Icosaedru

Icosaedru

Tip	Solid platonic
Formați fețele	Triunghiuri
Nº fețe	20
Nr. De margini	30
Numărul de vârfuri	12
Valențe în partea de sus	5
Dual	Dodecaedru
Proprietate	Nu chirală
Planificarea dezvoltării

Manual

Model 3D (în format .stl ) al unui icosaedru

În geometrie icosaèdro (din latinescul icosahedrum , din greaca eikosi , care înseamnă douăzeci , și edra , care înseamnă bază ) este orice poliedru cu douăzeci de fețe. Cu toate acestea, termenul icosaedru înseamnă în general icosaedrul regulat : în icosaedrul regulat, fețele sunt triunghiuri echilaterale .

Solid platonic

Icosaedrul regulat este unul dintre cele cinci solide platonice ( tetraedru , hexaedru aka cub , octaedru , dodecaedru , icosaedru). Icosaedrul are 12 vârfuri și 30 de margini . Poliedrul său dual este dodecaedrul .

Suprafață și volum

Zona L 'a suprafeței A și volumul V al unui icosaedru regulat ale cărui margini au lungime sunt date de următoarele formule:

A=5{\sqrt {3}}a^{2},

{\ displaystyle A = 5 {\ sqrt {3}} a ^ {2},}

{\ displaystyle A = 5 {\ sqrt {3}} a ^ {2},}

V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a^{3}.

{\ displaystyle V = {\ begin {matrix} {5 \ over 12} \ end {matrix}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) a ^ {3}.}

{\ displaystyle V = {\ begin {matrix} {5 \ over 12} \ end {matrix}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) a ^ {3}.}

Construcția lui Euclid

Fig. 1: determinarea muchiei BM a icosaedrului înscris în sfera cu diametrul AB

Fig. 2: construcția icosaedrului

Fig. 3: icosaedru complet

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid descrie metoda de înscriere a unui icosaedru regulat într-o sferă cu un anumit diametru. Construcția ușor simplificată descrisă de Euclid este următoarea:

Fie AB un diametru al sferei date; împărțiți-l la punctul C astfel încât segmentul AC să fie de patru ori segmentul CB (a se vedea Fig. 1). Apoi construiți un cerc pe AB, ridicați perpendicularul din C și notați cu D unul dintre cele două puncte de intersecție dintre această perpendiculară și cerc. În cele din urmă, punctele B și D se unesc: segmentul obținut este raza a ceea ce Euclid numește „Cerc pe care este descris icosaedrul”.

Se trasează perpendiculara pe diametrul AB care trece prin B (și se află pe planul care conține cercul) și fie E unul dintre cele două puncte de pe această perpendiculară astfel încât BD și BE să aibă lungime egală. Apoi trageți linia dreaptă care trece prin E și paralelă cu AB și notați cu M unul dintre cele două puncte de intersecție dintre dreapta și circumferința; notăm în cele din urmă cu F intersecția dintre AB și paralela cu BE care trece prin M și urmărim segmentele FM și BM. Același procedeu este apoi repetat pornind de la A, găsind astfel punctul antipodal R la M și punctul G având un diametru astfel încât AG = FB.

Lungimile tuturor acestor segmente pot fi obținute pur și simplu prin aplicarea celei de-a doua teoreme a lui Euclid și a teoremei lui Pitagora ; mai jos oferim valorile lungimilor lor, presupunând o dată că sfera de pornire avea un diametru unitar.

Segment	Lungime	Notă
AB	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	Diametrul sferei în care urmează să fie înscris icosaedrul
BC, BC	${\frac {4}{5}},{\frac {1}{5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {5}}, {\ frac {1} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {5}}, {\ frac {1} {5}}}$
CD	${\frac {2}{5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}$	Triunghiul ADB este unghi drept în D, CD este proporțională medie între AC și CB sau între 4/5 și 1/5
Și BD, BE FM, RG	${\frac {\sqrt {5}}{5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {5}} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {5}} {5}}}$	Hipotenuza triunghiului BCD care este unghi drept în C
d FB, AG	${\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{10}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}$	Triunghiul AMB este unghi drept în M: proporția FB este calculată: FM = FM: (1 - FB), FB coincide cu latura unui decagon regulat înscris într-un cerc de rază e
p AR, BM	${\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{10}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}}}$	Hipotenuza triunghiului BFM care este unghi drept în F, FM coincide cu latura unui pentagon regulat înscris într-un cerc de rază e
GF	${\frac {\sqrt {5}}{5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {5}} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {5}} {5}}}$	GF = AB - AG - FB. Coincide cu și

Tabelul de mai sus prezintă următoarele:

e este latura hexagonului, p a pentagonului și d a decagonului înscris într-un cerc de rază e ,
e , p și d sunt laturi ale unui triunghi dreptunghiular, așa cum demonstrează Euclid în cartea XIII a elementelor sale ,
și, de asemenea, coincide cu segmentul GF.

Continuând cu construcția, reproduceți construcția liniilor BM MF și AR RG, pe patru etaje care trec prin AB, cu un unghi diedru de 72 ° față de etajul inițial (Fig. 2). Unind în ordine punctele M N O P Q și R S T U V, obținem două pentagone regulate înscrise în cercurile de rază și respectiv ale centrelor F și G. Toate laturile acestor pentagone, ca toate segmentele care încep de la punctele A și B, au aceeași lungime, p , egală cu latura pentagonului înscrisă în cercul de rază e (tocmai „Cercul pe care este descris icosaedrul ").

Rămâne să verificăm dacă lungimea articulațiilor alternante dintre vârfurile celor două pentagone este egală cu p . Fie Z punctul de cerc cu centrul G determinat prin extinderea razei RG. În mod clar Z împarte arcul TU în două părți egale și, prin urmare, acordurile TZ și ZU sunt egale între ele și coincid cu latura decagonului înscrisă în cercul de rază e . Acum unghiurile poligonului GZMF sunt în mod clar toate drepte și, din ceea ce este raportat în tabel, avem că laturile GF și FM au aceeași lungime și, prin urmare, GZMF este un pătrat cu lateral și . Din aceasta rezultă că segmentul TM este hipotenuza triunghiului dreptunghic ale cărui picioare sunt TZ (latura decagonului înscris în cercul cu raza e ) și ZM (latura hexagonului înscris în același cerc) și, prin urmare, lungimea TM coincide, de asemenea, cu latura pentagonului înscris în cercul de rază e .

În rezumat (Fig. 3), avem:

vârfurile M N O P Q și R S T U V; toate sunt amplasate pe arcurile unui cerc al cărui diametru este AB (numai figura AMBR este prezentată în figură),
segmentele începând de la vârfurile A și B (colorate în albastru); laturile pentagoanelor M N O P Q și R S T U V (colorate în verde); și diagonalele alternante dintre vârfurile acestor două pentagone (colorate în roșu) sunt toate muchiile icosaedrului și au o lungime egală cu latura pentagonului înscrisă în cercul de rază și ,
diametrul AB al sferei în care este înscris icosaedrul este de cinci ori pătratul razei și al „Cercului pe care este descris icosaedrul”,
În ceea ce privește lungimea muchiei, Euclid se limitează la a arăta că lungimea și diametrul sferei sunt incomensurabile. Lungimea efectivă p este totuși calculabilă și, așa cum este raportat în tabel, este
$p={\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{10}}}}.$ ${\ displaystyle p = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}}.}$ ${\ displaystyle p = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {5}} {10}}}}.}$

Poliedru dual

Poliedrul dual al icosaedrului este dodecaedrul .

Simetriile

Icosaedrul are 120 de simetrii . Dintre acestea, 60 sunt rotații , în timp ce celelalte inversează orientarea spațiului.

Prin urmare , grupul de simetrie al icosaedrului este format din 120 de elemente: este izomorf pentru produs $A_{5}\times \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ între grupul alternativ $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ de ordine $5!/2=60$ ${\ displaystyle 5! / 2 = 60}$ ${\ displaystyle 5! / 2 = 60}$ iar grupul ciclic de ordinul 2. Cele 60 de rotații formează subgrupul $A_{5}\times \{0\}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ {0 \}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times \ {0 \}}$ , anunț izomorf $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ .

Dodecaedrul are același grup de simetrii. Alte solide au acest grup de simetrie: printre ele, icosaedrul trunchiat , care modelează mingea de fotbal .