, K) formează un grup cu operația demultiplicare între matrici . Acesta este , de asemenea, " multimea tuturor matricelor cu factor determinant diferit de zero. Pentru teorema lui Binet , funcția

\mathrm {GL} (n,K)\to K^{*};\qquad A\mapsto \det(A)

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, k) \ la K ^ {*}; \ prototipurilor A \ mapsto \ det (A)}

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, k) \ la K ^ {*}; \ prototipurilor A \ mapsto \ det (A)}

care asociază o matrice A în GL (n, k) său determinant , este un homomorfism de la GL (n, K) ^* K, adică K mai mică decât zero (care formează un grup cu funcționarea produsului).

Normală subgrupă SL (n, k) este nucleul acestei homomorfism . Cu alte cuvinte, este subgrupul de matrici cu determinantul +1.

Spații vectoriale

General GL grup liniar (V) a unui spațiu vectorial V pe câmpul K este definit ca grupul tuturor automorfisme spațiului, și anume transformările liniare inversabil V în sine. Dacă spațiul are dimensiune n peste, atunci GL (V) este izomorfă GL (n, K). L ' izomorfism nu este canonic, deoarece aceasta depinde de alegerea bazei V: dacă reprezentăm T automorphism ca

Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}\quad \forall k=1,...,n

{\ Displaystyle Te_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {jk} e_ {j} \ quad \ forall k = 1, ..., n}

Te_ {k} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} a _ {{jk}} e_ {j} \ quad \ forall k = 1, ..., n

unde este $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ ${\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $(E_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ este o dată bază , atunci matricea corespunzătoare T este tocmai matricea cu venituri $(a_{jk})_{jk}$ ${\ Displaystyle (a_ {jk}) _ {jk}}$ $(A _ {{jk}}) _ {{jk}}$ , Ie sale matrice asociată .

Caz real

Algebră

Grupul GL (n, R) și SL (n, R) nu sunt niciodată comutativă pentru n> 1.
Cele matricele diagonale formează un subgrup de GL (n, R).

Topologie

Gruparea GL (n, R) este , de asemenea , un colector diferențiabilă , și împreună cu formele de structură de grup un grup Lie . Nu este compact nici conectat , deoarece determinantul este o funcție continuă și surjectivă cu valori în R mai mică decât zero, ceea ce nu este compact nici conectat. Acesta are două componente conectate , dintre care unul conține SL (n, R).

Cu toate acestea, este omotopicamente echivalentă cu grupul ortogonale O (n), care este un grup de Lie compact.

Subgrupul SL (n, R) este conectat , dar nu compact, dar este omotopicamente echivalent cu gruparea ortogonale specială SO (n), care este un grup de Lie conectat și compact.

Pe un câmp finit

În cazul în care K este un câmp finit cu q elemente, uneori scrieți GL (n, q) în loc de GL (n, K) (și în mod similar , SL (n, q) în loc de SL (n, K)). Când q = p este un număr prim , GL (n, p) este grupul de automorfisme exterioare ale grupului $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{n}$ ${\ Displaystyle \ stânga (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ dreapta) ^ {n}}$ $\ Stânga ({\ mathbb Z} / {p \ mathbb Z} \ dreapta) ^ {n}$ și de atunci $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{n}$ ${\ Displaystyle \ stânga (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ dreapta) ^ {n}}$ $\ Stânga ({\ mathbb Z} / {p \ mathbb Z} \ dreapta) ^ {n}$ este un grup abelian și , prin urmare , are grupul de automorfisme interne triviale, GL (n, p) este , de asemenea, grupul de automorfisme .

Ordinea GL (n, q), care în acest caz este un grup finit , este

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1}).

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}

Acest lucru poate fi calculat prin numărarea posibile coloane ale matricei: prima coloană poate fi orice vector nenul, al doilea vector poate fi orice liniar independent din prima coloană și, în general, coloana k -lea poate fi orice vector liniar independent din primele k -1 coloane.

Ordinea SL (n, q), care în acest caz este un grup finit , este

{\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1})}{q-1}}=(1+q+\dots +q^{n-1})(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\dots (q^{n}-q^{n-1}),

{\ Displaystyle {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ { n-1})} {q-1}} = (1 + q + \ dots + q ^ {n-1}) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2} ) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1})}

{\ Displaystyle {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2}) \ dots (q ^ {n} -q ^ { n-1})} {q-1}} = (1 + q + \ dots + q ^ {n-1}) (q ^ {n} -q) (q ^ {n} -q ^ {2} ) \ dots (q ^ {n} -q ^ {n-1})}

în cazul în care are loc egalitate pentru suma de serii geometrice trunchiate la n-1. Calcularea ordinului rezultă din faptul că SL (n, q) este nucleul de " homomorfism surjective

\mathrm {GL} (n,K)\to K^{*};\qquad A\mapsto \det(A)

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, k) \ la K ^ {*}; \ prototipurilor A \ mapsto \ det (A)}

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, k) \ la K ^ {*}; \ prototipurilor A \ mapsto \ det (A)}

unde Codomeniu are q-1 ordin.

Exemple

De exemplu , GL (3,2) are ordine (8-1) (8-2) (8-4) = 168 și este grupul de automorfisme din planul Fano și grupul $\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)^{3}$ ${\ Displaystyle \ stânga (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ dreapta) ^ {3}}$ $\ Stânga ({\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z} \ dreapta) ^ {3}$

In plus SL (3,2) are ordine (1 + 2 + 4) (8-2) (8-4) = 168 și , de fapt , GL (3,2) este izomorfă SL (3,2).

În general, dacă q = 2 are întotdeauna GL (n, 2) este izomorfă SL (n, 2).

Dacă n = 2 formulele anterioare sunt reduse la

(q^{2}-1)(q^{2}-q)=(q-1)^{2}q(q+1)

{\ Displaystyle (q ^ {2} -1) (q ^ {2} -q) = (q-1) ^ {2} q (q + 1)}

(Q ^ {2} -1) (q ^ {2} -q) = (q-1) ^ {2} q (q + 1)

pentru GL (2, q) ea

(1+q)(q^{2}-q)=(q-1)q(q+1)

{\ Displaystyle (1 + q) (q ^ {2} -q) = (q-1) q (q + 1)}

(1 + q) (q ^ {2} -q) = (q-1) q (q + 1)

pentru SL (2, q).

Istorie

General GL grup liniar pe un prim câmp (ν, p), a fost construit și ordinea a fost calculat prin Evariste Galois în 1832, în al doilea (din trei) echipamente manuscrise la ultima literă (Chevalier). Utilizarea sa a fost legat de studiul grupului Galois ecuația generală de ordinul ^ν p. ^[1]

Generalizare

Grupul liniar general poate fi de asemenea definită pe un inel comutativ unitar $LA .$ ${\ A. displaystyle}$ ${\ A. displaystyle}$ L ' împreună GL (n, A) formează un grup cu operația demultiplicare între matrici . Acesta este , de asemenea, " multimea tuturor matricelor cu factor determinant în inversabile $LA .$ ${\ A. displaystyle}$ ${\ A. displaystyle}$ Pentru teorema lui Binet (care se aplică în orice inel comutativ), funcția

\mathrm {GL} (n,A)\to A^{*};\qquad M\mapsto \det(M)

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, A) \ la A ^ {*}; \ prototipurilor M \ mapsto \ det (M)}

{\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, A) \ la A ^ {*}; \ prototipurilor M \ mapsto \ det (M)}

care asociază o M matrice în GL (n, A) său determinant , este un homomorfism de la GL (n, A) A ^*, adică, l ' împreună a unităților de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ( care formează un grup cu funcționarea produsului).

Normală subgrupă SL (n, A) este nucleul acestei homomorfism . Cu alte cuvinte, este subgrupa de matrici cu factor determinant 1.

Pe numere întregi modulo m

Este $m\geq 2$ ${\ Displaystyle m \ geq 2}$ ${\ Displaystyle m \ geq 2}$ un număr întreg cu unic prim factorizare: $m=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{r_{i}}$ ${\ Displaystyle m = \ prod _ {i = 1} ^ {k} P_ {i} ^ {R_ {i}}}$ ${\ Displaystyle m = \ prod _ {i = 1} ^ {k} P_ {i} ^ {R_ {i}}}$ . Gruparea liniară generală cu elemente din inelul $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$ $\ Z / m \ Z$ are cardinality

\#\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n^{2}(r_{i}-1)}\prod _{s=0}^{n-1}\left(p_{i}^{n}-p_{i}^{s}\right),

{\ Displaystyle \ # \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} P_ {i} ^ {n ^ {2} (R_ {i} -1)} \ prod _ {s = 0} ^ {n-1} \ stânga (P_ {i} ^ {n} -p_ {i} ^ {s} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ # \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} P_ {i} ^ {n ^ {2} (R_ {i} -1)} \ prod _ {s = 0} ^ {n-1} \ stânga (P_ {i} ^ {n} -p_ {i} ^ {s} \ dreapta)}

care se obține folosind teorema a restului chinezesc pentru a separa primul și apoi luând în considerare elementele $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /p_{i}\mathbb {Z} ),$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / {P_ i} \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / {P_ i} \ mathbb {Z})}$ pentru fiecare $p_{i},$ ${\ P_ displaystyle {i}}$ ${\ P_ displaystyle {i}}$ și ridicarea lor la $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /p_{i}^{r_{i}}\mathbb {Z} )$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / P_ {i} ^ {R_ {i}} \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {Z} / P_ {i} ^ {R_ {i}} \ mathbb {Z})}$ în toate modurile posibile

Notă

^ Evariste Galois, Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI, 1846, pp. 408-415. Accesat la 4 februarie 2009 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[chevalier-letter-1] Evariste Galois, Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI, 1846, pp. 408-415. Accesat la 4 februarie 2009 .

[1]